장음표시 사용
441쪽
sis, versus duas aut plures diversas partes r eorpus illud viribus Hispelli aequaliter aut inaequaliter e, illas verb vires augeri aut minui indesinenter, secundum proportionem cognitam , qualemcunque illam assignare libuerit. Iam petitur quam viam illud corpus insute re debeat; quo in loco debeat adesse momento assignato; qua celeri
tate debeat procedere ubi pervenit ad talem locum alia similia. A puncto A, unde eorpus motum suum incipere supponitur,
debent ante omnia describi lineae indefinitae AB, AC, quae eminciunt angulum B A C, si sese mutub secent e namque A B, MAC, sunt in directum positae, nec sese secant, quum motus quos eX primunt directe sunt oppositi. Ita distincte repraesentatur imaginationi. Vel, si mavis, sensibus, iter quod sequeretur illud corpus si ab una tantum ex istis viribus, de quibus supra, impelleretur versus alterutram partem B, vel G2. Si vis quae illud corpus movet versus B, aequat vim quae illud movet versus C, debent secari in lineis A C, & AB, partes& ι, ιι, ιι I. iv, aequaliter dissitae ab A , Si verb vis
442쪽
moVens corpus versus B , duplo major est quam vis illud movens versus C, partes secantur in AB, duplo majores ijs quae secantur in AC; Si vis illa est subdupla, partes sxibduplae secantur. Si vis
sit ter majω aut ter minor, partes secantur ter majores aut terminores. Istarum linearum divisiones adhuc exprimunt imaginationi magnitudinem diversarum virium quae aliquod movent corpus, &eodem tempore spatium quod, illis impellentibus , potest emetiri. 3. Per has divisiones ducuntur lineae parallelae rectis AB,&AC, ut habeantur lineae iX, a X. 3X, &c. aequales lineis Ar, Ara, At ιι, &c. & IX, ii X, iii X, aequales lineis A i, Aa, Aquae exprimunt spatia, quae corpus, viribus illis impulsum, potest emetiri, & per intersectiones istarum parallelarum ducitur li- .nea A XYE, quae repraesentat imaginationi; prim b veram magnitudinem motos compositi hujusce corporis, quod concipitur impulsum eodem tempore versus B, & versus C, duabus viribus diversis, secundum talem vel talem proportionem; Secundo Viam quam insistere debet : Denique omnia Ioca in quibus debet esse certo tempore determinato. Adco ut haec linea non modo utilis sit ad sustinendum mentis visum , in investigatione omnium veri tatum detegendarum circa quaestionem propositam ; vertim etiam modo sensibili, & evincenti, illam resolvit. Prinid haec linea A XYE, veram exprimit magnitudinem mo-VMel νtus compositi. Nam manifestum fit, qudd si vires quae illum producunt motum, pollini separatim promovere corpus illud ad unius pedis spatium intra unicum momentum seu horae sexagesimam
partem, motus compositus erit duorum pedum intra unicum momentum , si modo motus compositi sint persectὲ aequales; tunc enim suffcit addere AB, ad AC. Si verb motus illi non possint omninb aequari; compositus A E, alterutrum componentium A B, vel AC, magnitudine superabit, linea Y E. Si veth motus illi sint oppositi aliquatenus, compositus alterutro componentium minor erit, line1 Y E. Si verb sint penitus oppositi, nullus erit. Secundb haec linea A XYE, repraesentat imaginationi iter quod sequi debet illud corpus: & sensibile est secundum quam proportio nem ad unam partem magis pro rediatur quam ad aliam. Mani se etiam fit omnes motus compos .cos esse rectos , ubi unusquisque componentium semper idem est, quamvis inter se inaequales sint; vel ubi componentes sunt semper aeqes es inter se, quamvis ijdem . semper non sint. Denique manifestum lineas his motibus destri Dras, esse curvas, ubi componentes sunt inaequales inter se, nec semper ijdem sunt. Denique haec linea repraesentat imaginationi omnia loca in Quibus corpus illud, a duabus viribus diversis versus
443쪽
diras partes diversas, impulsum existere debeat: adeb ut possit praeeῖ- se assignari punctum ubi corpus illud esse debet certo momento. Si scire cupias ubi , exenipli gratia , principio quarti momenti esse debeat; dividendae sunt lineae AB, vel A C, in partes quae exprimant spatium , quod, viribus illis separatim impellentibus, corpus illud posset emetiri intra unum momentum; deinde oportet sumere tres ex istis partibus in alterutri ex duabus istis lineis;ac postea ab initio quartae partis deseribere lineam 3X,parallelam rectae AB,vel viX, parallelam rectae A C. Namque evidens est punctum X, quod alterutra is harum parallelarum determinat in linea A XYE , designare lacum ubi corpus illud esse poterit initio quarti momenti mot sui. Itaque haec ratio examinandi quaestiones non modo sustinet visum mentis, vertim etiam illarum solutiones ostendit ;& ipsis satis assertium inis ut ignota ex paucis cognitis possit retegere. . His praemistis; sussicit, exempli gratia, duntaxat scire, eorpus quod erat in A, eerto tempore, alio tempore in E , reperiri, & vires diversas illud impellere per lineas emcientes angulum datum .
qualis est BAC. id, inquam, scire suffcit; ut lineam ipsius motos
compositi deprehendamus, & varios gradus celeritatis motuum simplicium: dummodo sciamus motus istos esse aequales inter se aut uniformes. Ubi enim habentur duo puncta lineae rectae, habetur linea integra ε, & potest comparari linea recta A E , seu motus compositus
cognitus cum lineis AB, & A C, hoc est, cum motibus simplicibus
444쪽
Iterum si supponatur lapis impelli ab A, Versus B, per motum
uni rmem, sed descendere Versus C, per motum inaeuualem, similem motui secundum quem corpora gravia vul3b raeduntur tet ' dere ad centrum terrae, hoc est, spatia quae percurrit inter se uaricem esse, veluti qι adrati temporum quae insumit in illis Dercurrendis; Iiscina quam describet erit semper pa Bia, & poterit summa cum ex ctitudine determinari punctum ubi erit certo momento mollis sui. .
N mque si primo isto momento corpus illud, spatio duorum' pedum, ab A versus C cadit, secundo inom o spatio sex pedum ;tertio, decem ; quarto, quatuordecim; & impellatur motu unilam mi ab A, versus B, quae linea longa est sexdecim pedibus, manifestum est lineam quam desciibet sole parabolaim, cujus pC-m longu. Orit
445쪽
pedibus octo. Nam quiaratum applicatarum , seu σνdinatarum diam tro, quae indicant tempora & motum regularem ab A, versus B , aequale erit rectangulo paramem per lineas indicantes motus inaequales& acceleratos e & quaitarata applicatarum , hoc est, quadrata temporum erunt inter se ut partes diametri incluta inter pulum lc applicatas. I 6. 6 4 : e 2. 8. 64. I 4 : : 8. IS. &e.
Ut id manifestum evadat sussiciet considerare sextam figuram. Nam semi-cticuli ostendunt A a esse ad A , hoc est, ad anisatam a X, ipsi aequalem , ut a X est ad A 8. A is esse ad A ia, hoc est, ad appluuiam I S. X, ut i 8 X est ad A 8 , &c. Atque ua re resa A 1 per AS & A i 8 etiam per A 8, esse aequalia quadratu ex 2X, Sc13X, &c. Ac per consequens ista quadrata inter se invicem esse ut
icta rectangula. Lineae paret telae ad A B & ad AC quae secantur in punctis X.X.X manifestb etiam ostendunt quodnam iter corpus illud percurrere de- beat. Indi eant loca in quibus illud debet esse certo tempore. Oculis denicue repraesentant oram magnitudinem mollis compositi &ipsius
accelerationis, tempore determinato.
Insuper silpponendo corpus moveri ab A versus C inaequaliter, ut etiam ab A versus B: s inaequalitas par est principio & semper, hoc est, si in qualitas mollis istius corporis verssis C similis est inaequalitati motus versus B, vel si augetur eadem proportione, linea quam describet erit recta. Sed si suppo sesse inaequalitatem in incremento aut in ditanutione motuum simplicium , quamvis inaequalitas illa silpponatur pro Iubitu, tamen facile erit invenire lineam quae repraesentet imaginationi motum compositum ex motibus simplicibus , exprimendo per lineas istos motus , & istis lineis describendo lineas parallelas quam sese mutub secent. Nam linea quae per omnes intersectiones ista-xum parallelarum transibit, repraesentabit motum compositum existis motibus inaequalibus , & inaequaliter acceleratis aut dimi
Exempli gratia, si supponamus corpus moveri a duabus viribus. aequalibus aut inaequalibus, prout libuerit; unum ex his motibus semper augeri aut minui, secundum progressionem Geometricam aut Arithmeticam quamlibet, alterum verb motum augeri aut mia nutetiam secundum progressionem Arithmeticam aut Geometricam quamlibet, ut inveniantur puncta per quae transire debet linea quae mentis & imaginationi repraesentat motum comPositum horum m-
446쪽
' Ante omnia deseribendae sunt, ut jam dictum est, duae Iineae AB & AC, ad exprimendos duos motus simplices, & dividendae
Hae lineae secundum suppositionem alceleramis horum motuum. Si 'motus expressus per lineam A C supponatur augeri aut minui secundum hane progressionem Arithmeticam ψ' 4, s , diu, denda est linea in punctis ι, a, 3, 4, 1, si ve 6 motus designatus per lineam A A supponatur augeri secundum progressionem duplam ι, a , 4, 8, Iue , aut minui secundum progressionem su ' 1 I I. duplam 4, ε, I, dividenda est linea in punctis notatis
I, 2, 4, 8, Is, aut Φ, λ, I, -- -- Deinde per has divisione, z, Φ, 8, ducendae sunt lineae parallelae ad A B, & ad A C ; & linea A E, quaeu debet exprimere motum compositum quaeium , transibit neeessari, per omnia puncta in quibus istae lineae parallelae sese intersecabunt. Atque ita deprehenditur via, quam illud corpus 'motum insistere
Si quis exacte cognoscere Velit, quantum temporis elapsiam fuerit, ex quo corpus illud incepit moveri, quando ad certum punctum 'rvenit ; lineae parallelae ductae ab isto puncto ad AB, aut ad AC id indicabunt, nam divisiones lincar Α Β & AC, denotant tempuMPariter,si quis scire velit punctu ad quod corpus illud pervcnerit certo tempore; lineae parallelae ductae ex divisionibus linearum AB&AC quae repraesentant illud tempus, indicabunt inteisiectione sua punctiun petitum. Ad distantiam loci unde incepit motum suum , quod ea poterit sumper facile cognosci dueendo lineam ab illo, puncto Versus A: nam longitudo istiuS l .neae cognoscetur per relationem ad AB, vel ad AC cognitas. bid quod attinet ad longitudi-
447쪽
nem itineris quod corpus illud entensum fuerit ut perveniret ad Illud, punctum, dissicile erit illam cognoscere , quia clam linea motos i sius, A E , sit curva , non potuit reserri ad ullam istarum linearum
Si quis verb vellet determinare puncta infinita per quae eorpus iuIud transire debet, hoc est , accurate describere & per motum conti nuum lineam AE; comparandus esset circinus cujus pedes accurate moverentur, juxta conditiones statutas in suppositionibus supra factis. Quod saepe inventu dissicillimum est, facta impossibile, M
satis inutile ad deprehendendas relationes rerum inter se, quoniam non solet esse necessaria cognitio omnium punctorum quibus con stat illa linea, sed tantum quorundamquet conserunt ad imaginati nem regendam ubi considerat taIes motus. Haec exempla suffciunt ut ostendamus plerasque ideas nostras posse imaginationi exprimi & repraesentari per lineas ; ες Geomςtriae, quae omnes docet comparationes seu collationes neces larias ad cognoscendas relationes linearum, usum longius patςre quam Vulgbputatur. Etenim Astronomia, Musica, Mechanicae Artes , & in ge- inere omnes scientiae quae agunt de rebus quae suscipiunt magis & minus, quaeque per consequens considerari possunt ut extensae, hoc est, omnes scientiae accuratae, possunt referri ad Geometri na; quia omnes veritates speculativae , clim dunt xat consistant in relationibus rerum, & in relationibus relationum, possunt omnes referri ad 1ianeas. Ex ijs multae consequentiae possitne GeometricE deduci; Mistis consequent ijs per lineas quibus repraesentantur, factis sensibilibus, Vix ullum est erroris periculum, atque ingentes progressus inscientijs seri, hoc pacto, 'cillimE possunt.
Causa, exempli gratia, cur in Musca distinctὲ eognoscitur &Praecia notatur octava, quinta, quarta, ex eo est qubi soni exprimantur chordis exacte diviss; dc quia notum est chordam quae sonat octavum tonum esse in proportione dupla ad aliam qua emcitur octava, quintam esse in proportione sesqui altera, aut duorum ad tria, & sic de caeteris. Namque auris sola de sonis cum praecisione,& exactitudine requisita in scientijs judicare nequit. Peritissimi Musici Practici, qui auri pollent delicatillima & subtilillima, nondum tamen sunt satis sagaces ut agnoscant disserentiam quae intercedit inter quosdam sonos; & nullam esse sal s. sibi persuadent, quia de rebus judicant duntaxat per sensum suum. Sunt qui nullam admittunt
differentiam inter octavam, & tres diremis. Imb nonnulli arbitrantur tonum majorem a tono minori non dissore , ad ut comm t quod
constituit discrimen, ipsis sit insensibile , & potiori ratione
quod est tantum dimidia Pas cimiininu. Soli igitur ratione manifesto comperimus, qubd, eum spatin
chordae quoa essicit diuerenti. intra nonnMjos sonos , sit divisibi
448쪽
Ie In plurimas partes, possunt adhuc esse permulti varij soni utiles& inutiles ad Musicam , quos auris discernere nequit. Unde liqui- db patet sine Arithmetica & Geometria Musicam accuratam S exactam nobis futuram fuisse ignotam; aded ut si in hac scientili ali- uem faceremus progressum id casu fortuito vel imaginationis ope eret. Sicque Musica non esset amplius scientia demonstrationibus certis innixa ; lichi cantilenae vi imaginationis compositae dulciorescantilenis juxta leges accuratas saetis, videantur. Pariter, in Mechanicis , gravitas alicujus ponderis, & distantia centri gravitatis hujus ponderis 1 sulcimento, cum possit sussi ere magis & minus, utraque potest exprimi lineis. Itaque maximus est Geometriae usus ad retegendas & demonstrandas innumeras machinas vitae utilissimas , & menti ob evidentiam suam jucundissimas. Si, exempli gratia, pondus datum, ut sex librarum, constitue- te velis in aequilibrio cum pondere duntaxat trilibri; & pondus illud sex librarum adhaereat jugo trutinae distanti ab ansa duobus pedibus; dummodo scias principium generale omnium Mechanicarum; scilicet, Pondera ut maneant in aequilibrio, debere esse in proportione reciproca cum ipsῖrum distantiis ab ansa , seu agina ; Hoc est , pondus unum debere esse ad alterum pondus, ut quod distantia, quae est inter ultimum pondus & ansam , est ad distantiam primi ponderis ab eadem ansa ; facile erit deprehendere per Geometriam quaenam debeat esse distantia ponderis trilibris , ut fiat aequilibrium , inveniendo juxta duodecimam propositionem sexti Libri Euclidis quartam lineam proportionalem, quae habebit quatuor pedes longitudinis. Itaque, simodb teneatur principium fundamentale Mechanicarum, possunt retegi cum evidentia omnes Veritates quae ab ijs pendent , applicando Mechanicae Geometriam, hoc est, exprimendo per lineasquςcunque in Mechanicis consideranda veniunt. Lineae & fisurae Geometricae sunt igitur aptissimae ad repraesentandum imaginationi relationes quae sunt inter magnitudines, vel interres quae differunt secundiim magis & minus, ut spatia, tempora, pondera, &c. tum quia sunt objecta simplicissima, tum quia facillim E imaginationem subeunt. Inambid laudis Geometriae tribui posset, qudd lineae possunt plura imaginationi repraesentare , quam mens potest cognoscere; ciam lineae possint exprimere relati nes magnitudinum incommensurabilium , hoc est, magnitudinum quarum relationes non possunt cognosci, quia nullam habent communem mensuram qui possit feri comparatio 'Verum ista Ge metriae praerogativa non est magni momenti ad veritatis investigationem, quia istae expressiones sensibiles magnitudinum incommens rabilium, menti nihil afferunt lucis. Geometria igitur est utilissima ad reddendam mentem attentam rebus quarum resationes cognoscere Volumus. Illam tamen raroris
449쪽
occasionem nobis saepe praebere fatendum est, quia circa demonstrationes o identes & jucundas quas illa nobis subministrat, ita detinemur , ut naturae considerationem negligamus. Ex hac praecipue causa, oritur infelix plerarumque macninarum quae quotidie excogitantur, successus , Hinc est quod omnes Musicae compositiones, in quibus proportiones consonantiarum accuratis me observantur, non sunt omnium jucundillimae ; & supputationes Astronomiae exactis Iimae quantitatem, & tempus eclipseon haud accurate saepe praedicunt. Natura nequaquam est abstracta: Vectes, & rotae Mecha nicae non sunt lineae & circuli Mathematici : eodem modo omnes homines non sentiunt circa Musicae modulationes & concentus, immo ijdem homines varijs temporibus varie sentiunt. Opiniones circa id variae sunt pro varietate commotionis spirituum. Denique, Astronomiam quod spectat, nulla est periecta regularitas in Planetarum cursu. Cum in ingentibus istis natent spatiis a materia illos ambiente irregulariter admodum abripiuntur. Itaque e rores in quos circa Astronomiam , Mechanicam , Musicam,& omnes
scientias quibus applicari solet Geometria, incidimus, ex Geometri1 non oriuntur, haec siquidem scientia certissima est , sed ex falsa istius scientiae appl icatione. Exempli gratia, vulgbsupponuntur Planetae describere motibus
suis circulos &ellipses perfecte regulares; id verum non est. Illa tamen suppositio est necessaria ad ratiocinandum, nec est prorsus illegitima quia parum abest, quin id verum sit r At semper recordandum est, principium quo nituntur ratiocinia esse suppositionem. Pariter,in Mechanicis supponuntur rotae'& vectes,&c. persecte dura esse,& similia lineis & circulis Mathematicis, sine gravitate, ac sine confricatione : seu potius ipsorum gravitas, confricatio, materia, & relatio horum omnium inter se satis non considerantur; non attenditur, duritie, aut magnitudine augeri gravitatem, gravitate augeri confricationem, confricatione diminui vim; ac paulatim rumpi & destrui machinam ; atque hoc pacto quod pene semper jn parvis suum
potest sortiri effectum, in magnis vix unquam eX Voto cedere. Mirum igitur non est si toties errent homines, dum juxta principia haud accurate cognita, ratiocinantur; nec arbitrandum est Geometriam esse inutilem, quia nos ab omnibus nostris non expedit erroribus. Suppositioitibus semel factis , illius ope rectas elicere possumtis consequentias. Dum illa nos attentioni assuefacit ad ea quae consideramus, eodem tempore evidentem illorum cognitioncm n
bis conciliat. Immh ipsius ope dignoscimus quandonam suppositiones nostrae sint falsae. Sed sine Geometria& Arithmetica in scien-lijs accuratis nihil quod paulo dissici us sit, potest retegi, quamvis caeteroquin certis nitamur principijs.
450쪽
Geometria igitur habenda est tanquam species qu dam scientiae
Universalis, qua ingenium acuitur, attendum redditur, &ebii dustriae adducitur, ut imaginationem temperet, & ex ea auxilium sibi necessarium mutuetur; namque Geometriae ope mens imaginationis motum temperat, & imaginatio moderata visum & applicationem mentis sustinet. verum ut Iegitimus Ceometriae admittatur usus, observandum
est omnia quae cadunt sub imaginationem, eadem facilitate non ob-yci imaginationi ; omnes enim imagines, qualiter non implent mentis capacitatem. Solidum difficili lis imaginationi objicitur quam planum, & planum difficiliusquam simpli linea. Plus enim adhibendum est cogitationis in visu claro solidi, quam in visu claro pla-Di , &lineae. De diversis lineis res eodem modo se habet plus requiritur cogitationis , hoc est, plus ea pacitatis mentis, ad sibi reprq- sentandam lineam parabolicam, aut ellipticam, aut quasdam alias magis complexas, quam ad sibi reprςsentandam circuli circumferentiam; & plus ad circumferentiam circuli quam ad lineam rectam; uia dissicilius imaginamur lineas descriptas per motus valde compotos & multas habentes relationes, quam lineas descriptas per m tus simplicissimos, vel pauciores habentes relationes. Cum enim relationes non possint clare percipi sine attentione mentis ad plura, ebmajori opus est cogitatione ad eas percipiendas quo plures sunt numero. Dantur itaque figurae adeo complexae ut mens satis non habeat
capacitatis ad eas distinctὲ imaginandas; sed aliae etiam sunt quas
mens multo facilius imaginatur. Ex tribus angulorum rectilineorum speciebus, nempe acuto , T
cto, & obtuso; solus rectus excitat in mente ideam distinctam &fixam. Innumeri sunt anguli acuti omnes inter se diversi; de obtu-ss res non secus se habet. Itaq; quum imaginamur angulum acu tum , aut angulum obtusum , nihil exacti & distincti imaginamur. At verb ubi angulum rectum imaginamur nullum est erroris pericu-
Ium; idea illius est distincta, quin & imago quam de ipso formamus
in cerebro, ut plurimum satis accurata est.
Possumus equidem determinare ideam vagam anguli acuti adiciam specialem anguli triginta graduum, jam autem idea anguli triginta graduum non minus accurata est quam idea anguli yo. graduum , hoc est anguli recti. Sed imago quam de ipse nobis efforma-
ac conaremur, enet longe miniis accurata quam imago anguli recti.
Hujus imaginis repraesentationi assuefacti nondum sumus, nec possumus illam formare nisi cogitando de circulo, aut parte detei minata circuli divisi in partes aequales. Ged ut imaginemur angulum rectum, cogitatio illius divisionis eirculi neeessaria non est ; sola lμneae perpendicularis idea sufficit imaginationi ut formet imaginem hujus anguli, neu mens ullam patitur dissicultatem ut sibi repraesen