장음표시 사용
91쪽
Corporem autῆ habetium multitudine superficierud angulorum: quae diacuns conicalpter anguloso conos quos haben queda habet aequalem grossiciem secundu totil longitudine: Nescuntur colupnae lateratae queda autevnifformiter minorata ad conum terminan odicuntur piramides laterate. Praetereolupnas aute piramidea est tertium genus conicoru corporuin quo repponsitur corpora. s. regularia aenumerata in prici plos mi libri hui' de qbres infra. tetracedron: e cedron: in edron: duodecedron: y cedron: ἐ*tetracteron adisramides di reacedron ad collapnas redacantur. Denominatur aut tam colupna laterataqj piramis a multituane superficierum siue latem in sursum aerectam si circuscripta: ut dicatur piramides tria laterae quae habet tres superficies laterales:&quadrilaterae quae habet. 4. 8 c.
Siliter lupnadsci potest inlatera quadrilatera timuitilatera secundu nua mem superficiem lateralium:no conumerado basim in piramidae nee duas lapsicies terminales in colupna. Iumpna aute potest subdiuidi in corpus serratile di solidu paralellogram uo alia multilatera corpora: ridicatur emispus serratile colist pna trilatera solidu aute paralellogranum colupna quadrilatera:alia aute sunt sicut eolupna pentilatera Niptilatera Sc. Sunt aut corpus serratile di solidu paralellogramu in geometria magis usitata qua prospter primo de eis insistendii est. Corpus serratile dicie quod. s superficieb': quaru . 3. sunt paralellogramae diduae triangulae cotines:&si quid fuerit si eiusvns superficiem triangularium colupnae habet similitudine: si autem statuatur super una supficiem paralellogramam tunc couenit ei fignra d mus siue tecti iuxta ada patione cipans Solidu paralellogramu dicis quocicontinetur. 6.superficiebus paralellogramis aeque distantibus: Sin multas species diuidit uti collipnam cubiaserem laterculidi corpus cuneum: quae nota in arithmetica ad numeros trantumutur Oia aut corpora conicassint
angulos corporeos siue solidos sicut superficies planae poligonsae hnt anguis Io plano Angulus corporeus siue solidus eque cotinet anguli plani pluresib duo: vino una supticiae siti ad pustu unu angulare coventui di dico pluresqj duo quia pauciores esse no possunt trib' anguli plans gangulu soliducotinere debeantisi aut queras multitudine maiore angulor planom: diae et siminua starer ad. 3 in maius no est status:qusatio tot possuntheqnstiplures possint angulum solidum cotinere: ideo in talibus est processita in infinitum: quod autem postea diciturno in una superficiae siti per hoc acipiendum est et mutua applicatio talium anguIorum planorum sit non diarem: consormiter ad illud quod supra dictum est in dimnitione anguli pI nsTerminans aut solida ad superficies: superficierum aute illa supiperigae figura solida basis vocatur:quae aute in sublimi erigune latera appellans. Ιαpiramidae aut puctus opposit' basi in que terminae figurae grossities verteκ vel conus appellas. Accidit aut in phiribus Smaκime incorporib'regularibus γηlibet suptieses sitaequaliter apta nata esse basis: ppter quod talia eo
pora figurae multam basium vociane: Sideo ia inolevit modus vlycocedrore
dica figura. 1 o. basiuiticosormiter de aliis corporib' regularib=:cutame
92쪽
CApvT SECUNDUM.quodlibet tala corpus de facto tantu una supticiem super 3 statuitur habet
solum pro basi. Et queadmodum solida terminatur ad superficies: sic superficies terminantur ad lineas: quae lineae similiter terminantur ad pucta. Et dis uiduntur: lineam enim quaeda tota facet in plano di vocatur basis falsa vero in sublimi, recta: S subdius ditur harii enim quaedam est quae aerigis perpe, dicissari tendi vocas cathecus: alia vero ad angulos colilrgit in equales vocaturymae missa di hoc imaginari potest in trigono orthogonio habete in plano basim S duo latera in aereae leuata unde versus Linea protracta tausis est: recta cathecus. Extenditur ad metas, potemissa duas. Capitulum secundu de lineis incomparatione ad corpora. Prima conclusio.
IS NOTATIS ponendae sunt coclusiones Sincspsam a lineis secundu et lineam cosideratio ad hac partem pertinensit ergo haec coctasio prima iuκta diuisione delineis Linea rem partimee in plano Spartim sublimi est impossibile.
Quod si possibile est: ponatur qfamea sit recta. a. b. cuius pars tam in plauno et sit. a. c.pars rorpotentista lucr surgat a. b. c. qi aut perperidicularister surωt nimis esset alterasi a ratiotari sis ei partiali lineoque in plano iacet Puta .a. c. alia linea in eoeu plano directe addicuatur ex eadcin parte ex qua alia partialis colarsi puta. c.d. erant lettidElincest a. dire alleluae diu se penitus ex eade parte adicae directe quod est impossibile rem ex doc scquis oppositu petitionis qui ine: qiii conflat P ex.b. in .a. potcst duci recta que notransia per punctu.cinergo. b.c. a. sit linea recia:d ducitiae recte suptilem clauderent. Ex is a sumsit aliqui argumenta a indivisibili biis. l. ad bandui altiadiuisibilia esse realiter innanirarua m. a. b.planum cui insistat linea. tad. siue perpendiculariter siue ypotrinisaliter: tunc arctguo sic: impossibile est.c. d.lineam rubere parte in plano rasim sublimi erecta uires a lπorcinaud alid ipsius. Cd.est in plano cir tangit planum et non nisi secunda aliquid ui 1gina est dare alia quid ince. c.d. et non est pars rius l)oc aute no est nisi indivisibilcis indiuin bile euhadu. Sue alii dicerint et linea erecta tangit planli in infima sui parita sed non primo r non caedum totain illa parmn .et docestianam induusibilitoe sed non in aliquo indivisibili.
Secunda conclusio. Omnium duasi linearum se inuicem sectatium comunis sessio est pun s.
pd ex prentissa per Aequinam ecdtrario:qiii ex opposito istius laquitur opposissi illius: fessi linea.cio. intersecans altam linea in oblique. a. b.que est diameter ii quadrato:liti usit eam in plius an puncto sicui olaint quidst ponentes cotinuum ceponi ex indiuistbilibus et si doc saluare volentes in plura sunt puncta in diametro . in costa si lon o sit diaineter costasqd aliter saluari,d mea restitu ponendo in linea que agit misi puncium lia costa langit plura puncia in diametro vi inqua coniunis secito istars linearsistitias u punctiis tunc.c. d. sit planum et .a. f. sit linea oecta in sublimi et .f. s. sit scalo c&s.stcs.f g. sit portio linte ereatastquitur necessario istius recie lineest est erecta esse partem ut plano puta.&f. partim in sublimi puta .F. quod est oppositum conclusionis premisse.
Omnes duae lineae rectae se intersecantes in eadem supersicie si te sunt.
Istam .pbonci aut enitales elinetque semicrsecant lacet super planum et mirabetur proposita fit in ea uortia su posci sit esunnaut una lacri in Palilo et reliqua in sublimi erecia est vel utram in sublimi erecta est: siue ac siue ne copulabo terios earunde adinvicem P dimor lineas rectas: resist vira earum. a. b.alter .c.d. copulabo. cliin.e.per lineam. a. I nc de aliis muri supcrficies quaa dimisularima. b.c.d. in qua site sunt linee. a. b. I.cid. quod luit prol Ilum.
Vnam S eande lineam numero in diuersis supficieb sitam esse possibiIe est.
Decpn per premissam: taceant enim due linee. a. b. t.c.d.nte in planoet. a. comuni earum semone Putauir cau)ccito surtum et deorsul strans Iramo lineam insuperficie plana et sit. e. f. constatu . e. lineas in eadem superficie cum. b. et est in eadem superiure cum . d. t eo quod secat utra
Demia premissam:quare vira et eadem lima vi in diruersis superfuit s.
93쪽
Si superficies superficiem seccet: comunis sectio est Iinea.
Ista in m premuralivd illi una meati linea sit in ditiassa superficiebus mspedaliter, sconti git nisi iii tali casu qsi superii aes incat sudficiem: ex eo edi lutea es in diuersis sudficiebus uvaste sua perficies lactant se lud illa linea in. Et iste coclunones cifficiant per quas deuentum est a punctis ad untis: et perunt ad superficies: et 2 22ficies ad solidi: de solidis igitur colcquenter dicamus.
Capitulum tertium de angulis solidis. Plinia conclusio. IRINCIPIA autem solidorumvlaetur esse anguli solidi: accepta aute eorum prilis data diffinitione sit prima coelusio. Si tres ansguli superficiales angului solidu coli neu illos equilibet duo pari ter accepti resi sunt na aiores. Eκέ manifestuestu in piranti de laterata angilli laterales a basim cotingui angitii ripsius basis sunt maiores.
Istitit ex clausula mitioni piare adiuncular recta est breuisiniae sic ut inter eosdem terminos linea recta sit brmior u linea curua vel fracia: sititer interiaciem incassu cies recrem telisa est breuior citrua stiperficie mi tracta: et voco tractura sua: ici vel lineoqii due lineeor tu cies sibi iniit rein apis plicate sunt, dirccre: im stipposito accipio an tu ducta trib imo lis supturalibus coussi 4 sita et accipio an tu super sinat qui mi ianinus illorii trium iste tcrinitia ad duas linias cocurrerites in cro a reliqui etia duo anguli super ales temi inani ad me duas lineas: quare manifes lana est fiste due superficies linullumpte sunt quastina irficies curua vel facta: no recta babet a tentione: illa verouna reae Vendis ad eosde talos ut 3 ad easci lineas: quare si remi in emircilius obliquoves curuo vel fracio nibi coierint nati: sequitur quod angit inarari ii iter eas acceptanus vi minor duobus alus angulis: ira qui sici; duo pariter accepti reliquo maiores erunt Correlarium Pu LIratim qiii anguli laterales amn ea diruincti angulis luna costitu uiit angulos solidos Puolus auramis laterabilibus semo attin tibus misi aligulum ex angulis basis. Ex quo nianitrium est onmeo uti superficialis simul iunt maiores omnibus illis qui sunt rasis.
Seciliata conclusio. Omnes anguli laterales citiuscum piramidis laterate valent tantum tum omnes an gni basis Nil tral quattuor rectos praecisae.
Exstata xpositione capti de lineis in primo libro l)uius babeo quod omnes anguli basia tot rectis sint equales quot sunt pa dii plicati di Imior. Costa casti qfomes anguli laterales pira in idia tot rectis sinit equales quoiat anguli basis duplicati: a quolibet citi angillo basis babes trians ita mulat ratEna quot sunt anguli a natet suti in ianguli laterales: et quilibet triangulus valet in rectos angulos:J sequvur Puir li laterales valent plus pans ti bassa et metat eos in quattuor recus quod est A esitum mei lπoronatis.
Tertia conclusio. Omnis augulus solidus quattuor rectis minor est nece Iario.
Dicitiirasitan lusolidus tantus essed natant othes anguli plani ipsum cotinentes: qt antroisses illi anguli plani minus valet quamior rectis enas ellent milleses mille et sed trireuideter ex duabus propolinoni premissis: statuaturnam piramis multi latera et mali rcinus angulus eius in duo est dampositu in: accipia in ri, seclida c&Iunone quoilles anguli laterales. l. otii es aliguli prester armatos hasta excedui it omnes alipilos basis precise inquamiorrccns: citi nisi mranglili sister ales diuidam in angulos latnng in basim et angulos, communi angula solidulii prcillula acci. ex prini ιν anguli qui attingat bastin sunt maiores insulis basis relinquis st necessariorat an suli diunt apud. a. lut minores mior recti si si possem valere quattuor re spreclle: penalis accipiant cum dod attingui bassin: sed anguli inngeres tum valent tantsi u mira valent anguli sis et alud plus p prima: Q Hota anguli laterales addui suffothes angulos basis quatino reci et aliquid plus qd est impossibile posci unda in: cu igito opposito lusionis es altera premissarum tuta pina leuitatur oppositi alimus preniisse. s.coclusionis scalapnq; Ila prima illatio erat bona Non aute ola cocludit hec demostratio angulis piramidis dis de quibuscum angulis solidio ollan accipi as angula talea cocoronis. D. sudficios mangularia vel alterius corporis sol illi remii , 3 et lubidos risiadficiem abstidente ipsum anguiniostat trabes piram id et erit omne stratio niscut prius. Et ita in quod ista demonsti alio viii uersalis est ad otin angulum solidum. Ex istis er appare via ad dem 'nstrandum dispontiones et namras corporum regularum.
94쪽
X SUPERFICIEBUS triangulatibus tria tantum corporra regii latia constituere possibile est.
Tetracedronem crocedron et icocedrono seperficieb' triangillaribus conssutant:nec pluria possirile est costitui corpora regularia in basibus tria ligularim: dicuri Pasit corpora regularia Cequiangula sunt et ei latera: et avi cra arma se in uice circsscriptibilia vi capaniis dicit: quapropter op3'd sint ex stipitctelius reugularib λη sunt eclangule et ei latere: hoc igit supposito patebit in tetu. Impossies bile ei testine sex angit lis triangulor si taliuin copolii iugulsi solidum aut ex ptiiribus d preinissam: ut sex anguli tales quattuor rectos valet: et plures valet amplium nec ex duri)ustili missi te est coponi angilla olida st diffinitione anguli solidi: is ex tribus olli et et quattuor et exquiri talibus petisse angulus solidus: cu tam . u . . in . . deficiant a. . . rectis: et ideo figura corapora ex sit ciedias triangularib'regularibus sola tunc fieri pot*naul. I. aut. .auti . anguli su riuiales ad Jponenda motu corporale cocurrunt. Si is ex trib' angulis; iangulo regulariunat angulus solutus: timcom*dttuor sint supficies triangillares in corpore illo A pter quod terra cedrini nampas a tetra qr est Uuor: vocatur etia piramis utuor bassiim et costatur, erunt quia or anuntiolidi in illo corpore: qttuor elii mari guli iba ait gulos. II. ciim illis fiant anguli lolidira temarios et in II. sila Iuttuor taliarustra infestaec umior eret anguli solidi. Si aut ex attuor angulis triangulor fiat angulus solidus: tuc opesquod sint octo trianguli in illo corpore et ob Nodi ciuir octocedron in quo costat plani sex ataguli solidi in illo corpore: octo ei manguli balin anguraios. I .cum eiu scind dimor de illis conciarrat Mid ii dum angulu solidum et iii. 2 . sint exies quattuor: clara est qs sex eriant anguli solidi in illo conrare. Si aute ex dum angulis mangulor si fiat ungillus solidus: tae ori quod ii illo corpore sint. D. iidficies mangulares undissi vipd ad sensus in eo Noribus taliter fabricatis: unde et vocaricocedron. i. o. basium: et costat' eriniit. II. anguli solidi in tali corpore. Io. enim trianguli λabent. Ao. angulos: cum gina de illis coponant anguli sedilidi secundiam quinarios: et.in. 6 o. sunt. II. quinar inanifestum est T. Iet.erunt aniluti solidi in eo:et per hoc dabitur via clara ad tabricandilin alta corpora.
Secunda conclusio. E superficiebus quadragularibus unum tantii regulare corpus coponitur.
Ist ait statim. Opt,em quod sit ex olb' iidratia sedliciebus: angulus asit udrati rea est si tres anguli tales collinc possunt alipilli corporale facere: na si addan qttuor: iamo erit angui solid exos: ut pryta coclusione tertia ocedetis cap . Si stares anguli qdrator cociirrant ad angula solidum caulanda tunc in tali corpore ersit lex sudises udrate sicut est in taxillo: etl ecfigura cubus vocavi et exacedron ab Qta Occe et eliso: latineret constat quod in tali corpore octo sunt anguli soluti.
Tertia conclusio. EA silperficiebus pentagonis unum tantum corpus regulare componitur.
FIta statim pd: na cum angillus p tagoni regularis sit inalor angulo qdrati sicut pryex primo libro viri usu positione sexta capri quarti: tam minus possit anguliis solidus costare ex umior angulis peragoni regularis Q ex ut tuor ligulis quadrati: csis non potion stare ex illis:g nec ex illis qttuor casint maiores: opt3 gFit solum es anguli pelagoni cocurrat ad angulu solidulos timenda: et sic in illo corde erunt. I I. su cies peragone Muton in fabricatione talis corporis: et te iboc vocatur duora decedronet et r. II. pentagoni Uiu. 6 o. angulos: csi is tres angilli cocurrat ad costimendu angulusolidaetiae in. 6o.sim. D. ternaripideo necesse evi sint .vo. anguli solidi in copore talia et surda)batio.
Praeter quin 3 corpora regularia praedicta impossibile est ut sit corpus regu
Dico aute multi lato si*pter spberamque regularissima capacissima et uniformissi in est qualis nata est iii corporibus ella. Coclussopi initi post pelagoiuitia edni exagonus in ordine figurarunirexsuperficie biis aut reagonis non est polsibile si sit alluita figura regularis qr nullus aligulus cor poralis potest fieri ex angit lis talium exagonorura pter im quod res anguli tales valelit quattuor rea qremes sex anguli exagotii valent octo stati ex pino libro notum etdicu in igil nullus angui corporalis valeat ultuor rccios ex tertia capti precedctis: et angulus corporalis no potest esse et pauctoribus u exn ibus angulis superficialibus perdiffinitione anguli solidi: inanifestum est quod ex superficiebus exagonis non sit regulare corpus ullomedo Ulteritis cum quelibet si pira exagonasmuciis habeat maiores angulos psiliit anguli exagoni: impossibile est quod fiat aliqua figura re gularistaris: sic ergo in presenti capso in uestigaulinus breuiteritum era et dispositione corpor uni
regularium paludentiam dem stranuainscr qua etiamst fabricano talium corporum.
95쪽
Capitulum quintum de loci repIetione. ONSEO VENTER ad ista videre oportet de loci replenone Squae de corpori, regulari locu replere nata. sunt.
Circa im aut negociani ta in inhibet nanc u naturales qMadmota nossi est per Bristotele terito celi et insidi et 2 comeratore ei et xpta Nearguit utilior vim pata a. t 3 afit recipcre repletione loci in Iolidis .pportionabiliter ad repletione loci in planis linqua dicis en supra libro pirio capro de lineis .aciit citi ibi replere loci est occupare tolli paci cri circ stat alique punctum iis platam fit*dttuor rectos angillos in forma uriti valore sicut ibide dicisi est: ita et dic replere lora e repleretoissimila cordale q6 circsstat plicis suu que intersecat seirco line ad alagialos rectos. Et dicit ammisqd paucitas supficier repletia sua loca causa est paucitatis corporar lenniim tua loca Pinus ala expiato libro idui' qt, tanta tres figuresudficiales re lares: st,triangulus udranguliis et exagonus replet lota Lxpter q6 vidctiiraueruis pone et tamdibus et piramisto insolutis replet lora: cubus emati corporali repletione corrcspole udrato in sudiuiali repletionQqrcum fit ex sidratissidiale tegulari set pira inis correspiaci manavio regularim furi trianguralis: si ire exagonemo corres det figura tertia cordalis repus odi in texagoniam Jl possibile
aliq6 corpus regulare costinat:utit exicecuti capso demosti a none ultima. Vbeon, nisi P suasio.
conclusso Dico ergo quod secundum veritatem cubus replet locum sed secundit opis nionem a ire ruis piramis etfam replet locum.
abis Udi ab daalactatitudine cubo plus valet experientia qua ratio silogistica: videmus eis adsen ς' ni et iis experientia q= octo cubi claregati circa disi puncisi ossi spacia circa ipse in replent ad orindiiseritia positionis: si cui intelligam iis tres lineas in aere intersecanico se ortogonaliter sicut apparci in tribus paleis sibi mutuo applicatis: faciunt. H. angulos recios sicut pn: inter illas lineas suserius intercipientur quatitior cubimne interuallo et ali quattuor insertus conitriter: ita et supraealone intuor et infra etia dituor et ita octo cubi totu spaci occupabot. Est tame etia ad hoc ratio satis cogens inam ct cclarata est in artil)m circara cubus ducat in cubs, lucetur m Maccipiatur strermiscit bicli et multiplicat talia corpora curica secunda cubiculum vir verbi gratia secutida. s.
qui est pinus nutrierus cub': ex illa st a positione aritimetice Icoponant illa Gio facisit cubsi: sed no taceret cubuiis repleret loc si circamis psias que oes aut 'oc inanistsim 'th aliteris agria etiobrectio eorsi separatio adinvictem insecus: op s ut lora repleant.Sed uobiceres quod si ista ratio cociuderet sc quere qii d. 27. cubi replaciit locu qr. IV est nuineriis cubiciis et ita de cibus aliis cubicior quod est inanifestenili: na si ocio replet loca impossibile in plura vel pauciora corpora cocurrere ad bibis, lenda loco: sicut in sudficiebus qr sex trigoni: n es exagonuuttuor tetramni replet loci: impossis bile est rex eis plures vel pauciores repleant lora. Et dico ad illud quod iniposito locus dicitin repleri qfi corpora repletiva cocii resit et cottiarat viili puncisi: ita quod io sufficit ad repletioria loci in apposito quod no intercipia vacillisue separatio inter paries sedis hoc rectrinar quod ista corpora
cotingant,nsi punci iii inedio: nunc aute oebi octo sic excludsit vacitum sitie separatione partium qiii libet eorsi rasmiint angit luinii in ad comitisscisi in medio situatusq; no facit qui nullus uineis in si , cubicora. quo pr quod ratio predictas lud abet locu ilicionario cubo et in nullo alio nuineis duim sitieiudico siue nocii bico. Et ad buc alia iislatia siue ainbiguitas solueda: si em octo cubi replent locliso ocio an lis solidis cocurrentibus ad via si puncisi: es quilibet talis angulus solidus sit ex talibus nubus supticialit, anguli succus: vide quod ad repletione loci redrannir. 2Φ. recti:nam ter octo furit. I . nunc aut diu ib' lineia scintersecani us sol u. II. apparciit anguli recti ut supra dicta
nil hiro est. dicenda est quod in coproribus cogreaatis circa unuin punctus se duo anguli sita fici leo duor anguloruin corporalium coluncti sunt secunda Munduin: et ideo nostiis faciunt duo in Ie , i . , solus. Desi in de nassu est altercatio; in aueruis ponit et . I. piramides replenta la TU ter boco . II. anguli piramidis valet ocio angulos in iis ita repici locu maliga sicut et aliar
V astum pili xbaniretilii libet an pilus solidus piramidis estexn ib' angulis sudiicialibus il valent. duos rcctos illi terii est tertia pars duovrectorast. II tales valet. 2Φ. rectos licut ocio anguli cuborsi Elii repres edim istu eruim in Nic dicetes quod no ininus uti Io. replerit lamis: et allegat expeti bin , rientia Pinetboc vides satis rationabileqr et eis r ultam cor pilo. o. hassum ut, voca 'cocedroti in intelliga inus subnii magiliatione cocedron diuidi in pirantides ductis lincisa sit Hulis angi reuiustibet basis M. Io. basibus eius in medium pstus corporis videns resultare viginti piramides.
Tlia opto. Et ita videtur esse verisimilior sententia eorum qui dicunt viginti piramio
inlatiis. Et in noceria est et ratio aueri is no Pecdiun5cili valet aangillisi adficiales. II. piramida valent an los sudficiales ocio cuborsi. is tanta corpuluia est sub titio sicut sub illis possibile eitie et anssimis solidus minoris corpulentie connea sub tans vel malori la' angulis planis: at minor supiicies connensos sub eqlibus vel maiori liticio ut in seduo libro dernosti aut est. Da3pterea si m
96쪽
teret ratio avemio M pirami imocluderet necessario de Miscedrondsrepleret loaciluod tibi tuta frinionα ipse Aristoteles vicit: angulus obsolidus octocedron cotinctaqttuor anglilis triangulorare Larium . quapropter es tres de illis valeant duos rea os et unus una tertia Goz rectori: seciuiec nou eius alis ili valet octo ali Glos cuboa: valebsit tali tales trout inno. Is recios et reinant die quolibet unus an tuo: vitatunia sunt anguli plani remanentes dualtiorea iis osties valet. --. rectos quatus es valor octo angulorum bicora. Iussi II .piramides repleret lora seqtieret in
ex eis rasultarci corpus. I. t assum triangularia gregatis ipsis circa via diu tacui: cir de quali in pira Metisci nus trianaulus in uellae illius ccuporim et citin isti tria nauli essent eules re laresopouerci tale corpus cile regulare: et itas: cier inm corpora regularia esset sextu corpus regulare cui opposita nosti ais est. De. D. piramidi ii repleant loca *ula videatibabiici no eurimus squam certihqr il dicciri ocio piramides reptae lora: diceret inter ex pila resultare co Tua octo haunum qs voca octocedron et ite ipsum octocedron siriter resoluerer suluiliter inraginatio in octo pia ramideo Si auia costarci quod pu amides in quas predieto modo Noluis uocearon essent regula, res: lamno videre res cir e dubia: sed qr per viain disputationis non possumus a nutu ad plenam cccii linem deuenire: ideo relinquitur ad presens illud indisciissum.
Capitulum serium determurat de spheril. UNC post tractatum de corporin us pol sgoniis regularibus,tanis
gendii est aliqd de sphera: d est figura regularis simpliciter uniformis: maκIma: nobilis N persecta: incipiendo adi Tnltionibus: dc
subiungam confusiones de circulis in phera significabilibus seu quendo dicta theodosii philosophi.
murice recte ducte ad super utem cilitae spbere sunt eqles: et dic ctus haphere centra Daeqvid diffinitione coprei dit Tristo. breuiter quarto et leprimo incit Npbisue ubi dicit: sphera est figura solina ex medio equalis. in theodosium diam cier spbere est linea n astensi centra sol opplicanseraremitates suas sit pncita spim e ce tram parte. Uxis splπre in diati ercii qmererque caipdira circi ipsam diametra voluit fixa manci Exis aut extremitate poli*here notans.' ua circuli inspis eras an est odi exinis inlapsul sphere: a quo osties linee micte ad ipsius circuli cu Iserentia sunt equales Lirculus in sphera si cenesim astre Scin cuius iidficie centrare conmi. Circulit sporea a cetro litre distare dicunt rini permiculares littera claro spbci ea ipsem circii laesi iii lutea micte fiterint adinvice equales sicut duo tropici 'mus aut circii lassa centro distare or supini iussusulem cadesi adpendicularis ecta or. Et nota'; circulus in his dissilistionibus no accipito circunso tia talissi in suilfine ciuem ipsius v redes Tipia: sedis circulari supcritae plana tralatiue imaginabiliter jubere corpuletiam et ad araeseretiam in sphere suptile descripta tertriuIala. An lusiph eralis dici angulus et duob' arcubus insus est a Numiens. tanguli is rea spberalis dicii iii liis inter duos arcus ituerceptus:ia miles interceptiones arcu aequales erant. Hirpilus tricio maior est obtusus dicit dino recto minor acum appellanar. Circuliis ista; ficie*bere descript supcircula in uiuar dici aiora intresectiones tureint secunda angulos in eqles: uulinatio asit eoru fr differetia recti anguli. Et circuli in ν risust alios circulos equaestiter inclinari dicunt: quorst inclinationes sunt eqilales. n. agis aute inclinati sunt quora inclinatio merit maior minus inclitianii clim quo istanclinatio inmoratire it Sl' sudiales contingoee dilate
queaspbera tangit inu cum parti fuerit protracta eandes Nram non sectauiust prima conclusio de spho tangente planum que est apud beodomam tertia et est talis.
Ss sphera plana superficies btingat: in uno puncto tantu cotIngere necesse est. Εκ quo manifestu est: multo magis spheram sphera eo tingi in puncto.
Si citi in plura colitigatu in plicto: aut igitur in linea aut in supreflate et siquide ii suprefaeci necesse est utina in linea contigat: qitu plures no ei sine linea: si alit in iiii ea cotingat: la reddit Minosti ano quam capa de circulio i stet o lib. bur lxdiat circula coimgae linea in pacio sola Si aut spima costingat plana super lineam: a cciitro spi qtiodiu.a. ad imos linee secunda in spbera contingit planum si sunt. b. cxtrabam lineain. a. d. in inedium linet. b.c. et erit duo u ianguli .a. d. b. et. a.d.cit earguo sic: aut. a. d. linea incidit.c. b. line orthogonaliter aut notariti erit in uom niangulo angui' apud. d. remis: et preiosequEs in istisi langulis resit latrea. a. b. et . a. c. logior a latere. a. d. per terti 1 capri de triangulis: cum maioribus angulis in illis triangillis opponatur.Simo. a. d. lincindanscidat linee. b.c.oritogonaliter nanc angula obmsum facit cum linea. b. c. ci in suo u iangulo mauiolanis opponitur per eande tertiam: ri quo secim quod tres lineevenientes a cla o. a. τ' ad princia
b.d. c. non sint equales: sed illatina plicia sunt plincta circunferetim igitur inspbera line verit eriles
scintro adiu caedentiam nodunt equales: quod est opposita ubere et cir culi diffinitionis. Comm
97쪽
rium Nibes a s erat non ire: pd manifeste ex declaratione dimul in Secunda conclusio. Vnam spheram dilodecim sphere aeqirales circumpositae contingunt.
Istim a mainfestat ultima capa tae circi illo Piso lib.lyii': et ei sex splbere orbiculariter applisemnere fincipauit per illa: oen signc circuliis maior in piroiulibentia erat demonratio mortuoroum vagum est utrobiq; iura latera illai sis sphcra ordinatara circuitu. retritici pallo: saciliter covinciturno nisi tres mirere invito spacio et tres in alio capimuisti et lenius hoc indicatrnacu secerinius. I Gπriis cera equales: vidcbimus cir . II. sic premit Epplicari Crca tredecim2
ita usa libet illarsi contingat ram inferius: et stim quattuor de ulmis lateralibus: vi sit contacua ustibet vi ursi lateraio su in dii pilictari sum ter diametro siccanti si se latcrallia siue ori boconaliter in viis mic nux rapud temin unius diametri qui est laxius pinacius non est colacius qt imperius alias spheras no contigniu.; st hoc pona conmissones de circulii in sphera signi,abialibus: et prima erit illa que est tertia in otiline.
Tertia conclusio. Si in sphera plurimi circuli signenturiis qui per centrii sphere transierit: omnibus etit maior. Reliquoru quidem ii quoru longitudo a cetro aequalis Dea
rit erunt aequales at cuius logitudo acetio maior fuerit minor erit 6 cuius Iongitudo minor fuerit: est maior.
Danc Mussonem et sequetes volo excinplimrdo deducem et qr ordinant ad astrem omlam ideo cyauenienter in spis a celelli mi materiali celestem spbera represciitate exemplificari possunt: unt cita in . ra celesti plurimi circitu signati Mut prian spirer a materialiteor si a sit ii quidero clusi rasserarint aliis sunt maiores: sicut equinoctialis et odiacus et coluri et binoi Id clara trant curat et sunt maiores tropicis et circulis arcticis di celitrsi spbere noci an inuit. Et istorsit quide sunt equilics quo*IRMudo atrii tro e ulla lis est,ut titio tropici: et dilo arctici. In equales aut sunt quorsi longitudo acta est uicqualis: et maior cliliis logitudo a cetro initior eminino se cuius tositudo a cetro niaior et sciit pn accipiendo tropiculam: et circulli arcticii in Uccipi alii dic circulus no Nircuiali rena tituleditu 2 ficiscirculari sicut in precedenti capso expositsi est. Ex ista a positione accipiunt ille diffinis nones maior si et in in orsi circulo:si in nractatu delpbera. s. qa maior circulus in ubera dic qui Minptiis limpiate labere subrius celan o spherain diuidit in duo cqualia minor vero cliniuidit eam in mones ii cules ex ista eri,accipitur numerusutrobim circitior si in spberiniateriali: qt maloriaiunt ex uin sc transeunt per cerru in spinre: in inores aut qualuior qui extra criura transeunt.The classus tamen nil mi illat bos aut illos ad aliquem deterininatum numerum.
OIarta conclusio. Circuli aequales aeque distantes in sphera no sunt nisi duo latiim: nequalis vero di nequedistantes infiniti. Omnium autem quedistantium eosde esse potes necesse est.
Prima pars scdtur ex premissa: itales cili sunt circuli quor longitudo est equalis a centro; vidiscit premissa: bec aut loriptudo intili rati ino perpediculares lincas a claro spi cre ad ipsorsi circulorasidiicies ductas u distini notia equaliter distarium a cetro: tales auudpendicularcs respcaviquediis nantium circulossi a centi ino possunt esse niuitataque coitingunt in cerin oet una reciam lineam ara clunis etc. Istud etiamst i in circillis bere materialis: na tropico callat nullsi equedi statem circuisium possibile est et equat missi opica capricorni: et si ter de duo, circulis. l. lirctico et an tarmco ut circulo arctico nullus in spbera est eulisi in circur antararciis. Quod alite nequalcari iti equedi a nantes possunt ellauii finiti inanifestari, iis in spl)era materiali sint lolsi di m equedistantes. Terna pars P ex diffinitione poli: est citi polus punctus superficie Uberea qu onmes linet recte ad K ssus circuli circunfertium Hacte sum equales: ii sic aurem qui sim paralcilotam accipiatur in sphera constat quod omnes linceducte a polo mundi ad cius orcssercnnam sim e cales.
O uinta conclusio. Circulorum se contingentium diuersos esse polos necesse est: erunti amborum poli in uno circulo transeunte per locum contactus.
etesima pars in qui cimili sest contingetes in ossitis locis separim nisi inimicis cocingentie uel Hamas: pd in odiacoetn opicodrama inpuncio solsticialite conlita an accipio st polum minorro circvli puta misi mrai d est polus tropici:qr ab eo Hacie lince ad n opicu lunt equales linee per poli mi in Ei igitur punctus iste sit polus odiaci sequitii in linee ab co ducte,sep ad 3odiacillime
equalem doc murem appamissi saluam ad insum et facile erit ducere ad impossitnIe Aradicerem:
98쪽
m patri ex nona et cima conclussemibus in capra de circulio allegato.Seeunda pars pnia polis Niliaci est in eodern circulo cum polo mundi in circulo sc qui transit per locum contactus 3 iaci et tropici hic auteni circuliis est columo solstitiorum: sicui parem sphera materiali.
Seκta conclusio. Si aliquent circulum maiorem in sphera circulus alius per aequalia diuise ariti. ipsum quoi diuidente de maioribus circulis elia necesse est: si ortogosnaliter per aequalia scilicet ad angulos rectos diuiserit: viri per polos alaterius transire conuenset. vrima pars pnsilii aliquis circulus aliquiin maiorε circulum ner esilia diviseri epi, inius dat
eum suptius cciitrii: ceta aut maioris circuli in sphera est cenu si pipere: quapropter op3qr talis orculius diuides traiiscalperccnti fispipere sterit circulus maior in spbcra per ternam huius capta SULla pars pncam sicli hoc qd diuidit ipsum per equalia diuidat plum ad angitios rectos: cs mutuose dividant oriogonaliter et per equalia: nauiuo quom per suos polos relisit Et: sicutit de tu hus coluris ut fp ra: et de altauiro colurorum et de equinoctiali circulo: et sic re alus similitis. Ex hocst,q6 in piroa transire per polos et recare oriosonaliter et diuida per qualia coniungutitur nectilario et unum illorum alici si antecedit et sequii: et Nicinultum ut AEdnoticiam ortus et occasus signorum inam onominastcut alias claraui. Conclunones stquenico erunt de circulis qliorum unus est inclinatus luper alium: illi sunt etiam de intersecantibiis spheram.
Septima conclusio. Omnis circulus maior secans circulos quolistaeqnedistantes in sphera: Dinclinarex super ipsos: diuidit eos omnes in duas pCIti Cne sine quales praester circulum maiorem qui his aeque distabit. Et unaque portionum appas rentium: quae sunt inter circulum maiorem eX: aequedistantib26 polum manifestum: semicirculo maior est. At veroque libet earda quae sunt inter enns deni maiorem circulum polum occultum: est semicirculo nainor Coati ternae vero portiones circulorum aequedistantium aequalium ad inuicem aequales sunt.
Istam Nomentim theodosi latuito expeno interiminis et hoc sussciet:maior circulus inclinatus est 3odiacus vel ori on obliquus eque distates circulilla circuli imaginali inter duos trepices quorum maior est equinoctialis ques cines eccat ediacus vel ori on obliquus in portioncs iriequas leo Preter equinoctialem. Et portioncs que sunt versus polii arcticum sipparcntcssi: pra sunt a Dresstiniarailocn5 cpparentes sunt minodes co: portiones vero apparetes versiis polit m antarat cum sunt minores semicirculo: et non apparentes sunt maiores scinicirculo: scd coalic e portiones circuloruritualium limenide lunt equales: qr perno patens ex una parte equinoctialis et sculo lamees ac aliam partem equinoctialis ad tanta distanam equales sunt. Et qr in Theramsidi arcus insunt arcus dicrum et nocitu artificialisi iniuions teporibus; sequitia igitur qo dimet noctes in lunt itales et ex ista propositione poterunt parere ea que acadat circa inequalitate dierum et maluiuina luci anni tanaporibus.
Omna conclusio. Cum In sphera duo circuli maiores se inuicem secant: si ab alterutra earum sectionum e viro pectum duo arcus aequales adsnuicem separentur: quos punctus sectionis comunis continuat: rectas lineas qui eorum Niremitato continuanti oportet eme aequales.
Uerbiora dat sint duo circuli maiores secantea se in f hora so equinoctialis et Iedlacus:puncta crosecnonum sint puncta equi nocitalia: ecopiam uinc alters punctu duarii stcnonum putarsicisi aries et sit: accipiam trues arciis equalis in odiaco coiriminatos ad a puta sinu pasti siet sisl n arie
petata a fin ariciis ad Idiretio in secunda conclunone capti de incis et intema petitione trimae MUM' Π Π'ipino, iid via isto a rei γ tanta est declinatio solis insignis australibuo era est in septirionalibus: et dita est infine arietis ianto decimargis in principio suum; sic psalm a
99쪽
Nona conclusio. Circulus maior in sphera si super alium circulum masorem hietit inclinat': fuerintleκ una qualibet quarta circuli inclinati cuius principium sit alateretrii punctoru duaru sestionum duo arcus separati aequalca cotinus aracua circulorum maioria polo alienus per eNtremitates horum duorum aracuum in ipsius circularetiam cadetes: respla circularetia arcus nequales abscindut: quorum ille est maior ni erit ab eorum sectione comunt remotior.
Verbi gratia: odiaciis inclinatur m equinoctialem malor circiatus inspirera aperina maior ei Nesaco accipio vitani uti arta illa in sc que est a principio ariens usa in incinaminossi: et ex equarta volo separare duos arcus equales cinnuomet sint duo luna aries et taurus:volo tunc quod scendant tres arciis arculo: maiorum a polois disqui est polus equinoctialis per reia plura illorum arcuum:s prima punctum arietis: Iscr prim puncium tauri: et per prima pectum gesnilnor urit et ad equi citatem circulli Mities arcus sic descistes a polo msidi in equinoctialem otria puncta predicta abscindentes equales arcias odiaco: abscindat iii ab equinoctiali arcus inedulcs: quoru in ille est maior qui est a comuni semotae. l. a puncio arteris remotior Ex quo in quod arcus equinoctialis qui abscinditur si tauro est malo arcii equinocnalis dabscindim I aricieram is litinarcus qui abscinditur m geminis: malor est eo qui abscinditur cfi tauro. st uiua rei dembstratio pendet ex illa xpositione Euclidis in primo librorso adem basis vel equalis maiori angulo opinponitur in lincia breuiorib'u' in longioribus: na tanum tauria pinquiua est polo et aries: ad maiorem vero angulurn in polo insidi sequitur inaior arcus in circulo equino ali. Et, cc strano quare signassicqualia sint:tame in eqtiales trahet ascensiones:qrequales arcus de equinoctiali circulo habent neccisario equales alamsiones: qi notus cili est super eius polos etes equalis amissae se hinc abi est et cum equali arcu de odiaco culm quadre,plus quadoq; minus edi Giali circi sicut couincitur per hanc cocliinonem euidriter: naaine rerint opinioque distinguit ascensiones et dii decliniolitos celi per circillos a polo niundi venientem et no potius illa que predictos circulosanradu a coinunt intersectione ori onlis et ni diaii l.
Osiarii libri di totius compendii geometriae finis.
Et bellus de quadratura circuli editus
a quodam Religioso ordinis Fratrum m snorum: quo intens dit circulum quadrare quoad lineam Ninuenire quadratum isoperimetrii circulo: licet area qdrati sit minor area circuli. 'RISTOTELES in eo qui de cathegorsis libro inscribstulldicit: quadratura quide circuli scibilia est: scientia aute eius nodum inuenta est. Et impleristy locis reprae hedit multos magnos qui hoc demostrare conantes enornriter errauerunt. Hic vero quadratura circuli demonstitur: primo praemittuntur. - .conclusiones Sybantur: secundo eκhsa inducituro concluditur quinta principaliter intenta. Prima conclusio. Esneam orbiculariter ductam bina diametro in quattuor aequalia secrare.
ainerer est linea recta ab extremo in extremit perirerum ducia diuidens figuram in duas parates equauaevi in bicmpma figura. Si vero eunt diametriise intersecates incentro ad an los equales diuidunt intra in quattuor partes: Vbicit persecada figuram. Dicimr asit dianitura dia qu est duo et metros quod est mensura: quan otiorum mWisumst tuarum medietatum.
Secunda conclusio. Lineae orbicula iter ductae lineam rectam aequalem dare.
Iuxta marimnat cor sententiam et mima veritatem circulus diuiditur ii .22. partes:*iarum una remota savigesinaseada parte. tertia pars surri inerrinanetis est diameter circuluso eptenarius sue septeni: tripiciu rigitur diameteret addatur septima diamciri pars ordinenturin metestatua uu ecto et debitur lilaea recta equalis circinariam tunc liquii n est videre.
100쪽
Tertia conclusio. Ianeam rectam in quattuor aequalia secare.
Mid:fiat circulus unus deinde circino no re icto nec ampliato sed state uniformitem prius
ponatur pes circini in resferetia et ducat ut scaedus circillus costinianar: qui in duom locis inter semima iuuerseccet ab eo resistens dioens pirii: χinclutas linea recta Cain ictra ab extremo in extremst utri uincirculi. I ubi terminabita cc linea in circlifer ita stoendi circuli ponat iterupes circini lub disposinone priori: et ducas ut tantis circiatus costituatur dis duob' locis interiecet secura et intersectetur ab eo contagesima et cmn si eciandi: trabanirm predicia mea recia usu ad circs ferrunam tertii circulumst indigura presenti. medicta gal linea recia trasiens sin i a cen a ab cetrein o mi circuli ad rim cinst terna diuiditur ut quum paries euies:na mali diae partes predicte linta sunt in eode circulo a cetro ad circusereti macteist sunt equales: et qm que sud via et eide sunt equaslia ipsa inter se lunt culia: δἰ libet pars linee in uno predictorsi circulota cotenta est e ills cuilibet ali parti lince in alio circulo diente. Ne pol fieri alio nodo: fiat circul' vinas dei ride pede circini notiuuersitiati posito in cirreferetia ciuide circuli reliquus autem ipsius circini o variati pistolaal ex circuli supradicis:ibim fixo cla o ducatur visera duo circillus costimatur coimgesimum in puniscis: ponto vis puncto cotingiti pede circinimo in ut an ducatur allus pes circini ut tertius circulus costituatur inuice secans duos predictos circulos transiensi eorsicctra: nc albatur linea rectast tria cetra qsecata iii. . dies inlesutili utavi Elia i duellies etc. visupra.
Osraria conclusio. Eκ quattuor rems linei aequalibus quadratum constituere.
Doc quide manifesta est: et nihilomlima potiemostrari la: sint due line recte sese in capite c&in
tes exquata coractu costituatur vilicus angulus rectus: l dc ponatur pes circini in cota ciuipsa ura linearsi: reliquus vero pes in capite alterius lineam predictara: ducari irid sp ad caput alteri litinee: nα circiatus copleam sed copii melliganir: scium in bac figura ta de ponatii pes circiti lino variatim capite alterius linearsi predicialisus circsserentia: quest due uice supradicte sunt duos idtamen i circiali prelibati alter vero pes ponatur in tiro predicii circuli et ducatur costimes circula intersecat ire predictu et sed illum in uno loco vim ad loes ad qui ducta de cen o linea recia cotistituit anguis rectum es semediametro circialismi: et terminaturali cen didulus se it: viit in bae figura. Ibost Neponatur pes circinimo diuersificati in capite alteruis semidiametri pini circuli vertinis circunferetia: reliquus inopes ponant in cen o ei uide circuli pini et ducaninus,ad locu ubi terminatur linea diicia a tiro scisidi costituens circiri si intersccarem primum isti illurn in uno loco: et time linea recrati ahatur de re o huius tertii vim ad caput med edentis de cerrosa trutinant aefigura. Deinde ponatur pes circinimo mutari metaplle luice AKed clans de ceti'o seciandi circiali ad circunstreiiain: alter aut se ponant in cetro tali et ducant vlm ad ceIrsi ci i commens circula littersecante ipsos: l cespira uiri et scom qucii libet in loco uno et te per illos: ut ita ac figura picialiis declaras tur icti almor is linee recte in predictis quattuor circulis comite costitu ulit udratum ed latera: sunt
oti equales sibi inuicem odica: na queliber due sunt in code circulo et c. ut prius: et nota qtrod ideo notapicnniraciudicii circuli: qrcipieti aciutolleret euidet sensibilitate quadratisia cis constituti.
ansnta conclusio. Rem noua mirabile quadratura circuli: velut in stria tabile adpud doctores populi: olim sicibile puri cernui oculi: vere demonstrabilem nuc in sine seculi.
laura plana mica linea orbiculariter ducta coteta: cuius diameter transcendit precise quaminei utar ure seini partib' tribus: est equalio quadrato cuius latus eiusde ctrcilli diameteri arist dit preci se scinipartib=ti ibusrolo circillus in figura plana et stola circulus est equalis quadrato cui' latus ciusde cu ciali diam cieri asceiidit precist scinipartib tribus aer aior sic pd quecsim ab eode susperarii equaliter inter se sinit equalia: Iein ten acubitu aureuiri et ted acubnum argent cillima petrataci ibito ligneo equaliter superatur qr in vito cubito: stataraciabilia in aureum et argettaim necessiario equabun mr:qr sinii elibet quarta circuli et quodlibet atyl uilli qiradrati a di amereo circuli culi ter superatur. cui scini partibus trib': i quelibet urta circuli et quodlibet lanis udrati binoi necessario sunt equales: et sic circulus et udrarybinoi sunt eulcs: na quoruncum oes dies sibi inter se sunt e ales
et ipsa iter se diiqii alia: ni inor ipolitio citavera emit apparet ex his quia1luti m sma coclusionernem si in pilerim mathematici scripsersi iuxta pinstraveriteat circillus dluidam in. II. Pres remota una parte: sc vigesima P a: tertia remancia nasci septe est diameter in culi et sirta circiali conna cincudies et dimidium ius nauria. II. pamsiendi mae dimidio siue in partes et dimidis unitis partis diameter δ circuli sc scpte, ascedit preci sequarta circuli se diam partes eius et dimidiuinin
semipartibus tribΤ. i. inarit,' dimidiis partib)circuli. 'premilsis stipontionib' uniuersali, veris recudi positis in pnio nuru optire figure sequitur necessario uris coeliisso vera: 3ον olsorculus est equalis, tradrato citi iis lar ciusde circliti diameterm ascendit preci se mari, scinipartibus. Sensibi.
ustachpumici tuidena et facilio intelligena fiet hoc modo: costituatur cimiliis ciniis vis nimnis