장음표시 사용
71쪽
Eqila proportionalitas est dupleκ:quaeda directa de quasn .sti .secsdI:alia Ino directa vel couersa de qua in .eta eiusde secudi iordani: prima formas sic dent
duae series nuerosycotinuate iminimis Imrisoni a. b.cid .d.e .ssta cessimi avid. b.sic. dad. e. S sicut.b.ad.c. sic.e. ad .f. Stande cocluda ergo sicut. a. ad. csc.d.ad. f. Indirecta vero argustin eisde sic: Oproportio c.a. ad. b.ea .es .e.ad . di quae. b. ad .c.eacs .d. ad.e.ergo sicut.1.ad .c. sic. d. ad. f. Di recta Phatur Opermutatas tres cosequetias siciliat ad .b. sicut.d.ad. e. ergo sicut.a .ad. d. sich ad .e .ultra si sicnt.bad .c. sic.e. ad. ergo sicut.bad. e. sic.c. ad.Ltandem tu Proportio est. b.ad. e. eade est .c. ad. f. ergo S .a. ad .d.cu oes illi numeri sint cotinuati in silibus oportionib': Ssi. a. ad . d. sicut. ad.Lergo P mutatim sicilia. ad. c. sic.d. ad .f. quod erat demdstrandu In directa oportionalitas quasi a militer priretur accipiendo eκ ternariis binarios di permutando primu ad tertiud secundit ad quami: sic Φproportio .a ad.b. ea est.e ad .f. ergo sicut. a.
e quia utrobil est portionalitas coposita e duab silibus: sed .a .anc.est piu,rtio coposita Oduab'similib Setia.d.ad .f. ergo sicut. a.ad.c. ta. d.ad .f. Generalis aute forma arguendi in ossis istis potest esse talis sicut primu ad secundit: ita teritu ad quam igitur sicut quartu ad tertiuesita secundu adiri nisi vim couersa: vel sic ergo sicut primu ad tertiuste setadu ad quartii vita
permutata:& sic de aliis: Sane labinfertur sed primi ad tensu est sponso lastis vel talis ergo fecitd ad quartu est pportio cosimilis: S sic suo modo est in aliis arguendit Aristoteles aut in tertio thopicomititur tali modo arguendida portionalitate: mutata: sicut primu ad laesidii ita tertiui ad quartu igie permutatim sicut primit ad tertiui ita secudia ad quartii: sed primu superat teritu plus terisu superat quartu: ergo secundu plus superat quartu pride terati ii superat quartu: inemptu sumaturisti numeri. 6. . 3. a. arguas sic: sicut se habet. 6. ad . . ita. 3. ad. a. quia utrobilest a portio sesquialtera igitur sis cut.6. ad. .ita. .ad. 2.quia utrobi est dupla proportio sed sic se habent. 6ad. 3.quia. 6. superat. .plus I. .superant. a. quia superatio. 6.ad. 3. est secun adu sportione dupla sed . . ad. a. secundupportionem sesquialtera proportio aut dupla maior est yportione sesquialtera: igit sic se habet. 4. a. a. quIasuperat. q. 2.plusib. . a. quia superatio. ὁ .ad. 2.est secundupportione dupl1 sed. 3.ad. 2.s Induxportione sesquialtera ut prius tenet aute ista larma phoe quod oportio primi ad tertiit S secudi ad quarti sunt aequales sicut concludito generale forma arguendi ergo ptu una Pportio e maior altera.
Capitulum tertium de regulis proportionum in comuni. Prima regula. Ubiungam, e quasda regulaso coclusione iportionii in comuni: prima est he rasiani est aliqua*titas ad alia tanta est denominatio eius proportionis ad ipsam.
Istaphinducii qui fuerit malim equalis alteri: equali tuoportio eritinter uias et si dupla fuerit linea ena et metrio dupla erit et si item iconicissurari
72쪽
ramina portionabiliter: uio inra excedat aliam inc5menserabiliter. Sectanda regula.
Proportio eraremorue a portione mediorum portionabilium constat.
Istam exprima: accipio ditas lineas. a. et.c.dupla et sub impla incoliaci ortio. a. Ll.c.consponilix apportioncmedii vel incilio: si sapioru inter. a. et. e. sit eis inter a. et . si siue secuduci ortionaluatem cotinua et oportiones sili ilics liue cdtri .pportiori es dilIimiles et nequales sat discontinuasco stat uetuesti. ad. c. tua est. a. ad. et adhuc a in pilus qdu Ia. a. ercedit. b. d. a. excedit c. sta in prora portiones duorsi cessu silum prorsi: lg: excelsus ille cotinet excelIus illos quared abitudo continethali lures et .pportio portiones et hoc voco portione copon exsportionibus:cosisi ter quom a tuerint plitra incilia ex oti sportio: ut, oim inedioru illor st inter se et ad exu citra coponitur portio ex cino: si qu apropter cidarioisiporno pol resolui multipliciter in proportiones. Exempla. xportioli dupla pes ciuiciolui in duas xportiones stres et ille sunt irratiotiales potitia relatui insportiones rationaleo , no sites verbi grana in stati altera et sesquitertia .sciit quaternari excera di binaria puta et in Oportione iniquialteraqc ternarii ad binariu et sta in sesquiteritaque est dest mi ad ternariu si aut accipias dupla Nortione stet in senaria et temarisi inucii reo plura media et Plures Nortiones et sic sciriper alcei id cndo ad maiorcs litanaoos.
Tertia regilla. Proportiones sunt aequales quaru denominationes sunt aequales.
De sequis expina accipio citi tutas lineas. a. et . b. siue antequales siue n5 et argito sic ora est lineas ad sua medictaretata est xportio. eius ad sua inedietate: priina regula: lcdu ta est. a. ad sua meudietate tata est. b. adsuu ta est .ppo: no. a. ad uia medietate tanta cita pin no . b. ad stra inedieta aterii. Iste xportiones babet e tuu denomination eur sinit duple: igil . ornonis babetes eas te deae Nola nono sunt eqtiales et eode modo argini uitibus. Exam accipiunt aliqui arssi metu ad pbada relatione cis distincta re areb 'al solutis: qiu si mea. a. sit maior linea. b. citatos erunt inequales et ranae sunt equales Ayportiones earli ad suas medietates sicii in sic ostensum est: l3 ali dicatapnoscit quinar est lis .pportio ergo res equalis:ita stat res inequales intersecue Moportiones equales ad alias res conapanuas.
Quarta regula. Proportionem sunt in equales quarii denotationes sunt in equales: Sin multiplicibus quidem secundum eundem ordine se habent denominatio prosporreo insuperparticularibus vero ordine econuerso.
et sma paro dui' pn porcinissa': Tequalitas xportionis et deriolationis coturi nni necessario ut ostrio dicit premilla: st couingenti oppositu inequalitas Nportio is et uicqlialitas denotatioranis quead modulponit γα pro iis theorema. dida pars pix et pino in inultiplicii, qua tripla a portu inaiore denotatione 'in dupla apretia est maior xpo: noscit cili dupla pars proportiotii arripi ut pr3Psalam huius: pd hoc cita in supparmularib/ubi est ordo couerius nam ibi iportio malo minore dabet denotatione et minor maiore: qisesquialtera maior est lesquitemim sesqui storia pars sesquialtare citi sed a minori numcro denominati cin dabas: uiallicra.
iniantitates sunt aequales quae ad nil tale copaleiportiones h fit aeqle .
ea nias babet equale avortione ad tertia equalis est messus rara sup illa tertiam premissis et aes equalis excessu starum suu id coe ipse,ptitates er tequales inter sed diatam coem sciam. Exim potest dini argumetitu ad pbando junuistin ira nost maius alio infinito: qili otin infinitora ad una magnitudine finita est equalis excessiis qiti inlinitus et Fons equalis Iportio: igillia infinita sit inter se e ilia plinatio erit maius alios ire supposita eroenitate inlidi alte ante no fuissent plures reuolutiones iune*Plis preterire. S3 t negari ais vel ad inlituo est iam dubia sicut cos clusio illata ex eo: qr avortionis in liuite darent plures re: alii Mediit rasis vera de virtute semm in s no .ppter ibanc ratione sed a1pter illa q ut in coclusione sequere: ex qua etia sequamsi insnitandri alteri ci prediae cili due afficinative de rutute scrinonis sunt falle: q,oisspoui cst firutae vi in infinitis nulla eiportio ac dinde nemma iniuria e alteri eo nem immanem miniis eo.
Q ualitates quam qne multiplices sunt aequales ipse inter se sunt aequales.
'parciqili submultiplicisi et eque multiplicia eaderi xportio hocideraritimator sequi Vigie cista a portionalitate pinutat insciit multiplex ad multiplex ita sub mutnplex ad sub multiplexest miltiplicia sunt culta ex potvid sub multiplicia ersit equalia. Ex ista misit mi ar mentsi ad 5clusione opposita coclusioni uiduae in premissa s si uisuiua possumitiesub alio ira sidetur
73쪽
oppessis: Nes ollinc viritate et dii alio infinitas uates et infinitas dualitates et strono su in D nitam Nares lutit eqllem uin laco ad unitate si inlinite dualid res ad ualitat: ladii finite duacturates lunt equat caesa fila itis vrutatiis dete igit raras equalis est dualita n quod est inpossint e.
Capitulum quartii de proportionibus irrationalibus in speciali. Prima regula. CCEDAMinu in speciali magis ad oportiones irrationale si
nedo regulas dico lusiones siti haec coclusio prima. Ois Oita aes potati ei proportionabilis sed non omnis omni comensurabilis.
Eras: ima part et diffinitione .pportionis et ex prima premuris capsi' hiis uetitoris
a Mimia litarcinalia citi lignieris est aliquia qr vel minorvrniator vel equalis: et strata est a trias ad aliata iit ac sta portio eius ad illud pruna precedetis capri: Jolsu tuatio ad ara' ς titate UnLlegnis est aliquata oportio AP pars pnex diffinitione unitatis coincnstirabilis et meliliirabilio: Isunt Chelse due u litatis quaru vita est in aleri alia et finite qui byli ulla est uetitact' comunis eas numerans sicut sulit diameta et costa quadrati igil non ola inni est cornensurabilis.
Secunda conclusio. Omninduam stilatii coic1ntiu est sponta alterius ad alterata non umeri ad numerii si ante earum o sit a portio rancknueri adnitem in coicates eriit.
Supposita premissa statimin istam: diffinitione cdicantist uetitassi et incoicantisi:st enim sunt coicanstein Jbat erit urtitate aliqua se coito numerat ut in supparncularibΤ: vel minor ipsa maiore numera uti multiplici b illa aviduitas coiternuineras erus Amalique numer et aliquoties inimior et et aliquoIiciis et O in altilucii unicis in litori: aliter illamita nonuinerabun aior et minore crus teri accipio st istos duos nutrieros et in quorsi alteravi in maiore et L altersi in minori manis sta est . FPratio que est illorii liuin ero: ad inuice est iplarsi duata lamisi ex otiost aut pina parshuyrus SP sex quae pnsa an assii ulla talio milura coite inestraret sicut mollatrenei. in partes: iam non comunitates sed incomunicantes duercnnir.
Diametri quadrati adlatus eiusde est oportio Irrationalis est iois diameter coste sui quadrati assi meter idest in comensurabilis.
Ssta phex premissa qilii portio lateris qliadrati ad diametrsi nodi tario numeri ad n uincisi: bee probo qniana meter est mcdiu a portionale inter exti cina duplea portionis ut ostendI: sed malumeris impossibile est inuenire ni iners ornon altari inedia inter numera dupla et sub duplu seu inter metrema duple*portionis δ diametri ad colla no est portio in dabinadine numeri ad numersit
assimi pis ybouci sit. e. c. lanis qil adrati parui et diam iter mulae. d. c. sud linea. d. c. costimo quadrata aliud nIq. a. b. c. d. et ducat. a diameter eius conatu . a. c. est dupla ad. e. c. sed sicut fel me.c'. ad. d. c.iralel 3. d. c. ad .a .c.qr nubii vesiciparatio lateris quadrati ad sua viainetra: δ ille . . t nee so.a.cet. .c. et .e. c.ba st 2Anxportionalitat counuato t. .c. est inedio loco Ppor nonabilis inter. a. c..et. α c.qsunt trirema xportionis duplepnapta positio inducia. Ostet ad urngit in theorcinate inois dia ineter est assi meter costdi est iteranos euilae p:emule inibis aptit Eristortu usitans: ci citrsimctra illiid; est comesurabile: assinen vasit illud'6 est incomensurabile. Hllus modus pabdi dictum prius altumptu est ex Nomone quadratorsit diametri et cost: et iste tanga in se queam capit alo. xx predic in qualis debeat din*porno dum ira ad costaruili est medicia dripi proportionis: na a portio dupla.a. c. ad. e. tacoportis ex νpor ne maioris ad mera Q. a. taad. d. c. et mictu a Iminous d .aaee. c.que sunt xportiones ualea et sises et siliis rara est inedietas illo: si extremorulo. a. c. I. e. c. in quib' est dupla τοῦ ornodo natali elas duple*portionisqua: propter altera ea a et quelibet simul dici delici medietas oportionis duple sicut alicuius totivars altilii a de medicias. eua qualiter connuari po ista .ppo:tionalitas siue accipiendo malorcs Q titates siue ininor eaqQ boc fit mutarulo costa quadrati maioria in diametra minoris quadrati vel ecauerib diame mira minoris in costam maioris. Istiad exempla est Dinosia in in mia: ideo declarationi ci' magis asto.sQuarta coclusio erit de inedio proportionali uiueniendo grometrice inter dras lineas datas P nnue earum tuerit nota proportio siue non et virilis.
auarta conclusio. Datis duabus lineis illis 3 directae eoiunctis diligatis: si suptota lineam sie viduabus aggraegata describatur semicirculus: Sac5muni medio duarum lionearum siccolunctam linea ortogonaliter ad circularentii venerit later datas lineas secundum proportionalitatem continuam mediabit.
74쪽
Danc claro in tem:aecipiat diameter et costa critiaran volo inuenire lineam tam a portior ralitast connuam media uita ipsas:ium diatricier. a.b. costa. b.c.totam lutea ex discopolita sit. MLQuhanc igitur linea describam semicirailsi. a.cl.c. et . a puncto. b. erigamipealdicular lineam visad. 1. et hanc dico esse inediam lines inutiain et dico. . lineas istas cotiniicine xportionales: iracpsicut sera. a. b. xl. b.d. ita sed . b. l. ad. b. Alusto nimis diffusam postillat demostratione et ideo die sufficiat nobis mclidis auctoritas citiusmodi est ista xpositio nona sexti libri geometrie: et Esensus in breui Pomnis litie in circulo a circunfamna super diametriim veniens orireolialiterm d amam insistens: stccat ipsam diametriini in duas partcs merituas en ipsa medio loco porpor nonalis. fundam in mariti a reollaritale circuli citi 'pera feria eclii aliter recedit acerin ovi omni by suis panilaiserum uniformiter difformiter adi trema diametri accedit is inclinatiar.
Si fuerint duae states,nim litati comunicates:ipse quo*m uice 5muniis int* si nulli non comuni ni interse via comunicantes erunt.
iram pars ph per diffinitione iii alantavim coicatili et per sca alii caprifcedens Aerbi a sint due
quantitaresa.et.b. um quantilati. c. comun testes et . a. sit ad .c.n ipla .vcroad.c. sit dupla: coemo quod.ααb.comunicatit: ira perscclidain 'uius capta a. et.c. sunt sicut duo lumeri et .b.et. c. sunt sicut onmnerio .a.et. h. z.c. sunt sicut. .liu incri igitur.a se habet ad. b. sicut numerus ad numerum
et diras.a.et.b.iat coicares.Sa a Ps se illii expria ex opposito. ntis sertato opprii antis pit clarema mettili ipsa forma Noremans sub u ponitur. Ex quo pi,illud N in prirno pus bin'capro dicta est de media linea Opor non abili inter costain et diametrae ipsa em erit necessario in coitans tam lae a diametro ex quo ipsa inta se nocoicant: pryriiain crin quadrato tio solli diatrieter est assimeter contici lino toti perinitar quadrati est inamae astanci . na costa coicat superimetro in xportite submiadriipta: in diameter coicam cuin perimcn o ain diameter et costa coicarent inter se per presente.
Si fuerint duae comunicantes cytitates inter se totu quo de eis est cosectum
virilearum erit comunicans. Ita patri iIitc exsecundabulus capiti ili:qiniste dire quantitates erinit sicut tuto numeri: et perequens tota ex eis coposituin erit sicut aliquis nutrierito: et per cosequeris coicabit viri. partium.
Septima conclusio. Omnium quattuor cytitatum geometricae proportionabilium : si fuerit prisma comunicans secundae tertia quom comunicas erit quartae: si vero prima fuerit incomunicans secunde S tertia erit incomunicans quartae.
Ista statim patet in inodo arguedim .pportGalila ruis: nam a. p. c. et . d. quantitates sintiportionabiles ergo laut.a. ad.b.lta.c. ad.d. sed hoc O se narisi i inpossibile n. a.et. b. sitit comunicantes:etc. d. incolomes vel Goucro: alioquin porportiorialitas nolin cise excolcantibus et incoin unicanuhus:et per Meques oes titates cssent a portionabilesqr innuas differulitatu modi*portionum minu comunicares et incoicantcs udiu ut iiii Isibile p3o no siti potens ex qua se tur possibilis.
Caput quintum de Oportionalibus rationibus in speciali. USICA scientia subalternata arithmeticae quasda suas con, clusiones obare solete principiis vel etiam coclusionib'
arithmeticis Et qa ilia arithmetica introductioe. nullas desmostrauimus coclusiones de pallioniis numerorin: S si easpponendo insinuauerimus sed etsum insequentes solas distinitiones di diuisiones vocabulorii posuerimus essent praecognitioes ad demo strationes par esse duκimus in hoc loco ingeniis mathematicoru iam aliqua tutu eκercitatis in faciendis demonstrationibus non ullas adducere demo strationes dei portionibus numeroru quae Oes sunt rationales: eas videlicet qmagis necessatias scimus ad musica introdum one
in calce huius nostrae aeditionis subincta. Et puis in hac geometrica introdu/ctione Euclide semegare semipe sena fuerimus insequuti: tam e i hac pars x Iordani neni orarii elementa arithmetica imitabimur: et clarior aesticis
75쪽
lior sit eius aeditio: cp ea numeroru scientia quae traditur in tribus libris post
se κtu apud euclide. Sed ante cyada portiones veniamus numerorsi passios nex quas marthimeticae nostrae primo libro solumemplariter declaratas posuimus: seorsum demostrabimus: sequendo eam ordine quo ibi a posite sunt: a primis numeri comunis passionibus ordientes: suppositis in numeros tum dissinitionibus di diuisoni laus e arithmetica. Prima conclusio. Ois numerus circusepositorii aequaliter pab eo distintili est medietasi merorum: Neconuerso si quispiam numerus duorum coniunctorum messeras fuerit: illos ab eo aequi distare necesse erit.
Immqtiando nummas aluam superat:similatii eouia maiore lami subtracta aut minori adilitarre manebunt nutrieri euitalca ut cuilibet nomete capto est qua notissimulta: positis trib numeris equaliter a stipas istanti is si messum maioria si per media ab eo detrareris Iuninori addiderim fient tres numeri eqliales: quom uosmul iunci reipli surit ad te Iait duo ad una quare cratas elucci primettis P duo altrinsecus invitoa per quales distantias inedi' liuit crus erit inedietas.
Scaeda pars ex puina seqitini manifeste reviceriis c duerterimet tarniatur ad impossi i lcima datinitincrimo equulistaret a medio nem differreas ad triuii equales taber una ille medius numerus Datus sit inedictas duor ab eo equidistantili: et nunc ponit aduersarius ei inde eminisse meis dictatem diro no e luedistantisissequitur,nsi inpossibile P de numerus esci simul medicias diuorum malo in equa tuli coma quartam cocin Liam cosequenna est claraqrnuinem cis nisex
ob' equedistantibus adpositus otitiobus no equedisiam sunt incquales prima Gem sciam in geomemis equalita inequalia addan et Exhacio lusionerelinqvsituritate kda oriciates nuamnor paruo imparia et a portiJalitatis aristisetice quas .pposuim in tuis loci scire arit elice.
Secunda conclusio. Si numerus In duas trii partes diuidas siue aeqirales siue inequales utram illam innumero par erit neces arto par vel utracpim par: in numero aut imparierit imparitat paritas as ciata: sic et altera partium erit par altera impar.
Duilis amatio erit clara supposuo illo principio Usiquod in resbluitur in ca ex quit 'coponiturire per opposita quilib numerus ex illi altibus tuit primo copositus in quas postea est diuisus: qitareni ucrinius Miniuinersi prius fuisse ossium ex talib' parilinis quales notat lπciriliasso: si mr manifeste veritas ei die diuitae et resblutione numeri xponitur. Eisu inpisi ergo ilial nu: otii eam anam ex duob paribus: vel ex mobus innarib' est numerus pari iis asit mitte coponitur ex pari et impara est nummis impart δ' oppositu remis numeriis par est diuisitulis in duos pares vel in duos impareso initis impar iniri diuiditur per parietimpare Ib: ima pars antis ibat ex
hiilinitione riuinera parios et in diuinini iam duo media: sisti troa pariuinnti te inedietates sis mulco natim et onus nimi a Vati nedicta letalicient: δ tale agymatum crit numerus meo: miis babet mediciate. Seclivi alitis siluer*bam qum nanirali numπος serie..d cotinua additione unitatis mediti pauer nimiems est par et alter impar ait anm: unde fit ut crvilibre impar sola nitate distri a suoxtimo pari qua detracta erit numerus pari δωροnπe duos inpares ninures aggregare duos pares et mas unitates si tintilius par o binarit: quare tot ulti agmatanain erumno numeri pares simul positudo prccc Preno costi nisit, in par Tertia pars tu ex diciis miopositiam et pari et impari est io sinim rei solus paribus et mutam sed duo pares taciunt parem mi addita nitate fiet imparet restat πω tour antecedens reum assimpnam rerum et potioseques tota c&lusio euidenter a bata. Ex qua sequi priino et ira numero pari donaturpare minor:resdrauimeria erit pariet si do detram miti mpamrcsidua quom erat uripar Scito maa tincro pari ci abal par eo minor: relinqua unpariet ecotras inniatur impari anctator.
Mnltiplicatio numeri paria in alium parem pducit parem: sim etia impar dumis in alium imparem effecit imparem: at vero permirae parmultiplicia
imparem aut econuerso proaeat semper parem.
προ et militiplicare n5 It aliud. multos similes numσossinii aggregare et in unsi colliaere:qdomus impropanilo est ex eris:prima pars inius Mussonis est manifesta ex precedete ubi icimn ip seMago missio paribus es nummis pari st multiplicare nuinersi pare malium parem plures pares in vita collim quare et nummi parem p cirrimclida pars mater claret ex di
76쪽
oregata erit impar ii ex crescit unitas Deo. Tertia pars ersma edtur qr aggregare plures impareo in numero pari est velut plures pares et unita ita in numero pari coponere: st totus nutrierus inde resultans crit pariet sust Iora ciri iusso. Ex qita ccltur priin ιν numerus par nullius nisi pari potesse pars aliquota qr e multipluratione diis aliquorea ducitur torsi: at numerus par multiplicatus
G irim non a uat nisi parem ut b3' ce conclusis. Saso statur * numeri irnparis nulla erit para via in imparet sta minuerti inpare sua torsi denotans. Terno sequi fissi par fuerit pars aliquo tam eri naris: ipsa noris scim pardinii mera suli ossi in taurabin ac perinde etia inediciatis eiusde totius Messe poterat pars aliquota scisci in inedicia te mesurandis ton' dec et plura alia xlixe dcino irratioram' in pncipio sui septimi per I 6. coclusides pinas: b iis baithan ex duris mundulius.
rarta conclusio. Sicut omnis numerus pariter par est diminutus: ita εἰ qlibri eius pars aliquota est numerias pariter pari at 3 praeesse secundu pariter parem numerii lau
torum mensurans: cepta unitate.
Ex di inone simul et siliatione pariter parili: quas hic lappontiis ex primo libro ipe arithmeticernatim ala prima pars dui' coclusionis: qiii libet cili seques pariter par)ii naturali eo serie est duplus adfusi intimo precedente sed primus cou. tiuinitat cita in duplactio addit nisi unitateri ille et
'mi simul iunciminus sunt ipsemet duplat' min' tam . seques parare par: cui' ille sunt nam aliquore: eadito est de alus Oibus: d quilibet numerus pariter par est diminutus:qr ex suis mi avibus no integratur. 6 pars coclusionis etia facile arbaturione ducet adarn pol si lille: si enino fit vera: stitem aliquota nil nitri pariter paris indurabit numer impar ex diffinitioib' aliarii pecterutra paratatio et imparia numeris iis est unpossibile qr sequere ille numerus impar ena in etitararet pariter parebois elli pars aliquota Pns alitatio te est ena pars aliquota totius licet sub alia de molatioci sed impossibile est numeriai inpare esse Pte aliquota mima pariter paris distae duplicatione conntia numero* ab vilitate mereatur et no aliter: lucidisset versi facta illa ippothcs:qr ex cuiuslibri s aliquore miltiplicanoea ducitur totaist ex multiplicatio imparis pederet pariter par quod elloio inpossibile . Gria pars coclusionis eode modo ibal: qromis pars aliquota in urat s in totum inultiplicatione: sed pariter par no nisi per pariter pare multiplicatus placit pariter Parean: alias sequercetur dictu inconueniens scilicet in nurneruo inpar esset pars aliquot pariter paris Hucti et plumis urarci tota er coclusio vera. tur notanter cepta nitate: quia illa est Pars aliquota omia numeri luci non lit parua pari denominat tamen pariter pare secundu pluin.
E ductu medii vel mediorii in numeris patiter patibus ac pinde inoigeos metricat portionalitate cotinua .ideiducis quod re multiplicatione extrea morti aequoruciam lateraltu aequaliter a medis,distativirade ratio est in deis
nominatione partium aliquotarii ad inuicem respectu totius pars ter paris.
compecNndimus irae duas vin nras a pelitates pariter parili num πο*: pro quara remostratione Pr minus ric regula in arat meticam sta sepius repperitam: γ nuntπoisii inplina et suo em multiplinum eade et similis es a portici*4ordanus in scibo alea verbia sic ponit iii aeptima coelusione: amus numeriis duos multiplicet erit muctomet mutnplicato eadriportio et in octaua clusimi duo numeri eunde iii ultiplicet: erit multiplicantia iductora eade .pportio: etsi indat eas insportionalitater mutata: faciliter adaptat I sin tablinii attuor numeri et duesses a porticurem bac redigula lapposita: ar o ex inticvillisione tertu capti duU: ntates ille stitit equalco .ad una ternam cis area N: non babet equales . sed niuncius A luctus ex dircul aut multiplici non e medii nus miri perseipsum si lacrittantumius medius vel Qe inultiplicatione mus medidi alterusi fuerint diro mediates'. et alter numerus pluctus ex multiplicatione em cinora aut latcralia equaliter a mediis distantisi: tales inquo duo numeri miducti equales babel Pportiones ad eunde tertili numerara dabile: g sunt equales vi ponti coctusto'. minore sic Ptu: sint quamior numeri pariter pares in in . orti e turpia positi. a. h. c. d. lilat nummis placius ex multiplicatione duorsi medior tae suem ictus ex multiplicanone duorsi colla teratisi vel extremorsi. Leti postulos. e. volo barare te equales duco. a. in . b. Hutas inde. g. ergo P regula allegata ex arithmetica qu portio. b.M.
tura est. f. ad. g. ex quo idenum cius a. nati inplicauit duos. h. et . . et uxit duos. g. et . f. qr umedimas. e.A ducit arta ductil. b. in . c. st que A orno. a. ad. c. ea erit.e. ad. g. pereand me laqzm: multiplicatione eius te numeri: so. b. . ucti sunt in duos. a. l. c. sed ex coclusionisippothcs qualis est πα-uo. a.M. b. talis est. c. ad .d. ergo. e. et . f. d. g. equalest ab a portiones minant nostium litor:
ecu in ciet.f. sit, uniera equales, dicit pina pars coclusionis: cade ibatio mulio ethcanor fui BRI posito uno tanta media limum reo bis iii ad exircina coparato Scala pars correlarie sequi ex pania I partes aliquore tum totius sese denotantes sint etiasse mutnplicatis ad costituenda totum.
77쪽
Cuiussi tesueti pariter iparis qlibet par aliquota discordat a sua denotit
ne*m ad paritate di irnparitates unde plures hui' specIei numeri seriatim sumpti aequali distabui differetiis: oportionalitatem efficiet alithmetici.
Tres sunt modi generationis numero: si pariter inparit: primus Plotinua in dii plicationisin orum imparil que est multiplicatio eoru Phinaria:secfidus p counu dimisione unius numeri ex turillis meliuinerossi paristrita senus partertius iliam septimus et c. lunt numeri paritet impa. res terinis nodus inuit illic clo quelibri impares numera pariter inpare placet eva pariter inspar.Titcnc armo ad ma parie coclusionis ex dii initione: cuiuslibet pite noris medietas enunierus impar ut multiplica non 'mari producit suli tota tam prim mora: sinari et ille impar sunt partes aliquote eiu u toruio me inutuo denotantis sed iste discordat a suis denotatu nibus ripatet: et eade ratio est de qualibet alia parte aliquota: qrcuiusti in umeri paris binarius inpuro aliquota: et, ibaulinus in quolibri parare impari binarius impariter cotinet ab impari do minal:δ impar sibi corres: Mestae binarisi mactans in civitiumcro pariter connebit et revectiaeuis rebabebit rotarisi Sina pars coclusionis ex domodo clara es inruinamrali nuna era rasime ubi inter aliquos equales tondi med latit oinmissi equales citatunt eorsi diffremtie lite aut Ecdtinue virus ineduls par dimitti et duo impares: ergo inter quoslibri duos proramos parister impares mediant tres numeri sic et quilibri cor metito loco ab altero situ aliqirare eoisi differtae eruieulcs. qttuor unitates Tertia pars nisida sequiti diffinitionia portionalitatis aritimetice.
Septima conclusio. Innumeria pariterim pari seriatim positis: Suniuersaliter Inoi arithmeticapponionalitate: additio duorum edio inqualet additioni duos deκtremorsi: di quorucul duoru laterat suisqliter a mediis distantiu at vero ubi unus tantu medians est numerus ille dimidiuerit aliorum duoru a, itorum.
Sessima pars Ῥ- usione istius capti amata est ad eamq; sequi cor clari ina naniralis scius nivneros a me dat pconinia additi Eunitatis:equalesleindvabet differtii mut ii in muneris pariter impariDetina portionalitate arithmedica: st numerus meditis dic eccum odost iubebit ad vos collaterales equaliter ab eo distates sicut illic:qr seritior additorti dimidisi. Ibris me sit partis Viatio bec erit: urn vim talia, timerou differetie sunt equales colinurisi quelibet duenim sumpte adequantalu duabus simul sumptis sed remona differenis duo in edula .sequannirmiori collare alii, equaliter ab eis distatib vel etia duob extreritis: δ appbsitas equalibus dissertatus esumimeriseret equales romua Minici ia: nequalibus equalia addita sileri uinderesultabunt erunt equalia.
Impariter par omnis mewduab' praedictis speciebus partiat 1s procedat: conseques erit suas partes aliquom varia esla Sirau qua Mascia denonis.
nationibus conformes alias vero difformes fieri.
Hem duobus md wbec species nutriri orumaeari: pruriss dedimus in arist mmcari nocilaeat' tera ponimus NixIordano. mutnpliato parit pares pariter impar divi numerus inde productus ni inpariter par ut xponit pina pars huius coclusionis isseibat: cuiusti brenuinci Lex duouniultiplicatione plucti quilibri a luceti vi pars aliquota ab alto,denotatae mit,ex diffinitione partis aliquoiciet qr ex in ulnplicatione prediciar speciosi iumerus mdumis est par ex trena hui' capri sequii et illibri illorsi sit pars aliquota Massiducti: qui P quartabilius capti no potesse paria' ter pari ne merit parat ' inpar ex diffinitiolic,qr ei medietas no est impar: si inlucare multiplicatione paras P pareo sutat medit tales 4Humatiae restata assulscicii te diuisione o ille o ucius sit inmmersa q novi dabilis urta spes paritan icta pars ex prima sequi palla remia in ullaria usione positaeqlibri pars partis est pars lonus etLqstuc itunam imparit paris queda paries erat pares et alie inpareo. s. ille illes stin ut partes suo, lucrensi et ille scipsas munio miolatate quare cita sequis P alique parico assiccsormes suis miolationib'. s. illeque ciat partes nummi
modo de data his denotationiblissem varias dies allittas q illas dorciant m pd ex dum.
Plures isse sinpariter partu ordinate di simul positae latina habet qdrilate,
78쪽
iam: cui' logitudo geometrica: latinido arithmetica P portioalitatu Ghibet.
rivi sed eade figura resultat domoda quill si que posuimus in arist)incti ad merata niti
ros ni pariter pares: sint diue line reae ad armisi rectu cooermes: ponaturi,in altera earu seuries pariter parisi a biliario incipiens: in altera series parita unparia incipiNIsalmario. Putaturm primus Uuis line livora alterius linee ut fiat inde vita Ieries inpariter pari si ide fiat de reo et tertio et oib' alus et resultabit larma quadrilatera vi insinuat pina pars lare coclusionis. Em verobatur' logitudo figure erit iuxta linea paruerimna: latitudo aut stomamza pariter imparisi: si paurita pares in tua serie balin Pportionalitate geomenica ex illita pulus: pariter,cro impares positi sint in proportionalitate aritimietica ut septirna Nius:st simili in ornnes series illoruisu introra intonstudui babent eoinetricam: in latitudine ariti meticam xportionalitatem:cosequena est clara ex regula in quinta conclusione adducta: q,onies series nulnerorum in logitudine ire sunt ii vituri lces adseri irriter parium: et in latitudine ad seriem pariter imparium.
Eκ continua additione numeroru pariter parium naturali ordine dispositoram: acm multiplicatione imparis primisnde resultatis per marimu addistorii numeri perfecti sic paeantur: ut in quolibet numeradidimitae unus tantum perfect sit repperibilis atm pectem omes in naturali seriae alternatim
senario octonari inditerminentur. Due vium: ius partes ex pina clarissime dedit tu et inductione notitians pine J partis probationi insistamus: si citis dans nuincius est ille cinus ama precise coplent oes elus partes aliquote simul siste: et bauerimus ex predicta multiplicanon Heari nu inersi ex olb' partim aliqtis suis Irecis costantae effecili rei tale essetfectu quale .pponit coctusso: ninor g alsumpta Io diicis: namae pariter par et illes: linus inpar: et quor multiplicatione alliis nulli erus a lucis malil felle sunt mus partes aliquot sese mimio mi olantes: ac Pittite oes parit pares illvisit inplicialite pet eoqrsunt ei partes aliquote erat Ptes aliquore totius plucti: l3lubali admotationib' hoc pacto qressi ille natantus parita pandi notatur ab illo i in para: δ mo precedes illa parit par scit meudierascius dololabi a duplo predicti imparis: et alius instrior parita par qr est quam pars traximi et inedicias prediat denotabit a udrii plo illivo imparis 4 est duplus ad dupla re': et sic mi de Peudordo: paritinpares et ascendo: multiplices imparis stet iii eunde ordine. l. dimidiando illos et dirplicando istos donec dumttar ad ultimos binc et inde: tuc taut exulibet raroi multiplicatione duari Parnsistae denotantili piliscitur ille totus numerus,sic ex additione otin illarsi limul resultat idcin
mus istorsa Nilotat vi tu illoru et econ aret adinvice multiplicati plurat tota numersi: lena unitati correi .lat canam denotat aqua et ipse denotat: noeteni. 3I. est pars declinarita. sic. 62. est Octauaera I q. . est quartas. 2 8.est medietas predicte dine. q. 96. que scine est id numo' et laut duractio. I Sin. I.*duci tua sun Iazia ductis. s. i. 52.et. . m. I 2 .et. 2. in .2-8.ri. I. l. -96.radcin additisesb' mediam byaliquoris resultabit eadesaina preciserin nullas alias Ptes aliquoratas ab istis minem stest plecme: omes ire ruuis arguinciationis patere predictis coclusioniώhus duras cap i. quoniri et antecedat adl Iccoctusson inulta Iordanus ritum erat in finesius titrii libri. prirnu eli: Q ois pars aliquota nutriret Psec preto viritale est numaus diminus. i. pariter par vel stinus lili par vel alii it multiplex eius: pr ex dictis. Oct in Q infra dec mina itia sit nutrieriis Plea'. sint: et infra coetu ted supra deceat unicus dieci λ:so. 2 s.ci insta mille sed supra instaurea qua mitis αν t. so .cilla fi urities limites numoadsit decuplando sese med sit: p hoc in ciuieqr multiplicano predicta parito paria P impares priinos: lγos et nullos alios nutrieraro, levi parare ut dicit secunda pars coclusionis Tertium methdi positis in silo naturali ordine cibus prefectio num ais alteraianni senario et octonario numeris parib' teriri mantur et dicit πtia pars clxlusionis: q,sic se ny occuπit nultiplicatio ofector uin productilia et noulum quare sequitur 'utruis . ois numeri PDa e par et uallu adstar stati arili esto niti nausista nultu ibi esse pars aliquora nutrieri Psecn: lino nessi diminuti sed semper absidantis de qui os statim dictaniis.
Sicut ois numerus diminui a sola unitate aut ab alto numero diminuto me surari potest: sic cuiustibet numeri absidatis multiple erit necessario ab una das adeo , nullius alterius Tabii d. itis abulans potest esse pars aliquota.
P erinida fici l 1 numerus se s scitia su patavi abadano et diminuo in differtier esse possunt
79쪽
pares et impares: nasciit eis paruo par in conclusione urtabulus ibatus est diminus: sic ess mapa pinus est diminusti, lola unitas est par inuo aliquotari est minor eo: Mibam de nimieris alvinciatibus qrcora quida sunt pares alii ini parea. ago pina parsio nouis veritias: qhun par
prirnus a ista unitatem furatur: pariter vero paris numeri pars aliquota ex quartat ut noeuntii unitas vel pariter pard est inur': impar etia copolitus si tuerit diminutua l. 9.vcl. I . ab imparismo mi ratu sintera vi ei diminut ' Dcta pars cita vera stiri duplare veli iplarcnstearu abstrante es duplarornn areola eius cie aliquora quia hii ucti abundate itum era sinu simplicita accepte Fucebat ipsum et diffinitione citis Tertia pars istinisti m et Ela: ex primam. q,abadans ni pol esse paro aliquota diminiit utilina est iam Psecti dabisi ex pariter pari et
impari pmo edebat ex precellete coclusione: st restat. noni pars aliquot nisi abundJtio numerari. Ex ina vero parte etia idem sei tur: qriis pars aliqliota est submultiplex ad stisi totiliet cuiuslibetabun latis multiplexetia est abutidas et C Numeros abundatcs pares facile inueniemus si It e Gim multiplicaueri niti iumerus etiam Psectiis sua multiplicanori absidante a luci ex quars to corrclario precedentis. Sed impartanabundante trium ire baud facile in credo: prima eorum csse. KOq. . cuius partis aliqliotestim. I. . . . 9. II. I I .ci tonde alie qtiem diuisione toto peristas inuenienturi et plucunt mnes simul addite. ΦDO' I. inde omnis multiplo p:eduri mimeri. Soq. .crit abundans siue par siue impar.
usicis numerus aut primus est aut copositus: Illelin stimus en ad oem
alius mus erit: compositus verooia ab aliquo primo necessario merasuratur.
Dec vocabula numcrus prirnus iii se primus ad alia:coposit' in stic o sici cornesia rabiIis ad aliariora sunt numeris parib ' et impi, quDdmoda de absidante et diminuto incru emi3 an arithmetica illa pinsi et copontum ad solos impares: abundante et diminuta ad solos pares mul imio in tam ad odies iunicios ea adaptanda suscipi inus. festinast pars coclusionis a suis cienti diuissorie protia et rcis nummi ad ab pari aliutiola mitainuci stram Plari:sic Sir lilius: viminarius ternarius etc.vel perier unitate alia inlinem picin aliquota sui: et sic dicit copositus ut quaternarius novenarius et c. I lenumerus illit mcducit it cautio numero in unitate Parte aliquot utriusve
vel dinea solae et sic incisimus ad alterii: vel malit alio numero preta unitate: et Mili copontiis ad altera: nem potest dari media in ter bec inebrariet corin adictione separant. a etia pars ex dusnistione numeri ad altersi pini est ulnanifesta: qr ualuis mimmis in se nulla pariet abet aliquoti preter unitate:Jad altersicoparao in nulla alia parte aliquota coirenire poterit eseo: ques ad illa priumsiose: qui ena duo numeri dici solet cotra se mi et ad inuice piri l. Tereia pars sis notitia ex ter qsu alicis numerus est coprer st ab alio numero parte sit aliquot,m suras ex dii luonerversi iis te alius nummis est pinus vel corosir': a priuius bab iis .ppossis: Rci postas: quero umam vel sua pars ab quota est numerus primus,clios Iutus: a primus: ille etia erit pars aliquota ton' et Mavomsi est versi: si Spontus oeda ulterius tune mucillam numersi pinsi qes numeris crestita
dono edi in inlinit Ex baccoclustone sed turpino*ssali dat tu incrus mesum copossisse ducis bus: nectinario et altersi Sponentia incitara lut: ac perinde altera illo: si est comesuralii lio. Scili sediuro quidam num πus mestir at coposita et vlla parte tam ' in Esurabit et alteram: a in duas tants paraea diuidas: et inulta alia ex bis sequerent facilia que olariindant in regula superi tallegata: qui it ea pars partis est pars tonus et con a: loquedo precise de partit usa liquotis.
Si impares numeri in sua naturali seriae disponans: Stolidetpares postque libet sumane quot' ipse ab unitate fuerit,eraremu suptos ab illo numerari ueniet ictite totus ab illo miremo quot ipse a primo: etia a primo mensurabie: sici deinceps: omnes vero medii semper relicti erunt impares primi.
criti. 2 .lapti in Iordant qua ena ubi liis bis in nFa arithmetica posuimiis: et aliter sub aliis ponit e Looetius in tua: ubi griano pinarsi mera imparitatis declaras in iraturalis scri eritii pararium ternarius est pinus clade est tertius numerus ab unitam quare post temaria accipiamus tres linpares ipsum mediate loqueres: lo. s. . 9. dicon Nirsi emcinli mesurat ternarius qr est pars aliquot eius: qt sic iballirhqr ille novenarius est maior temario et excedu ipsum adeo in differentia uicti coposita ex n ibus diffore iis intermediora ad seipsos et ad duos em emosi seculam coelii non terra capti l uius: sed differetia duoru imparistinino: si evi binarius, inultiplicato binario ratemarium fiet tota disserena' est in tertioucilarium et ternari uni: cui si addas ipse tertiarius constitime novenarius a iste est misi iraryab illinio ternarius e Ps aliquot a novenari in aliquo nes sui ii prereddit integra novenarium:quare novenari est ritimeri copolis. DInde acceptis itera trib mi piaribus pinnis post noumariti: so. N. I 4 S.Crircinu eo: si mesi ira terti arseribano: qr inter eos susex diis reuestres priori :ὁ muri 'duplar Dducit tota differetia e multiplicatione suam cum bina.
ridicul totali dulci ac si addar tammua fient. IS. nurus a tentario copomus et i iuravis me
80쪽
m die quant binarum: quit,' totalis reta a ducit cernulisplicatione tertiari mplari dilitari uali du'tcrnari' PM ci. 2I. eaderatio a lut ales olbλ seqtie loraturaus meiparos nari' se diis i par et dri r nummis ab vilitate: acccptis stetim inadst yammis post eu:so. T. 9. II. I, Iracmaior inreunaiqnari' auter illic Ofias qs ipse inari' duci'in binarissificat. db ipse si adda e plebis. II numeri coposit' et mesura 'adnarao: clinia ad .2s.l , cersias uo ipse dupla et duci' u innaria placinad. s. in indecimisias et Siriter septenarius tertius impar septimus, ct crus ad unitate indurabit septimsi post se. zI. et septrin si postilis. 3 . et sitiit septimos tinue dcderimus: pin i hic invariantur P. T. I . 2I. etc. quas se citarius suaptari multiplitatio aliis olimitarib 'i ordinEJomais cocliisionis vera. Sci ais de numeris intermedus et dissi a nitione i paris mi vibali qries illi relicti sutu ad mlli editi Oibus: g milia latite aliquotaniprrier itate: et vi sunt nutrieri mi: si albatur: qr no poliunt babere numera pare mite aliquota uiua nem impare sequente eos qsoniis talis est maior nu inertis: nulla aute pars est masMarao toto per credam coemacientiam: neet tande aliquem inparem prectatae eos ex ptatbeii divinimicu ab omnibus precederitibus: ergo sunt numcri liuopositi et primi.
Cum uerint duo numeri ad seipsos primi: etia alii duo iis ab eis In seipsos
ductis producentur erunt admuscem primi: sisterii isdem ini ductos suos ducaturi qui indeiducetur erint mira se primi: sici deinceps in infinitii.
De est apud Iordanaeia tertii qum gration tarie oti nil meri paris: A culusibationequcda,upponant a pones ex ei dilib. 3. rdani. prima si sti erit duo nulneri ad inuice piari. dc t,nsierat eou altera: erit ad reliqussimus: qr alias seqrci et illi duo no essent cotra se pini: scd coicaret in partite aliquota illius nulli eratorio. Ecdan illibet duo ni inicis in librat alios duos adferrii nometia et ire lunt adliuiiceimi: qin no: pini duo no erat cotra sopirit: ira cois istorsi mesura, rear illos q6r u a posito. Tertia is numerus copositus ex duol 'ad se pinis:ad vir lili dici cor si erit primus:
me copositu ex duob'pinis ad aliud tertia: erit ad aeternusili nurnerus pinus: eale est ratioquit precedere. Quinta uiuerint duo numeri cena sep mi: ille d ucit exaltaro eorsi in se circio erit ad reliqua pinus: pd ex tertia; decisolito ex additione et plucto e inultiplicationeiadi est iudiciu: a quide eis multiplicatio est additio. Ex bis statim a ballina Psire coclusionis v est pnia xprietas numeri ad altersi pini. ex linia istar nil merus zduco in ulnplicatione pinlii Ioraiicipsum Eprimus ud altersi: et ecoira placis ab altero est pinus ad altersiri duo illi rueri mducti Et con a se pii
Si fuerint duo nil merico tra se primi: S minore eoma tna Iore subtracto quoad poterit residusi etiam a prius subtracto dematur quoad possit: continuat hoc pacto detractione facta unitate relinqui necesse est. Et vice versa: si in numeris hoc modo ab inuicem detractis cotinuae adem unitas residua fuerit disios ad se primos incomen surrabiles 3 esse oportebit.
Ulti ina ricias numeroo in stino libroci se ariti metice positarcinostram hicipina tam pars larsi subn abar minor quoad pol de malore illiid'bicinan et crit necessario minus illo detractor alias nomissa detraco aure ab altero quoad poterat: residuas vel erit unitas vel numerus: si unitas: si mr propositu: si ilumerus: cu ille ina sit ius adiciractsi ex casum patri ex diciis: subn al)ar utra quoad pota icto minor eden actorii sui tersintiero vel remalici valvas vel numeri et Letcuno sit Naessus I infinissi decrescedo in nutrieri in ei ni Q tandet cmanebit milia a Sco, sd; festi crtens pine et ena seu mur P nuincietis mclararci vilitate esin vis ri' ς de possibile: ita ibat excorrelamo I 2 de sciri mesurat totu et detractsi in Iurat et residias: si si heri ex qrsi alterii a iit tractioretiatinua sola rein anci vilitas: nonni adinvice pinis coicatcs: illicdiscor ulli liaraunitate .pculdubio mesuraret drei nanct Exi ac coclusione icdtur Panalogia opposui*siduorsimi merern fiat alterum subtractio et continuata inodo predicto: alius: cier unitater astrit a luas numerus: illi duo nolici sit corin a se innis potius comenturabiles erum ille numerus diemanci maxilla a pars aliquota in qua illi duo coicant anu in vii iusirmesura. Dacimus igitur numeroru passioni dec pisca
inestrasse sufficiat:postque veniendinu ad numerotiam proportiones et proportior alitalco.