장음표시 사용
211쪽
THEo. patiar Pari vias ad 4 Mariis. ipsum hias intercipit .vipsius vire, quarta partἐ:dice. diis igitur est duplus superparticularis siue duplus sesquiquartus 5hoete inornasgis proprio. Sed cadis. ad 3,9 ad Ahabitudo proportio dupla sum particularis discitur.Na proportio dupla superparticularis est proportio citius numerus maior minorem bis intercipit.& minoris adhue aliqua partem aliquotam. Discietius tamen loque do dicas inter Λ 2 duplam sesquialteram inueniti proportionem:inter mi dupla sesquitertiam Sinter ac q,duplam sesquiquartam.& consequente e Pullulant omnes dupli superparticulares, cilistae etiam proportiones acceptis duabus numerorum lineis quanim altera sit naturalis numerorum series,a sitichoata. superiori loco sistataltera vero sit naturalis imparium numeroriim linea. 1 s accepta. inseriori parte affixa si huius cuncti numeri sibi correspondentibus insuperiori commrmirideuide si illarum utraq; dupletis,& productorum cosimilis fiat, latio:postmodus triplinii .&fiat pariter productorum comparatio: 8 si quadrii plando.quintuplando .sexmplando. ε consequenter procedas:quod quaerebas .inuenies demonstratum. Exemplum.
Propor tio dupla superpartacularis Dusorii superparticularia gnata
Dupli superparticulares Dupli superparticulares
Numerus triplus superparticularis , est numerus multiplex upe particulatis, qui minorem numerum ter includit , ε eius insuper alia quam partem aliquotam.
CVt ad a, Ioad ad Φ. Septenarius enim ad comparatus ipsum te includit, ε ultra. itatem continet.quae cest medietas fideo ipse, comparatus . triplus susperparticulatis dicetur. 8c clavi, appellatione triplus sesquialter nominabitur. Etiamao adiretitus triplus superparticularis pari ratione vocetur. Continet autem tera,&tertia adhue 3 partem puta unitatem:quare io comparatus 3 termino specialiori,m' plus sesquitertius appellabitur. Necnon inqui ad 4 refertur, triplus superparticularis, siue triplus sesquiquartus censebitur. Et habitudo, ad a. to ad 3 M ad 4. proportio tripla superparticulans exprimetur. Vnde proportio tripla superparticulatis, est prosportio multiplex superparticularis, cuius maior numerus ter minorem includit ali quam minciris partem aliquotam. Proprius tamen dicendum est, ad x. tripla sesquis altera inueniri proportione:&io ad 3,tripla sesquitertia:&,3 ad 4 reipla sesqinquarta:& hoc pacto deinceps. Colargimi omnes tripli superparticulares,& nuna δε Prog porti cines,duabus numerorum lineis appreherasis quaru alera sit naturalis numeroruseries,a 2 incepta:altera vero a mincipiat,& infinitos littercipiat numeros e colimia Progressione,ternario exuperantes:si huius cuncti numeri, netis superioris compa rentur .ita ut primus primo .secundus secundo δε tertius tertio.& eonsequenter:dcin. de illis duabus lineis duplatis,si producti paritct referantur:& eisden lineis triplatis, si producti comparenturiac si hoc pacto quadruplando.quintuplando, sextuplando, &Productos numeros coparando procedas Propositi inuenies declaratu. Exemptu.363
raPropor tro tripta superParticulam. Triptorusuperparricularia creati
Tripli superparticulares Tripli superparticulares Tripli superparticulareS
212쪽
Nummis quadriiplus superpariteularis, est numerus mul iste superparticularis,quater minorem numerum intercipiens,& esus aliqua partem aliquotam.
CV 9 ad 2. M ad 3,t ad 4. Si autem binario comparetur, alus, quadruplus susperparticularis nuncupatur:nam 2 quater intercipit.& vltra,continet unitatem, quae est medietas:quare dictu si proprie quadruplus sesquialter dicetur. Eodem modo si intemario reseratur quadruplus superparticularis Giue quadruplus sesquitemus appellabitur: ma quater includat δε dira, itatem,tertiam 3 partem. Simili arte diiscendi im est si ij quaternatio comparetur quadruplum superparticussarem esse, siue quadruplum sesquiquartum nuncupari. Sed quae 9 ad ad 3,3 as inuenitur hasbitudo proportio quadrupla superparticularis vocetur. Nam proportio quadrupla superparticularis est proportio ni ultiplex superparticularis cuius numerus maior minorem quater c5tinet S minoris aliqua partem aliquota .Rectius tamen loquendo dices dum est habitudine inter v xx proportione quadrupla sesquialtera esse:& 3 ad 3 quadrupla sesquitertia:8 1 ad 4 quadrupla sesquiqliarta.& consequenter. CProducum tur oes numeri quadrupli superparticulares, omnes Pariter proportiones duabus nusmerorii lineis acceptis:quam una sit naturalis numeroru series a Murchoata,alteri, sumat initisi.& infinitos numeros includat se cotinua progressione quaternatio excedentes:si huius omnes numeri cum superioris meae numeris cbparentur Primus primo .seclidus se do.& tertius tertio, cosequenter: postmodus ambς lines dupletur. 8 productora fiat c5similis siparatio: deinde si inpletur,& producta numeri coparens eur Asic5sequenter quadruplata. quintuplado, sextuplando,& modo dicto producti numeri comparentur:quod quaerebamus, patefactum inueniemus. Exemplum Quadrupli superparticulares
Quadrupli superparticulares Quadrupli superparticulares
omnes aliae quae sequutur species multiplices superparticulares,videsuperparticularis sextuplus superparticulatis, septuplus suPmyarticulans, consoquenter ex praedicitis facile possunt intelligi
Numerus multipleκ superparties,eli numerus maior minori numero Gparatus,que pluries cocinet, Minsuper aliquot eius partes aliquotas, nullam respectu minoris numeri partem aliquotam componetes.
ad 3 it ad 4 ti ad i. Nam s bis continet 8 insuper duas unitates .partes alicuota nullam partem aliquotam respectu cessicientes. Etiam ii bis includit', α ultra tres et itates partes aliquotasM.quae nullam constituunt respecti partem alis otia. Pari modo it ter continet ,& adhue duas ternari partes aliquoias,nullam com 'onentes respei a partem aliquotam Sed illa quae 3 ad 3,ia ad 4,ti ad Linu nitur habitudo,proportio multiplex superpartiens est dicenda. Nam mportio multia dicit superpartiens est proportio cuius nator numeru minorem Pluries continet,&aliquot insuper minoris numeri partes aliquoias .nullam respectu eiusde minoris parotem aliquota efficientes. Numerus multiplex super mens, proportio multipleae superparties infinitas species intercipi ut . Prima numeri multiplicis superpametis species .est duplus superparties:secuta triplus superparties:tercia,quadruplus stiperparseries:&:6se ueter. Species aut proportionis multiplici sti popartietis,eisde nomii hiis appella inir variata terminatione, us in a Prima nat species est
213쪽
THE . Numerus multiplo supermities ex numero multiplici,&superpartienti emanat. m. pe in funes minorem includat .li numero multiplici habet, ultra, aliquot contionem partes aliquotas nullam respectu minoris ali*iotam componenteS,a numero superpartienti consurgit Numerus multiplex superpartiens similiter 8 proportio,alias discretiores adhuc habent nuncupationes: Mlioe a vicium multitudine , quibus nusmerus maior minorem intercipit: 8 a mimero partium aliquotarum, quas ultraria ior numerus continet, qua res imi minoris millam aliquotam partem efficiunt. Nas numerus maior minorem bis includat. R minoris mimeri duas parte aliquotas:vis dendum est an illae sint tertiae.quintae vel septimae δε consequenter. Si primum detur, dicendus est numinis ille maior, duplus superbipartiens tertias: xlaabitudo litterlos,uinoo reperta proportio dupla superbipartiens tertias nuncupabitur. Si vesro partes ilis aliquotae quiliis denominantur duplus superbipartiens quilitas vocabitur:& inter illos habitudo proportio dupla superbipartiens quinta appellabit iu in si partes illae aliquotae septima dicantur duplus sumbi partiens septima denomina bitur:& into tales numeros habitudo proportio dupla superbipartiens septimas ex primetur. Sed de his omnibus speciebus clarius insequentibus fiet sermo. Pro gesneratione multiplicium superpartientium no opus est longa uti ambage. Nam si triuinispositorum diffitutorum productiones intelligas facile admodum ex eis nam coprehendere potes communem productionem, pro omnibus Utiplicibus superPar tientibus numeris,&proportionibus.
Numerus duplus superpartiens ,est numerus multiplex superparti x3em,qui bis minorem numerum continet, Maliquot minoris partes aliquotas, nullam respectu eiusdem minoris aliquotam component .
t sad 3 1 ad 4 tet ad Si erum S tematio comparetur duplus superpartiens p. pellabitur uiam s,bis continet 3 insuper et,qui est duae partes 3 aliquotae nulla respectu 3 partem aliquotam reddentes. Et quoniam partes illae duae sunt.& tertiae denominantum ideo discretiori appellatione numerus 3 duplus superbiparties tertiaS dicetin .
Pari modo ii ad 4 comparatus, duplus superpartiens censebitur: nam bis A intercis Pit,re vltra tres unitates, partes aliquota quae nullam respectu ipsius 4 constituta
Partem aliquotam . sed quoniam tres sunt Tae partes aliquotae κω quarte nuncum turrideo a clariori nuncupatione,duplus supertriparties quartas vocabitur. Etiam it
ad fretatus duplus superpamens nuncumbitur includit enim his , 8 adlaue duas partes aliquoias,nullam efficientes aliquotam respectis quia duae sunt,& quin ta dicuntur dicetur, termino magis propri4,duplus superbipartiensqiuntas. Habi ludo aut sad 3,3 ad ψ, 2 ais reperta proportiri dupla superpartim exprimetur. Vnde proportio dupla superpartiens est proportio multiplex superpamcns,Gaius, Propor. merus maior bis minorem includit Maliquot insuper minoris numeri partes aliquo rasor ullam respei hi eiusdem minoris aliquotam efficietes Et si habitudinibus datoria ἔπ' numeroriam discieriores petas assignari proporti ones:dicori S ad arabitudo ,est pro portio dupla superbiparties tertias 5 ii ad 4,dupla supertriparties quartas:& ads, dupla superbipartiens quintas manant omnes dupli superpartietes,pariter ωPro Duplora portiones,infinitis numerorum lineis acceptis,quarum mina a Dincipiat,cunctos se i P P rquentes ini pares includendo:secunda linea 1 inchoetur.& omnes sequentes num ros, Pares,& impares intercipiat quorum tematius no est pars aliquota: tertia linea a s sumat initium,&omnes sequentes impares possideat: quarta vero linea a s con surgat,& Omnes sequentes numeros tam pares, impares contineat,quom s non est pars aliquora. Et consequeter cosimili intercapedine:sie videlicet in prima,tertia,quinta lineae,&sequentes,quia numero impati incipiunt, tos impare numero copres hendant: secunda vero linea.quarta ,sexta & caeterae,quae pari umero Prosiliunt, τmnes sequentes numeros, tam pares,u impares sibi vendicent. Hoc seruato documeto,Vt prima linearum,quae a numero pati incipit,nullum numerum includat,cuius 3
sit pars aliquota:& secunda illarii linearum nullum pariter contineat numerum,cuius
214쪽
omanus sit pars aliquota:& tertia nullsi etiam numeria possideat, euius, sit pars alis quota:& ita de aliis Per numeros impare procededo. Deinde accipiatur naturalis uomerom series ara incepta deorsum in infinitu procedes:sic, ptimus esus numerus. scilicet et, inter prima 8 secunda lineam ponatur:& secundus numerus inter secundare tertiam:& totius,inter tertiam xquartam:& hoc pasto deinceps. Postmodii quaelisbet illarii infinitarum lineam dupletur,& sub qualibet illarii sua duplata linea ponaturi quo facto cuilibet numero lin duplatae. Primus numerus lineae descendetis addatur: fc cuilibet numero secundae duplatae in ,3 secundus numerus linea descendentis ad. datur: cuilibet numero tertiae lineae duplatae, ψ tertius deorsum euntis lineae addatur: εe consequenter. Desnde prima linea duplata cum sua additione. primimplemae lineae, quae duplabatur,comparetur: sic ut Primus numeru primo,&fecitdus secundo,&terstius tertio reseratur:&consequenter. postea secunda linea duplata cum sua additione, secundae lincie quae duplabatur etiam coparetur: postmodum tertia duplata, cum sua additione tertiae quae duplabatur reseratur:8 si hoc pacto in caeteris seceris,omnes species duplorum superpartientium,& proportionum inuenies procreatas. Nam in prima linearii comparatione. Primo duplos superbipartientes rePeries: primas etiam proportiones dupla superbipartiete, voco primo duplos superbipartientes, illos qui in mi. nimis numeris reperiuntur tales etiam dicuntiu primae proportiones duplae superbia partientes: in secunda vero linearum comparation primo duplos supertripartientes inuenire est,similiter 8citi portiones:8 in tertia lineamna resatione, primo duplos suo perquadripartientes. primas similiter proportiones inuenies Procieatas.& conseque
28 32 tertii quinti septi. noni
septi. noni de qui. de sep Et si indiuidua omnia duplicium superpartientium cognostere velles:opus est omnes illas lineas duples,mples,quadruples,& consequenter,semper singula singulis referendo, ut saepe in generatione praecedentium numerorum ostensum est.
Numerus triplus superpartiens, est numerus multiplex superpartisens,ier tantu minorem includens,& aliquot minoris partes aliquotas, nullam respectu eiusdem minoris aliquotam essiciens. Vt ii ad ad 4 t ad, Nam si, ad 3 comparetur triplus superpartiens appa
latur: ma ter includat.&Qua vitra,vnitates partes aliquotas , nullam aliquotain respectu 3 compotientes quae a 3 cuius partes aliquotae sunt, tertia dcriominantur: ideo ii alia magis propria nuncupatione, plus superbipartiens tertias denominabi tur. Eadem via is ad .relatus, triplus superpartiens dicetur:sed quoniam tres illae vν nitates, quas ultra continet, 1 4,quartae nominantur discretiori appellatione, datus s, plus supertripartiens quartas exprimetur Dicendum est eodem modo i ad comparatum, triplum superpartientem ess siue triplii in superbipartientem quintas, di laoctetmmo magis conuenienti. Sed I ad 3,t ad 4,t ad vinuenta habitudo, prosPortio tripla superpartiens nucupabitur.Nam proportio tripla superpartiens ,est pro portio multiplex superpartiens, ius numerus maior ter minorem solui intercipit, ε aliquot vis, minoris numeri partes aliquotas, nullam aliquotam res isti eiusdem minoris reddentes. Possunt autem datorum numerorum habitudinibus singulariores
assignari proportiones:ita ut ii ad 3 habitudo ,est proportio tripla superbiparties in
215쪽
TNEo. tias: R tr ad 4 habitudo, proportio tripla supertripartiens quartas erit etiam i ad trabitudo proportio tripla supcrbipartiens quintas vocabitur Cieneratio triploriunsuperpartientium,& proportionum,eadem est cum praecedentis diffmiti productioner hoc solo dempto.qubdnuincti illi infiniti primo accepti qui ibidem duplabantur hie debent triplari Sufficiat igitur praesentis cicinentorum contextus, pro talium num rorum educatione intestigenda. Trifora
de inde de qui . Secunda linea
tiis,quaterduimat minore interci pies,& aliquot insuper minoris pates aliquotas, nulla respectu eiusde minotis parte aliquota costituetes.
t 14 ad 3.1 ad 4 22 ad s. Nempe si a tematio comparetur, quadruplus super Partiens vocabitur:cu quater ipsuma possideat,& duas Husdem 3 tertias,que nullam respectu eiusdem componunt partem aliquotam:8 quoniam duaesiuit,& tertia nominantur: dicatur 4 nomine magis decenti quadruplus superbipartiens tertias Consi miliane est dicendum 9 ad relatum, quadruplum superpartientem: ipsum enim quater continet δε ultra tres quartas quae nullam respectura aliquotan partem em ciui:quare dictus nouemdenarius quadruplus supertriparties quartas dicetur:& hoc, vocabulo conuenientiori . Eodem modo xx adj comparatus quadruplus superpar meris,scupatur:includit enim quater ς,8 vluli,duas'iuntas partes aliquotas quae nullam respectu aliquotam partem componunt: quia dua:.8 quintae denominan. tur, datus 22,termino magis peculi ari, quadruplus superbipartiens quinta vocatur. Habitudo autem 14 ad 3 is ad 4, 22 adj, proportiori drupla superparties exprimi'tur. Nam Proportio quadrupla superpartiens est proportio multiplex superpartiens, cuius maior numerus quater minorem Possidet, aliquot ultra minoris partes aliquo ras,nullam aliquotam respectu eiusdem minoris costimentes. Et si habitudinibus in dictis numeris repertis. proportiones decentiores seu specialiores cupis assignare:dicas 4 ad habitulinem proportionem quadruplam superem partientem tertias esse:&49 ad 4,quadruplam supertripartientem quartas 5 xx ad c quadruplam superbipartientem quinta appellari. Prodeunt cuneti quadrupli superpartientes quaeque Panter proportiones,eisdem arte&modo in duobus praecedentibus diffinitis signatis: hac sosia via excepta,u, infinitae illae numerorum lineae,quae per generationem duplorum susperpartientiu primo sumebantur debent hic' druplati. i illic duplabantur. Qua' ina linea
unde tride de qui. Secunda linea qs
Propor tio quasdrupla sis Perpartis
216쪽
cierem quae sequuntur species .utpote quintuplus superpartiens, sextuplus superpata Adaene tiens semiplus superpartiens colequenter,ex iam dictis facile constant. Notanda praeterea inmac parte est,quemadmodii maior inaequalitas in cui ivniuersalia genera scinditur .in multaplicem superpaniculare.superpartiente .multiplicem superparticularem, multiplicem superpartiente de quibus abunde discussum est 14 dimitio ad usq; inclusiue Leode modo minor inaequalitas in quinq; etiam genera secari potest: quae a precedentibus .hae sola partacula, sub .disserentia simul: 8c sunt subinultiplex,subsici perparti laris .sub popartiens submultiplex superparticularis submultiplex supera partiens Nempe dim est binarium rutati comparatu multiplicem R duplum essere habitudinem 2 ad importione .multiplice atq; duplam nuncupari. Ita dicendum es si unitas binario comparettu ipsam, ritatem .submultiplicem atq; subduplam appel. lati. Dicendii est pari modo ibinario comparatu superparticularem . sesquialterum nivnersi esse.& habitudinem 3 ad 2 proportione superparticularem &sesquialtera nos minari. Ita assciendum est,si hiemario coparetur,ipsum relatum binariu ,subsuperparaticularem.&subsesquialteriam numerum esset rada habitudine.proportionem subasuperparticulare,pariter&subsesquialtera exprimi. Et de aliis hoc modo. Nunc au. N p φ ei huius tractatus complemeto.quinq; uniuersales regulas annectemus:quibus
hiarem expedite primos numeros proportionales in omni genere Proportionum imo in omnita proportions indiuiduo poteris inuenire. Voco primo terminos siue primos numeros proportionales. eos numeros qui in tali proportione sunt minimi,ut in dupla, Mi in tripla. scit in sesquialtera. et 2:& de caeteris pari modo. Intellige semper omnia quae in diffinitis huius artis dico & in ipseritin declarationeJecundu sublesta materia.Nam in irrationabitibus proportionibus de quibus no arithmeticus sed potius geometra cos erat stimi numeri non sunt si adi,cd in numeris nuta talis Proportio inueniatur. REGULAE.
Conuus proportio multiplex, inter suam denominationem pro uno
termino,& monadem pro altero,mum tur.
Nempe omnis udi proportio aliquam denominationem sortiturquare ut multis Plex omrus denominationem habeat,necessario sequitur. Nam proportio dupla,quae
inter multiplices est prima,1 dualitatessim a binario sumit appellatione Viniti a terenatio,& quadrupla a quat ario,& hoe pacto consequenter. Si igitur quispiam ex te petat primos dari terminos,sive primos numeros inter quos proportio dupla habeas tumid facies expedite, si pro termino priori denominationem duphe recipias, utpote binarium, pro altero unitatem:nam 2 ad a talis est proportio. Et si triplae proportio nis primi termini petantur 3 pro uno termino,& motiadem pro altero significabis. Si quadruplae proportionis primi numeri postuletur:qadit,offeres petenti. Et de reliquis pari modo. ubd si secundi,tertii,quarti ue,aut altiores termim in alsqua multiplici proportione petantur:id facies per ductionem primorum terminorum.Verbi gratia ,ss erantur secundi termini, inter quos proportio dupla repetitur eos facile significas bis, si primos terminos duples: dabis igitur 4 re hoc pro viro termino, pro altero
dualitatem. Et si tertii termini petantur: primos terminos triplabis,& consurgentes inode numeros,utpote fisa petenti significabis. Et m ceteris quadruplando,quintuplando inextuplando Ee consequenter procedere necessum est,si petantur.
Coninis proportio superparticulatis, inter numerum statim sequena
tem in linea naturali eius denominationem, pro uno termino, Mean dem pro altero reperitur.
CSi cognoscere velles aut aliquis ex te petat, mos terminos inter quos proportio sesquialtera,ves sesquitertia,ves sesquiquarta oves aliqua alia huius generis inuenitura debes hoe pacto procedere. In primis con*dera denominatione petitae proportionis,
hoc est numerum a quo talis proportio denominatur vel sanius loquend numeri in
ali proportione facile intcilectum:consyderabis dcinde illuin munciu,qui statim in i
217쪽
THE . nea naturali eum sequitur, proici mino priori proportiom aecipias,a priore numem Pro altero pollinori temtino si globis. Exeplum in sesquialtera proportione denomis natis,sive nimierus facile intellectus,est binarius53,est ille numerus qui statim in natiuali numeroruscite et sequitur:dabis igitur 3 pro termino priori ac 2 pro altero postes riori aram 3 ad 1, in proportio sesquialtera Milli signati numeri dicuntur Prim in prosPortione sesquialtera. Eodem modo in proportione sesquitertia est dicoidum:nam numerus facile intellectus in illa est δε qui flatim in linea naturali eum sequitur,est si. abi igitur , priorem terminum AE terrarium posteriorem,inter quos proportio sesquitertia inuenitur. t si in proportione sesquiquarta prunos teminos cupis inuenire: siciundu est eodem modo:numerus enim facile uitellectus in illa proportione, est ψει numerus qui statim in ordine naturali 4 sequitur,est 3:dabis igitur δε- primos ter minos seu numeros,inter quos proportio sesquiquarta habetur: hoc pacto deinceps. Ex hac regula sequitur, nullam proportione superpam larem possemveniri ius Corolla meris imparibus: sed necesse est alteriter norum parem, alterii vero imparem ella.
Omnis proportio superpartiens, inter compositum ex duabus suis denominationibus pro uno termino, ε suam posteriorem denomin
si Si ex te petat aliquis,aut tu ipse cognoscere velis primos numeros, inter quos adi
qua Promitio superpartiens inuenitur,colliges in primis petitiae proportionis dolon φ rationes, velivi melius loquar duos in tali proportione numeros facile huellectos coniunges ,re hoc pro termino priori: in in omni proportione superpartiente,duo duntarat iacile intelliguntur nutrieri:deitide pro altero termino posteriore, derio nationem siue numerum posterius intellectum praesentabis. Exempli gratia:vis scire Primos ter minos in Proportione superbipartieti tertias in qua quide proportione,bi,&,tertias, siue,2 4,diculur denormnationes. proprie tamen fac ut illi numeri,qui satae initali Proportione intellinuitur, addantur A emanabit s. or terminus deinde Post riorcindenominationem puta 3 pro te uio posteriori sumes, fodices, o primos esse numeros in data proportione: enim ad 3. Proportio superbiparticia tertias num patur Si vero proportionis superbipartietis quintas, primos numeros inquiras,fac ut ares simul coniungantur.& consurget, pro termino priori accipiendus:Postmos dum Pro termino posteriori capies c,posteriorem denomiratione:nam, adj,Propor. tio superbipartiens quintas denominabitur. Et si proportionis supertripartientis quar' taS,Prin O te inos cognoscere cupis: c&qnumerosv data proportione facile intes Iectos,in Vnu numerum comunges, proueniet ,prior Diae proportionis terminus:
detrus pro termino posteriori, posteriorem denominationem signabis,& inuenim γε .Primos esse numeros proportionis supertripamentis quartas: cum mad vitalis sit Proportio. Et de caeteris pari arte dicendum EEx hac regula primo sequitur,m om Corolla tu huius generis proportione posteriorem denominationem priori esse maiorem:quoa
niam Opposito dato,facile sequeretur aliqua in parte esse aequalem, aut maiore suo to to:quod impossibilem ingentis terminis existentia. Secundo infero,* cuiuilibet a Secum lis Proportionis,si prior denominatio fuerit par,esse imparem posteriore necesse est:&si posterior fuerit par,priorem esse imparem oportetulam parem esse utranq; Possibile non est,impare vero esse non inc eruta Si enim huius illarionis oppositum daretur:ses queretur eande esse proportione superparticulare,& superpartiente:sed illud inconue me reputamus:quare menio infero, priore denominatione posterioris esse parte ali Te, si quota,impossibile esse reluare si sorte ex te quispia petat dari terminos inter quos Pro Pomo supermpames nonas inuenitur:dicas id fieri ladios Na 3, est, pars aliquora.
Omnis proportio multiplex superparticularis, inter numerum con Φsurgentem ex duetione prioris denominationis per posteriorem, cum sibi addita unitate pro viro termino, sua posteriorem denominau nem pro altero habetur.
218쪽
CId autem in hae partes orare oportet in omni huius generis proportione duas
tum liaberi denonainationes,nec Pauciores,aut Plures. utor in his regulis isto terniino, denominatio, improprie,& hoc pro nuineris nominatis,seu facile intelleres inda, tis proportionibus:na proprie liniuedo,in Omni ProPortion unica imi enitur denomio natio, vel si plures liabeantur, illae sunt aequivaleiates, ut sesquitolia,8 sesquiepit ita. Iam tegula declaretur. Si igitur Primo mimeros inuenire desyderas inter quos aliqua proportio multiplex superparticulari inuenitur:oportet in primis proportionis petita sumere denominationes. Unam Per alteram inultiplicare, cosurgenti numero uniatas addatur quo facto numerus resultans,Prior terminus talis Proportionis erit:deinde pro altero termino posteriorem denominationem accipies:quod si seceris primos nulmeros in data proportione inuento habebis. Exemplum:sit proportio dupla sesquialatera quae praesentetur in qua,dupla,& altera ,sunt duae denominationes,& per quamli. t. et apprehendimus .ducatur una illarum in alteram, hoc est cina, proueniet 4:eus unitas addatur,xconsurget Pro termino Priori:drinde Protermino posteriori. poste idcilominatio lumatur,videlicet 2:εc reperim a 2 primos esse numeros,inter quos proportio data inuenitur. Pati modo si proportio dupla se intertia praesentetur,facisis dum est nani in ipsa dupla,& tertia, sunt denominationes, per quarum priorem 1 8cpet posteriorema, facile telligimus .multiplica igitur,nam illarum per alteram discendo bis tria,siuriter 2,ε consurget σοῦ eua si unitas addatur,proueniet, pro termisno priori: pro termino posteriori sumatur 3,qui est datae proportionis posterior M. nominatio quo facto inuerues Priinos esse terminos in data proportione in s in tripla sesquialtra primi termini postidentur: fac eodem modo δε inuenies: 1 primos esse datae proportionis terminos, hoc pacto deinceps.
Omnis proportio multiplex superpartiens, inter numerum emanantem e ductione ultimae denominationis per antepenultimam, eum sis bi addita penultima denominatione pro uno termino, Se suam vitia
m omni multiplici superpartienti proportione, tres duntaxat denominationes inueniuntur:quare si data aliqua tibi Prommone primo numreos inuenire cupis,oportet ut ultimam denominationem pre antepenultimam multiplices, & consurgeti numero penultima addatur:quo facto priore terininum datae proportionis habebis: deinde eandem ultimam denominatione pro termino posteriori sumes:& ita faciendo primos nunicios in data proportione procreatos inuemes. Ex li gratia. Si detur proportio duapta sumbipartiens tertias,cuius,du Pla,bi, tertias, sunt tres denominationes: sae vetertia denominatio puta 3,po ante nutrima multiplicetur videlicet per x cos .get sicut ipsa penultima denominario,scilicet 2,addatur Menianabit g dat tropolutionis prior terminus: deinde Pro termino Posteriori sumes ipsum 3 vltunam denomia natione:quo facto dices s a primos esse numeros proportionis duplae superbiparti tis tertias. Si aute detur dupla supertripartie quartas, fac eode modo,& inuenies priomos minctos esse ii x nam ii ad A talis est Proportio. Et si proportionis triplae susperbipartietis quinta primi termini petantur:si seceris arte,& modo tams,dabis i ta s. nam mass,talis est proportio. Pari modo in caetrais est faciendii. Ex haerentia 2ti tria sequuntur comitaria illis similia quae in tertiae regulae declaratione inisebatur. Prianian mum est in omni huius generis Proportion ultima denominationem,penultima esses cura maiore CSecudum est, cuiuilibet talis Proportionis si penultima denominatio suetie par oportet ultima esse imparem:ς si ultima dei tomirratio par fuctit, penultimam esse imparem necesse est:nam ambae,re penultima,& vltima pares esse non possunt:impas Tina. res bene quidem. inertium corollatium est,nulla penultima denominatio potest vitime denominationis esse par aliquota. Hae sum quinq; regulae quibus lacile admodummu ; ut in capite huius traimatus Promisimus in o mi genoe proportion primos terminos,seu primos proportionales numeros Potestis ture. Et si secudos terminos,
219쪽
THEO. tertios,quanos,e aut aliquot altiores cupis habere id facies m duimonem primo tum numerorum,ut in fine primae regula deductum est. Ex his facile signari poterunt tinti,numcii Omnes Proportionales,tam maiores equalites,qminores Cnis Coro ultimo ex diistis in ioc tractatu,in genere proportionum multiplicium, minimam pro in portionem esse duplam,quae prima est in isso genere: mammam voo reperire non es ni genere autem Proportionum superparticulanum,sesquialteri quae dicitur prima mari inicensetur,muluna vero signari non Potest: m aliis tribus generibus proportios num, e maior ,nec ii Oro ui dat sensu possunt assignari.
DE ACCEPTO SECUNDUM FIGURAM NUMERO,
Vperis,duobus primis tractatibus expeditis tertium subintremus, in quo quatuor xvi ci constituemus distinata:quae omnem numerim secundum laguram con*deratu, Laconica bresilitate absoluent. Id aut pro huius tractatus intellectione prae notare PCrtet ,OInnem n guram esse linearem, planam aut soalidam. Lutearem figuram eam esse dicimus,quae solam dimens sonum obturet longitudinem,& duobus intercipitii puella: vi est linea omnis finitata mathcinatice con*derata. Planam figuram eam appellamus, in qua Praeter longitudmem, sola amplitudo haberiuβ eaedem lineis terminatae inueniuntur:ut est quaeq iuperficies, prout sic con*deratur. Solidam vero figuram eam si ficamus,qine inittaca longitudinciri,amplitudinem,atq; crasssitiem sibi vendicat dunension :V cOFus de genere quantitatis. Is igitur numerus secundu figuram sumitur,qui analogice aliquam aliquasve ob et dimesiones. Nam, si cuiuspiam numeri cuncia nitates recta via Procedant, Omrus talis,lurearis num vis dicetur:si vero in longitari,atque latum Porrimntur monades,profunditate ne eam planus,superficialicue numerus e Primetur quod si eius monades in longum a. trum.& profundum duisantur,solidi nuncupationem talis numerus obtinebit. DIFFINITA.
Numeriis lineatis, est numerus qui suas onantis in eandem positici,
CVt x. 3, . , clarior omnibus sit doctrina omnes unitates, omnesque numeros per rotunda puncta desigilabimus.Nam si unitas explicetur,id erit hoc pacto a autem binarium velis sigruficare, eo modo facies h ... pari modo si ternatium linealem numerum describas,hoc Pacto per tria Puncta deligi iabis c .... hac arte coiilequens ter procede. Quandam inter se obseruant alialogiam numerus linearis in arithmeti. ca,& linea in Geometria: ita ut queniadmodum in longum,quauisata dimensione sea clusa,Geometrica linea POmgitur,sic nurne tu Iureans solam dunciuionuin extenoditur longitutarem. Harum generatio apprehenditurini ab unitate incoeperis quae principiu in lineatis numeri ap latur Mnatiualem numerorum seriem per rotunda puncta significaueris lucemplum Naturalis series numerorum linearum l ... l .... l..... ......i
c Numerus planus,est numerus qui per suas unitates descriptus, las longitudinem,latitudinem p obtinet dimensiones.
cy q, Nam si remanum instar trianguli hoc pacto disponas d:repeties illum numerium utrisque dimensionibus gaudere,videli cet longitudine,atque latitudine: porrigitur enim a sinimo in dextrum,& a deo uin in sursum, ut sensui patet. Eodem mos do si in longum,& latum,ad modum quadrati .describatur,vce: dicendus est nummius plantis:aperte enim patet in signato numero duas inimi dimestsiones, longitus dinc scilicet, atque latitudinem Coniuniliter dictardum es e s, qvi si vi altumm
220쪽
In is dextrum secundum suas unitates distendatur,ut finumeri phini nomen sortietur. Hie autem quem numerum planum diffutimus,aiberisqueauthoribus superficialis numerus nuncupatur:quippe qui superficiei similis est atque analogus. Et hic numerus planus infinitas continet species:quarum prima est trigonus: secunda,letragonus:tertia, pentagonus xit consequenter. Sed de his inferius fiet sermo. Generatio omnium planorum incipit ab unitate, to binario excepto,nullum sequentium numero itine, termittens qui omnes,si secundum duas Praenominatas dimensiones protendantur, ipsorum propagatio Omnibus reddetur aperta. Ecemplum.. D. Linea naturalis plano ii numero si ii ii i ii iis i lumerus solidus,eli numeruS qui suapte natura omnem sibi vendi, ea dimensionem,ut puta longitudinem,latitudinem,ati crassitiem.
Dcemplum Α, ,6. Unde si quatemisi tres unitates admodii trianguli disponas cui desuper unitas locetur tanquam conus,seu Verte Priamidalis figurae, ut guntientes omni dim&isione gaudere, per conseques solidus numerus erit. Eodem modo si qua. tuo quinatis unitates ad modum quadrati describantur, Malia unitas desuper tanquavertex silvetiir uti:non minus solidus numerus dicetur. Pari ratione dicendum est de senario nam si quinq; eius unitates ad similitudinem Pentagonalis figurae ordinentur, ire desuper tanquam conus unitas una Ponatur,vt :sobdus numerus erit.Numerus au . tem solidus,&corpus de genere quantitatis, in hoc conueniunt, ut per omnem portis fgantur dimensionein CSolidi numeri generantur, capta natures numerorum serie,si meter binariu & ternariu ab unitate incipiendo,cuctos sumpseris numeros. Exepta.
Linea naturalis solidorii numerorum to se Numerus trigonus,eli numerus planUS tria comens latera aequalia.
t 3 6,io. Nam si imangulari distendatur interuallo, ut hica trigonus numerus appellabitur:utpote quod tribus constet lateribus aequalibus. Simili modo is in tria
aequalia latera Pomgatur, ut hic i,numerus trigonus dicetur:nam quodlibet ipsius latus tres continet unitates .Etiam ubi in in tres costis laterales prosundato, ut hic mitrigonus erit niunctus. Dicitur etiam triangularis, quem trigonum numerum diffinis mus. Nec Praetereas omnium Planorum numerorum, trigonum esse primum: sicut in Geometria, omnium rectilinearum figurarum prima triangulus appellatur. Duabus nanque unitatibus,sola linearis emanat figura: plam vero,ad minus tres exigit vita. tes, sicuta triangulus lineas tres uram duabus lineis, saltem rectis, nulla geometrica intercipitur figura. Generantur numera trigoni nativali numerorum lutea disposita, si prioribus proxime sequentes continuo addideris. Vnde si mirati,quae primus trigonus potentialiter appellaturinecundum adiicias numerum,uidelicet binarium,consursget 3,secundus trigonus. Et si ,2,3 simul colligas tertius trigonus procreabitur scis uret 6. Pari modo ii 2 3,.simul colligantur,quartus trigonus emanabit,videlicet Exemplim . . I.
. . . . m. . . . Naturalis linea numeroru
ris uerit aliqua unitas par aliquora.
Numerus tetragonus,est numerus planus,quatuor aequalibus lates
tibus constans. CV q,9,16 Si enim Α,quatuor angulis explicetur, vim dicendus est numerus tetrasgonus. Etiam si in quatuor sequalia latera,ad modum quadrati, distendatur,vco:nus meri tetragoni appellationem tenebit Esl consimili arte dicendum de is qui si ad sor,
mam' tradrati,in lateraritiatuor qualia dilatetur, ut P:non minus retragonus nuncti pabitur. Numerus autem tetragonus, alio nomine quadratus exprimitur,xhoc qiva geometrico quadrato similis est,& sodalis. EPropagatio autet istorum numerorum liabetur, si tragonalis lineae quosvis duos nurneros tragonos sibi inuicein collateniles co