장음표시 사용
151쪽
DupI, Interuallum m duolnis marimis superparticularibus: se'iustero attolsesquitertio coniungimr.
cAb aequaliteri e sesquitemus. niam olim a sesqGuer est ad b:ergo per e lauani bulas duo a equi sunt ad rem dici rursusquia dis usuratius ad Civinar per eandem reat equi sum quattuor Cet trest ponti summus duobusta.diis igitur a mulsum ad quattuor cumquecunmini eidem equalia sunt inter se sint et equalia et quattuor muneruo mino rum collectoriam duplex est dilorum numeri sciri collectoram maiorumigitur per precedentem unus a is plex erit ad num c.quod erat demonstrandum.potest et boc, ulmum etiam demonstrari. ronsam in duo equi sunt quattuor e reuo a per octauum proloculum equus est duobus c. quorum enim tota est sint eteozuin quom dimidia sunt equa. Et duoedupli sunt viruis. Usture mirus a duobus cmuue: duplex erit evniuo quod uisis monstrandum.
EX duplici interuallo sic sesqualtero triple nascitur interuallum.
quoniam enim a ad biupletest:ergo a perdiffinitionem continet hiab. igitur aequatur duo ob et aula bsesqualteres ad Clgitur b contiitele et e tuo partem dimidiam. ergo per octaliam ius duo b equi sunt tribus cre duo b equi erant uni a. igitur et tres cedui eruntvnia. tua autem triplex stiri unius. igitur per decimam unus a triplines inlus e.quod erat demonstrandum.
Duo duplicia interualla: quadruplo coniungunt interuallunt. A. duplex intemauum. n. geminatum duplex interuallum.
cnade sesquitertius. Lostprispositum terminum reperire ad quem sesqualterum et sesquitertium valeamus as lignare Capso duo et titi numeros denominante partes sesqualter atin sesquitertii duo siquidem sesqualterum et tria sesquitertium nominant. et duco duo in tria: proueniatae ductu suo e manifestum est iubabere partem dis midiam paritari tertiam . iungo ad cpartem eius dimidiam:et compositus sua.el iterum ad elango pars rem esuo tertiam:et sit compositu b.quoniarn enlinis continere et tua partem dimidiar ergo per diffinitiosncina ad c sesqualter est. et quoniam beontinete et esus partem tertiam: itidem ad sesquitatius eigiatur repertus est terminus ad quem petus superparticularea rite sunt assi all. et bac lege de quibusti tine operandam:uin essent assisandi sesquiocta uua re sesquinonus: due octo in nouem resutaciterminus octauaminonamini ri possidens rad quem et sesquioctauum et sesquinonium rite assignaueris. et eosdem quom Paco modo treo: modo quattuor aut quoti uocubuerit ad eundem terminum amnabis.
aevelet sesquioctatui. ducamrtruiquattuor qui να ocio instinuicem re proueniat equi idcirco bis in se tertiami quartam quintam et octavam. Bdiungo e suam tertiam compontusi sic resuam quartam re compos o sub. bam quintam compositus sit c.suam denim octauam compositu sit d. duo demonstratione luperiore: quoniaad e constituti sunt a diis ustalla, sesquiquartust quiquintusiciis lactauue:quemadmodum Pro monstrat sormula.
152쪽
Si sesqualtero intentatio sesquitertium demptum fuerit interuallum: erit quod res
taad disesquioctavus. si Suete inuo adque per precedente assignari sinita sesqualter: tbsesquitertius ab aes aualtero
si tuo interuallum sesquitertium bc relicto interuallo audi quod duo esse sesquioctauum. quoniam munia eius quod es cestseluualterra semel habet celeius dimidiam paracm. quare per octauam tuomis aequi sunt tribus c. et quattuor asere. et octo a ad duodecim c. Hurius quoniam huius duodeste quitertius est. bigitur tradet in secet elueteritam parum. quo fit ut Per e m octauiam tres binus sint quattuor cet exi octo e et norat ad duodecim cat octo a quis equi errat ad duodecim e. itur octo a mulsunt ad nourb.perdecima igitur a continet bet eius octava parum. em a sciuuioctauus ad bet xpolia.
Interualli quartam duodecina unam eius tertiarum restituunt.
g Nam quattuor interualli quarte totum complent interuallum. et duodecim riusdem intereant duodecisme:totum itidem complent interuallum.Quare quattuor quarte et duodecim duodecime adinvsmn eqvan tur.due igitur quarte ex duodecimis let una quarta tribus duodecimis sunt eque quorum enim totaequa sint et eorum dimidia. Et quattuor duodecime: duodccim duodecimarum sunt una tertia quare et una tostiua tertia cui quidem duodccim ille duodecime co oscuntur osse dematin eque una igitur totius quartaque tribuo duodecimio equa esse monstrata est et una duodecima illi adiuncta:totius tertiam partem resustuunt. Equantur enim una tertia et una duodecima quattuor duodecimis. quod erat demonsisandum. Et uiolNe demonsti alio sequentio gratia particuleriter lactanCpossis tamen motio consimili monsti a re omnem minorem cuiuscumvlorios interualli partem: proxime maiorem partem efficere: illi adiectam a partium a numeroqui ermum denominationum utriusq partium enascinires nominata ut totiua tertia
paro minorim et secunda proxime maior:et si duo in tria dureris sunt ser: idcirco una tertia atin disertaream restituunt secundam. Similiter quom quarta et quinta paries sunt proxime malor alui minori et nducioquini in quattuor surgunt vi Iinti: proinde una quinta et una vkcllina: nain quartam restituunti et inpactoli sequentibuo ut subiccta monstrata formula. Tertia et sina unam secundam efficiunt.
Quintactvicesima unam quariam. Cetra et tricesima unam quintam. Geptima et quadragcssmasecunda unam serram. a claua et quinquagessmasem unam septimanti Nona et septuagesima secunda. unam octavam.
Due proportiones sesqui laue: minores sunt sesquitertio Interuallo.
blαbsesquioctauao ade.et sita ad dsestruitertium intemallum. Dico a ademinuo esse interuallnmc arad. Quoniam iam a seruilioctauus est adt ergo per octauamn:usus octo aequi sunt ad nouem b. sed quia hetiam sesquioctauus est ac crper eandem octa bra nisi nant arca nouem e. Et cum vnnebeqnuo sit uni et octaue esuo. ergo nouem, uisunt decem cet octaue unius c.Tl qui noucm monstrati sunt equi esse octo Murtur octo aequi sunt decem cet octaue unius. Et decem et octaua unius continc octo semelle tuo quar iam et eius unam inagremamquartam.ergo per decimam butus unus a conisnet unum clunam eius quare tam re nam sexagesman uariam: et una quarta et una stragesimaquarta pcr precedentem minus sunt naterua:complent enim quaria et duodecimviram tertiam.duo igitur tesquioctaui minus sunt uno sesquitemno lateruallo. Quod erat demonstrandum.
Tres sesquio taui amplius sunt sesquitertio minus autem sesqualtero interuallo.
uus ergo per eandem ocioc equi sunt nouem diri nouem cenui cecem det octaue uniusci ccina equi mdecim et duabus octauis.ci cum ocio Ocrauec confineant nouem te ergo per decimam tu tuo una ocia vaccontinet octauam det clue octauam pariem: hoc est unam seri siesman quartam. Decem ogo et una
octauamlua equantur undecim di tribus octauis ira ni strages mequarie.et perdecimam vivi dccim et tres octaue et mascasscsmaquarta ad octo:ita avdd. sed decim conunent octonos lemel tres eorum
153쪽
paruolue octauaolet unam stragesImrquartam Uure ac tres octonorum partes amplius flant tensa eos
rem parte.Superant mi inausa tonarii paruerimiam eiiisdem partem trientem tuo:boc est utri unius parte a fortios igitur tres octonora parus et tres octaucvnius et na stragesimanuaria ita ampliua tunt tertia octonorum parte. continent ergo decimi ire octaue uniue et rara seramunequaris: octo semel et amplius eorum parte tertia .Quare et a contineti et amplius tertia eius perte. Est iram, ad damplius sesquit: tio interuallo. Sccsido dico arad minorim esse sesqualtero interuallo. Nam undecim continent octo et tuo octauae: est ergo una octava ad complendas quattuor octauas que sunt octonoriim dimidium. At vero diu superant: tres octaue uniuel et unal cragesimaquarta minus efficiunt dimidio unius octaue. qua re et multo minuo efficientina octaua .undecim ergo et treo octauel et una serasscsma quarta unius continia octo semel et minue octonorum dimidi .ergo perdecimam pulus et a continei dicmel et minus eius dimindio. Est tam interuallnma adiminus sesqua uero interuallo.
iattuor seiqiu octaui coniuncti: sesqualterum superant interirat luna. T. quattuor sesqui
duale ad diretiuo ii adeo mo eadfquintus. fasit adsistatue dico quonia a ad gamplius es duplici in. teruallo .sQuoniam enim a ad disesquioctauus emergo per octauam huius octo a equi sunt nouem b. et noώvemt per eadem equi sunt deccmc et octaue unitio. et deccm et octaua unius: cqua sunt underim, remus octauis et viil sexagesime quarte unius. et undecim di tres octauel et una stragesimaquam unius: equamne duodecim et in octaulo quattuor stragesimiequaritelet uni quingentcsime duodecime. duodecim aut et sex octave quattuor sexagesimecuariti et una quingentesma duodcrima: equantur tredecim fidecem octas vis decem stragesimi quartis quineti quingentisinio duodecimisi et i quarte millesime nonagesime serici Blucro dcccm octaue unum continent integrum et in luper duas octauas.quo fit iterum ut duodccimel sex octauelquanuor sexagesimequarte et una quingentesima duodccima: equElur quattuordecim fliu duo emulo decem sexagesimiequartio quini quingentesimis duodcc imis tetra quarte millesime nona. gesimestrae. T vero cuiattuordecimi due octa uel decem saagesim equarte cuin quingentcsime duodetis me letina qnaria millesima nonagesima serta: equa lunt illiin dcclmo et ocio Octauio suo hoc est equa sunt
sedecim si duodecim stragesim loquartis leuindecim quingentesimis duodecimis sex quarti millesimia nonagesimiosca uolet uni tricesimesecunde millesme septingere me stragesime octaue.Tt sedecim et dilodeacim sexagesimequariel et relique sequente particille continent octo bis et amplius. Igitur per dccimam ruitio aragmasus es duplici interuallo,sta igitur sesquioctaui maiores sunt no duplici interuallo ut intendit propositio. LEtsi hec proponti quo ad suam demonstrationem nonnullio subdifficilior videaturi hoc idcirco prouenici et illio promptitudo:vtendim habilitas octaae in ei decim butuo deerit. Idcirco paret consentanescierit eoo qui in musici modulationibus et earum conreptationibus se exercitare voleti mulatos sesquialteroo deinde sesquiterito et alios sequeres superparticulares colligereret usinus colluendarii in proportionum ipso iam su factus peruius patenset et quasi iam ipsa domesticiis.
L iniit a b c die quattuor coniuriti sesquioctaui:,adi primus bad c secundus cado tertiuolet, ad equar
tuo dico quoniam interuallumae ampζiu est sesqualtero interuallo. Ram ut in precedenti visum es octo aequi sunt undecimi tribue octaui, et uni stragesimequarte unius .et undecim di tres octauein tuo et una sesxagcsmacuaria: uatur duodecim et sex octauis quartuor stragesimis quartiel viii quingentes nae duos decla mergo octo aequi sunt duodecim e ser octauio quattuor stragesimi qua me et uni quingenten, duodecime. Et vero duodecim sex octav quatruor stragesmequar telet una quingentesima duodecima Gonnent octo semel et ampliue I octonorum dimidium:quoniam continent octo semel et dimidiumret insuper in octauao quattuor seragesmas quarta olet unam quingentremam duodecimam unius. Igitur per de s mam butuo a connet e semel et arripilus Q etuo dimidium. superat lassi a cinteruallum quattuor sesquiocta
uia coniuncis: sesquialterum interuallum.quod erat monstrandum.
O uinque conii incti sc squi Octaui: minus dii plici inter allo coniungunt.
C Nam per undecimam butuo duplex interuallum ex duobus maximio superparticulaributa sesquialterostiis et sesqui loconiungitur. Et constitutis quin v sesquioctaui tres primi sesquiomui: per decimam octauam duiuo minus sunt selqualtero intcmallo. et duo sequente lesquioctaui qui rea cum tribuo priori huo quini compuC per decimamseptima bulus minus sunt sesquitertio. coniungunt igitur quinin sesquia octaui minus duplici intcruallo. IO
154쪽
onsonantia est fons grauis acutio mimirra sua uster milariten autis bus incidens eκ multiplici aut superparticulari ratione prosecta. Dissos nantia est duorum sonorum non senatura suauiter miscentium: ad aurem perueni cs aspera: in iocitata cyperciissio. onus est consonatie principiure soni ad sonum sesquioctaua proportione prouenies. Semitonium minus quod didiesis dicitur: est tonii ars: qua sesquitertia proportio duobus tonis maior est.
Semitonium a ius quati vocat Apothomen est toni reliqua pars: Squa ipse semitoniti minus superat. Coma est quo sesqui cta ita proportio: duobus semitonis minoribus maiorest: quod Si deest quod Apothom clamitoni minus vincitae suprarat richisma est comatis dimidium. Dia schisma est dimidiu semitonii minoris. Hemispheri u musicia est iii strum ciui quod aut nemo aut chorde ut decet suppossim: semitonia: tonos coson aliasq;:d colanatiarii Parti las: adsensum puestigam'. Sonus em melis is est quo apte utimur in melo Ecmelis vero is dicitur: que melos conccturi no admittit Equales soni atq3 similes di tuta qui ea de interualli portione nascutur. Numeroru atq3 interuallorii pars ea maior est: que minore nam ero denomiatur: S minor denomiatur a maiore. Multipleκpportio maior est: qua maior denotat numer': Sminorq denotatur a minore. Supparticularis Opor stio maior est: que a maiore denomiatur parte. Minor utque denomiatura minore. num super datam chordam collocare.
E Sira derivrda queam supra quassu imur tonsi collocare diuido per citiam petitionem beatam ad in noctequa portioneaesta ut et illaru novenarsi octo teneat et aa unam. leo'ili atri et tona continennconstitusiti supra data bardani esse tonum .asa inia cl)orde spina a dicentinet pacisi ei et insuper octaua eluo paria:*acvntillata octauarsi equa sit. iguar perdiffinitione sparium a depogdoum: sesquis octauius est inacio ob.quare per priniam petitionem ea erit soni totius Gorde ab ad sonum c d proportio. Est itam tonus in eloua ad qui in epogdoallesquioctauam ratione consulit:collocatuo.
Tonum tono et quotquot libuerit: in data chorda subiungere.
c Elidata reotilia bis qua propositum sit treo consequenteo tomo subsungere partior per tertiam petistionem, in precedenti factum est spatium totius rorde at in nouein equa portiones. et in nota octaue portionis pono critim die octauas illarum nouem partium teneat .manitimam est per precedentem a det ehesse tonum et per eadem petitione partior parium c d in noue equa portione. . et in termino octaue pareticula pono drita uti Neontineat octo earum parisum quarum et nouem contine .per precedentem c d ad obsonationum estiniam Ustono:tonus unus subiunctuo. Hurium spatium diconsimili modo in noue'equas portiones diduco: et notam octa sectionio litterae designo: ita, et octo rata partium contine u quarum di continet nouem per precedentem di ad et resonationum.Sunt igitur laedata Gorda a bare. continue subitati toni: est,ailcb.cbldb. dbleb.quod erat propontum. doc pacto quotquot ludet sub iungere in facillimum est. Ein id sensu aperiri deprclmderem cupiaa post pulsum totius movit ab mps pone demi bolum chordeat hi signo c: ita ut sola pestivpat resonet. particula et et sensus ludicio prehendeo soni totia. at ad sonum ci esse toni interuallum Q ahemispberium transfer ad noram det mpulsu et di iterum tonum deprehendas sed ex totius a b sono ad sonum Niticule di duo tonost duo rumin tonorum interuallum perpendet auditus..de coacto senaeum iudi,quotquot voles tono depresen doe committierta et eorum mi auras tum suaveo tum inconcinita, quas auditu tanψ offensus horret refugitio decemendas.
Tonorum continuatoriam: minimos numeros assignare.
CIS, Oareviquatrum: him aut quotlibet tons sint continue in nervo di tum eorum minimos nanter reperienni Culi in nouit ocio misimi sunt niunctitoni duco noua in se et Pueni δι': nouem in
155쪽
octo prouenta : octo in se et pronenlate per vice rimu terra Eriissimcisera inter a bati sunt diis
sescrutomia in minimie numeria coistri: et xinde duo toni in minimis numerio connuam. Et si non diuolna b c et octo in cat surganti es g.per eandem inter de . tres sunt in minimio numeri sesquioagulcbnuutientiare de s sunt trium cotinuatorum tonorsi minimi numerLEt si ducis neum in dies et octo his et iurgant filam per idem quod prius dii ham quattuor continuersi sescusoctauor si minimi sunt numeri:quare et quattuor contintinia tonorum eis rursum hoc pacto ducto nouem in dii Illis et octo in m et surgant no pq re: ipsserunt quini continuorum tonorsi minimi numeri. et hoc modo quotquot tonorum voles minimos numeroe reperia Tttamen in modio muncio tot continue subiungere opus non est,sed os nio semitonia subiungunturi de quibus posterior proprius accomodus*πPectanduoes sermo.
Spacio'irolibet per quotlibet equa pacia diuiso totius ad tota proMime sectionis partem msnor est proportio Q eiusde partis ad tota reliqua proNime sectionis parte. Osro sit ut quato ton' tono subiugitur acutior tato ipsum cotractiora cotineat spatia
σι botisam nerv5Miam efflata aera latini illini et quidquid sonum edu in barinonicis modis vi iam
quom dictu est spatium,st pamue: in qum iratrisse ratio vim natur et seruat edd . Sit ergo ad totum spatium peracle videle stet reliquas nou equas partes ut fit in interuallo toni trabendo dilus sum:quotquot enim alia posuersa ira valuerit. dico minori esse a portione ab adcb Oebad druvlam cam postsi sit in nou equa parteo per mediae nctas cias et reliquos diui Ium ob continet lassi ars partia octo: quaru a b cotinet noue. ergo a b cotinet vacili et et elus octauam parte. sed et re et ocio parte partic o quae cotineat: ergo obcbtinet partisi totaru solum sepu. ergo chci tinet sparium ubi insuper elua septima parte. Et octava paro perdiffinitione minores parte scptimat igitur stercto diffinition ab ad ebproportio stipe particulario minor est d, et adit utpote que a minore parte denominetur est enim bec a septima parte sesqui septima proportio: illa vero ab octaua sesquioctaua.Etluc nomodo in superparticu I ribuo versi et quibuniberniedietati tui demostrat prima decim Trithmeticeo ubi sti I ratio medietas. eritbmetica coperiatur. quod et indicta pacddluistones sumpta ut proponi est proportione inirentumcdspiciebatur. I correlarisi vero hinc cognoscatur u torsi per quartaictitione ad sua pari graui sonate par asit ad fusi tota cuiluo. Iram n tono a b et ob tonsi ubisireris: subiectus erit ecutior. Et otii pactum clasn noue equa parteo partireturiquat ficue libcl minor erit spacto coquod eius octaua est: na quelibet earii est non ara malore numero denominata. Erit igitur et quelibet earn noue partium minor pactoae. equa sunt enim e et Od et doc pacto de quibuni t subiunctis acutioribus tonso esset dicendum manifesstium est igitur, qu to tonus tono subisigitur acinornato ipsum cdtractiora cinneat pacta.
Medio eκtremitatu toni spacto iduo equa diuiso ton minae in duo secatur eqlia.
L Decet sequentia intelliguntur ut tonui mininae in duo cqua ratione geometrici dirimatur non autem artibmetica.nam et bicton uotonique interuallum in duo equa tatic ne arithmetica direptum in ciuido ergo pactum ab ut prius in nouem equa fracia: pcr notas sic diei si h lith bn anisi si ista betcbesse tonsettremitate. tensim continere. Trico ergo quonia a cis edi eis re exirc mira id inerstitioin duo qua per nonnum I dirempto:tonus minime in duo qua paritatur let in cnus a b Lb.cqualis non sit L et ei diuido enim singula reliquo si octo equalia specioru conmili modo per equalia per nouem in ip qtrieli: mans festum est tolli fractu ab diuisum esse in Sequalia speciaque sunt allic midini elo et reliqua. ergo perpuredentem minor est proportito ab et ib*lbetcb.Est enim bec sesquirita decima. illa vero sesquiseptima becinui .non est ergo tonuo hoc pacto in duo equa diuisus. et soni abibletlbcb per diffinitionem adinvicem incit dileo qui quidem soni emesco sunt musicoet melo perparum apti.
Toni spacio hoc modo diuiso: totius nae die sectionis sonus maioris extremi toni
sonum acumine minoris vero grauitate superat.
Propontumerat monstrandum. NTonum in duo equa certo constituto numero diuidi ini possibile est.
LNam per quintam primi bulus nullum superparticulare intervalIum in pluraequalia dirimituri eleue proportio spacior interualli inter se ea quom est et sonsed sono. Erqui tonus ex superparticularinascitur interuallo.nascitur enim erepogdoa sesquioctauam ratio igitur ton minime in duo equalia dirimituri diuiditurq .lmmoxo nem in plura duobus equar lintria aut quan uor. I Er quo facile coanoscitur Aristoxenus musicus aurisi ludicio recta comittes perpare esse prodaduo.qui semitent secus Ox ribagoris c non arbitra tu esse dimidio tono cotractiora: sed quemadmodii semitonia dicunturista quo v et esuinates tonorum dimidia. Nec talaris N aritaniis felix simili lapsus errore depud litur: qui non
156쪽
tonum in duo enitalia: in et intrial qua ordirimitatin secat.Secatenis lapismis tomimilique idcirco bemitonia vocat. Sociando in tria et earum imiam quamlibet dieam triremersam nam pat.Tertio in qu auuor et panctoni partem quartam:vocat diesim tetrari erimuin diuea nunc tertis nune quarte toni sunt partem Est enim tritos tertius tetrario Quartus et merosiam. Ibonia et tertia dis seo acceptione Leaipsa toni tertia et tertie dim lilia pars dicam r. Et rursum primi modi pumem acceptis nio dieseerct romaticas vocat: secunda avocatenamontra itertiae vero marmonice diuisi sol emioliae: partim Tristoxeni militeripartim autem bissimiliter. Similiter quidem et Tristoxenuo ton dimidiium semitonium ponat et toni tertia diesim bromaticam vocet Ied et romatis molior et tons quartam diesim marsi monicam. at dissimiliter intoni quartam cum propria quarte medietate vocet diesim cbromatio b solq. Et certe vel martianus in tertia dieseoa acceptione nouo errore lapsus putandus e vel elidem putasse bemitonium inlesim marmonicit soloidem esinnam cum omne totum tribus suis tertilo integretur: una ergo tertiarii et tertie medietatem totius dimidium implere necesse est. Sed itec se satio falsa esse probati et nulla sus partec hereant non est cur in tris diutius sermo sit protralmae me enim qui stolidum sensus iudichim sequentes intellcctum resinquunt facile et disciplinarum aditio se explosos sentiunt.
uicunt nil merus in terminos toni ducatur: interitalium toni relinquet.
L Nam clim tonus et toni interuallum in proponsonesesbuloctaua constanses termini resit noum ae octo aut quicunm alit qui simili sibi proportione respondeant.ut cum per septimasti di Erilbineticea resinua idemci nummo duo multiplicet productorum et multiplicatorum eademst proportis ergo quicunmin meras ducetur in terminos sesquioctauci sesquioctaua produceti relinquetae tonsi a toni laterea Illi quod est a ponto. Et no modo de sesquioctauo et traxint allo id sentita est:sed et de quolibet altero interuallo.
Omnis numeriis: einremorum toni differentia constitui potest.
Issenim tonus lamminisocostituatur et sunt nouem N octo monas differentia esticum noumarius in octonarius sola unitate dissentiat. Et si ducatur binarius in novenarium et octonarium et productiuram per precedentea et bissit toni extrema.Et vero per nona pum Trithmetices quod sit ex binario inno venarium tantsi es qudia quod sit ex binario in octonarium et unitatem sed binarius in unitatem per comomune prolaetusu seipsum producit igitur ertremorum toni aetb binarius differetia costituitur. Et si dura in tamarius in nollem et octo: eodem quom argumento temarius extremorsi toni bis Etlacdstituetur. Et vi quicunmauernumerito in eosdem minimootoni terminos ducetur: identertrernorum toni differentia istinuetur. manifestiam tam est omnem numerum extremorum toni differentu constitui posse. Et qua sta est placuit m et bilolai Priba gorico primordisi tonit primordialem eius differentia temaria constituo re qui primu ocubum a primo impari numero procreat lac gignit.*is numerus apud Nytbagoricos mas xime norabilis fuerit. Nam cum temarium primum quidem imparem numersi tertio duxeris: noue eo surguntique ter dum septem supra viginti: scit cubum a primo impari reddunt. air adr tono distanti tonii claudunt interealium: iborum differentia temarius costituitur est enim remarius summes paro Duxque idem adiecta summe: primu a temario cubii rurIuo instaura latae perficit. et idem apbilolaua summa septem et riginti in duas parte secuit isti quarum dec maior illa vero minor habetur scibane primordium. Epotomeo facitetque est toni portio malaxillam autem facit principium dies aeque est tres decisio minor atmpoaio: et qua posterius semionisi minuanficupabimuo et illarum uarum partium differentiam que est unitas facit comatio principium. Ecd de bio satio.
io Numeri dati parte quotacumv reperire. Quo fit ut cuiusti tin meri pars ab ipso sit numerata: Sa denominate eiusdem partis sit denominata.
s aulatili numerora numerantia qui ex pureo in ala sunt: milao insecabilis exulat:numeroru tamentuneratorum quales iupbisscio sunt motu numeri lin geometriclo lineari et planorsi in astrologi solemporum lin musicia auut orsi arm interuallarsi unitas aut verius unum sectionem recipit. Est ergo a quiae in numeras culae una partium denominata abi quesita sit:resolvo a in omnes suao parteo denomina. isoab brducendo scissimominanu numeri a in denominante partio b:sta ut proueniat c.manifesta est partis enmul denominata ab diequari toti numero a. diuido igitur est et proueniath:dico disse parte petita lci numerata ab ad oe est a numero denominate a. m mali paro a denominata ab dique petita erat patet ira id per squima petitionem reproducit cetquare dies pars e nominata abi at e equatur a igitur et Oparaesta denominata ab b. Sedet et v numeretur abis: patetiquis adnixducit chergo per serta petitionee diuiso pol redibit vised et eodem e diuiso pert prius veniebat d. inciat igitur a sonet d. et sic propositio atm suum corresaria nota sunt. LEt lo culmostretur perfacilio tu:usio metuo aliquato tenor: que exemplaria deductio facile culm reddet illustrior .vtquesuam verbi causa summe dciem et lapiciniare
sextadecima duco mulae denominantes inscinulae. oesta et iri et surgent r Ir extraerime tot enim serias decimae continet numerus I resolutuo. diuido ergo rIrpera et prouenient intederime: queerant totius summe partium LI: parastriadecima. quare et numeri in pars itidem sextadecima.ata I sex tedecime unitatem continent et unam soramdecimam. Est ita. unitas et una sextadecinia: dati numerici parasextadecima Et si numeri decem et octo quereretur pars septimadecima duco decem et octo indeccm
157쪽
et sute et productum latrapeti et venieritis sa)umetinime: quemum complem lateminit manis ἔν iamdecimam Est ergo restaget minitatia septimadecima in te sumne decem et octo pars una septis triadecima. Si vcio summe decem et septem volo partem octauam reperire: in octo et quod prodi, crum fuerit diuud per octo et prouenienti, taueque duas unitales et unam octauam iniciunt. erim crago duo et octaua unias totiua summe decem et septem paro octauauiuod queretiatur.Et sta in quibuslibet sequiuio valeat erocitare: babent ramnque particulari exemplariis demonstratione sum ostensa: ad seque tia pondus ac momentum.
Silano in equales numeri ad eundem minorent comparentur: maioris ad spsum Hmasor est proportio et minoris minor.
Lin sint a b duo hi ualeo numeri quorsi a sit maior leth mitioriqui Eparentur ad eunia nilaouc. duo ad c maiore esse proportionEObade. Nam eli per octava petitioni extremordia ad cproportio iaposta mer proportionibus audi et balem suto partibus:ergo proportio diale pars est proportioni, ad ea pro portio ad crorum et cum per ultimum comune proloquium omne totum maluont sua par eruitur proflportio a ad c malor est proportione d ad cat ira de quibuslibet aliis simus argumento est agendimusesquis ta decima proportio: integrum toni dimidium superat.
C intabuiua in trauit medio extremolli toni vacio in duo equa diuiso: tonsi minime in duo quakeometrice partiri:et sectione bine et inde altrinsecuse iniseptim decinia Dei stadulseriadecimaretinere pro Ptione Dec vero os illasdulsertadecima proportione que illic ex parte intensionis acuminisu relinqvsturi demitonio lintegroin ton dimidio esse maiorem. ri sequens monstiudit sesquiseptimamdecimam ex mulor parte sumptam eodem toni dimidio esse minorem. Sit ergo vita quinta huiue Uacium ab in decem et octo equao parte per a ei es et reliqua a notas diuisum ita, at earum partium contineat decem et octo let et edecim lili decem et septem. manifestum est at metit prius visum est esse tonum et ita madidas esse sexquisemdecimam qua babitudinem dico esse integro sem tonio maiorem. duoniam enim perderi mam butus unitas et sextadecima unius est sumae decem septem pars sextadecima.ques eidem sum adiiciatur fimi decem et octo et sertadecima unius at octo decem et lotadecima unius ad decem et septem perdufinitioncm est sesquisextadecima. Sunt ergo decem et octo et sextadecim sus ad decem et septem et decem et septem adserdecim due coniuncte fel quiseruderime.sed decem etino et intadecima uniuerper procedentem maior est sesquioctaua ad sedecim.Tam vi cem et octo ad sedecim, priua visiim eae sesquioctauaestigitur sesquisextadecimatio aueta tenues tonsae interuallum transcendit uuare per nonum prol tua sesquisextadecima proportio integrum toni dimidium superat quidquid enim bla auctum transcendit alli quiSid ultra eluo dimidium esse necesse est. Et quo ualentiore iure cognoscitur sesquiquintamdecimam et onarum proportionem sesquiseItadeclina natorem integrum toni dimidium luperare.
Sesquis timadecima: minor est Integrotoni dimidio.
LSint a decem et octo laterualli partes id decem et septri De decem et nouem et una septi de ardi vis ro decem et nouem et una octaua .per decimam bulus aracli est sesquisem decima. cadisiniuster sesquisemimadecima. sunt ergo cad due sesquiseptimedecline adinvicem coniuncte. sed et per eandemi ad bsesquioctaua estatin tonuo. denim contineti et ius partem octauam at d adi proportio maior est pro portione cadd.nam unius paro octaua maiores una septi decima ergo sesquisepumadecima propor fio predecimum proloquium minor cirimegro semitonio. quod enim duplatsi non implet integram nemid quom continet dimidium.Est ergo notum sesquis eptimamdecimam proportionem integrotoni es dis
Integratoni medietatem inter sesquis tam decimam e sesquiseptimamdecima a proportionem cadere necesse est.
Laram per duodecimam sesquisextadecima maior intonsiliscio: et per decimamicitiam sesquiseptima decima minor est eode toni dimidio.at per communem sesentiam intin maius atm mnue dimidior ipsum dimidium consistere necesse est.ogo integram toni dimidi si inter sesquiscitamdecimam et sesqui eptimamdecimam eadere necesse est. Sed id innoto lintegram numero nuIlo pacto ut septimatulus monstrauit fieri continget:vt necet in geometricio diameterquadrati: tuo colla certo constituromnamero comensurari potest.Sed hoc ultimam et altero loco requirenda m est.
Semitonium minus: duobus tonis in chorda sublungere. F
158쪽
IIninis v semitonsum substangs oexa ori et tumus civiaecinis ipsum scinstonium colli catur.presia ivno quedo ipsum expane remissilios duobus tonsami ratinuo ergo persectrabui diros nos inci orda binnova aeddi in abch: in .et stas domibub qui quia perdifflario lasciuulamus proportione consurin et perdecimastisma misis 'due sesquiomue minores sunt stsquitertia proportione.Erit ergo a Ne di iti Inno sesquiteri adius, a. ergo a b hi quattuor moequas et initium terne sectionis facio notam e ita vi et tres rara uuariata Gibuti: litibus intri Elgintrabad ebsesquitertia pri porris est.sed sesquitem xportio a b rebs erat. --ab' in proporitone ' et '.Est igitur di et et per licio uotmni stonium Guu is tus tomaret propontum erat subturictum. Semitonium mimis duobus tonse preponere.
gsario at ad et Equstertium interuallum et diuido et in octo equas partes re supra everius aes si, e
unt earum octo partium uxit ut d b ear partia nouem c&ineati per illinitione, et edimum concisit ii tonum. Similiter diu id do in octo equas pariter et una rara adlego supra dipe notam e quare steamn et o dierumnis.sunt pinu Croni et et c*.sed a b et obsesquitertia proportio:maior est duob' illis tosvlai prumtione, et et Est igitur per dimastionem at et et scinitonium minuriquod cum in duobus insat pomum quonia ex parte remissa illis adiunctum factum est propontum. Duobus tonis dissim semitonium P minus interponere.
Id emblematis seruitonium minus hic ut iam quoq; dictum est intellismus. Citer ab e ebriiu cedenti sesquitertia proportio in ora chorda a baba: versus:intendo tonum per notam d. ab eversis a remitto, ni ui in precerati saria est per notam civi ut at et dira onus: et simulter ebri et tonuviniant. cistumat et edisesuuitertia pro monem superare duos illos tonosti media pra portione didit et Esti stur per distastionem diu et et semuonsum minus duobus toris interceptum e propositum.
Scin tonsi minoris minimos numeros reperire:&quomodolibet semitonsumsinus in chorda una aut pluribus collocare.
I Sis a novenarius et bicionarius minimi numeritontinum ala selet, latictb in se et consurgat nume. Hede.inter quos persertam citarii Prubmetices erunt duo seruusociauit duo seni in minimis diuuias ictu preterea quat artus mae ariae duco dicet et et prodeant fgh: inter quos per septuria esses inii alceo similitiscoiuncti sunt duo sesquioctauit et proinde duo ton 3 o preterea suum liue et pro verilath per octauasecsidi Erubmriices fraxe i proportio sesquitertiaque per i primi bai'Gnor est die hi eatia vit:.duo ergo baiula minimos numeros semitonu minori et efii sint numeri se nitensimo norio perdiffinitionε notum est.sedet minimiridiam declarandii est. Namqnsae e sunt in sua proportione minimhper decimaoctava tertii Erli euces sunt coiri, se primi et quia etiaret a quat arsus et nouemur tua sunt contra se primi. o perindecim tertit Brissimcisce, in puma ad cet in decimresuti baci nascitur exite pumis ride numero Cerit primus ale. Turius m et hiemarius atet octonarius sunt acinius rem punii.ergo per Merim2 tertii et mirimus est ad e sed et si lim quateritarius et emarius sint etiam pistulare pre decimam ciusdem metiam primus est ad b. Cum ergo cem monstrati sunt primi adbtergo per eadem decimam tertii numeras m et miti ductue :primus est ad h. Sunt itaq; et hiemitonii mi noria numeri astinuic primi:quare pervicesImatertu Tritbmeticea in sua proportione minimi quod ea proposua quo ad boe.Et data quarem cho das ea diuideo seclidsi numeriit et earli partis accipia seredanumerum, numeros scit,seruitonii nilnotio uibri in eadEeborta constitutum erit semitonu minorio Haumalium.In diuersisset facillime demiserio: si eas cbordas equales equaliter tensas Ullanas roseo Holet partiario ea unumnin voles secundabuinarii partium alterius acceperia secundilherit tum ii Hi qmurmillo semitonil insnouo constitatum interuall-
stonium milius in minore psesqui septima decima sit: proportione consimii '
Onostri regulasenilionis sumendi:non sit differentiam Giremorum toni indi equa partiendo.
159쪽
rant ut in precedent hos nimi numeri semitonil minorio ut ducenta quinquaginta lex et is eo a draginta n o. io perdecimam bulae. septima miscismani patiem numeri hiluatoriam seil maad his atrium:erstet quamiordecim et quium septimiatis, Bado hau quattuoHecim et septimincimisadh et nati muneris is et si timedecimta Erit ergo numeruoladhaesquiseptimus clarus. Mi ducetuanumst Mnta septem et quinae septim edecime transcendit liqui solum est ducentorum quinquaginta striconastet tam semitonsum minus per unci cimam huiua in minore proportione O Itproportio sesquisquis madecima.quare et a fortere in minore consistit prosumlatim sit sesquisextadecima. Leuelarium dine turn est. Nam Ne pacto partiendo extremorum toni spatium:erculatibusue cognoscium sescuisextade rimum qui e madecima altrinsecus constitim quartim utram pinensis mauit semitone minoris habitudium esse minoreIII.
Sesqidocta decima proportio sem tinnio minore rursus masor euadsti
Liuit ab minimi nonini semilion minois periti inranoctauam huius reperis ritu ducenta quae quaginta sexiet ducenta quadraglara re ramos, cri triunm duino octauem claminpartem narrarit:quam reperio esse tredecim et semiozonam quidcm a. s. numero hi fiam aggreganiae ieeadi sesqui octauadecima proportio citiaic maior numerus est natura dumtarat continet ducenta quisquaginta sera cum equalium partium roridem et inIuper semissem,nii Φ.en suur inquiocre decitra proportio stultanto minore malae.
Sesquin a decinnirest sena Itonso minore inor. alio sit ut semit tu minus inate sesquioctauam de linam et sesqui nonam fecim m consistat collocatum.
Cilni vi pilus mis Itomis se toti iriniseris ara hedico se hutnonaim: 'Mnpreportionem minoi rem esse proportione a ad dicapio en in per decimam huiust nonamdecimam rem numeri brquam inue. euodecim et quindecim nonas eskao.quam parieno adiicio numero basiate. proponio ea, infestusnotiadecim sed maluaesto c. igitur per undecimari. tusue maius a semitonium minus sesquiso decima petoportis latae sesquinoiradecima pro ortio semitonio minore minor Correlarium ero viderimaquarta huiusnotum esse potest.
Semitonium maius: sit d. ita chorda constituere.
resili ab ebiriniton minoilo interitalium. insute ebin octo partes quas dimita equam sario partem et .sta vidi nouem contineat.ergo di et eburitroniae. Ino igitur a tono ob eb semitoninmissona scilia hic bimisquetu cubet abroni reliqua pars τqua ipst semitonianilano superat. Uloni peros finitionem di, et ab semitonium malas est in data chordio ut propositiam erat conarii utum. et quema modum salutonium maius collocari ad patrem graviore mira quo ad parvin acuminis collocare is cissimum esset.
G Sint ab mismi nurno semison si minoris ex decimaoctaua huius repertici octonarius. quoniamev monstratione deciseoctaue butus octonarius primus es addi ergo Hon numerat h. non babes Hi mr hocianam partem.dum igitur ij et in a cicbiurgant ea,:per septimam serendi elementorum Eriti metues da eri additi uim interi clamitonium minuolse tonsim minoris interealium et quis chabet partem octauam vib:addo eidem numero e partem octauam Mob:et coaceruatuestate.c5isnetlat 'rare ninnenim in partem via octauam. quare octonus. et quia tomae e superat semitonium min. -
160쪽
interia alloed:ergo ediunt nurners semitonia malvite. 26 autem sidem sint minimi laese et dirimaquisti ocl. 8tem Triti meticea cognosea distrairendo dab e et quod reliquum fuerit itersi quoties pote dis NM . Aabd. rhoc pacto desiicepo et videbis ad ultimum resicram unitate terum modo qui adlamo apparet disdias ctro. qtiare per eandemdecimamquintamdete sunt adinvicem primi. Sunt igitur pervicenmam sus u F in sua proporeione minimi:quod est propolitum. 3
DC intat mutanti inius habitudini lamitonil maioris per precedentem reperti duo babini din aedi maiorem esse metusquintadecima. Tumo enim ut in precedentibus iam sepe factum est per decima diis suo quintamdecimam panem numeri bibulauenitii cenis trigintaso et octo quintederime uniusque sit diaducto ergo abbet fiat Ccertum est ad besse sesquiquintamdecimam.anc minor numere esto a. Est enim a numerus duum milium cetum octuagintascpILc autem solli duum milia cetum octuagintaquattuor et feres la paulo ampulis. Est igitur per declinam huius semitonii maiorio dabitudo sesquiquintadecim proponio te ratoriamin superano quod est propositum.
Φ LSpetomen et semitonium masuo: idem esse iam estimus. Sint ergo at minimi numeri semitone malo rio ut duo milia centum et octuagintaseptem et duo milia quadraginta M. Sumo per decima huius quaro tam decimani partem bini3duum milium et Quadragintaocto qua inuento esse centum quadraginta sex et quattuor quartedecimeque siti. addo eam quartamdecimam adt:et fiat numerus aggregatus c. tunc nu merse adi sesquiquartadecima proportio est. at cmaior nummis est anquidem duo milia quadraginta octo et centum quadragintaset et quattuor quartesecime summam simul duoliat ciduum milium cctum nosna laquattuor:et fere quartam unius. et a solum ummassiduum lium eremm octuaginta septem. eonestatergo sesquiqtiariamdecimam proportionem malorem esse semitonio maiore:atet propostrum.Correla rium ut precedentium notum est.
Semitonium minus atque semitonium malus in superparticulari proportione non cadunt: sed ea in superpatiente ratione consistere necesse est.
L Nam semitonium minua per corresarsum vicinmeprime ius cadit inter sesquioctauamdecimam et sesquisonamdecimam.atqui inter sesquiocratiamdeclinam et sesquinonamdecimam nulla dere valet in tercepta mediam superpam latio habitudo. sunt eium ille superparticulareo proxime maior asin Aior uim semitonium minuari superparticulari ratione non conmitti nem per idem semitonium maius. Ilam per correlarium precedentis cadit in aliqua proportione media inter sesquiquintamdecimam et sesquiquartamdecimam duas prorimas superparticulares: que superparticularem mediam nullam admiuunt non igitur se tonium malus cadit in superparticulari ratione: sedet cum rationes semitonil minoris etes maloria mulis sisperparticularibus ut iam visum inrant minores rerunt etiam minores ratione duplarique multiplicium minima est ut que a minimo numero denominetur. Ilus enis numerus binario niinor. non est ergo semitoni minori dabirudo multiplex similiter nem semitonsi maiorio. relinquitur igitur a sufficienti ditissione eum ille sint inter maiorem terminum et minorem:mo esse in superpali ii genere. quod est propositum. I Id tamcn propter opbistas aduertere licet et tonus et sue paries consonantie et consonatiarum parie intense: semper in superparticularumperpatienti aut multiplici babitudine eadunt remisse vero in subsuperpaniculari subsuperpatienti aut submultiplici. Et uero et nita sic solemus tamen eao om nes dicere esse insuperpariiculare habini dine superpatienti:aut multiplici idem supcrparilculare et subsua perparticulare reputantes pro uno computantes.similiter superpatieris et subsupcrpaticne: et multiplex et submultiplex.
Musicum comma in chorda reperire.
Dint ab chorda supra quam ut propositum reperire muncum commaris qua ab et chm sesquiocinia proportio alae tonus. Sint preterea deminimi termini semiton minorie. Diuido varium binpar tis equale secundum de exqirarum numero ab ipsobversusa: ea pio secundum numerum e et in termino earum pono notam . tuncque proportio dade: ea erit ab adfb. quare ab adfb semitonium minus. Nursium eb spatium seco in equae partes secundum numerii me et earum paritum ab ipso diversus a metiendorsum secundum numerum dἰetinearum termino pono notamg.maniscitiam etiam estgbete desse semia