장음표시 사용
231쪽
paratur dicendum est inter numeros datos continuam medietatem inueniri Elia in istis
numeris. S. G. 4 2.cotinua medietas trabetur. Nam uterq; terminus medius, videlicet. 6.&.q. est principium,atiu finis coparationis. Vnde quemadmodii. S. senariu per bitrarium excedit,ira. s. qualemari perbitraria vincit,&. q. binarium per burariti superat. Eodem D Iuncta ruiodo in his numeris est dicendii. is .i2. 5. . Disiuncta medietate eam esse dicimus inrith me, cuius non omnis numerus medius est Priticipium, atqjitus in sensu prius declarato,ut o. λ4.2.Nam denarii ad octonarium differentia est.2. qualis est quaternatu ad binariti:
sed quoniam intermedios puta octonarium, qua temanum consimilis disterentia non habetur ideo medietas illa disiuncta nominatur Pari modo in his terminis .ii. 9. . . I. disiuncta medietas liabetur. Etiam&m Istis nuIneris. o. II. 3. Io .F. 2.
Medictas geometrica:est medietas cuius inter terminos eaedem pro x portiones habentur.
CVt. s. q. 2. Nam qualis est octonarii ad quat anu proportio,ialis inter quate rita, echinarii inuenitur: utrobit mi est dupla proportio,quare inter datas proportiones liabitudo medietas geometrica nominas Suris' iter in his terminis .is. s. 5. 2. medietas geometrica liabetur. Nempe qualis litteririmun ,αsecundum numerum inirenitur proportio:talis inter tertiit 8 quarti pariter reperitur, Vtra Paule tripla proportio appellatur, Est eodemodo dicendu in ius numeris. 9. 6. q. in quibus ordinatim sesquialtera propor Geo. medie tro habetur. Medietas geometrica est duplex,scilicet continua,& disiuncta,ut in praeotas duplex cedenti diffinito de Mithmetica medietate dictu est. Exemptu de medietate geometri a coimu q. I. i.Na qualis est primi termini ad secundu proportio: talis est sec dias tertiit, utrobiq; enim proportio dupla inuenir quoniam ius numerus,videlicet. . primopium est,&hnis,cusi prioris Proportionis consequens, Posterioris antecedes. Dic dum ergo est colurgente ex illis terminis medietate,continua siue coniuncta nuncupari. Etiam in istas quatuor terminis. 2τ. 9. .r. continua medietas habetur.Na quemadmodartim ad secundu est tripla proportio:ita secundi ad tertiti 8 tertii ad quartii consimilis es proportio. In viis etia tribus numeris. 27. IS 2. geometrica medietas'iram comun.ctam appellamus epist .Primus nassi numerus ad secundum in sesquialtera se ira erro portione,& taliter secundus ad tertiu se habet. Exemplum de disiuncta 8 geomeo trica medietate. s. q. 5. 3. Nain qualis inter octoiratili,& quaterrarii inuenitur proporitio:tesis inter senatium.& tertiarium etiam consurgit:utrobiq; enim est dupla proportio, quale inter datas proportiones habitudo geometrica medietas nominatur:& quoniam inter medios numeros, Puta mter. q. R. 5. cosmili Proportio dupla non reperitur, ideo
medietas in illis quatuor numeris habita disiuncta nominatur. In istis etiam quinq; nu. meris is, G. I, a. disium medietas habetur. Ne qualis primi numeri ad secundum cst Proportio,ialis etiam est secundi ad tertiit,& quarta ad quintum:sed tertii ad quartum non talis consurgit habitudo Consimili arte in istis quatuor numeris. 6.q,3.2. disiuncta medietas inuenitur: cum primi termini adsecudum lesquialtera sit proportio, qualis est tertii numen ad quartum ued non talem lectuadi ad tertium est inuenire proportionem.
Medietas harmonica: ell medietas in qua talis eli maximi numeri ad . minimum proportio:qualis inter disserentiam maximi ad medium,&medij ad minimum inuenitur.
CVt. 5.6 3. Nam qualis inter. G. ximum numerum,&.3. minimum habetur propor. tio:talis etiam inter differentiam maximi ad medium, quae est. 2.& medii ad minimum, quae est. 1.proportio inuenitur: utrobiq; enim est proportio dupla. Etia inter hos tres nusmeros. 6 3. 2. harmonica medietas habetur:cum eade sit maximi ad minimum proporatio cii proportione differentiae maiorii ad differetiam minorii Na ambae triplae proporationes dictitur. Eode modo in his tribus numeris. II. 5. meditas harmonica inuenit.
Quarta meditas, est medietas inqua eade et maxima ad minimum Proportio:cu proportione differentiae minoru ad differentam maiorv.
232쪽
t. s. s. . nise qualis. maximi numeri ad 2 minimu proportio repentur, talis uis ter differetia naedis ad mutimu quς est... ad differentia maxinu ad medria,que est unitas inuenitur:utrobiq; erat tripla proportio habetur Pari mo Via in histribus t rinis. s. F. . quarta medietas repentur. Et in istis nucris .i2.i O. q. cosimile est reperire medietate.
Cinfinia medietas, est medietas in qua cos in illis est proportio medii nutri ad minimii cusportioe differetiae inmotu ad maioru defleretia.
IVt. s. q. r. Na manifestu est medii numeri,scilicet. 6.ad nunimii, videlicet 2. duplam inueniri proportione: talis est differentiae minorit,quae est.2. ad maiorum differentiai. quae unitas est. Cosimili modo ut his tribus numeris. Io. s. q.eadem quinta medietas ii, uenitur: necnon in istis numeris .ii. 9. .eadem medietas habetur.
CSexta medietas,cst medictas in qua maximi ad medium proportio, est eade cum proportione differetiae minorum ad maioru differentia.
Vt. s. q. . Qualis enim senaris, maximi numeri ad. q. mimem mediuinuenitur, talia inter minorum terminoiu differentia, quae cil. 3.ε differentia maiorii quae est.2. consura sit:etenim utrobiq; sesquialtera proportio habetur. Eodem modo in istis tribus numerisia. s. h.sexta medietas inuenitur. In his etiam consimilis medietas haberiar. . s. 1ς
Septinia medietas,est medietas i qua talis est maximi ad minimis, portio, qualis extremoru disserentia ad minorii disserelatia consurgit.
Q t. q. 3. 2. Nam qualis quatemarii maximi numeri ad 2 minimum est proportio,ialia est differentiae extremorum,quae est.2.ad minorum differentiam,quae est.x.In utriusque enun numeris dupla proportio inuenitur. Etiam in his numeris. 9.s 3.consimilis habe, tur medietas. Et talem pariter in istis numeris. 9. s.cestinuenire.
, Coctaua medietas, est medietas in qua talis est differetiar extremora ad maioru differetia proportio, qualis maximi ad minim reperitur.
CVt. q. 3. 1. Qualis enim quat arti maximi numeri ad minimuinuenitur proportio. talis etiam uater differentiam extremorum quae est 1. xmaiorum differentia, qua est. i. consurgit est enim utrobiqite dupla proporcio. In istis etiam numeris. 9. T. I. contaissis medietas habet .Pariter in istis. P. T. G.
io Nona medietas,est medietas in qua ut medi' ad minimus habet in proportione, sic extremoria differentia ad differentia minorii se habet.
Mi. 3. 2. I.Nam sicut numerar medius,qui est.2.ad minimii. qui est. r. in dupla proportiorae se habet,sic inter. 2. quies extremorum differentia,&. . differentiam minorum easdem proportio inuenitur. Pari modo in his numeris.T. 3. I.eadem Proportionalitas haahetur. Etiam Sinistis .P. s. q.
ii Decima medietas,eli medictas i qua ut medi' ad minimu se habet ma portioe,sic extremoru disseretia ad maioru differetia se habeat optet.
ol. 3. 2.i.Nempe t. a. medius numerus ad I in proportione dupla se habet,sic extrei morti differetia quiest. I. ad differentia maioru quae est. I. proportio dupla censetur Inlus pariter tribus numeris. i. 3. 2, coninitiS medietas uiuenitur. PMIter istis. s. s. 3.
1 ε Undeclina medietas,in medietas in qua vi maximus ad medium se habet in proportione, sic extremorum disserentia ad differetiam mas irum statuam seruat proportionem, s
t. . q.3. Nam vi. 5 maximus numerusad. q. medita intesquialtera ptoportione se habet,sic extremoru differetia,quce est. 3. ad differetiam maiorii,quq. 2. est, eandeseruat desilaltera a portione. Etia in his nueris. i 2. s. s. eade medietatEiuenies patefacta Pariter in istis. Io. 36.is . Hac vltima medietate adiecit Iordan'decimo libro suoru elemcto Iordantu. ,supra dece medietates quas Boeti' libro scdo sus Mittineti diffuse ui luce emisit Boetius.
233쪽
Kehylias. IISI Implicia sunt verba veritatis,inquit Rchilus Tragic poeta:&Theses ille Thale, uiterrogatus quantu mendaciu a veritate distaret,qualuitit ocuPνthago is auriculis disiat:Plane inferes oculata fide praestatiore esse aurita. Hincia, i Pyttaagoras interrogatus quidna laomines potissmiu similes diis efficeretr ατ ci vera cuiquit loquutin'.Vera igitur eademq; simplicia ut metacitia vinritate dignoscatur in praesenti traitatu ponemus:quem diffinitiora,ctgnitates petitiosnes,atet demostrationes distinguimus tria utiq; priora sunt demostrationia iundameta Dominet Ud igitur hae in parte pr orare oportet, in omni qum duo potissimu esse aduetiada,esterii datu altera voci quaestu:ut si qiueratur vir omne numera compositu numerus primus metitur,numerus cOPositus dicitur datii: 8 an quelibet talem numerus prismus metitur quaeritur. Nec practereundii est ubi demostrationes haberi possint ex priostibus 8 notioribus naturae,vitandii esse ne per incouenientia demostrentur. In huiusno ditiam demonstracione,quae propter quida Porissima, nuncupatur necesse est iamini ris extremtatis,quae in coclusione Priedicatur δε rninoris extremitatis,quae in radi conclusione subiicitur:causam esse medium. IFFINITIONE s.
Naturalis numerorum teries, est numerus ab unitate inceptus, qui per assiduum unitatis additamentum protenditur infinite. Hequalitas,est inaequalitatis principium m Numerus alteru numeras, is est qui in alique duetias eu producit 3 I Differentia numerom,est unitas,leu numerus quo minorem maior . superat,ati vincit. Ubi numeri ab aliis aeque distare dicuntur,quorum ad alios disserem stiae sunt aequales inter te. Extremoru differetia ea est quae ex medioru ollectione consurgit ac Proportidis termini,sunt numeri inter quos talis ortiolumitur. γε Nuerus medius, is est qui iter duos posit' est,& ab utris riualiter se Medij numeri, ij dicuntur qui inter extremos siti distat. ssunt,d aequales disterentias sortiuntur. Latera numeroru ea sunt ex quoru dueti one ijde nueri Nucutur toc Differentia proportionum, est proportio qua maior proportio in ignorem,cui refertur,vincit.
Similes,eaedemve,sive aequales proportiones dirutur quae eade, ruitutur denotrimatione:& ea maior,quae maiore:& minor quae minore. Dignitates a Comnis numerus qualibet sua parte est maior. numeri maior dicitur pars,qus minore denomnatione sortituri minor vero,quae maiorem. Omnis numeri monas pars aliquota sit,& ab eo denominata. Cois nuctus totus a monade est,quota P ei' monas ipsa nucupaturi Cuiussibet numera omnes partes simul collectae suo toti arquatur. Ex maiorum numeroru additione crescens numerus, eo maior est, squi ex rvinorum adclitione consurgit.
in aequali unitatu multitudine colargut:adinvice sunt aequales.
234쪽
CI numeti adinvicem sunt aequales, quorsi partes Eusdem denota.
nationis sunt aequales inter se. CNumeri eidem aequales.&inter se aequales erunt. Si dilualibus aequales adiiciatur nutal,qui consurg6t aequales resit. x CSi ab arctualibus aequales auserantur numeri,idemve communis, quales qui relinquuntur erunt.
ii CS aequalibus inaequales adiungantur numeri, inaequales qui emas
i CS ab aequalibus inaequales numeri secentur, qui resinquuntur in aes
quales numeri erunt. φ CSi numerus in monadem,ves in numerum monas ducatu idem numerus semper consurget.
i Duobus inaequalibus numeris prssentatis, si maioris disseretia misnoti numero addatur,sit vesa maiori numero ablata: qui relinquuturnumeri adinvicem sunt aequales.
i CSi numerus in alique numersi ducatur: numerus productius m proportione ad multiplicandsi se habebit qua multiplicans ad unitate. i CS aliquem numerum numerus diuidat: diuidedus ad diuidentem eadem se habebit proportione, qua ad unitate idem diuides se habet. is CQui ad eundem numerum relati aequas seruant proportiones, sunt
is CProportiones ex aequalibus proportionibus consurgentes,adinvicesunt aequaleS.
io Conanis proportio super aliam addit proportionem, quae cli alia cospulata primam Mest proportionem. , , C Eadem est maioris numeri ad minorem proportio,quaede partis liquotae ad partem aliquotam consimiliter nominatam. x Si proportio ptimi numeri ad secundum,super proportionem tertii ad quartum aliquam addatproportione:tuc ea erit proportio,quae in ter produ mi ex ductione primi in quartu, Se secudi in tertio cosurgit., CSi fuerint aliqui numeri cotinue aequa progressione, aut proportim ne procedentes prim ad ultimum proportio,in omnibus intermediis en composita. . CSi sint tres numeri continue aequa proportione se habentes: primi ad tertium proportio,in primi adsecundum duplicata quod si quatuor fuerint termini,prim ad quartum proportio,in primi ad secundum triplicata,& de canetis pati modo. Petitiones. Numerum in infiniatum rescere. CNullum numerum in infinitum decrescere. Unitatem pari numero adiunctiim,imparem redderα
235쪽
tatem impari adiunctam,numerum paremissicere. Cuilibet numero infinitos dari aequales. ς
4 Maiorem numerum, norem non numerare s Proprietat .
c Omnis numerus ex circum se duobus positis,ac aequaliter ab eo di istantibus compositi,est medietas.
.templum:4 habet supra ς Minis se , aequaliter L distantes nam Herma per i distat ex quibus f comm nitur,cuius 4 est medietas. Eodem modo si accipias mus 6 supra A,qui , pera distat, deinde infra .recipiamus 2, qui aequalitera Hongatur,xex ipsis unus numerus componatur is erit 3, cuius 4 ptius sumptus iliadem in medietas Et si supra videtur',& infra , qui aequaliter a virecedunt .efficiess,cuius .est medietas:& in aeteris dic consequenter. Demonstratur sic. Sita quieuis numerus, 3 e circumpositi squaliterq; ab a distantes, maior,c vero minor:&d si copositus ex N&χ:tunc a sit medietasQ,probatur,8 ponamus diffaentiam cosmunem acide,&m ad a,essee. Iam bene sequitur, ,est maius a pere:subtracto igitur quod resinquitur est aequale ipsi a,per dignitatem ii. Et per eandem dignitatem ses quitur, est maius e per e: igitur addito e ipsi, productum,ipsi ierit aequale:rego re. liduum b,8c productum ex e we,adinvicem sunt aequalia per dignitatem, sed resis duum b.& productu ex e Me sunt omnes partes docti sinthio coponentes :ipsummo difficiunt,pa dignitatem s. Et ultra,d componitur ex b,& producto ex e 8ce, aequalibus:ergo quodlibet illorum est medietas ipsius desse per consequens ,postquacuilibet illorum est iniuri. medietas diit quod erat demonstrandum.
Si numeri pares inuice aggregettir inde productus nuerus par erit x
xemplum: 2, ,s,s,to,it, Nam si χαψ numeri pares componantur: producetur 6 numerus par. Etiam is a in unum aggregentur:consurget, numerus Par. Eodem modo si io Micia x iumeti pares inuicem add ntur e profluet 36 numerus par:&consequento pari modo CDemonstratur sic. Sint numeri pares ab . c,ed, qui in unum aggregentur, videlicet ador uacqubd totus numerus id sit par,probas turmam postquam quilibet numerorum a b, c,od,Par est partem dimidiam habet,po diffinitum p primi iactatus:Productu igitur ex illi numerus videsacet id,dimi diam etiam partem habebit scio consequens Par oit:quod probadun sumpsimus.
. Si par naultitudo imparium numerorum in unum numerum auro 3 getur .productus inde numerus par erit. Exemplum, ,:3,s,m,0:itii3.Nams 3,ε ς,par multitudo simul colligantur, esse
dictura numerus par. Eodem modo si , , ,9,qui pari multitudine sunt accepti vo pote quaternario,simul aggregentur:proueniet 1 ,numerus par. Est pati arte dicens dum, , ,9,ti,i simul componantur:consurget qs,nuincius Par: consequenta hoc modo CDemostiatur sici Sit par multitudo imparium numctorum a b, c, d, et d e,qui in unum,uinoum,scilicet xe aggregent*:tunc ira enumerus productus sit par,probatur: nam postu quilibet numerorum a b, c,od,d e,in impar:si a quoubet eorum unitas auferatur omnis manens numerus Par erit rogo ex ipsis manentibus et compositus par etiam erit poeio cedentem proprietate,sed ablatarii unitatu multi ludo,parem efficit numeru:qui si primo pari composito addatur, iumerus inde pro ueniens par etiam erit,m eandem praecedentem propiretatem δε ille est at igitur a e produinis numerus par erit quod reat probandum.
CSi impar multitudo imparium numeroru in unum coaceruetur nu
236쪽
mcio,puta quinari o,capiuntur,in unum numerum aggregentur:Producetur nua merus impar,n de Ceteris hoc modo. Demonstratur sic. Sit impar multitudo im Parium riti meroruat,bc, d,qui in unum numer id, coaceruentur: quod a d,pros dumis numerus sit impar,probatur. nam si ab ipso ed, austratur unitas ed, residuu e,n timerus par crit:8 cum xc per Praecedentem Proprietatem sit par, sequitur per eandem praecedentem a e numerum Parem esse:cul si unitas ei,addatur, habetur ala,qui productius est numerus, imparem numeruisse quod sumpsimus probandii.
CSi numerus par, impar componantur, impar qui consurget, erit.
Exemplum arx numerus par, 3 impar,simul coniugant u consurget s. numerus impar. Etiam si inumerus par impar,coPulentur:Producetur 9,numerus impar. Eodem modo si s numerus par, cim Ian Unum numerum aggregentur: consura gens ii numinis impar erit ,ε hoc modo Consequenter memonstratur sici Sit nu. merus paria, impar b,8 consurgens eri aevi,sitis:tunc inde sit impar,probatur. Si numero a , itas addatur,consurget immerus impar, itertiam petitionem: qui si numero b addatur,producetur numerus Par, Per tertia Proprietatem: a quo si uni tas ipsa subtrahatur, returquetur ipsum c impar numerus:quod erat demonstmdu.
CS a numero pati impar numerus austratur,qui relinquitur, par
erit. Nam si a s numero pati auferatur 3 impar:reliquum erit 3 numerus impar. Si 1 numero xo pati, impar subtrahatur:quod relinquitur,est y,eriam impar. Deinde si a xx Pari, impar auferatiu:resiquum erit impar,Putas, re consequenter memonstrastur sic Sit numerus parat, quo impar te,austratur:tiae quod residuum,putab e. fit impar, probatur:& assigneturia residuo brivrutas ed:tunc sic,ex illa unitate,&tius mero ablato efficitur id numerus Par,per quartam Petitionem: ε cum ex hypothesial sit par,sequitur quod bd,etiam par erat,per inmedentem proprietatem:& vltra, b d est par igitur ei addita unitate od,consurgens numerus,Puta b c ,erit unpar, Pertemam petitionem: sed Ne,est residuum absurtur residuum a b,est impar quod erat
CSi a numero pari, par numerus secetur, reliquus numerus par erit.
EDcempli gratui,si qmri,secetur 2,etiam Par:reliquus par erit,puta 2. Et si G pari par austratur:quod relinquitur,par erit. Etiam si aha pari, par subtrahatur:resis duum scilicet q,par erit: 8 consequenter. EDemonstratur sic. Sit numerus parat, ε pars ablata ac,tunc in reliquum,videlicet Ne,sit mr,probatur: nam si impar esset, sequitur per mecedentem proprietatem a c,imparem esse, quod est contra hypothesim:igitur c,par est:quod erat demonstrandum.
Ex omni numero primo, quolibet quem non numerat, primi ad
Inuicem numeri surgunt. xemplum:ex 2 numero primo 8 3,quem 2 nonumerat, numeri prum adinvicem emanant.Nam 243. soli est communis mensura, ε per eonsequens i&3 numeri, adinvicem primi dicuntur. am ex numero primo a quem non numerat, pii Iadinvicem surgunt. Quemadmodum a primo,& quem non numerat, Primi ad inuicem profluunt. Sed ex mimero primo,&s quem numerat, Primi adinvicem noconsurgent:quoniam praeteri,ipsis est communis mensura idem 3 Nam omnis numerus in se ductus.&suilpsius, produeti communis mensura vocatis: Digitur x adsinuicem compositi,vel communicantes, commensurabilesve numeri vocitur me. monstratur fici sit immerus primus a,4 is quem non numerat sit b, tune quod a& bsint primi adinvicem,probatur bene sequitur:a non numerat ipsum', Per hy Poth sin & est numerus primus ergo ipsum a sola a metitur, per dissolvincia primi tracta tus:sed eadem 3,ipsum etiam metitur per tertiam dignitatem:ipsos ergo a b,com muni mensura solat metietur:igitur ex II primi tractatus ditiuulo,a ech prinuadurui cem sunt dicendi: quod erat demonstrandum.
237쪽
gSi numerus primus alicui numero referatur ijde relati numeri ada
inuicem primi erunt. Exeniplum,2,3:3,s: ,9. 1 nun crus primus, creseraturiconflata v numes
ros adinvicem primos esse. Eodem modo i numerus primus, comparetur,xsisl numerus,rrimus,' reseratur:ipsi adinvicem relati,numeri adinvicem prinu dicentur. Demonstratur sic Sit nutricius primus a, fenumerus cui iescitur,b tunc sic aut a. - Iebsunt aduruicem primi:& laabetur propolitum aut sunt compositi adinvicem, Sosi. . . sic:ergo eos aliquis numerus metitur: esto igitur citunc bene sequitur, e metitur ah, Pt ergo metitura numerum primum, quod est impossibile per ii diffinitum primi tra. illatus ipsi ergo a b compositi adinvicem non sunt: sunt ergo adinvicem prum: quod oportuit demonstrare.
i. Si duo numeri adinvicem primi fuerint, quorum alterum aliquis numerus metiatur, numerus ille metiens ad alterum primus erit,hoc est metiens,& alternumerus primi adinvicem erunt.
taxemplum,3,q:s.s: ,9. Nam βψ numeri adinvicem primi stitit, cum sola mos nas sit illis communis mensura:& quonii metitur 1,sequitur 2 metieiue αδ esse nus1neros adinvicem primos. Etiam s&a eodem modo se habent: nec minus de f&s, aliis que infinitis adinvicem primicenserulum est. Demonstratur sic.Sint dati duo . . numeri adinlucem primi a b re alteriun istorum,puta a metiatin aliquis numerus. - videli et c.tunc quod c&bsint adinvicem prim,probatur. Nain dato opposito,scili . . . . uel ipsos ei esse non adinvicem primos:crgo eos aliquis numerus metitur, sit igitur qui eos metitur ille numerus d. timc sic, bene sequitur. d metitur ei, igitur nietiture die metitur a ergola metitur a se metitur etiam banetito ergo a b primos adimi ' cem existentes.quod implicat per i diffinitum primi tractatus: ergo ipsi es sunt pi adinvicem nurnen,quod Ostendere Iutcbamur.
Omnem numerum compositum,numerus primus metietur.
Exemplum,q,6.s Nam Ammierus compositus,abinario numero primo mensus ratur,8 5 compositus, 3 numero pruno metitur: etiam ν, compositus .ari primonuincto mensuratur &hoc Pacto deinceps. Demonstratius: Sit datus composi, tu a,tunc quod a a numero primo mensuretur,Probatur. Nam bene sequitur,a innumerus compositus ergo aliquo numero metitur, Per idi tum primi tractat :sit igitur metiens numerus b, timc vel best numerus Primus,& inde habetur promositum vel compositus,8 sic eum aliquis metiturnumcius, sit igitur c. 8c postquam emetitur b,ωb ipsum amensurat, sequitur qubd c ipsum a pariter mensurabit ultra,ves c est numerus minus xhabetur intentum aut compositus,4 sic eum aliquis numerus Sinetitur: qui x xa pariter mensurabit:& cum nec in a nee in aliquo numeato possibile si infinitos reperiri numeros inaequales:deueniendum igitur erit ad alique
numerum minuit partem ipsius a quae fc ad eius partes numeros compositosvi. mul metiatur. Onu emugitur numerum compositum,iIulnerus prunus metitur:quod demonstrasse oportuit.
Omnis numerus,aut primus est,aut cum aliquis primus metitur. α
rinplum:2,3,q.Nam, est numerus primus,cum sola eum metiatur unitas. m. dem modo 3,primus est. Et 4 compositus,quoniam numerus binarius eum metiturris,... de aliis pari modo. Demonstratur sic. Sit datus numerus a tui cauta est munes . . rus Primus δε habetur petitum aut innumerus compositus,&si sic:eum aliquis nusmerus metietur,peri 3 diffinitum primi tractatus,qui' erit primus, per praecedente. Omnis igitur numerus primus est,aut cum aliquis Prunus metiriu:quod demonstraΦre intenciebamus. FINIS ARITHMETICAE THEORICAE. a
238쪽
IOANNES MARTINUs, SI LICEUS, DIOCE SIS PACEM.sis,generosissimo domino Alphonso annique,Pacensi episcopo, stacitatem
onge mihi meclarius semper visum est, antistitum vigilantissime, animi quam corporis viribu gloriam comparare Adest. catorum moria,quam diuitiarum cultura perpoliri. Haec enim terrena,quae sorturis ludibria merito appellaris,instar bulla es. to pereunt hic obliterantur ingenii vero, Sinecipue virtutis monumenta vetustate reflorescunt, Praennioraque emcisitur: quibus solis ad nominis immortalitate patet aditus Hine me. xander ille magnus, gelaum quonda terror, pertinaciter asseu
rabat, longe nobilius multo esset stantius litetis antecellere, qui imperio, atque diuitiis. Et licet cuiuis hominum ordini doctrinae sublimitas non mediocre pariat glo riam:generosos viros praesertim pastorali dignitate decoratos ipsa locupletat,& perii, est maxime:quae dosi tantissima quod sacrosan in munus esigiosissime presul, haud alite in te sobolescit o pullulat: ae apes in hybla, odores in Arabia, &aquae in Nilo. Nihil enim te deficit, quod classicum virum, heroive summum habere deceat. Vnde tuas laudes percurrere si vellem:huiusce orationis quod de Pomptiam virtu. te Tullius msdicabat dissicilius esset exitum,quam rimcipium inuenire. tanta in prioniis natalium claritudine prosectus es:ut nulli nobilitatis praestantia merito,optim&3 iure cedcte nec possis, nec debeas: Sc quod longe pluris eiciundum est, tali tantaeque
Paretum tuorum generositati, tam integram vitae sanctitudinem ac tantum eruditiosnis spledorem copulasti:vt plus a te specimis acceperit episcopalis dignitas, quam
tu ab ea retulens omamenti. Pythagoras ille,qiu primus pliilosophi nomen sibi vemdicauit ter non pauca quae humano generi saluberrima documenta praecipit: in prismis admonet deiunatagione colendimi esse,animum vero disciplim venustandum: in tanquam Pythagorici documenti obseruator accuratissimus, ita igionis honore polles,ita doctrina fulmess. splendicas:vt in clatissimorum aptistitum albo conscii. hi facile merearis:obis que sicilias partes,in consono ore,facet tum decus , ullam gemmam te vocitent omnes. Tanta es diligentia in dei gregem candidissimivi, tae exemplo Pascendum, ut oves palabundas,& a pascua domini segregatas,ad viam salutis,& iustitis semitam reuoces:quo bono nihil melius,quo officio nihil pretiato dignius excogitati potest. Huic adde clementia Dictatorem Caesarem liberalitate, Cysmonem legantia cultus victusque splendore Lucullum gravitate Catonem, patiensti Socratem rabili apparatu Hortensiiuri,facundia Demosthenem,prudentia cotiato que oelauium Caesarem .ves aequas ves antecellis. Inde fit ut Carolus ille Hispasniarum rex serenissimus Alexandro magno, ε Hanibali pene virtute imperatoria, sis mulinc possessionum maiestate comparandus, te in regiam suam asciuerit,et ascitum fauorabiliter tenuerit. Haec omnia cima mecum reuoluerem, reuerendissune in Chris stipater, nullum te inueni digruorem, nullum commodiorem cui haec ingenioli mes xervola, primanos i labores nosti os dedicarem: quippe'tu es in omni genere dicem di absolutissimus Non enim me latet,impensius temeritatis ne accuser,id opusculum tua patemitate multo esse ulla suta qua in alios es mansuetudine, Rheneuolentia: te in me tuum spiritualem filium usuriun non despero.Generosi lane animi est non rnes nus exilia, quam momentosa,aec preciosa hilarisonte, manuque obuianti excipere. Has ζω nostras squantulacunque sint primitias, horis succisivit laboratas, suscis Pere non dedignens. quod a te factum si audiero,magis, ac magis enitar ingciti cui ima pulchrius levigare,& animo quam corpori saginam suppeditare. Vale igitur e clesiae decus, iuris que pontificis iubar nitidissimum. Et Ioannem Martinum Siliceum, nouitium famuluni,patrociIrio tuo humauiora conlaue.
239쪽
Alphon sus rex Castella. Arithme
io ANNIS, MARTINI SILICE IN ARIT METICEN
Praxin praelatio. Mnibus in ore est dectores florentissimi, quaecunque a supremo rerum opifice emanarunt,numeri rationem habuisse. Nempe si diuina in illam substantiam contemplemur, ni monadibus tribus,taldemque diuinis potnis fulcitam inuenimus quare ter tiarium numerum eidem substantiae diuinae coquum ponere nescessum est. Et si ad dei sublimis opera, intellectus acumen diris gamus ea omnia, numerosa unitatum multitudine apprehens demus In principio enim creauit deus caelum,& terram Genessis primo libi per caelum,superiorem illam orbium δε planetarum machinam intellis gunt expositores per terrainscio, ea quatuor sibi inuicem obuia sentiunt elementa:
numerum igitur si tollamus,in nihilum cuncta redigi oportet. Haec est illa disciplina. quae caesorum motus,& eorum lentos incessus,subtilesque numerat δε dignoscit:qua neglecta Claudii Ptolemata in astronoinia facile principis diuina opera necnon subii. iissunt Alphonsi Castellae regis tabulae perquam doctae nequeunt deprehendi sub hae ipsa cuneti hominum status militant, atque viuunt. Quare talem tantamque dos nam aggredi non modo iucundum,8 utile: verumetiam necessarium esse arbitror: quam perinde Algorithmum pigrique authores dixeriit quia nomine vir Algus pro funde hac in doctrina eruditus, eam primus posterioribus propalavit. Hunc igitur Arithmetice Praxis librum in quinque tractatus diuidemus. In quorum prim de numeris integris secundum characteras fiet sermo. In secundo,de eisdem integris secunedum calculos supputatorio pertractabimus. In tertio, physicas fractiones sucem breuitate aiurectemus. In quarto, denumeris stactis siue numerorum frictionibus quas vulgares dicunt minutias in discutiemus. In quinto autem,& vltimo regulas,sisue aureas quaestiones,no mimis utiles,quam ingeniosas,in luce adducemus. Etsi nonanus Arithmetici recte censuerint numeradi per supputatotios calculos artem,illi esse praeponendam. quae per characteras, di clementa docet numerare ab eorum tamen
bene dictis noster scriboad modus squauis oppositus videatur discrepat ininime: denim ordine iraturae proceduruinos vero in praesentiarii doctrinae ordine insequinuar. DE v MERIS SECUNDUM CHARACTERAS,
Vitis placere,omniiundissicessimum est,inquit Demo Demossthenes. Ea igitur de causa piamque literatissimi, eoru 2 ς'
vitam quodam silentio percurrerunt:hanc grauissimam Plutarchi sententiam insequentes Silentium non est scis
redditurimi rationem:ideo Sophocles philosephus di cebat. Multa retinet silctitim pulchra. Etsi nobis in hae parte multis mcerest difficile iis praesertim rudibus, qui cum nihil intesti gant,csteros pariter russu intestiges re arbitrantur:qt laedam in hac arte quae pulchra esse videntur,scribere statutinus,nec deces visum est, ea esse reticenda Agemus igitur in hoc tractatu de numeris integris secundum Arithmeticos characteras, qui sunt decem. Et quoniam sequenstium tractatu uin hic primus est fundamentum,certaque regula idta longius in ipso quam in caeteris morabimur:& numero Pythagorico,utpote denatio, decem cor stia tuemus dissimia,quibus totus hic Primus tractistus deo duce absoluetur. DIFFINIΤA.
Numeratio,est numeri per elementum,competentia ve elementiar
240쪽
tificialis expresso. Numerare vero,est numerum per elementum, coma petentia ve elementa artificiose exprimere.
Nam si quispiam ex te petat nouem ducatos exprimi arithmeticend laeses hocia, .s. Si vero triginta scribi petantur: hoc modo facere oportet. o. Quid si mille.&quinquaginta scribere libet hac arte operandum est, os o. de caueris pari modo. Ninne 'Finis numerationis est,quemcunque numerum propositum decentilius elementis atque itinitibus locare: R eundem quantiis sit interroganti debite explicare. Ser. viii ita, uit numeratio in primis Astrologis:deinde Physicis,atque Calculatoribus:& breuiter perquam multis hominum conditionibus. PRIMO NOTANDUM EsΤ pro huius diffiniti claro processsu decem esse
Hementa,quibus Arithmeticus utitur,scilicet 3,q s, 6. ,s,' O. Horum nouem priora significantia dicuntur:vltimum vero,videlice o, nihil significat ideo nihili es mentum nuncupatur, nominibusque aliis, ut theta, circulus, cista: cui talis inest pro. etas,ut si cuipiam quibusdamve elementorum significantium praeponatiir:inde si, lorum quodlibet incrementum sertiatur:deposito autem, decrementum sumat ut satin sequentibus patebit. Horiam nouem clementorum significatiuorum , um signisticat: 2 duo: 3,ina: ,quatuor:s,qlunq;:6,s :τ,septem:3,Octo: 9.nouem Istorum priamo denominatio in unitas:secundo, binarius:tertio,tematius:& sic de Ceteris conse. quenter. CAduerte tamen numerum in praesentiarum ad unitatem usq; uendi qum proprie non est numerus,sed numeri basis & principium nuncupatur:vt in theorice di Nuri u dicimus,de unitate disserentes:&secudum hoc sic venlt signanda numeri dissinitio. Numenis,est unitas, composita ex unitatibus multitudo. Nimaeroriun,aluis est digia Digitu tus,alius articulus alius ex his compositus. Numerus die tus .est inritas. vel ni meariis quouis denario minor. Ex qua diffinitione patet quod libet elementoriam significa. tiuorum,& solum tale,digitum numerum esse. Numerus articulus .est numerus qui totus in decem aequas panes est partibilis,absq; unitatis fractione:vti estio qui in desceminitates est parta bilis. 2o qui in binarios decem adaequale partitur. io pariter,ed si o articuli mineupantur. Numerus compositus es numerus ex digito,& articulo resultans:ut ii 42. similiter i 24:&breuitati studendo,omnem numerum inter duo os proximos articulos locarima,compositum significamus. SECUNDO NOTANDUM EST innumeratione necessarium admodum es
t se ementorum ordinem, pariter ωIoca con*derare ordo quidem in scribendis eles
vi uti trientis praeposterus in hac parte est tenendus:quem nobis Arabia tulit. Arabes enim inscribendo nobis opponuntur, a dextra incipientes manu. sinistram versus procedunt. π Pro documento ideo tenendum est,id elemetoriim mmum appctari,quod dextra manu sibi primat vendicat sedem:id et secundum, quod medio obiecto primum se quiturusvero ultimum,ultra quod versus laeuam eundo manum,nullum ponitur ese mentum. Ex his patet quouis numero signato,in quo multa reperiuntur ementa, quod illorum locetur ante,quod retro, quod ante 4etro: ad diuersitanici Matum.
Istud minus obscure in praesenti figura videri potest
Retro ultimum. . Secundum. Primum. a n
NCLoca siue ementorum linutes tot reperiuntur,quot 8 Elementa. Si autem ut alis quo numero tria tantum ponantur elemeta totidem in eodem limites siue loca habentis tur:Κq,quatuor:cuiuis enim clemento valorem inbuit Iocus Ementorum quodvis ' primo loco,tae numeri principi. quod idem est,situm stipsum semes tantum valet loco autem secundo,decies:tertio.centies quarto ,millies:quinto .decies millies:serito, centie millies:septimo,millies millies:& sic consequenter. Ista capiuntur, nulla intro Dociun eunte cista sedit Hatius haec comprehendantur omnia, tale ponitur doctimentum CData quavis linea nuinciali,in qua multa reperiantur clementa,illorum quodlibet. d. tui.