장음표시 사용
81쪽
Caput serium de proportionibus rationalibus D earum passion Ibur. ζ.2 IRCA proportides nummiles quasa rationales diximus
uduplices coclusiones demostrare intendimus: quaeda enim
i emtyprietates generales oportionu quas in nide arithme
NICUM ticae libro primo flati mpposuimus in tractatu secudo aliae hue eruit quae musiceitroductionis libroimo necessitio se statim praesupponunt ad musicari temeta. Igit comparando prima generapportionii quae sunt aequalitas dilaequalitas: sit haec prima coclu
sio quae tame est. O .in. 9 lib. Iordans. Prima conclusio.
Propositis quotlibet numeris aequali seκ illis totide multiplices ordinatae plucere itEQχκ multiplicibus seriatim supparticulares licere: atq3ὰκ supparticularibus suppartientes: ct alias denim nequalitatu species , aliis ora
dine debito procreare erit facillim si pariter dicerii mimia sicut etiam viceversa posteriores in suas priore apportiones resoluere usis ad aequalitatem
Suppotiarii dicari datam ex Boetio in ulnini, μ' capitibiis mi tibi nutrit eruciso Nauigine et resbiunone .pportioust ab equalitate itera ad eqtialitau ueniendo:m in trib' tantili aris minus. Scriptis ὁ tribus numeris eqlibus in natale: a m parte Ni'c5clusionis scribamus smeis alios πω uiri tu sustiora subsuma nummis Ibi eulis: et scissilo subucia ii umeri tarea sanis opino et insido superioribu movero suppoliatur numeruscopositus extrali superioria iis omnem duplato: etsubsecunda serie petana artem ut tertia series tot ad numerorum et
ad.d. si ex casu. b.ad. g.est tripl=qr est aggregata ex duplo et lubduplo quori su Mupla erat eule in s ksiis. x. .d. vi triplus: ire ex impla mediateet ex Clitate mediate orta est πlpia Mortior eadarandirificax erat ad Pliada et ex unpla ori qdrii pia inc n Pota militiplices mortione sertatim: qi sola varia militor inmeionis sit diead semd maiordinas piis diminus sed.e. ad. . est plum postea 'fus 6. d. ad. g.est triplriret mr diceremus 8 n. ad Lest udruplus c. que minor facile bali sinissis aggregat. in.si id.l. et sic de aliis suo trio. Sca ais de supparticularim. Leativi armia si ribrdioriant ce inultiplicib'im ex dupla sesqualtera: e tripla es tertia G.eadlicite Hactuosis multipliciNet supparti arib ordine reci, scriptis: qr est penit' id mod' movendiam predo FasMnsieriarmuseries duplicia sitia. b.e. series sub east. d. e. f. uic arguat ut pus arsurum est in eisde pisclusa veniar ad irae iii inore q. e. ad. d. est sciuiralter, uiner Mi circisonori duplo et subduplo tali Net duplus eorsi est lis ipsi. d.Φ. f. ad. e.sin erils uauer:qre et a portio sesqualatera immate mi ex dupla conuersa et mediante ea ab ecilitate: eodrino arpiere et les iterna orit ex tripla et u de ali a supparticiliarib eri uis de suppartie in χν oriant ex supparticulara b ordia nate et quarta de aliis ibi a portionail oriant ex ac reade penis via ibaret prolixius agere da vestri et a re uinere.Uininais qr est couertis ad ora dituor precederes manifestistit ire eis:qt id est modiis resoluta iderat inodus Ocreandi a por ne nes ab ripitare mcdiate vel imes diate. lubtrabere queliboenumasi ab alio cui prius addebat: sic elli Usquem amo: tio resoluet ineain aqua oriebatur donec venta sit ad equalitat uti est oim .pportionum origω et mater: nait niditas otin numerordio baccoclusione equi clarissime pina multiplicis A ricias posita iii aratiηnetica se ς' ortio multiplet eriai nequalitatu generibus est et antiquio et origine prior: l3ias lie primi libri arildmciice dixerimus mutiplae omne ex sit perparnailari coimpositam.
In naturali numerorii seriae sicut qlibet nisi erus ead unitate oportio multis Pim iutato e malor Ito abvnitate remotior:sic libet duo nueri primi sunt
82쪽
arinuicet porclo suppartim latis: st recessiim ab unitate cotinuae minorae.
prii ne partis ibatio est facilisqr unitas citiuslibri numeri est pars aliquotarome aute toti ad sua partiali quota ei proportio inultiplex qr multoties ealia tota coanen ut ossi ad suam medietate dupluni ad iiij taliam tripla etc.st ciuilibet numerus est multiplex ad unitate Sca a main pars est facilis; illa est maior . orno multiplex qua maior terius pluries connet eunde inmor scd rem orab unitate numerus pluries coiinet unitati v sun Ppinqiliori et Tertia pars de lupparticillari Ibatur ex ina: r si unitas in cuiuslibet numeri pars aliquota: I, libet iumerus si quis addit in se mitate subtaim primo precedetem sequi addit parte aliquota: δ per diffininon est ortio supparitariaris ad ipsum: Quaria pars adeprobal: silla supparticillarisiportio est maior alΡque a more nilmero denotatur ut pl3 inducitu ur medicia seu maior ps aliqivia et terna: et decopars quarta etc. sed quato nitineri inagis reccdsit ab unitate ta:ito maiores sunt et malore notan ne bitulit unitati parn eorum aliquotc:q ipsa est inedictas binarii et terna pars ternare: qitaria quatemari etc. ganinor estu portio suppatricularis remotioris numπ ed sust mominemn qua numeri inquioris ad sust:v mmor diam ad quamlor et quattuor ad tria: et idec minor u ma ad duo: tota si coclusio est vera qua correlarie sequi in fira illa quadrisitaris de inuetione otiuproportioris: qua in capso. . scili tractamo pini libri aritimetice posuimus: csi suis ibide xprietatistius:cotincilii noda veritate: na eius pina linea sute in longasiae muniin est velut unitas qr ab ea incipit et o connua ei addi none diti alie vero lince oes post pina sunt si omneri in narurali ordine:qrcllibet earsi a suo numero incipit et u cotinua ei' additione ictai vim ad Dimia pine lineta Tertia conclusio.
Omnis proponio multiplewhabet post se aliam malorem: sed no-nssan
te se aliam minore ea: at superparticulares a portiones ordinem corrarium seruant: superpartientes vero multiplicium sequuntur modum.
Pectripartita c&lusso tota simul ibavir exprαedenter qrmulnplices a portiones crescinit perrea cessum ab unitate: supparticillares vero illo modo do restat: sed in ii umeria recolendo abvnitate n5 accedendo ad eati Medii iii infiitiis: Lolliis orno inultiplex habet alia se maiore no cinis aliam se minorEest cui dabilis minima sedio maxima mportio mutnpi recon avero cis lupparticiitaris habet alia se minorem omis alia se maior qce dabilis naximam minima su2pamcillaris Sud partientes vero 'rtiones ordine inultiplicisi liquunt: qr earn ille sunt maioresque a maioribus numeris denotan ille minores que a minori ut fiebat in multiplicidi quare en in isti solida camini in anotriamina oportio supπpartiens. alii vero duom generab' ortiori urinica sunt no opus est alid specialiter addere: sed mitte coiienit de eis loqui. st e res conclunones sumacienta explicarum ci Gales propriciates cim pro monum:*iare veniendum erit ad alias conscinones que viam inrediunt musscam.
Quaecum proprietates aut passione nnmeris ueniunt: redem S proporationibus atlanalibus adaptari possunt: quare nimirum si ni portionib' numeralibus equae ali dis ipsis numeris additso substractio: duplatio dimidiastio: multiplicatio odivisio fieri pol t.
Correlarium manifeste riserius coclusione:subsumptabae nore certissima diure passones nun reis coiitatiunt: ibattiri coclusio illa: erius itar o rationalis linediate denotant ab aliquo numreo eximo capro huius cristiquare eadein et rationalia et numerali siportio dicis: si onus talis oporno est accipierida inutaliquio numerus: Quare et num rei conditioites stu propriciatcs' arare dictaida est:quicild cincoumit nurnao denotatori alicillus proportionis coutam et pry iationi:quemo potest alitre explicari aut declarari et scir illum numere: ut proportio stipia est ut bis narius et dabet cius proprietates:mpla ut triniarius: equalitas est ut unitas LIusciqualtera resserar ad binarium sesquitertia afficiminum etc. Denim supcrparticiis tertias ad manum:superpartiens quartas ad qualmarium etc.
Non aliter in proportionibus quam in partibus aliquotis praedicte num eo
roriam passones sunt requirendae: undevIceuersa tota ratio illarum regulas rum arithmetice practicae siue artis numerandi infractionibusvulgaribus:eX naturis proportionum est accipienda.
Loqui inur biode pallionibus in correlario preciamus enarratisret sit sensus esciunmisi addere abiu .re:iniplare: dimidiartimuissputare:et diuidere proportaenes adinvice dein fieri per ea
83쪽
dem artem iii arit eum practica dom talia instactionibus vulgariu' que sint messelabremiscitiariantinon amoris ui stamonidias astrologicis et sunt gradus et minuta et prodiri si conclusio: omne tota ad qualibama sua parta aliquota est . orno multipleram dupla ad suam medietat irim ad tertia ete . ad plures vero simulparies ex quili nyia una pars aliquota: aliquiido est amoetiosita articularis: ut ad duas ternas totu est aequialtern ad n es quartas sesquitertili. ad quatrum quintas is quarta et c.aliqfi suppartiens ut ad n es diatas tota est super ripartiens renasead quatutuor septimas tota est sud mpartiens quartas ad diam nonas tota usu uadripartiens illitas LSi vero plures partcs aliquotellinu taceret maloisi integra utinae medietalein ea tertie Liain ille no essent dicti e pars nem res rei sed res integraret ad tale aggregat partili totum esset amorno equalitatis gractria et ariem agenda in proportionit sicut in partib aliquotis*ium ad predis cras passioue si in musicis upeorematib'sunti necessarie correlaria et i ncipio noni libri Iotius ni per ocio primas coliclusioties situ euidelingimuin qr ibi Milioris ianua regule dc din ea substractioite multiplicatione: et diuisioneque dantur in algoruitio Pr proportioncsaetura ad partes et partivin ad par es aliquotas.
Sexta confusio. Tunc additur xporisopportioni quado eκ esstensa dam resultat oportio composita: duplare gitur vel binario multiplicare proportionem aliquam est duas similes proportiones simul in unam colligere.
x alio conclusionis estiqieissi e tolli resultat exoibus suis parnb' simul additis, rotius est effiea sue partes simul sitirapte: et cotra partes lunt oui: scd onte copositui est tolli ad sua coponentia et illa linit partes ad psiunx st a terna orno copositam duab'simplicibus retulin: opyillas duas ninuline additas et ecdua:n ille due simul acidatur neccisse erit lana inde resultare copolita. Correlariumpnexcoclusiondiaddita cita Armsinone alIumpta in tertia coclusione capsi precidetis.sci multinliscare alique numersi non est aliud. pluris Mes numeros in uno colligere .st duplare. l. binario multiplicare aliqua 'rtione ide erit ac si duas siseimrtioires in unam coponere Tanui de meoria diluis civilissonis:i cuius praxi vel practica nolicia est aduertendsi tres es modos addclidi simul plures minones ad coponenda una aliam ne eis primus a insinuanis est in precedae coctusso sne et demostrat cum Iordanus m. s. sui libri noni. . duccndo cilciatore unius indciu lato e alteri' ς' nummis inde iductus erat Deilolaiora ornonis copositet eis: ut sivellemus addere duolatia Droportione triple: iae coposita ex cis erit excuplaru bis tria suill sex: sic etiam additio infractioni: hus vel partibus aliquoris qr tot nediciates addite tot tertiis riusde tenus fiunt tot extetit:id tu Idololat unius tractioiiis indeiiciatore allemus vla edat inde Nioiator tramonis composite. Idus modumque etia docta Iordanus it. diali libriami multa pluatione alternite is
pla et sic ex turpia et triplasmii addi iesultat excupla ut susti Σ'ctu latinis
imitatim num Ddata alta appor none quo uiueto ex illioribus numeri restitiams
portionib' et in aliis; idci difficilius emas azi: modor primus at opere satilior et artificiosior: sed in ellectu diffita' bi, si ritellecta DCIIimus ou difficillimii, aliorsi: se Idus reo et mea: i in I: Septima conchisio. Subtrahere proportionem a proportione est residua inuenire a portione A
V euadici solet. hinc dimidiare proportionem: si tamen fueritae
84쪽
proportionib' nutrieralibus eu possibilis subtractio sicut in numeris:st coclusto vera Correlari itinnianifeste sequii ad eatn:qr dimidiatio in vis subtractioius .mqualibet aut specie saluar tota ratio generis.I fra notateres oportio sit diinidiabilis: ad innuendun no Ois a portio est talis vi dupla .pportio in mutnpluam et quctilici alia babes impare denotation Diteola supparticularis Horii olaindimidiabilia vi infra duci. st redetbcoria coclusionis: prati eius aduertenda cita tres cila modos subtrabadi et dimidia tuti iii .pportionibus: prirniis cir si sis tertio preceden intellectu oim Dacillimus. s. lnvenlcndo medisi numersi inter extreana alea portionis maioriar u ad altersi eossi barabeat ortione trilnortina poni subn antita: na illo incito inutio a portio niator diuisa erit in ducas quaru altera est 4 subtral ir: st alteraeshq relini turistoxaeuaricidii ferena maloris ad mitiore. SeGlusis ' ex pinarinti libri Iordani docet uli: multiplicado adalteruis terios dissimiles duata amornona .ppositar boc est duce maioris p cemite inlitoris A pornonis: et ccotra coiriit Indio arisu duce minoris: ita ex pina in ulnplicatione AVeditdux ex saea corneo rindue . ornois: bui' eui
dona fici si uislibri comite inaltera duxπis:nancini uce tertius quida nummis ad que dux rasidue a potiionis babebit eandravortione maiore aqua erat inino: subn aberatque ii maior pio: mitfrendue diuisa erit iii duas quam altera reat substralκda et altera residua in diximus:ς ille mos duo es veras.Temus modus est silis pino aliora in precedete coclusione. Llubstralpendo denotatore minoris a denotatore natoris xportionis: qu admoda sicri olet in partib aliquo cet rcinanebit denotatoripornonis ressdue: ista tii subtractio presupponit inultiplicanone duplici:et deinde Meuciorsi altera ab altero substi abit: na et in algorismo de stactionibus subri abin eriti, inediciate relinquemus stravi et subaealmdo quartii a tertia induablinus duodecima etc. eodem cloansportionib substrahere potoeimus dupla a tripla et remanebisesqualtπarsi triplain a quadrupla relinuque scidiotia: si sesquitertia a sciqualtera depseris residua crit inquiocraua: et dempta a portione qualtera a duplaicinantista iiiitertia: vel si nec remoueaturitananebit illa: etsic de aliis: Noue cacliviones in musicis theorcinarib inagna habent molirentu statim eis ad moduin necessarie.
Simi Gadditione plurium multipliciuna sempsit proportio multipleκ noeestra: Ita etiam si proportio multipleκ in plures partes aequales diuidatur:
illas omnes multiplices esse necesse erit.
Dane miri mostrat Iordanus in nono libro nJquUE tota simith sed priori eius partE. in . 22.c5e sinci alteram in. 6 O. ponuinus in breuiter exorcinissis eam demonstrare:qr ex pino modo serie huius additio . ornoius adiportione est inultiplicano suora denotatorsi ad inuicti sediti nitineris intems othe nnilnpla integri si numerus integer: secus infractioni is numeroth, pn inducitiae: proportio acta multiplex sola dolotas a nutriero integrinalie osties a fracii ib in ear diffitiitiora indicanst a paroci vera.Sca acii ibahqroni et in duas aut plures parita cules duillam
habri ad eas multiplicia portione:*m quaria bulus capn Urina eril versi in rensione ortio e Dareota ena musto ex inductione fide habαEx qua Lanalogiam oppositi scitniri Sporno non
multiplex duplampla aut alias multiplicetino fici inde a portioni ultiple)C et vicevcrsa: a. orditio resultans ex alterius driplatione aut qualissim mutnplicanonemo fuerit mulltple ne ita altes ramat multiplex:nanduen es aut plures a portiones sesqualtere velinquiterii cotinuent et emtrema totius aggregati adinvice cisarentino babebdixportione mutuplice adstipsa sed aliam spesci zna ducisqualinem. 9. 6. .sunt una dupla se quarta: due scsquitertiem. Io. I 2.9. lima proportio sus leparneius nonas:due sesquiqu ariem. 2s .eto. I 6.esti nno itynonlpamens decimas innas:et tande dire inquiociaue,t.S I. v. o. est una a portiosust decreeptepartimis inragminas quartas Let ratio ibui' correlarii dicta es qranfractionib' nurnerora militiplicatio eariimaltem amo iduciti uinciliantegra a quo denotatur in ulnplexi sed sena diramon a qua deridiatallirelie species a potumst. Dicta est notam in coclunone et noecotra qr portio inultiplex porconitare ex additione plurisitio multiplicium ut dupla ex squaltera e sesquit ae triplam dupla et lesq
teriete.potvis p rno multiplexo additione componi π multiplicibus et non multiplicibus.
Cuiust ibet rationalis proportionis diuisio in duas amplures partes aequales per numeros medios inter eius extrema pollibiles: eandem legem obseruat in minimis numeris eius Scin aliis omnibus indiflarenter.
Datu Iordanus tu. II quarti aliis vobis noxponaesi merit fimus numerus ad rem stat tertius ad iusin:quotcsmuit puisset iis totide ininteriisset quari . ornonaliter medios consistere ccciem et sensus emedin unli vel duo aut plura mcdia portionalia sint possibilia inter duos numeros alicuius xportionis: tonde preesse sunt possibilia intre quosiis alios duos in eadespcnnost qr no refertotum adhoc si uti mameri sint mimini vel maiores vel medi aes in tali minones
85쪽
lis a portionis nosti possibile mcdium .pportionale, pote ut sola nitate distatvt. L. et. I. NI. rat. et ne anter quom alios duos in illaiportione erit bile inedia a portionale: et si inter prium nisit inusibile nisu si mediu in .siriter et in cibuslit et alus duobus talem a portiolia babennyerit tantu unsi medicta ortionale: et a ui primis fure in tanto aut plura talia inedia: et in cibna aliisersit toticu media eodem odo a portionat ilia Dulus coclusionis demosti alio tota tiandalal in equa a portiorialitate de qua lupra cassio hui' tertiini riti accipiant quattuor minimi teri in data proportione: illi ostes ersit effici os pini alias mesurareri eos alia nummari mores in eadem a porstione. s. illisa in quos Parsalistra coismulnplicatapluceret eos: qet manilesta implicat cotradictionem sed in inimi nutrieri in quali ira promoti eis surant quom bet alios litati vi malor malorem et inino minorem et ineunti numeru: quarentii ultiplici et submultiplicisseadem et si s in prosportio: sequitis illi minimi daal numere multiplicati AHumat eos de quib' loquitur coclusio consmiaios in stri .pportionalitate: est totidem re media a per nona inlia iit sunt in minimis numarina uno utra. si ponam tmo et duo nuino iii tribus Opornonibus: et cocedant inter dii Wii duo mediar uionalia si dividant illa Iportionem inm cs partes euies: dico etiam inter duos Mosesse duo media avortionalia improluidant illa in tres equales: na acceptis quattuor ininimis in .pportionalitate illa sorte illi numerabsit pinos qtiam ob a m hinari et et alios duos stet os per emaria: δ sicut ductis utilior in inlinis in binaridi ucsinar dimo pini: ita ductis risu minii nisin remari,Sucini duo secadi cst duob' ibi medus p rnotialibus ut hac coclusione sed tu masnifeste et nulla a)portlo Nipta ivllam supparticii laris est diuisibilis in duas aut plures P rnoes equales ruris inimi nutrieri in eis nulla recipisti medimiportionale:ra sola unitate distent: Elmadiorobat Iordaniis m. 6 I. noni: et in bac veritate fundat inustii indiuisionem vim que evi proportiosa rasipcrparticii laris in duo integra semitorita. i. equale avor nones que ilia paries tu his diuidsit ipsum in duas partes incilles quas vocat inaliis et ininus semitoni uiri: suis est ratio de indidimidiabilitate diapason .est xportio dupla sonoa. Ient tibi bonus et diapason dimidiari in νγulones irrationeses de quib' nitrii ad musicla qui rationibus numeralibus muria consMerat. Decima conclusio.
Quotlibet numeros in data proportionalitate continua minimos inuenire poterimus: si duos primos suae originalis proportionis supposuer mus.
Mapud Iordansses sexta sui quarti libri: i cuius intelligetla aliquas suppositiones demonstrastioni premi minus: ema est doctrina data invisa arithmetica Pe inucii tendis senis numeris cuiusda .Pportionis. Sina critia in qualibet .pportionalitate sunt dabiles Dii et minimi numeri illius: qui avidinu ex primis numeris illius ornonis simplicis ex uralis coponii Pportionalitas: ut navorti olitas coponar ex duplis emi e numeri oriunt et pinis numeris duplea)porticis et lunt1 .et. I s ex sesqualteris pini duo supponedi lii. . et L. et Tretia suppossiti scomtarica a portio, nalitas cotinita de qua sola est dic sermo i potest coponi ex dirab' Ppor non ib et nul 'teris: vel ex tribus a portioni by et quatruor teria: et Te nr maiorando nuineros portiorisi et terior si taliter in nuis nimis teri aut sola nitate silpercinuinπos Murtiolia: in qu alibet ismportionalitate stoli liet coposita potam darim et scissili et terti numeri et Mali maiores ut in proportiorialitate copositao: dilabiis dii lamiteri et minimi sunt. ι . I. nex tribus: emiteri sunt. . . I. I. In proportio
nulli nitineri in litores alit pores illas possunt tales Pportionalitates costituere: istis ivi duplans: triplatis:aut aliter inultiplicatis flant alii nummariaiores in risdda portionalitati . Nostra ita, iactusto in tedit solos pinos et minimos numeros citiusti Nportionalitatis liquirere: quotcsim nudi ineros illa ponam baberci cini est initor ait qui sim et et dicit illi oriunm ex duob' primis numeris sue originalis Cportionis. l. illius P rnonis simplicis ex qua talis Arportionalita cisonitur. m. tua vero quo isti ex illis elicitin uir ponitur in correlario dicit serie coclutionis a Iordatinosis de manifestu erit ex duo; in altilua oportione minimoru*mo in ambos et Leo in se dii remet ex eodestino millos tres compta undo interrisi: quattuor P: mustiasti illius 3portioni. minimos:*n stlam pacto in cines Nicere pergis et scem ivlum eo: si quotquot libuerit inaliqua amortione minimos ciscies: Nolite: cu sua mulis clarus est: cistippomis duo by pinis et minitimio terio alicii ius a portionis: elicies inde u es minimos xportionalitatis coponte ex duab' talii Nportioni : multiplicatio stiria. l. maiore duora emoli inplum: sala munitioia: tertio minore in seipsum: et a lucen inde neto cri estinuexportionales. i. Dcicii tes duas Mesiportiones taleo ulis erat illa una ortio ex duob' emis teris a qui, istim es orti sunt: et si velles elicere quantior tertimitios ad coponenda .pportionalitate exmbus siribus oportioni si besan ultiplicarem eo predictos P duos priores γα modo: u pino ducas pinus duoru moes illo,n es: In deiciundus duore multiplicemrpternum illorsi trium: et sic fient qua mi oricii primi in tali Porii craralitati: postea I elles adduc maiore oportionalitare copono erre ut tuor nulneris conabis dram: et quin sex et
86쪽
meri inde plum sunt a minimi in illa a portionalitate:quibnniplatio triplatis aut aliter milisnplicans Utalent ali tertii et alii in eade ortionalitate Dis lippositis ibali cocilistonia claraeu stiri,qnidem tuam mis multiplicat alios duos in econ a Nuctos et inultiplicator eadein es .pportio, allegauimus in diu precetatis captust illi tres numeri ex ossi multiplicatione odicta Leureata babet curas a portionea strea Novioni alioratu ora: via. a. et. b.st: at duo stiri l.c. . e. v eo
nuni in illa avortionalitam. asscimini duo priores eratis sua a pornone pini et nunimi ac putes de costast pniu4oili excisin se pincti sum corin a sepidi ex. I*. Precedetis cap . Quare o carindisi itera ex rei b' fiant quattuor mutnplicatione duora priorsi etia illi erat coti a se p.rauriet quinta precedetis ibabebsit sues. ortiones prediministi siricecudo:J tota concluta vera quas alia via facilior coniiuddi pluris .pportiones si pamcularcs ciusue specie et Q erat illari posuim in erue in libriise ariti inenam noctio sumpta: et ad musicas cotiplationesi necessaria: Mesa patione pluriuin minore que sunt sesquioctaue a portiolies ad costituendam ex eis consonina. ro duius tame conclusionis clariore melligentia duas alias luper addamus.
Undecima conclusio. Cum therint plures num eis counuae proportionales eorum primus mesus merit vitinium: metieturo secudum L, si secundu metiri no posset primus: nem ipse nessi aliquis alioriam numerabit ultimum.
Quaulo banc agi T. Osrit Iordanusin.I 4rti tam faciliter hic eam Mare volumus ex prea civitibus: na per octaua butus capria ortio munplex nem coponis nem diuidis equaliter nisi prodi portionibu mutnplicib':lm ala es istaurari numera a mimero dabere ad ipsum pornon multatiplicti et a portio mira vllimarest multiplexu casum psecura tertii capa bini coponi ex .pportionibus mediora tam ad sed ad extrem: olairca sum unicipes: stiam illa comm . alie ex di
coponini sunt multiplices: dre utra trit coclusionis pini parsq ubi cociansit tres:qimon aut plures nutrieri cotinue 3:nonales. LA portiones nses et equales da est. alma ortione uinplici exstremossi copon tes ac diuid res urina o tremossi altera inclarat necesse erat piri adsci in vel ecotidiuerso cist multipliceiportioni quis mesurare illineadem rano couincit de clo et terno de terito et quarto Eq,oines sunt nias a portiones.Secsida pars coctussonis sei mr ad prima distriam ecore rimi.inseredo et opposito cola quentis oppesta antis:ad erat pm a Psχαlunonis a demonstrata: si tib iis nomIurat iram:ibi no ea ornoniuinolex: g nem inter scida et misi: nem inter misi et qMrtu:. nem interima et vlmae si stilus Q pinus no mciaturat vinina. et sis nem alius aliorsi.
uotlibet numeroriam continuae proportionalium si duo miremi fuerint adseipsos primi: erunt omnes illi in sua proportione minimis aediuerso: si quotlibet numeri corinuae proportionales fuerint in sua proportionalitate
minimi duo eorum eκ tremi erunt contra seipsos primi.
Cisr Mimus hic quarta etenta coclusiones qm libri Iordant .fundavir in vigesimatertii eius
que talia est illibet duo numeri admuti sunt m sua oportione in inimi: et pbano elus est facita lima exieris: qim nocilait in talla portione miniini:noci nicon a se mi, stippotrinaret nastym couarent in parte aliquota alia ab unitate: so in illo numero secunda qu ammini illius .ppo: nistri braret istas nominii nos:qru I9.tertulibri:dlibet nummi sua ν portio te minimi nusiurato a alios in sexporrione. s. maior maiore et minor minore equaliteri et Obaruris anmasmutata propo:tionalitate etc. Ex bis st Marguitur ad id parte coclusionisisse: qt pinus et ulninus dictora numeroruulint ad stipsos iis et percostqueo minimi in sua a portione: isti m iurant Oines alios et non maeuanir ab aluo in eadexpornonzqr nulli sunt pilores aut minores eis: et' a portio em emora coponitur ex ' rnoni mediota enain medii mimm eorsi sunt insula xpomoiub' minis micticu in tali ai portionib=a nullis priorib'mtiuratur: na Dedi Imrtaqt. ortio inlinorano coponerenifex amornonib' no minimors: tu end*r Inrisas alios cis minores in talidi avorno nimissimul, equa mort onalitat ad infereduinium manifeste impossibile. ιν maiores numerim re minores cineritin partes eorli aliquote vessida pars ex pina secitur: couersiolirietarein quia si roppoatu ci'. in Marem nummidicare u in aliquo numero parte aliquota eoraeled stur meaia oportione daret iratis ituma ianitiores ims.cilli secta quos illa pars aliquota in issurarci Itos duos exti emos: liixta regilla allegatas idem numerus duos inuinplic ni ultiplicatorii et Mucior: ci detri mi Oportio: tunc erit illa pars aliquoia ducta in illos duos m nlaranoillo ueproduceret istos duos Nemos 4 necessario erunt natores illis, pol mutnplicis ad eos: coiise aquis illata ea impossibile unplicis viradiatonem:ὸ et opposita scaede par quo scdni erat in
87쪽
Mn:et sic manet tota riclino vera.Sed quia diutius mariti cilcis demostrassoni immoratiis tritis: et ex predictis duobiis capitulis satis elucere possunt oia queanimo lubiectemussa lituo die monstranda propinnitituri ad geometruas speculationes mula discissimus redeamus.
Capitulum septimum de potentia linearum. ICTUM est de proportionibus magnitirdinu&eolratione tam coitatione earia: Spotillime descendendo ad logitudines Ilisnearu nuc dici aliquid breuiter delineam potetia respectu superficie' in quas potant: pmoqdnois reponedo Supsicies tam aute in totaisquilinea: est quadratu eius: didici linea posse in ipsam superficie quia eκ ductu sui in seipsam eam producit. Prima conclusio. Equales Iineae In superficies possunt aequales: dupla autem in quadrupla me tripla vero in nonocuplami&,nsuersaliter quodlibet multipleκ lineae da iste potest sim nitiplicem superficies date lineae denominatam a numero denominate mutipleM lineae in se ducto.
patri inductiun linea et bipedalis potan quadrupi res mi line pedaliae et lineam pedalis potin nocuplae et quadrupedalis in sedecuplli:*hauadrat pedalis linee est tantumlus pedis quadrati. quadratu vero line bipedalis. q. peda quadrator&et quadrata me quadripedalis Io.etuc vitrei':ut apparet ex arithmetica qr bis duo sunt. . ter tria surat. 9. quater uulsor sunt Ict.et eis Ee oportionibus linearn supparticularibus et suo partientibus et alus mibus earu datur becremla o linee reduciatur ad numeros minuitos talis amortionis et illi quadr&ur: et apparebit a portio qu adratoria et u promuno sesquialtera potest ut duplam sesquiquaria mala se dabent quadrata binari et ternarii: et sic de aliis.
Secunda conclusio. Lineae quaru una potest in duplui respectu alteti'sunt sicut diameter Seosta.
Ista patere scala libro cap . de Oragulis sim assunerara colita est alia oves ab illa dixi in capis. .pcedente: m itaniciaet costarium Durra verent se timsciit numerus ad numera ex sessida capri qrn ibutus: strixit rat, etsi haber se acu quadrata nutrierorsi: sed ,κ est impossibile li-rno dupla que est isto &impossibile est et sit quo:uc B duorum quadratorum nutrieroruimHd confirmationcin arite huius sentcntie apponam 1eptimam conclusionern declini libri ipsus Euclidis talem.
Omniu duaru supficieru quadratam quaru latera in l5 rudine Gitane pro Portio alterius ad altera anci sportio numeri qdrati ad numerui quadratu. Si vero meritoportio sup ficies quadratae ad superficiem quadrata tan*is Portio numeri quadrati adnumerum quadratu semilatera earum intonaginta ne comunicatia: et si non erit oppositum.
uis cottieeritis 'rtio mainciri. a. h.ad .a .c. costast ut 'rno altan numn i ad alique nuinem: utpt ex lada precedens capsi urit et exant sinitione coicanum lassis sint dati IIumeri. .et. e.et in liti num 'eoedusia .pportiolicininniindissio erit uici meoru par sed unus par et alter impare alimn Iumta arta eos bularius in Jcisciit in iiii Iu-rnolit initimi l .nocon a semi: sit igitur inIPar. d. malor: stqtiadraturius cintlinpar necessarior; quadratulis nutricia imparis est inparzm docta ariti menca: qrsi impares numeri implici acceritent: ut fit insilibri qdrato iumeri mPisocoponi necessario erit inparis opinissa in inediateque est scpuma decimi Euclidis Edraisi.
88쪽
e linearissiciani Quadratsi ducius linitis.1.Leticissius a portio.Lb.M.a.Linta a portio. . alis iocouersiIportione. a.c.M.a. b. est tan*4yportio.e.al. .i iportio. a.c. ad medietate. a. b. tuta ad a5.estiat 4 Opootio. e.ad medietate. .is oportio quadrati a.c. ad quadratu. a. g. est sis ret, omo cuadrati. e. ad medietate quadrati .d. gF ut prino ddrarum .e.eri dupla ad qli dramin medietatis o sed costat os ad quadratu medietatis d.fit aliis numerus par duplus stili quadratu.e minus et impari erut numerus par et impar eandimine Mortionein ad eunde nitit eruet u costauctis cisit equales neu pinas.J numaus par erit dat equalismuiner pari cad pala est imponihil απρο antecederis ex quo sequinar erat falsum:lo viametrurn esse sue colle inlinerram.
Tertia conclusio. Si fuerint trea lineae continuae oportionales.secuda tanto potentior est pri. ma: csta est proportio tertiae ad prima. EN quo manifestuesti linea potationaliter media inter diametru ct costam est incomensurabilis virio in δι itndiue simulo in potentia.
a conclusso capit una partem euidenne a 'pulus tapli et alia a coxima eis capitemidentiamnetratibus coitanninis:accipiant em tres linez pedalis. bi edatis quadripedali franiit conLine ioo non ales tam a potatonem dupla costat em mi est udrupla ad pina: secuta sit que indum ad reain pol inadrupla revem eius qd pocillasma ut dicit pina avorso eapn bui':quare tanta potinor insccnda sud prima urta est ortio mi adpina. Ex daasit accipit uidentia riminecti surabili : accipam nitu es lineas quaraseaeda selba adstinas idiameter ad costa similito terna ad secundanari diameter ad cestam: constat ut tertia est dupla ad pinam ex tertia Vieti eaon costat ena et adrassi lectae est dupla ad quadrata pine ex insida presentis capti quare ina in uti. avi potentior est sessida sust pruna ς' est a portio erue ad prima Correlarium pix mihi mone linee incoinciasurabilis in longi rudine et potenna.
Osiaria conclutio. Si fuerint tres lineae continuaei portionales:quod fit eκ ducta primae literistiam aequum est' tradrato mediae.
et ex arit cistastificiente bal et euidenna indvitatibus corintibus: nisu est uniuerialiterinsi tinnineris colume omllonalib)quod illud Fuenit ex duci minoris numeri in maximiliqua est ouadrato med numeri: mibatu est supra capta. .huius coclivione. .Verbigra..2. - β.ssit Diooornotialia continue I mayportione dii pia constat intus. s.cidio.. ad faciunt:sedu titatites coinunicantis iratent se sicut liuinatissim r sinu liter erit in illis:quare in latibus incomunis cantibus eru uicin modusu: eadem vi potciitia mastis et in illis.
Si fuerint quattuor ptitates; portionabiles continae: et sit reductu primi in quartum aequiam est ei rectangulo quod fit eκ ductu secundi in tertium
Et vera rectangulu figura altera die long oia que cocinet sub niab' lincis medus in se ductis. Ista paterniniliter unum cris vl. 2. . S. Io. namqtiater. S. cibis. I 6. Eu faciunuerso vera vita sila manitan . nunicanubus:δ et in alus nam in eis eadem rano est.
Capitulum octauum de quadraturis.lO ST praedicta decens est agere aliqua de qdraturIs. Est em ali*l figuri quadrare aream quadrata inuenire sibi aequale. Causa aute in quadraturis est ista in figura quadrata est censoris mensurael tremincI alia figura: mem habes P superficies data est duom mpedu quadratorii vel 4. aut secudu alium numerii: iam certilicatus es de me sura*titatis ei' certitudine ultima,ppter qd geometrae interest tractare de reductione aliarii figurate ad hanci quare geometrae antiqui es alias propter sui varietate in eam reducere cosueuer ut Sio ista talias. Pona ergo aliquas coclusiones paucas de quadraturis: Sincipiam a superficiebus similioribus quadratis o deducam cosiderationem v scp ad circulosi sit prima coclusio de figura altera parte longiore quae est quadrato similior.
89쪽
FIgura altera parte longior permidiae rei inuetionem: Nesuaductum iustis ipsam in quadratum reducitur.
medier inuentiori accipies ex quarto capto initas libri propinuone citiam: sed ex quarta camprecedens trabes in quadrata ii qd pol aliqua linea illedia est altera parte ictiliori date e*iale. t ecoirenuo est, s et geometrica cui attrita aridi nerua: qnas fueritvnum latus alta parte lonai advorsipeta et alitul. s. erit tota arca. Io. duin quadratorsi:*n quadrare velis accipias unum la aetus quattuor peda et i uin iis ducas et babebis supticiein quadrata cuius area in I 6. duit hui' inostranorus inruonem iubes sicutulo deuia et terito incurapbissce ubi pinioso a Danc curaradraturam mcduiti num ite manuni medicamee inuentione babetur quintulit.
Area trianguli aequilateri vel Vlachelis aequa est tetragono contem sub duaisbus linei, quaru una est medietas basis altera vero linea diuidens basim anagulum basi oppositum di totum triangulum per medium in se ductis.
Is manifesta es statim ex sola coclivione capri de triangulis:sitellii iangulumei lateriis cles ic es.a. b.c. et novi pia nia quod intinansito e latero ist3 iam in distinae pol in basis inuisti clein latus mequalitatis erit basia: rdinas linea. d. a. inuidensi medium basim. b.c. et Mimia a. et oissimangula. a. b.c. olaciiii cc diuidit: dico tunc qd area trianguli eulis est en agonismo donito sub lin .a. d. t. d. c.m se ductis: ducalidi una linea in altam et erit tetragonisinus. a.e.d. c.d diuisus cit in duos mangritos eqlesi linea diagoriale.a.c. ersit in tota figura n est taliauli partiales TI dum rix diser in capra poperimetrorsi coclusione sessida quare cuiuo ut unloes partes manguli prefati: et duo illorsi sint innes dies tetragoni cinorati: manifestuammaonus iste et tetragonus ille lea babeant artas qs erat os Meda: et boc moram iangulus in torma tetragonum altera parte logioris redus est: qu i vimus derare libuerit araelato precedean'Pοῦς aiionis medie rei inuentione viendum est. - F
Tertia conclutio. Area trianguli Olm laterum in equalium aequalis est medietati tetragons contenti sub duabus lineis quarti una est latus maNimia elutaeni trianguli. alte ra vero est marimo angulo eius superniaκsmum latus csusdem trianguli perpendiculariter veniens in se ductis.
Vobi a sit triangulus gradams. a. b.c.in quo maximus angulus m.a. maxima lanis pyiis sit
rimir sub duabit inris: si . e. d. que est eulis. a. o. et . b. c. que est martina lit trianguli predicti: me ergo erit , paralela gram diuisum ii duo paralelogramai lineam. a. d. quodlibri parat aram duiisum in duos' taligula is quales Clineas diagonales: quardvna m. a. b.et alia. a.c.sed cis:
nulturi capti de triangulis est manuem duos triangulos iuxta linram diagona cin Iaez eqviles ' interserelater et alio duos iuxta lineat ones .a.c. sed ubi s Ilaia thedo equalius tomes parita trianguli priticipalis. ζ qua e tonas mangulus.a. b.c.erit medietates citiue tetragoni: diuida st diu, est na I tragonos equales per linea g. b. erit' igonus en ago i': et ziiciebprimam huius tapherit trigonus predum qiiadrarus qdd eri debuit: et vi apa
auarta coclusio generali, e -- Omne poligonium per resolutiones factas in triangulos: S per quadrat ras lactas ipsorum triangulorum: S demu per circunscriptiones gnomoniacas in formam quadrati reduci possibile est. et dinvrσχ ii soli ita triangillos habes 43pontione sextad
qui randi triangi illi secunda sua species babra in doc capso. drangulis: nianifesta est e ista media olite poligonium posse quadrari:quarton mentum.
Osrinta conclusio de quadratura circuli. Area cuiustibet circuli aequalis est tetragonismo sub medietate circimsere nae: medietate diametri contento.
90쪽
Supponoma mposition archimenidis deis sura circuliri erit niti petitio: qui eam demolistrarere reret maloia tracimtu sit istius capta: et est ista sitio. Dis circillus triangillo orthogonio est equalis: cuius utili ditorii lateriim rectu Migulucotiti mulio scinidiatnerer circuli et lanis alimitti uatur linee coniacim circilla. unaatiinutio line cotinentas circulii ad diamriri, tripla lesiliepti marita et circunfreetia connet ter diainendi et scpuma parte eliis ultra nocivl l abem ab eodein aru menidie in predicio li Milo: Ubi grana iii circulo. a. b.c. m. a. c.diameter cur semul latrieterint. a. t et a Pu Io. d. ducam ori, Mnaliter linea. d. e. rem ad equalitate circunfereti circilli: discatur unerua e perficiens, ianpila a.d.e.MJ acantesio archia nenidis trialigulus .a.d.e.est equalis circulo et hoc demostrat certissime: ex quopi intenta: et ducat linea. a. sequedistater.d.e. et ducat mea. f. cieuue distater. a. d. ten agonisinstinc eris: bes igit paralellogramas .f. a.d.e.diuisui in duos
trianaulos o lineam diagoiial .a .e. sed illi inio trianguli sum equales piluinar triangulis: cirisculus in uni eo:&eqtialis o miluone vinimenidis: δ circillus est equalis inediciati illius en ago
ni diuidam igil illud tetragonsi in duos tetragonos equales P lineam.f. d. et erit circillus alterutri eorum reualis: Ied quilibet cormieti agonisinoui cotinem sub ni edietate circinistrenue et medietate diametri:st circulus est equalis en agono sub se iiiicircunferentia et semidiam erro contento: lil qita draur tetraaonus ille erit circuliis quadras. Et decie quadranaris strificiarit. Uristoteles vero. 2.
oriorsi capso de inductione sumit tale argumenta q6 circulus quadrari possit latonine equale figurejectilinee uuadrari potest sitis circulus est equalis alicui figure rectilinec: igis et maioritvois fis rarectilinea quadrari nut docer inimis. .demostrationib' num capri . minor babenir pertatenam archimenidis: et sic vula hoc totum capsinteridere ad hanc coclusionem, Fctilus quasdrari possit Eliam ibationem minoriis tangit Bristoteles per portione lunulares: c tame repustar in aliis locis sue philosophie insufficiente: et ideo de ea non curo ad preseras. Si in bene ola dicta
Gimenidis pensetur sua etia Ibatio e insulsi ita: ut ultra n libest de udratura circuli dicemus.
Tiber quartus desiguris solidis seu de
Capitulum primu dedimnitionibus S diuisionibus corporum. VARTA HUIUS operis parti laest circa dispositioe so
lidoricor hel hie etiam a diffinitionib' est inchoandii. Dico ergo corpus illud ome quod habet logitndine latitudinem Silanditate mensuratur mitibus diametris intersecatibus sese orthogonaliter in eode pucto. Ome aut corp'aut una superficie au plurib supficiebus terminari necesse est. Corpora aut una supticie terininata sunt qdicunt rotunda Ome aut rotiis duci ut habet oes lineas a cos puncto ductas ad circularettam aequales aut no: si primo modo est corpus quod vocat sphera unde sphera est corpus rotusdu cuius oes diametri sunt aequales.Si aute no habet omes lineas a coi pucto ductas aequales tubella diametricio sunt aequales aut ergo aκis est logior ce teris diametris aut no si primo modo est corpus ouale quod habetu Piram oui: si secudo modo sic est corpus lenticulare. s.corpus quod leticula dicitur: domem habet breuiore. Item corporum mulis superficiebus cc tentorum: alia rotundis . alia angulari supficiebus colenta sunt. ludaru aute suptaciem corpora: alia quidei toti logitudine corpuletiam habet aequalem aliano: primo modo colu pnae rotundae siue chilindri vocans: qaute regulariterminorata trem inane adeonu: piramides rotu dae siue coni appellant. Eκ istis
patet quomodo pescti, corporibus applicans dissinitiones quas Euclides ponit. u.lib. geometriae. s. quod sphera est trasit'arctius circitfereti dimidii circuli S pirams e trasit trianguli rectaguli: S colupna e trasti paralello grami rem angulisti eodemo pol diffiniti leticularem ouale opto 'ouale est
trast portionis semicirculo nas notis corda evi stete ira: leticulare est tralit' Portionis semicircillo maioris supercorda fruamminore diametro circuli.