Quadratura circuli, et hyperbolae per infinitas hyperbolas, & parabolas quadrabiles geometricè exhibita, & demonstrata. ... Auctore d. Guidone Grando ..

41쪽

De Circulis.

HMe' Me, is arbitror , qvo comm - comatbematisum de me ne argumentum alias es tes materias per me ιωδε ---- J - ilis are, etia reformare possis, nee ad ardinis Geomerata inritates scandere ejusmodi seriarum admixtis es, νῶ, δε-Me fuerit , modis a pracipitiis tibi eameas. Interim

m H notare potes, quomodo mutuas sibi manus, ad Veritatem m.

quirendam, conferant Scientia , inaque Philosopbia Geometriam promovere aliquando pos , rarum ιπὰ vicem , A ut eommodλ usius in dyes se ab illa locvlarari semit, o - rependem non m s per eou brat ovem Gravitatis AP re geometricis tristin au iam ..de ab Archimedis tempore is lair, sed 9 nune

easse ex Hiis Ux Pis qualitaribus geometricὸ expensi speraρε ,

O iam amplissim pom ia novir accessoribus extenseros. 'Cateiam, oee-- buses Scalae intensionis lxeis, meisini GrV. G. G. Di triam in litteris ad me datis Hanoetera et r. Iuώlii et os. omne monuisse , eius comemplationem eum ' rgravitatis aisam expinione esse conj-ctam ; Sis nino stri bit: Mala intensionum luminis inserviet etiam ad gradu sollicitationum gravitatis: iam olim enim ea modo, quo iudicamus illuminari obiecta in ratione distantiarum reis ciproca duplicata, notavi etiam sollicitari gravia 1 centro' Mathematich scilicet, seu abstracth rem tractando,&phγ-scas causas seponendo. Atque hinc dinu planetus tali IN ge ad solem niti, quod etiam i nescio rat eodem argumento Nevvtonio placuit. Quo posito , animiamerti comparatis

42쪽

Pars Prior

corpus Minuenis aquailis crastiei velutsi seret eatenula, Delth aut buteum in eam figuram motum Maia gramitatis-m , seu pressio-m, qWas dicta Curva sustineret, effusigura μα- HL, FC, O Pseper arca H FO adpuncta correspondentιa erectorom, tam interim Maia pressionam, seu gramitationum, quas sust-ret recta I LPK, iam easdem graver particulas perpendiculariter regeret, esset rectangulum ex radio F C in ipsam I LPK, stum integri , tam particulatim correspondentes xtriusque Seaia portiones comparando, ut in aureo exemplo pag. t s. ataucto de intensione lueis dictum est, θ' summa gra vitationam nnius Ρω- ma gravitationam alterius aqsatis colligerras . Item si in masthemispheraeo,graves particular continente,gravitationum summa, per emaginem Stala Usam repe sentantis , exqxiratur, id obti-

mitationum emadet Hora,ex cureta D SQ. I, euias ordinata OG.S V reeino AH rabis directionum in ceutrum L eonvergentiam VI, G I str in simili de istensione lucis diximur pag. i . & 18. orea axem IK remoluta proveniens, xam ad rasionem An uminclinatronis eam perpendiculis, ad tur duplicata ratio reeipro . ea disιntiorνm , iuxta θ stam in boe systemate gramitas decrescere in , or intelligiter si etes maxime interminatam fo

43쪽

De Circulo.

ret plaη- ΚG ad partes G, adeoque imme se cor Megravatum, summa millominus gravitati um ita foret patet ex elux Mala, nempe ex dicto solido eum Ist D circa IK retrita, quati dulo eulindri ex quadraιο B generati , αν ostendimώr L. ct sanὸ non magis , aut minus an itum, illud planum ab imis. menso ejusmodi corpore gravaretur quam be-Dberica suns..

eies ex quadrante B Ic producta ab aea. crasso ito corpore μbi incumbeate. Si meia iacumberet grave fluidam, arat surdam saperficiei convexa θbera ΚοHI , gravitationes forent rectis noea simplicitas dista auiis, ut is p emo exemplo pag. 18.

quamur, vix alium tam iucunda caue latronis exitum iam nisemm , itaque eadem methodo perquirendas aliarum figuraram gravitationes Lectoribus remittimar.

M o N IT V M. HUjus Propositionis Orollariis adnecti debuerant supra ad pag. ra. quae inter Addoda, O NManda psi iis editionis ad calcem libelli observaveram, nunc vero,' &s aliquanto serius animadverterim additionem hanc esse faciendam , saltem post Scholia, antequ m . ad aliam Propositionem gradum faciam , hoc Ioco renoqenda ce sui, non sine aliquo auctario, Quod praemisso um etiam Schpliorum doctrinam poterit illustrare. s. itaque primo observavi meretur, quod etiamsi IX non

esset ipsis HL, GK normalis, & qtiamsi pro semicirculo

supponeretur quaevis alia figura. IH Κ, pro quadrante BIΚ substitiae tetur figura orta ex ramis I M proporti

ne mediis inter inclinatas I G , & interceptas Ι Η, modo a plicatae GD ipsi diametro IK parallelae ae*aales. etiamnum scirent abscissis IL, esset spativin figurae ΚMBI subduplum totius D JΚG,& qme vis portio MIT subdupla patiis correspondentis D SVG; Indefinith enim se. E a

44쪽

lindrus ad soliduni , ut triangulum GlΚ ad spatium Η Ι; per erim triangulum GV ad simile adiacens lateri I Η, qu- instraemetur figurae H FK I, est ut quadratum G I ad' quadratum vias udi circulus progenitus ex radio NGachiarsum radio m , sive ut cylindrus ex parallelogrammori ad cylindrsi solido inseriptum ex parallelogrammo Dis, ovistentibus tam triangulis G Ig, quam cylindris Ne, i Moemi aequalmus. Rem , si placet , ad Veterum normam exigito, egω genetaliorem veritatum harum fontem inis

innasse cometrius , exhaurire non curo.

a. Ite CorollaxiUL & III. Feris generatim uerifieantur , mmaeo enim illorum rectangulorum D P Κ, &, I K in G L aequalitas, θε rotundi solidi circa asymptoton cum duplici annulo ex. figura ΚHI circa ipsas NI, KG revoluta genito. 4. Quin

45쪽

. Quin illud addo, perpendiculariter erectis ad singuiala puncta cujusvis curvae, etiamsi infinitae, I Q So sinibus rectis inclinationum talis curvae, sive ejus tangentium in iisdem punctis ,ad Ordinatas Q L, SC , D Por1ridine superficiem aequalem rectangulo sinus totius in axem I P, idemque in qualibet ejus portione verum esse , cum illa se scala intensionis lucis, vel gravitationis Curvae, hoc vero intensionis rectae IK pereainem paralselas N I,Do&αs iuxta dicta in Schol. a. & 3. I quae ista cum te erant eandem luminis, aut pressionis quantitatem, debent esse aequales; id quod vel hinc geometrich confirmatur,. quia Dd ad A. seu p PM c ut sinus totus ad sinum ainum anguli, nino tactum extremorum, nempe sn recti in ei mentuin cunuae Dai, quatur iacto m aerum, scilicet rectangulo ex sinu toto in P, atque id se me quare M. Vertan is nimis longo diverticulo in viam praeci i n

MAnifestum est enim, lineas IK, seu B V, & YN,iN , i N, A N M. esse continue proportionales in

ratio

46쪽

ratione quadrati NI, ad I B, seu G x ad XI . nam Husmodi muta suit proportio primet ad secundam, primet vς had tertiam duplicata , ad quartam triplicata , ad tam quadruplicata prioris, ob indices potestatum abse Tum, quibus respondent, per eandem hinarii differentiam arithmetich crescentes , ergo per prop. 3. erit ubilibet fin versus I L arcus corres ndentis IH, vel ipsemet GD o dinata ad curvam DSQ i, de qua in prop. 4, aequalis omnibus fimul proportionalium ejusmodi differentiis alternhsumptis V a, 23, 43 &e. & hoc semper: quarh totum spatium DSVG eκ praedicta curva ad partes DG infiniis longum squabitur omnibus numero, & longitudine infiniatis hyper latum differentiis alternis YJ V ir, et, V , 3, 4. V , 3 &e. quarhelan mss. q. quadrans BKI, seu Circulus diametri aequalis spatio infinith longo D SVG, aequabitur dictus Circulus propositis hyperbolia eis differentiis. Quod erat Elc. COROLL. I. Idem obtinet de partibus, qudd nempe infinitae portiones ex iisdem supra designatis hyperbolarum differentiis, puta Y I ,1,a, , 3, 4 33 &c. aequales sint spatio Ggd D , seu duplo sectoris correspondentis

COROLL. II Ciamque tum integra illa hyperbolic

47쪽

De Circulo aue

spatia sint quadrabilia ex generali doctrina, quam dedimus sa Hugeniavi, cap. 8. u. II. tum quaelibet eorum portiones sint propterea notae dimensionis , erunt & integrorum , & partium differentis noto rectangulo aequales, unde & circuli, & se ris cuiuslibet quantumvis vero Proxima quadratura ,&dimensio geometrict innotescet , quod

rem per amnes impares mνmeres ex ordine succedeures , erit . e Cir simaqsalis in ita seriei ex stin alterna. tim additis, duram ae , iamira πα

HAEc est celeberrima Summi Geometrae Leibnitzii Quadratura , quae ex postis principiis se brevissimh osten-.ditur: Per dicta loco citato Hugenianorum quodlibet hype bolicum spatium est inscripti rectantuli, idest in pro PQ, sto quadrati V BIΚ , talis pars , qualem designat fra Gio H , exprimente x gradum ordinatarum i qui lila est unitas J &si gradum abscissarum qui est quilibet par, a. q. o. g. &c. adeoque primum hyperbolicum spatium est s X J, secundum L , tertium M , atque ita dein- ςp , nempe Α , fBl, fCJ, D , E &c. Circulus ςIgo, qui perprop. ν redaequatur disserentiis dictore spati xum, posito quadrato diametri I X ra x, fiet aequalis seriei A - BJ- fCI--sDI--s --εα. Quod erat&C.D Sc

48쪽

Pars Prior

49쪽

De Circulo.

Dico , sinumam ex omnibas barum terminorum disseνemiis es

supra , prop. 3. , adduΣimus, videlicet. Quoniam proportionalium disseientiae omnes continuh sumptae χ r , 33, 23 , 34 &e. sunt in eadem ratione proportionales, eaedemque interpolatim acceptae Y 3, 23 , 43 Sc. iterum continui, proportionales in duplicata pilorum ratione, habebimus duplicem seriem proporti0nalium ab eodem primo termino Y x incipientium, quare per propos a. aD gregatum ex omnibus terminis prioris seriei Υ 3, 32, 23,

34 &e., nempe ipsa Y G his omnibus aequalis , ad aggregatum ex terminis omnibus , posterisIis seriei X x, 23, Da 4

50쪽

28 Pars Prior

que &c. erit, ut differentia duarum Y et, et 3 ad differet tiam duarum Y x, ta; est autem differentia duarum Y t. 23 aequalis duabus simul differentiis Yt ab ri,&ta ita, igitur ut aegregatum ex duabus da Terentiis trium, continuh proxi norum terminorum ad majorem eiusmodi differentiarum, sive, ob analogiam terminorum proportionalium cum suis differentiis, ut aggregatum ex duobus erminis continua acceptis ad majorem ipsorum, nempe

ex constructione, ut duo simul quadrata G R, HI, vel ut unicum quadratum G I ad quadratum I Κ , sive ut G Fad i H , vel Κ I ad IL, ita Y G ad seriem eiusmodi differentiarum alternh sumptarum, est autem xl aeqiralis YGex hypothesi , igitur & 9 L praedictis omnibus simul differentiis aequatur. Quod erat &α COROLL. I. Eadem constructione facta ad singulae pui cta G tangentis V Κ, manifestum est, lineas Y G comple, turas quadratum V Ks b, & lineas Gi trilineum parab is quadraticae b i Κ , lineas autem G a trilineum parabolae quadraticae b 1Κ, & lineas G a similiter esse ad parabolam quadratocubicam , atque ita deinceps; reliquas esse ad altiores parabolas, quarum dignitates V K , GK on nilaus ex ordine paribus numeris denominamur : sic iniim