장음표시 사용
221쪽
. M. . . r. . . . . . . . . . . . i . . . . . . .
TE H o. iunxeris. Nam si unitatem primum irrigonum secundo proximo sequentisscilicet 3 coniungas,quatemanum generabis:qui feci indus tetragonus est. Et si .secundus trigo nus tertio trigono .videlicet senario adiiciatur: nerabitur tertius tetragonus,v Ote 9. Eodem modo si 6,tertius trigonus simul cum io.quarto trigono accipiatur consurget quartus tetragonus,scilicet is. Et pari modo consequeuter. Exemplum Linea trigonalis
Linea tetragonalis Deducitur ex diim s. quemlibet tetragonum ab unitate totum esse, quota est alii ius lateris eius monas pars aliquora.
CNumerus pentagonus est numerus planus, qui quin y aequalibus lateribus perficitur.
es, it 22. Nam si in quinque aequales angulos quinarius distendatur,vi qmumeri pentagoni sumet denominationem Parisormiter dicenduni est,sici inquini aequa lia latera pompatur,vim ipsum duodenarium taliter situm peragonum nuncupari. Si autem 2 in quinq; aequalia latera dimibuatur,vt4:numerus pentagonus dicetur Po test numerus pentagonus alia denominatione quinquangulus dici: sed nomina ad placitum significant. Procreantur omnes pentagoni, acceptis linea trigona ,ε tetragona, a secundo tetragono incipiendo: si primum trigonum videlicet unitatem .secundite tragono, scilicet q coniunxeris: secundum trigotium tertio tetragono xtertium in gonum quarto tetragono,&se consequenter. Vnde si vestas quae primus trigonus est. q,secundo tetragono addatur:consurget ς qui secundus pentagonus est. Et si ,siecim dus trigonus, coniungatur qui tertius est tetragonus, profluet 2 tertius pentago nus. Eodem modo is,tertius trigonus,1 quarto tetragono addatur:emanabit22,qui Linea trigonalis
tas pars aliquora. Poteris facili cura .intestem quidicta sunt, teros infinitos planos, R ipsertim generationes dignoscere: hexagonus enim,quartus est in ordine: heptagoanus quintus:& octogonus, sextus &deinceps hoc modo CGeneratur autem istoruquiribet, sequentium,ex trigono,& sibi immediate praecedenti plano:ita ut hexago mas ex trigono .8 pentagono Profluit:sic heptagonus ex trigono, hexagono:S octogonus ex tagono . heptagono: cita consequenter. Nam sicut ex primo gono, de secundo tetragono pentagonus secundus generatur:ita ex primo tragono,&ieci indopentagon secundus hexagonus Producitur: sc ex primo tragono .R secundo hexagono,secundus heptagonus generatur:etiam ex primo trigono,& sccturdo heptagono, secundus octogonus profluit:& de aliis Pati modo. In hac enim Elementorum com ihinatione omnium planorum generationes facile dantur intelligi. Exempluin.
Linea pentagonalis Linea hexagonalis Linea heptagonalis Linea octogorialis
222쪽
ετ meros resoluitur. Hi vero nullam patiuntur dissolutionἔ.Vtii. 3 in tres unitates resolua. tur,hoc non erit inquantum trigonus, sed inquantum aliam mominationem sumit In aliis autem plarus est pari modo dicendum.
CNumerus altera parte longior, est numerus planus, cuius altera dis mensionum alteram per solam unitatem excedit.
t. s. ix. 2o. Si aute. s. eo modo describatur,vt. t. aperte reperies longitudinem Blamitate a latitudine differre . a si . t. sic significetur Vt. v. euadet notu logitudine per solam unitate latitudine excedere tamde modo dictaude. 2 .qui si vi. x. describatur, numerus altera parte logior dicetur. Potest etiam aliis nominis appellari,utpote logi. laterus,quadragulus,sed iure nomina de significat. Hinc deducitur omnem numerualtera parte longiorem,quatuor angulis,quatuorq inaequalibus lateribus constare: op. positis tamen costis nulla ex parte se excedentibus. CHom generatio habetur, si natu. resis panu numeroru linea capiatur 5 omnisi talium ordinata fiat additio. Nam si 1.Rq. PrimIPares, In Ponatur, emanabit, G. Primus altera Parte longior.&si. 2. q. s. simia coaceritetur,cosurget. t 1. secuduSaltera Parte longior Pan modosi. 2. q. s. s. in unum colligantur pronuet. 2o. tertius altera parte longior. Et hoc pacto deinceps. Exemptu. Linea naturalis patiuan numerorum 2 6 a Diali ' is Lis
D si Boetius 8 posteriores dixerint. a. numerum altera Parte longiorem esse nos tamen impossibile reputamus aliquem numerum,&linearem I Planum esse seciuidamu situ. eiust eandent positionem.
CNumerus antelogior, est numerus planus cuius altera dimesionum per numerum unitate maiorem alteram exuperat.
t. s. io .is. Nam si .s hoc pacto describatur. Vt, y. differentem a latitudine m. r. Ionagitudinem habebit. Consinuli modos. o. sic repraesentetur,vt. z. eius longitudo altera dimensionem per. 3. exuperabit.Ita est dicendii O.rs qui si eo modo significetur,vt. Usuarum mensionu altera per numerusnitate maiore altera excedet,videsicet per x. Hper conseques quilibet praedictoru numerus antelongior appestabitur. CInfertur ex his omne antelongiore numerum perinde ac altera Parte longiorem,angulis quatuor qua tuorve huequalibus costis Persici: nemo illarii oppositas adinvice miras habere ESoclido patet eunde nument,re altera Parte longiore,ctantesongiore esse: ut fit videre est de ii qui si in tres aequales lineas plana figura constituentes scindatur, altera parte linatior dicetur: ubi vero in duas solum diuidetur aequas partes ,numerus antelogior expris metis. CProductitur cuncti antelongiore accepta turea parium, R impariter imparili numerorum serie: si Omnes Prima Pra tereres Primos videlicet. 2. q. s. 8 singulos a secundi praeter tetragonos,sive quadratos fumpseris numeros.
CPyramis est numerus solidus, cuius balis est numerus plan aequis laterus, a cuius singulis conis in monade,vel planum uniformi decre,
t. . 9. t Nam si ex tribus quaternarii Vnitatibus trigonus efficiatur,supra quere. sidua unitas locetur,vt. a. numerus inde rei ultas pyramis niicupabitur, cui trigos discitur basis Munitas desuper sita vertex, siue conus niicupatur. Pati arte dicendu est,si se nouenati monadibus trigonus tertius connetur. cui desuper. 3 seclidus trigonus Ponatur,vt.b. consurgenteisde numerii Pyramidei cupari. Ubc5simili modo dicem dum de . t a quo si noue extrahantur unitates, tetragonii tertiaeeoponetes δε hoc pro si5 desuper. q. secundus tetragonus locetur,supra quem residua moras,tana vertexpcmatur,vt.c. taliter dispositu numerii Pyramule primi. Continet niter primi alis species infinitas: quaru Priina dicitur pHamis trigona:secuda pyramis tetragoria:tertia pentagonasia hoc pacto deinceps. Et earum qintabet suam denominationem sum ae
L. . . . . . . . . . . . . . . . O
223쪽
ptino numero, qui basis appellatur: ita ut si talis Planus sit trigonus,pyramis tragona
dicetur:sitem gonus,lctragona: si pentagonuS,Pentagcna &cosequeter hoc pacto. sed de his insta. Nastutu Cinnei, Pyranaides capta naturali numero in selie si ab ea
dem tres primo Sabiicias numeros, et te. . a. 3. LX Plim.
Hinc patet omne Pyramide tot latinibu conuale, iuOcciu basi, contulet cono:.
Pyramis persccta,est pyramis cuius omma in altu directa latcra, la
CV t. q. io. IANI si. q. hoc pacto describatur,vt.d.c ut porrecta in altu lateia lateri hasis aequalia esse:dicendus igitur in pyrami Perfecta Eodem modo si .io. lincetur, ut e non minus persecta pyramis est nominandus Pari ratione si decim:quarti numeri tertis tetragonus,videlicet. 9. Pro bas capiatur,supra quem secundus tetragonus locetur,ae supra laucisonas primus trigonu Ponat tir, ut est. f. nuinem ill 14. Persecta pyramis dicetumcum eius omnia latera,qus sursum eriguntur, lateribus basis sint aequalia: nam queadmodii in quolibet basis latere tres monades tantu sunt, ita in quolibet sursum erocto latere tres diit at unitate inuenititur: quare ex diffinatione constat perfecta pyra. midem ess e. Ex his deducitur in omni perfecta Pyraniadestot numeros plano atqui, lateros eiusde ordinis inueniri,quo in quolibet suae basis latere computantur unitates. Menetatio persectatu pyramidum eadem est cum praealtuinpti ditibuli generatione. Nam si a naturali numerorii linea tres prima abiiciantur,vineri,ciuam sequentes perseam pyramides dicentur. Exemplum.
t. s. 13.16 . SI autc. 9. e Pacto distendatur,vi. g. aperte reperies laterii ere ηes lateribus basis minime arium:quonia in quovis halis latere tres sunt rutates, sed inini laterum directione duo solum monadc inueniuntur,quapropter datus numerus Pyra. mis curta nommatur. Et tam si .l3 hoc modo figuretur,vt. h. ita ut esus tertius tetrago. nus videlicet. 9. pro basi capiatur, supra quem iecundus tetragonus, Puta. q. locetur, censendum erit signatum. 13 Pyramidem curtam esse. Eodein modo dicendum est dea 6 aquosi . to . quartus trigonu Pro basi minatur, supra ipsum. G. tertius trigonus fiagatur, ut ostendit . . non runus a Praealsuinpti numeri curta pyramidis appellationem
tenebit. Et liae pyramis ita quae iam dissinita es halio nonune pyramis inperiecta nominatur' sub se infinitas continet species,quarum Prima est Pyramis secuita, cunada pyramis lascivira, tertia Pyrainis incuria: re hoc Paeto consequerer. led de hi statim fiet seimo. Profluunt omnes Pyramides curtae, acceptis omniurn Planorum aequila. ieroiit lineis laturalibus, si in cuiustibet in Plani, Primo ablato ordinata, ct saepius tepetita fiat additio. Nam si accepta risonori serie, tertium trigonii secundo adiicias
consurgens numerus,scilicet. 9. curtam ramis dicetur. Et si secundiis,tertius, quartus tragoni coponantur:inde emanan nun)cru , Videlicet. 19 Pyramis curta appellabitur.
Pari modo si secundus,tertius, quattuS,Squmtus trigoni addantur:resultans numer utpote. 34. curta pyrami cor ituri consequenter hoc modo. Deinde si relictis pii. mo, secundo tragonis, tertio incipias,e ordine procedendo,sic ut tertium, quar, tum sinu addas deinde terrium,quartum, re quintum Sostmodu tertium,quartum. quintum, sextum, ita consequenter: inuenies omnem ex aliqua tali additione pro, uenientein numerum,curtam Pyramidem dici item si primo, secundo, R tertio dinus sis trigonu, quarto iurium sumas, orditie iam dicto procedendo, infinitas, ramidea curtas generabis. Et hoc Paeto deinceps Hocedendum est in tetragonorum penta os nonini,ct aliorum sequentium lineis naturalibus. Diuiti COOi
224쪽
i CPyranais securta,est pyramis curta, cuius laterum erectiones sola monade a basis lateribus exuperantur.
Vt. 9.is. 39.Namsi. s. tertius trigonus Pro basi sumatur, deinde. 3 secundus trigonus desuper locetur, v k. s. pyramis inde eluitans securia, siue semel curta denominabitur:
costat enim in quolibet signatae pyramidis sursum porrecto latere duas prscis monades
esse,ct cum in quovis suae basis latere tres inuemantur unitates,sequitur laterum erecti nes sola monade a basis lateribus exuperari, Per consequens ex diffinitione numerus 9.pyramis securia dicetur. Hac arte procedendum est in .r3. Unde si pro basi. 9. tertius tetragonus accipiatur,cui desuPer. q. seriindus tetragonus locetur,ut .aperte inuenies leuata in altum lato ad basis lateribus sola nitate deficere Numerus ergo .i3. taliter desiniplus,pyramis sectura vocetur. Est consimili modo dicendum de .i9. ita ut si . to.quartus trigonus pro basi capiatur, supra quem G. tertius trigonus Ponatur,post modii suo
Ira hunc. 3. secundus trigonus locetur,Vt figura docet m. dici quidem potest ipsum. 19.ecuriam pyramidem esse CEnaanant pyramides quaeq; securia captis omnium planos rem aequilaterorum naturalibus lineis,alecundis planis incipientibus:si in cuiuslibet ta, lis lineae planis ordinata,& saepius repetita fiat additio. Vnde si capta naturali trigonota iserie,A primo trigono reiecto, secundum tertio adiicias primam pyramidem securiam generabis. Et si Iecundum,tertium e quartum trigono simul colligas, securta pyramis lProducetur,quae secunda in ordine in trigonali linea nuncupatur. Pati modo si secundus. l. tertius, quartus,5 quintus trigoni componantur, Pyramis securia in eadem linea tertia consurget . consequenter isto modo. Est consimili arte procedendum in lineis tetrago, norum, pentagonorum dequentium Planorum aequilaterorum.
i CPyramisit scurta, est pyramis curta, cuius Protracta sursum latera abalis lateribus per binarium excedunt ti
l .is. 2s. 3i.Nempe si .io quartus trigonus Pro basi habeatur cui superponatur. s. tertius trigonus, ut ostendit n. inuenies, numquodque basis latus per. a. quodlibet furosum protractum excedere .igitur ex diffinitione I s. pyramis biscurra denominabitiir. Pari processu dicendum est.2 nam si pro basi accipiatur. 5. quartus tetragonus, di supra Ulum. 9. tertius tetragonus Ponatur, ut repraesentati. nunaerus. 2s. perinde ataris. pys gramis biscurta dicetur. Eodem modo. i. biscuris pyramidis figuram suscipiet,si pro eius bilis'. quintus trigonus sumatur,supra quem Io quartus trigonus locetur,&supra hiaec tertius trigonus emineat, ut praesens punctoru compositio demonstrat p. Patet enim in quolibet signata pyramidis erecto latere tres solum esse unitates, ubi tamen in omni suae basis latere quinque inueniuntur:& Per consequens ex diffinitione numerus. r. smnis biscurta dicetur,cum Per. 2 lateru erectione a basis latetibus exuperen . Cosurgunt cunctae pyramides biscurtae acceptis naturalibus omnium planorum aequilateronim lineis,si a tertiis planis in sequentes ordinata fiat additio Nam si in naturali trigos norum linea tertius trigonus quarto addatur,pro nitet a G. prima pyramis hiscurra Et si tertius,quartus, quintus trigoni coniungantur,consurget. 3 i. pyramis biscurta quae s cunda est in ordine lineae trigonalis Eodem modo si tertius, quartus, quintus, sextus trigoni componantur,enianabit. 2. tertia eiusdem lineae pyramis biscurra, ε in reliquis consequenter. Pari omnino Processu in lineis tetragonorum, pentagonorum,&sequenstium aequilaterorum planorum procedendum est.
Pyramis tri curta, est pyramis curta cuius ascendentia latera per tera natium a basiis lateribus exuperantur.
CVt.2s. qi.qs Vnde si is numerus quintus trigonus loco basis recipiatur, mi supersimponatur. Io. quartus trigonus Vt indicat'. cesen dii erit M. taliter fabricatu pyramidEtticurtam appellari .cum quodlibet basis latus quinque monadibus cincto ascendentia latera solis duabus perficiatur. Eadem arte erit dicendum numerum. 41. pyramidem triciniam denomiari,si pro eius basi quintus tetragona sumatur,scilicet. et supra quera
225쪽
quamis tetragonus ed&tiratur,utpote .ls. ut declarat r. Consimili dis su potest ostἰ
di numera. 46. tricurtae pyramidis appellationem habere. Nam si pro eius basilico unodamento sextus trigonus habeatur,lcilicet. 2I. supra quem,r . quintus trigonus figatur,ti upra hunc ro. quartus trigonus locetur,ut molestiat s.censendu erit numerii. G. trio curta pyramide esse: tres enim unitates quodlibet balis latus supra ascens latera ponitrdicetur igitur ex diffinitione prsassumptus numerus Gicuti&priores, Pyramis tricum. enerantur omnes incunae pyramides,clictis naturalibus planorum aequilateroru lisneis acceptis:si a quartis planis in sequentes planos ordinata fiat additio. Nam si habita trigonorum linea quartus tigonus,videlicet. Io quinto trigono,scilicet. s. addatur,cos surget. 2s prima pyramis incuria.Et si quartus,quintus,& sextus tragoni simul recipiatur,producetur. 45. secunda pyramis tricuria, in linea trigonali Eodem modo si qua tus,quintus,sextus, septimus trigo componantur,consurget. 2. tertia incuriari. ramis lino trigonali cita consequenter ascendedo. Eadem arte procedendum est in maturalibus tetragonorum,pentagonorum,&sequentium lineis. Et quemadmodum dedactae sunt pyramides securi bis naetticurtae,ita catera in infinitum Progrectentes, videlicet quadricuri quinque nae,sexcurraeo reliquae deduci poterunt.
CPyramis trigona,est pyramis cuius basis est numerus trigonus. .,
t. q. scio Si aute qua tematii ues unitates,quae prima trigonu efficilit,probasi scipiantur,&quae superest monas in verticis loco ponatur,ut .recte. q. pyramis trigona venit appellandus. Eode modosi. 5 tertius trigonus pro basi capiatur,deinde secundus
trigonus utpote . . supra basim locetur, ei nulla desuper unitas figatur,ut v. censendum in taliter Punctuarii. s. trigona PyramidE esse. Etia si numeri. ro. Probasi capiatiar.5.tertius trigonus supra que . . secudus trigonus locetur, re demit supra ternarium unitas primus trigonus,ta mucio ut Verto superemineat, ut est x. dicendu es . to eo pacto sis
tum pyramide trigona esse. Procreantur omne Pyramides trigoris accepta trigonorumturali lanea si ordinata,& saepius repetita in ipsa fiat additio. Navi primus, iecitdus trigoni coponantur,cdsurget. q. Pruna pyramis trigona. Et si primus,secudus,di tertius trigoni addatur,emanabit. io, pyramis trigona. Tria si primus,secudus, tertius, ' istus trigoni simul adiiciatur,profluet. 2o. pyramis trigona: cosequeter icto modo. Demde si primo trigono ablato,secudus e teritus coinponantur,consurget. 9. Pyramis trigos m. Et si secundus,tertius, quartus simul coniungantur,Producetur. 19. pyramis etiam
trigona .Et si secundus,tertius,quartus, quintus trigoni addantur, haiabis. q. trigos nam pyramidem. Scita consimili modo dicendum,si primus,& secundus trigoni abiisciantur,cta tertio ordinata fiat additio,ac deductum est:& hoc pacto deinceps Lxias facile dignoscitur trigonam pyramidem, Perfectam di curtam amplecti.
Pyramis tetragona,ell pyramis cuius basis est numerus tetragonus is
C t. s. 13. xq.Nam si . s. hoc pacto distendatur via. aperte dignoscitur illius basim tetragonum numerum esse,cum sit. q. secundus tetragonus. Etiam s. intali protractione lis neetur ut L. non minus u. dicendus est Pyramis tetragona:habet enim pro eius hasi. s. tertium tetragonum Liliari arte dicendum.14. tetragonam pyramidem esse,& hoea pro eius bas. 9. tertius tetragonus a tur, supra quem. q. secundus tetragonus ponastur, supra hunc monas Primus tetragonus locetur,ut emesentat dispositi R. manant cunctae pyramides tetragonae capta tetragonorum numerorum naturali serie, a ordinata,& saepius repetita fiat additio ad sensum in praecedenti diffinito. Constat igitur ex deductis aliquam pyramidem tetragonam,esse Perse maliquam vero curiam.
Pyramis pentagona: est pyramis pro eius basi pentagonum contine tr
numerum. t. 5.1τ. 3. Si enim. s. eo modo describar ut pro eius bassis locetur:&si qua unitas desuper ponatur ut a. oponet dicere datu numer Pelagona pyramide esse. Eodemo
est dictaude. i .Na si pro eius basi accipiatur .ia. t u Petasoniis,cui desum. s.se
226쪽
III Udusicistagonus detur,ut indicat b:inde emanans compositio pyramis pentagona discetur. Etiam ii ea arte disponatur,ut Pro ipsius bati sumatur,deinde supra ipsum s locetur supra quem unitas,inimus PentagonuS reperiatur,secundum dispositionem e uenies i pentagonam Pyramidem denominari:utpote quod pentagona basicon stet. Consurgim omnes pentagonae pyramides di naturalis pentagonorum series sumaturoe ordinata atque saepius repetita fiat additio: ut in is distinitio deductum est. Hine habetur aliquam pyramidem Pentagonam esse Persectam aliquam autem civ Iram. Et quemadmodum deductae sim Pyramides trigonae: tem4 in insilitum proacedentes propalati Poterunt.
is C Numerus cubus,cli numerus solidus sex a luis atque planis numea
ris contentuS. cs,2 , . Nam si s ea arte describatur, ut sex aequalibus sit perficiebus, duode. cim autem lateribus aequis constet, ut indicatae, numeri cubi appellationem tenebit. Ut eodem modo dicendum dea , qui si aequalibus sex sia perficiebus protrahatur,&duodecim aequis lateribus,quorum quodlibet tres contineat unitates, ut demonstrat didicendus erit numerus cubus Pati modo orirandum est in numero 6 . Nempe si pro una superficie siue pro uno cius plano accipiatur is, quartus tetragonus. 8 hoe tali punctorum figuratione qualis se consurget 6 , qui numerus cubus dicetur: habe, hi auteni superficies sex.& easdem aequas,quae plani numeri appellantur latera vero duodecim eademq; aequalia ut aperte dignoscitur ex dissinitione igitur numerus cushus est dicendus. Solet appellati cubus alio nomine tessera utpote qubd tesserae, insacilisque similis sit atque analogus CGeneratur omnes numeri cubi accepta naturasti impatium numeroru serie ara incipienti si duo primi,scilicet 3 8 ς componantur:de. inde tres proxime sequentes,videlicet ν,9 rem,addantur,postmodum quatuor sequentes scilicet 13, is , t d is adiiciantur ει consequenter hoc pacto. Exemplum.
Linea naturalis imparium numerorum
Linea naturalis cuborum numerorum
Numerus cuneus,est numerus solst
CV 24,qo, 6o. Nam si pro longitudine sumatur 2 pro lati tudine , pro crassitie Α, consurget M.quoniam bis tria erudiunt 6,xquater sex, 2.producunt quare constat 24 nullam alteri ariualem dimensionem possidere ut dat intelligere figura g. Eadem procedendi via dicendum est flo esse cuneum nummim,si pro prima dimensione rescipiatur , pro secundis e pro tertia ,sacta, praetat in est ductione madet Ao, cuneus eo pacto deisibendus uti. Consimili modo censendum est clo esse cuneum. Nam si dimensionum primae 3 Pro ipsius latere accommodetur, medeae, q: extremae vero e re eorum debita fiat multificatio, o cuneus emanabit,ea arte praesentandus ut i Cmodiunt omnes cunei,acceptis omnibus inaequalium laterum planis,utpote altera parte longioribus et antelongioribus numis:si cuilibet illorum tot consimiles simul superaddantur numeri quot m eius latere maiori monades inueniuntur xvltrahoessi cuilibet ex tali superadditione consurgenti numcio in infinitum similium planoriam civiat additamentum. Nam si , primo altera parte longiori cuius maius latus tres continet tilitates: tres consimiles senarii simul superaddantur, consurget, , qui primus cuneus appellatur. Et si post hoc illi emananti Α, adhuc unus planus altera parte longior ad latur,puta 6 habebitur 3 o, numerus etiam cuneus Et si iterum ressultanti O,apponatiiralit planuS, profluet 36,etiam cuneus,&hoc pacto consequenter. In aliis vero inaequaliunalat um planis ea arte est procedendum.
Numerus parallelepipedus,est numerus solidus, quisnam dimenssionum ab alijs aqualibus possidet dissentientem. Disitiro b c o
227쪽
THEO. e re is, is Nam si ia,eo pacto rep sentetur,uth:repti ies aequas longitudine.atq; crassitiem:discrepantem vero ab his latitudinem. quoniam quemadmodum quodlibet Iongitudinis latus binario interciditur ita Maltitudinis quam is costa:sed latitudinis omne latus temano numero constat, Pari modo in is numero dicendum est:pro cuius una superficie si sumatur , mus tetragonus eo modo situs Vt hconsurget i5 cuius pros unditas alias duas aequas dimensiones exuperabit: dicendus est igitur ex diffinitione. parallelepipedus. Etiam si, tertius trigonus sic describatur,vcm: consurget is numerus parallelepipedus:habet enim primas duas dimensiones aequas crassitiem autem contractiorem. Horum generario habetur,si duorum proxime sequentium diffinitorum generationes in unu colligas. Habet se enim numerus parallesepipedus, ut genus res isti asserum δε laterculorum,.quos solum tanq in species immediatas partitis .
si Numerus asser,est numerus parallelepipedus, cuius una dimensio ianum alias duas emperat aequales.
CV α,15.2o Nam sit eo Pacto punctuetur,uti:inuerum crassitiem,aequales io gitudinem latitudinemque excedere dimensiones .i igitur ex diffinitione asser nuncupatur. Id iudicium in 16 habendum est:quoniam si Pro eius lateribus accipiantur 4 lacta primi in secundum δε producti in tertium ductione,consurget 6, tali disposistione lineandus. ut o Est eadem paritate in zo procedendum:nam si pro longitudine sumatur:pro latitudi etiam 2,ε pro crassitiess,inuenies,peractis ustionibus, xo conflati: euius utranque dimensionum crassicies exuperat ac vincit. Id autem facile datur cognosci in hac punctorum figuratione p. Nec refert longitudinem, latitudine, aut profunditatem alias aequales excedere dimensiones. Pro omnium asserum ges ratione, accipiatur natui alis numerorum linea, a temario incepta δε linea tetrasos natis . a secundo tetragono inci ens, ε Prima desum tanquam quadrati costa locestur secuta lateraliter ad modum diametri quadrati sit sita:dcinde diametralis linea insuperiorem eo pacto ducatur, uti linus eiusdem diametralis lino numerus in innoctos suprapositae numeros multiplicetur. 8 prouenientes numeri in primo superiori calle,& domibus coirespondentibus numeris suprapositis ponantur:postmodum dia. inetralis lineae tetragonus, utpotes, in omnes a Primo superioris lineae numeros diis catur,8 consurgentes numeri in secundo calle,& domibus respondentibus morentur. Consequeriter tertius diametralis lineae tetragonus in omnes a primo. 8 secundo subpetioris lineae numeros multiplicetur, ε inde emanantes numeri, se ac domibus proportionabiliter ad iam dicta locentur Et si in infutatum eo pacto multipli ad , pro ceda, cunctos asseres Productos inuenies: quos omnis Praesens nuinerorum comessitati, praesentat.
228쪽
i, CNumerus laterculus,est numerus parallelepipedus,cuius una dimesonum ab aequalibus aliis uperatur.
His,3 et, 4s si autem longitudo pol significetur,latitudo pariter per δε prosuns ditas per et generabituras quoniam ter tria reddunt s. deinde his nouem, is modus cunt: tiare dicere conuenit is laterculum esse habet enim longitudinem atque latis tudinem aequas:crassitiem autem possidet contra morem: ut in contexturi videre est. Necnon praelatus is laterculus est nominandus uando prolongitudine latitudine vex sumeretur.&pro aliarum qualibet iumentionum. Consimili arte procedendum est inax Nempe si pro utraque Primarum dimensionum 4 recipiatur adicis vltis ea lactiique eo pacto ductione,quater quater sunt fac bis is sunt et productus inde numerus utpote 32.latercultis appellabitur qui hae positione describet .via. Etiam in As,pari processu enitendum est: accipiantur igitur pro ipsius lateri . , ,3,sic ut primus 4,longitudini statera indicet. ε secundus latera latitudinis, &-pto. funditatis latera denunciet. Deinde in Aducatur re profluet46:in quema multipli. cetur,4 consurget 4s laterculus nominandus qui eo modo figuretur, ut s. CHaec est laterculorum numerorum progressio Sumantur duae lineae, quarum altera sit nasturalis numerorum series, Linchoata:altera vero tetragonorum linea,a tertio tetras no incoepta et haec tanquam diametralis linea transuersaliter ponatur illa vero aequadrati costa superiori loco quiescat:deinde primus diametralis lineae numerus in solum primum superioris lineae numerum ducatur,et consurgens inde numerus scilicetis an domo intermedia ponatur postmodum secundus diametralis lineae numerus in primumae secundum superioris lineae numeros multiplicetur,4 productos numeros calle&domibus intermediis locabis' consequenter tertius diametraeis lineae nume. rus in primum, secundum e tertium superioris lineae ducatur,ac geniti inde numeri. calle de domibus ibisdem repotis 4 a tertio come δε tertio dis ametralis lineae intereceptis figantur: ε cosequenter hoc ordis ne in infinitu fiat pro scessus Horum exsemplar sit tibi ti sens elementorum c5terio.
M CNumerus circularis,est numerus planus,qui ex ductu alicuius nu meti in se, vel in maiorem pro termino ipsum minorem habetem prooducitur,xm illum terminatur.
t 2s,3s,s2s .mmos,ex ductu scin seipsum cosurgit. quinquies enim quinq;,cos Ponunt 2s:est igitur ex diffinitione numerus 1 cucillaris postilitanus est in Produν citin ex ductis in se,8 in ipsum ς terminat . Eode modo 36, ex multiplicatione in se,generatur cum sexies sex,efficiant 35.& quoniam planus est,f in illum numerusinitur qui in seipsum ducebamr:constat ex diffinitione circularem numerum esse. 5simili racione dicendum erit nummina G2s,cucularis deno nationem sortim: Produ cirur enim ex ductiones in ras .nam quinquies 2s,prooeant 2s etiam ex multipli ratione 2 in se idem numerus resultat, nempe vigesies quinquens, generant zs Planus igitur est, 8 constat in utraque istarum ductione productum numerim in il
tum desinere.qui malterum ducebatur: Quare ex diffutatione sequitur numerum cir L .iiij.
229쪽
c TE HO. cularem esse. Dicitur autem nutricius circularis analom ad circulum in Geometria. nam quemadmodum circulus geometrice platia figura dicitur Miniunctum a quo incivit vertitur,& finitur:ita nurnerus circulari planu numerus appellatur, di in us merum a quo incipit regreditur,atque desinit. Et sicut numerus planus infimin sub se continet species , ita ta circularis immerus sed de his ampliorem non licet sermo. nem efficcie. Producuntur omnes numeri circulares faeta assidua quinti, lori vianitorum in seiplos,atque uade Productos numeros ductione. Nam si, quiluus digii us in se ducatur,consurget 2s Primus numeriis circularis: in quem si s huius digitus ducatur,emanabit is numerias etiam circulans: in quem si ducatur, profluet laturi 68 hoc pacto deinceps. Pari modo in 6,sexto digito faciundum putamus. Nam si s in seducatur,producetur 36,numerus circulariScin quem l 5 multiplicetur, euadetris etiam circularis:m quem si inducatur,profluet 295, numerus pariter circulariS: R coni uenter eo modo. Horum autem circulanum numerorum Productione Praessens sormula pateficit.
Quando ducitur ei se, qui Produc
tu est tetrao Sonus circularis: in que rursus si ducatur latus, inde natus, erit sphaericus cubus, ait. In hunc tutius si ducatur idem lat', sciliceta Pro ducetur phaericus lolidus, non tame cusiacus in quee consequentes si semperducatur latuss,omnesquotquot produa
hici. Idem sit iudiciu de s mari in se
suos, quadra tu, scilicet, cu me circi lares omnes
Numerus sphaericus,est numerus solidus, qui ex ductu minoris numeri in maiorem pro termino eundem minorem habetem proaeatur, 3 in ipsum minorem numerum finitur.
CVt viatis, εχs. Nam ars solidus est numerus, cum sex aequis superficiebus conis stet 8 pro'ducitur ex ductis minoris numeri mas numerum maiorem,qui pro ter no eundem minorem habet,ec in ipsum , minorem numerum terminatur dicendus est ieitur ex diffinitione numerus sphaericus Pari omnino arte dicendum in de iis. oui solidus estiae producitur ex multiplicatione 6m s. deinde in ipsum initur: quaatemhaeticus numerus appellabitur. Eodem modo de 52s Profitenduin est. In prinus solidis est numerus a consurgit ex ductionis in ad tam ter nuro eundem habente, in totum, minorem nutrierum finitur: ergo ex distinitionesPh cus in censisadus. Habet eniim numerus sphaericus quandam Pr Portionem , siue sumtitudinem cum soliae in Geometria Nam sicut haec solidum, atque rorundum corpus nuncupatur: ita cille numeri solidi ,rotundiq; appctationem sortitur. Habet in luper mimeres phetiaeus iecies infinitas,sicut iumem cucularis; de quibu inhil ad practens, utpote otiose prius dietis quae lucida sunt,latae constet. meratio sphsticorum nume. iorum eadem est cum circulatium numero uiroductione:re autem ipsa conueruunt,
sola vero unitarum 'ositio duin tiamtumunt Ut satis cuilibet patere est.
230쪽
DE RELATIS NUMEROR v Mhabitudinibus,traeta
tus quartus.s Tendum est sapietibus,Sodiade auctore.& cum plaro' inueniam sapimrissimos de Arithmetica disserentes,qui lubtili brevitate medietates per nerui:mihi sanctum visum est iis esse ad haerendum, potius si obviandum. Et si in hac parte peril multa occurrunt diceta,ea Omma Prs terimitenda omato silentio cena sui. Nam multa velociter,& continuo loqui, stultitiae signum est inquit Nicostratus ideo tacendi munus esse sine periculo,dicebat Athenodorus. In hoc igitur quarto tractatu duodecim solum diffinita ponemus,in quibus de relatis numerotu habitudis inibus pertractabimus.Nam uti numeri ad numerum comparastionem assignamus .sic ad habitudinem aliqua habitudo potest reserti. Per habitudinem intelligo eum modum quo unus numerus ad alterum comparatus se habet, sicut ei inquetur,eum ve superet,aut ab eo vincatur. Habitudo Vtique ad proportionem est pes nus:eum omnis proportio sit habitudo,&non ediuerso. Si enim numerus ad numerum comparatur:consurget inde habitudo,quam proportionem vocamus. Sed si habitudo ad habitudinem,uel proportio ad proportionem refertur protinus medietas, siue pro portionalitas consurget.
C Medietas,est certa differentiarum proportionumve habitudo.
Ut. s. s.4.2.nam quemadmodum. s. senarium Per binarium excedit,ita. 6.quat a. tium per binarium vincit, etiam .q. eo Pacto ad binarium se habet: quare consurgens inde habitudo medietas appellatur.Etiam in istis tribus numeris. s. q. .medietas inuectnaetiuδε hoc si habitudo primi numeri adiecimdum,habitudini secundi ad tertium eo paretur:utraque enim habitudo proportio dupla censetur. Eodem modo in his quat or numeris. s. 3. 5. 2. duae triplae inueniuntur ProportIOnes. Nam inter novenaruim prionium numerum,& ternarium secundum numerum tripla Proportio habetur: inter se. narium tertium numerum linarium quartum numerum tripla etiam proportio in oritur. Si igitur hae duae proportiones comparentur,proueniens habitudo medietas,sive proportionalitas s& hoc terimno magis comuni iuncupabitur. Hoc tamen in hae pars te pro documento est tenedum,non posse in paucioribus,si tribus terminis, medietatem inueniti. Et si aliqua talis in tribus solum numeris lateat,medietas simplex diceturvivoro in pluribus terminis inueniatur,medietas composita exprimetur.
Medietas Acit retica,est medietas cuius inter terminos eaedem differentiae obseruantur.
t. q. 3.χ per terminos intelligo numeros in medietate repertos,& per differentiam
excessum quo aliquis numerus minorem numerum, cui refertur,vincit iam patet u in datis numeris Arthmetica medietas inueniatur Nam excessus quo Primus terminus,videlicet.q. temarium secundum terminum exuperat,est aequalis excessui quo. 3.bularium vincit cum quilibet talis sit unitas,quae Proprie in signata medietate differentia nucupatur. Eodem modo. S. 5. 3. . Mithmeticam medietatem componui. Nempe eadem inter duos primos terminosin illos qui sequiratur inuenitur differentia,& illa est.2. Pati mos do. H. x . . q. . Antimeticam medietatem emesum: m. 3 sit illorum numerorum communis differentia. medietas Arithmetica duplex est. Altera continua, altera vero dissim . Continuam eam appellamus cuius omnis munerus medius est principium, Ni finis:hoc est quilibet talis numerus alteri comparatur,xad eum alter numerus referturvt. 9. 5 3.Notum erum est datis numeris Arithmericam medietatem inueniri,cum 3. sit illorum differentia.quonia. s.munerus medius est comparationis,principium in ordine ad ternatium, i resertur est finis respectu nouerant qui ad ipsum senarium com