장음표시 사용
71쪽
m multiplex sustinuetiens per sicerent reducie in uepartiente que t reducetur in suppurticiuatqvisi tractod bremaneateque contini det eius partes:vel in supparticiarire neo detractore maneateque contineat det eius paria arsi reman eat eque contineat der partes.qr illa detractio in inmitineri non pom sem uis parueres restinarur aliqii occurret supparticularis.factum apparedit pris si . urindico tande superparticiua et no multiplex qr ex muItiplicibus noni mediate suppartientes sed superparticulares per septuageama huius si situr.
Datas proporticines quas ain ad equesitatem reducere.
Tvlam per se lages matertiam binus multipliem suppartientes reducitur insuperparticies et smiltiplices suppa culares in superparticulares et per edente suppam tes in sudparticulares. et per septuagesimasecuridam diuius supparticulares reduratur in multiplices et mnipuces in alias miatiplices donee in equalitate restitute sint.omnes igitur in equalitate reuuintur. Aoni elemtio*Tri metues Iordant finis.
Edictas est connemo naremoru: biniduae vinustu ad mediu. Qhedie talum quedam sunt principallas: et quedam principalibus collaverales. principales sunr tres. 'prima vi quado maioris medηIac minoris inuasles sung distaeue.cthcc dicitur Bri minencanacdictas.Sccudacst qu1domvmi ad mediii'eade in proportio:q nicdq ad minimu.et hcc geomarica vocatur Tema est O manini ad minimii cade in a portior que orie mannii ad medisi ad differenna medii ad minimir.et hoc musica nucupatur. Collatera leo sunt octo. vina est Oma mus ad mediis sicut dria minor si ad dirarenua maiorum. Scta est qui me diuo ad minimu: sicut dria minora ad differetiam maiorii.Tertia est qn inanirius admoetu sicut dua extremoru ad disserenna malo p. Quarta est qu medius ad mininiussint dila extremoru ad dicti mam maiora. Quinta est qfi medius ad minimur sicut dister a civem op ad differentia mitrorum.Seria est qfi maximus ad minimu:ssint disterena imitioru ad dilani maiorv.Septima est qu macimus ad minimur sicut ina
remoria ad differentia niatorum. Gaalia in quando malamus ad minimu: sicut bifferenua extroesorum ad differcnuam minorum. . ab .e Si fuerint tres numminarithmetica medietatae dispositi:eret maioris ab medium i-- mmor proportio se mcdii ad minimum.
CSint ab c tres numeri in artihmetica medietate dispositi quo*maximus sita: dico a adb minore V , P ὰ P esse ortione d bade, perdiffinitionea ad belbadceqitales sunt driciori situra et biunt vico posta bete ino additis numeris ualibus se differentiis eoru ergo per decimos tam secundi, ortio a ad b minor eritproportione bad c: quod est propositrum.
Ο EInrade medietate duoc memi coiunctim reddundissitum medius duplicanis. i
Namnes finitione primi an medisset medi ad onmilequales nitit dris: igitur psecund1 primέ medius est ememori conificio* medietas. duplicat' igitur equa e tremis iuctis: q6 inmpositu.
CIn eade medietate quod sub extremis continetur cum quadrato differtae equale est quadrato medii.
x K Mamp premissam duo extremisimul sunt i n. duplus mou. Nonarergo duplus metuid siε divinisus o duo equalia quo* medius est Usi: et per duo inequalia 4 sint ae extremit et pdecimanora primi erit quadratus bunius equalium inum quod fit exa in ecum eo quod fit ex differetia a ad b indifferentia b ciatm differet uetue sunt equalesat rum ergo erit quadratin medii boum quod eδtinctur sub extremis a et ceum quadrato dile medii ad extreme: quod est proposiae.
In eadem quom medicine quadrata ertremorum: duplum sunt quadrato meost et quadrato differcntie..ὸ CSint ab enumeri in medietate dispositissim v quadratast et c.dicod dupissesse quadrato me de et quadrato driem LSuenisq6 fite ea inebis et quadrata b medo bis sinterqrent persecunda duius acte eo iunctitarim sunt Num duplus h. et perdecimΙquinta primi det f simul issi sunt e tum, quadram totius a Medet per eande de Iminiae erit medietas det simul.igis persecunda parte secti deprimi e ad d etad sequales sunt drie.1sinarper diffinitione ebac medietate medius estititer ora Letqt per Medent eos fit exame melinquam omistantii est*lumbin se.lgiee adbit supers pia quadrati drie: quare et d tantum addet sude.quare et duplii quadrati differet te his aeuuaed. igitur quabratus bilest medietas ecii quadrato differene bada est medietas orodest propositii.
3 si um numerox in hac medietare disposito* duobuitremis dans: mediu inre.
Sint ab duo extremi in hac proportioncilios simu .ddo atm aggregati sumo medietateque persecundam huius erit medius petitus:factum in eritpropositae.
72쪽
numero* ao dfiam: sumjtur tres nucri in eadem medietate .cΠt mcduilloir ad differetram: que inter QTremos passignato*ppomo.
-b-fb et e sunt a.rgirur P sextam secundia ad est tm ain b. a. P tu in bade vis adb ergo pia tutarim ba florus adrossiem te ad bdetractus ad detra. i. ri ergo e ad c ut d ad it. ergo P vicesimaprimam laesidi et equa a porrio aluatini mPιmIPtam olnerentiam sicut totum m ad u rotam differentiam.quod est propositum.
C Si fucinit irco nuerim hac inedietate disposin: naremor: et medii ad differetiam callocri esse proportionem impossibile est. aiorem sto siue minorem:possibile.
CSint tres numeri abe in hac medietate stituti reta maximus:α diffrientia zadbs et bladentd. dico utipc Sibile este eadem proportioem a ad c et v ad d.nam si id possiore forenponar ergori tua ad clanu bad .ergon vices inlaquintainsecsidim fit exa in D: equa est ei qui fit ex binciato decimam quartallit primiqi sti ex alii tmest*rumq6 fit exdu se et dinb qui sint et f.sed per eandem binet ne it intumqdnt cui detem sequi sint geth. equabsitur ergo inuicem e fumo righ simul os et impossibie.qdsi eoMdo .nama septimam secudis adesicut badd.et pereandrin adflicvt cado. esse nonamictu importio ba D maiores Oxportio cad .igi et Noaio fade maior erit. ortione , ad g.quare sit c qiter dPeadem e erit minor g. aree et f non equa buturgeth. et sis stimis dergou decimaseptimasecundie etia erit minor g.quare componius ex e et fduobus minoribus noncquabinircoposito ex getb.at se sponte maior VI et eoinpositus e et sequetiircoposito geth:ergo per decimationarii scdi A portio fade minor erit*νportiodadg: cisi' oppositum mostiatum est. costat ergo qt dictu est. Sedeletremi ad extremium a=portio maior possibilis est medie ad differentiam stabunitate tres tinue ponans termini qui erui in hae medietate. et qr exiremisor aro ad unitatem elliportio tripla:sed medii bina ad unitatem que differetia est iportio dupla: stat extremi ad cytremum maiorem esse proportioem O mede ad differtitam,et itali post unitatem in bac medietate a uingi apte discotinue sumatur. ossibilis est etia extremi ad extremum armorno mior *medii ad Pineretiam. m acceptis quibuscum tribus terminis continiae post unitatem:maior erit xportio inedi ad mutaremque erit differentia naremi ad extremum quo differentia sema est. binarium
Cy res numeros in bac medietate inuenire quo*yportionis med0 ad differinam: ad proportionem cxtremoriim distis ensia su qualibet data proportiose maior.
Sint aetbnueri datexportiois et binaim: do boaetrate euietia addo det fiat damnifestum ei id caemetres numeros inhae medietate eos itutos cubsit cois differetis docet eoativis dico differetiatii. ortionis cad b me de ad Duferetiam:ad a portionem o ada esse data sportione di ad amatorem .nam Ῥportio cadet additisse proportionem ea bpti portionem bada.et proportiod adiaest maior a portione c ad a.addet igis a ortio d ad a sust proportioemc adb maius proportloe databada est iratu disteretia Mortior se ad ba proportici md ad avara pro mone maior.
Coei on em' extremi duplus:ent medius differennemptus:et couemruriet si alter alterius maius duplo fuerit:erit medius inuitus triplo distamne:o ectauerso.
Namsi a malimus sit duplus bmimiterit bduplus differentia*.oaree exbet differctia illae stitutus ei dein differetle erit triplus.et sic est triplus additierentiam csi stilua ex illa differetia et brergo berit duplus ad disserenam.quare apstitutus exuet dupla differetiaque equatur bit intimietur duplus ad B.quod est primum.etna est triplus adb:idem bequabifutu differentia*.atbet maequalium differenti stituutc.igitur e duplus est ad differentiam.et si e duplus est differetiam erit rursus a triplus ad b.nam si cnt duplus ad differentia insit pium' differetia et brdifferentia illa equabitur b.sed b cum equali differetia bis iunipta 'stituit a.igitur a triplus est ad D. et uniuer saliter si maxinii ad minium proportio maior . dupla laueniatur: mr femst mimus ad dii ferentiam minor Oduplus.igit et medius ex mimo et differentia commius ad differtilam minor erit δε triplus Et eo uertitur ut in ales quoin monstratum est.
Dans quibuslibet duabus xportioibus: fm utram in Brithmetica medietate tres iterminos ordinaretquo p adinvicem differentie sint equalim.
Sint minimi termini duarsi dataria a potumum ab et ed.et differetie illo sint et risumo ite*snuerum aliquem quem coiter numerent differentiee et Let sint numeri νω quos ipm numerat V et v. deinde multiplico aeth perbret mallet m.et multiplico e et dyerstet pumiffineto. pseptimam aseesidii ad muta adh.ein adorie adiv.et differreat ad mestg.et linter differetianado est g. ligi ε ς gest parisumo medium inter trem qui eos abit exin et dimidio Oremedia inter net o qui costabit ex o et dimidiog.eteriit tres terminii et messino medio .pportio a adb et tres at sineto consiera dis eoi medio fimavortioem cado in arithmetica medietate quovadinvicem differetie sunt equaus
73쪽
Quotlibet numeros metimnmcticam medicialcmsumcre: quo* disterene dato unlinio non sint minorco Urcino*-; portio sit date Γportioni equalis.
ESint a tis termini vate prepotiionis me eo differri nareid sit numerus m quem sumendi sum quot udix numeraret e nummis quo non minores d sit Aedifferenti naultiplico a et b fm nsierum vno inorm d taminiant f et g:queu differetia c toties numbit rumo L. equalescet fiet ut oes nutrieri sint sm nucruni d.mltipliceritem c donec mentat ma oc ezet nat troe Inh. combin f et g et omnes medios etruentat, limredinter illo manis est j est Et remorum propor nomeni esse proportioni a ad bcqualmitiet numerum suinprum essem det differetias inter se equales et nuniero edato mai ucsmodest propositum.
Si sumptis quotlibet nuctis in hac mcdictate: alq tondem eandem habentcs dis Dictram maiores nulloribus coiiiugant:numeros equales a u renccesseeli.
' CSint ab edit libet numeri in bac medietate quo*a sit mimus:ete fgh totide indac medietate et e illax maxinius:nnim hop et illax equales differtila.dico aete sim equari b et fet reliquis poey modo sequeribus.nani quia a et e sinit circupostliti et fiet equavis per dypotheIun differeneremo per ternam primi a et e simul equatur b et feci lone in modum de reliquis argumentare.
Dec demostrat aggregato* summam rcperirc 1 n Et ulli 43gressi oemvocantilii emi sunt in nuero, pari tabed.efsbet igird precedentem ad equa turbs et et et dem seriei medietatem.l ergo in coaceruarii ex a thdueb'e tremis ducas tetrus seriet medietas, emet summa toralis ex olbus coaceritat .Pt si numerus eo* sit impar ut a b c de s geritvnus eo* mediusnd.et eius ad cxtrei nosa et eadem erit differcntia quareperscsam primi est medietasa et glet imiliter mediutas betri et Molatas cete . numerus igitur seri cicimini pinductus cim summam coficit. quod est propositum.
CSi dilaba num huiuo medietatio aluo tonde siue cqlibus siue in cado medictate sumptis minores mioribus addatur: posin quo fm cadm mcdictate divos ictur.
Silam siue equalis equalibus addatur stile hoc modon fieri qui intorio allis in eadem me diestate eostitutis:nutaequalib' disteretes equales differeticaddcruret tote differette adinvicem erute alas.quare perdiffinitionem tempestri erum in hac in Ietate pstituti quod eu propollitim.
ESi cquales rondem auferans sive ipi ab inlibus substrabitur:residuum in eadem is
inediciale inuenietur Nam equalibus de quibustibet eo* demptis exsileedem residuop que et totou differetieideridem quibuslbet eo* ab equalibus demptis redem que substracicu manebunt differentie. igitur perdis finitionem residua erunt in arithmetica proportione.quod intendebatur.
CSi vero de cisocm alii in eadem medietate dan minores a minoribus tollamnresi - vcl crunt cquales vcl ciuium medietans rationem suscipitiat.
CDec quodamodo decime arte et deciminuue pueris est.nam dans a b c in hac medietate maiore - hus et v es minoribus:quox ad primos disserenne sint equaleasubstractis d e fab a b c.residui ersit equalem disterenti ea a d. arca luterin equales.atst numeri sumpsim g b non beant singuli ad' singulos ab e equalem differetiam.qr detra rum et totorum inles sunt differentie:erstet residuo*equales differentie. et in residua no sint equaliaunrer eos erit hcc medietas.quod est propestre m.
Eiqnoilibet numen huius medietatis fm eund nucrum vel multiplicentur vel a diuidatur: mini et amucta et diuidentia in Dac medietate eodem ordine continuata.
' CSi tu dati epidini inuineri in hae medictarern ab equi mutnmiccturpe et Pireniant fgbet qui vivi turpereret animi anthim.dico a ducta fgh et diui ita hi meodem ordine in bac medietate otium alammmiltiplicatoriam ab edifferennestam uates: ergo per correlarius time se nolet pro crurumetetiam persiam mones diuidentia ut m numerabunt a b cret loties differetienu,' merabuntdifferemias et eodem ordine.es ergo notum quod propontrari
CDatum numi in quoi liba parus quearii cilcare letale se excedit diuidere. 18
si Sit numerus diuidedus aereb nactus sm quem a ponte diuidi.ynuenio per decimatertia huius numerum ex olbus ab unitatem is coaceruatum qui sit e.et qui sit ut partes ab ipo denotate.et resolovas si vis a in conmiles partesinebine resolutum diuidas per e et reuerteriir numerus pni a qui sit oper quini multiplica oes numeros ab unitate adb cui sunt in bac medietate ut norum est et amenide fg bit partcs denotate ab c que per precedentem ersit in hac medieta triet per nona primi maniferum eas costituere a.et furit sumptem numerum b.e sectum est 1gitur propositum.
Si inter numerosa portioaloe mcdu fm banc medicintcindesignetur: erit tre morum ad illos proportio visa.
74쪽
ESuir abc numeri in bac medietate coriture et inter totidem demit ma ademit d ad Ldico a ad Dut d ad e et D ad c ute ad finam stae etdsunt equales:constat propositu.si nonrtat ergo di finalores et ac in mores .Quinctii que Mortiod ad flores ad totum:ea cita ad c detracti ad detractum:ergo sequitani secudi differena d ad fad differentiam a ad c residuum ad residuum: it d ad storsi ad tota Quare Iredietas differene d ad sque si id addi dist differetie a ad eque sit g per corre aria decim quartes undisicut ad Lemam que proportiod ad se asst aadc:ergo simulatim d ad a Rctu fa c. cum ita v fad c struth ad gremo per idem correla risi e ad D sicut d ad a.quare pinutatim d ad e Muta ad h.et consiliter pbabis fad e sicut e ad b aut ecotra. Od est propossium.
in CSl in geometrica medietate tres num cri stansanirent que mannii ad medium:ea differentie ipso; ad differentiam incoli ad minium proportio.
CSint ab eius numeri in geometrica medietate dispositi se diffinitio em que xportio a ad bea estu ad c.et sadfia a ad b nuerus o.et differeti a b ad c medii ad minasi nureus e dico ea de re Hortidema adheldade.capto iubet ut tonim et ut detractum .etqrque νportio a adb toti ad tot area estb ad c detracti ad detracti im .igitur et a portio a ad b totius ad tot si et maximi ad medium:earat in a ad b ad differetiam b ad c per quilam secundi residui ad residuum.quod est propositum.
1i CIn hac medictate quod sub cxtremis cotineturaequale est quadrato medii.
gidec ex diffinitione et vicesina sexta secundi statim cognoscitur.
ii C In cadem medietate duo cxti cant 'iucti una ius sunt * medius duplicatus.
Est et itidem statim cogia oscitur per riccsimaquartam secundusumpto medio P secundo et tertio.
13 CIla cadcm nic dictate quato maximi ad incolum inaior cst proportio: tanto cliamma nil et minimi ad duplunt incoli maior erit proportio.
CSint a b c ptinue proportloales:etd ef idetidem cotinue proportioales sed in maiore a portione. dico inquato maior est xportio a ad b*dade:tato maiorem esse proportio aere ad duplum bu a portio e et fad Pupiunt e.sit enig differetia a ad bleti differentiabad et sinterk differentiadad etcti differetiae ad Let quo gercepit Vssim quo doli excediti sit n.quinent maior est amomo a ad bod ad etaergo p duodecimam scisidi a ad d totius ad totum maior est*portio * b ad edetracti ad detractum.ergo per decimatertia in eiusdem si ad h residui ad residuum maior est yportioina ad o totius ad totum:quare multo fortius Obade detracti ad detractum.qrigitur gad x maior est a ponio ad igitur se duodecimam eiusde gadb maior νportio*hade. quare per undeciniam eiusdem badgnator a portio*e ad et pervicesimam butus gad l)maior est avortio*hol ham gobria adbset k ad I ut d ad e quare eadem arsumetanoe qua pauloante gao m mina Mortio O ad αquare per quintam quinti erit b ad m minor Hortio O ead n.per eandem igitur dupu b ut o adm mimi a portio in dupli evip ad .etqra et elapam duplumb*tiam est maetiit ter copositus ex o et fel dito duplum e *tum estn:ur facile ex precedente cognoscas.etiportio p ad n maior Amrtione o ad tu. igitur per scream partem decimequite scisi p et ii ad p mior Hortio θ o et in ad O.igirur de s simul ad p proportio minor se a et e simul ad O.quod est propositum.
1 si Et quotlibet numeris in hac medietate sumptis tondem alii cius em yportionis maiores maioribus addatur:compositi quom in hac in ictate inuenietur dispositi.
L Nam sique opportio a ad botbadc:ea sit da decie ad Ligitur Pinutatimque proportio a addetea est bade et cad Ligitur pervices mainsecudique proportio a adb:ea erit compositi ad ad 'posita b e.et compositi b e ad compositum c f.quod est propositi1m.
is CSi dispositis aliquot numeris in hac medietate numeri equalcs singulis addatur:
erit inter compositorum maiores proportio maior.
Sint ab in geometrica inedietate dispositi: et de eo*differreici et f numerus singulis ad dus. qtria igie quo abundat falapsties d.et quo abutidatfb suo se est ciet perne clam se credis a domior est yportio Q fade.et pervicesimam hui' pernilitatim argumentando a ad vi bade ine idem erit fagde maior xpertio*bfade.iridemetipportio b fade maior. cfade et quia vade via ad but dictum est:et differetis asa bses d.et differeti abs adcfeste:erit a portio a fa ob maior ob ad c Let quato differetia fuerit maioruanto dria unius arportionis sua differetiam alterius erit maior.
is CSi quotlibet numeris in hac ni ictate datis: tolidem alii in eadem quide medicutate sed non fiat candem proportionem sumpti: maiores inmoribus addantur: inter
compositorum maiores:maiorem esse proportionem conueniet. b L la-
gad V est opta a portidis a ad b sup iportidem e ad Lino et oportio h ad hest per eadem dita Aortisonis di ad e suo proportio em d ad erimare sicut g ad h:ita b ad h.quare per vi imascoam dui' g et χplus sunt Q duplu h.et qr q6 exa in e et qd exd in sint θει q6 ex b in se et e in se p vicesimasextam scolout ergo eade, cu geth malus P quadrata bete cum duplo h.marest ex adinc f*q6 exbe in se. et ideo maiori portio ad ad be*que est beades a vicesimaseptimam secudi eo est propositum.
75쪽
si Tribus numeris in bac medietate sumptis: maximi ad ni ins si a medii ad alteram ij, di meroenaivm eand cm csse preportionem impossibile cst.
ESint ab cirranseri in hac medietateret differentie eo*dete dico impossit ileeeiade a porti dema adceth ad duel bade.nam esseta ad c sicuthade:ergos mutarim csset aadbsicia te ad e. imperricesimam huius bados cuida deerit Pinutat in vadd sicut cade quare queA portio a ad bea erub add:smae maior .nir per quartam secutib maior d.igiturque A portio a ad b maiorc merus, punionem erit b maioris pcutionis ad minorem.qs per undecin a quinti si impossibile et spolinim.
ς signum nulla crorum huius medietatio quo maximi ad mimum alor est proportio: is eo medii ad qualibet differentiarum proportio minor.
Sithypon esis et prius. ocent ideo in q, quato a adcinator: tanto differenti ab ad cerit maiorc quare tanto nummis e maior .et ideolporrioba de minor linter quanto a ad c maior tanto etia a adb maior et quato a ad b maior tanto d differentia maior.quato aut d disteretia mator :tato b ad ipam proportio minor.quod est propositum.
Numeros quotlibet in gcometrica inc dictate: tinuare: quo* extremo* yportlo i, non sit nata 11 portiocimator in inorum eo diffacnua non sit dato nulla cro minor.
CDiuido per sexagesima nonam noni iporti em datam in Wortides qua*quotlibet sint equales: et si differetia minorum sit equalis dato numero aut maior:effectuin est propositum .si a sit minoruni differenna sit dato numero minorauco datum numerem in quclibet numerum iustu proporitonum et faenim apparebit propositum.
i, Et inter numeros ciusdem mcdictatio: in arithmcticam medietatem medii statu - , αι anturulli quom in gcometrica medictate disponetur.
c Sintabe cotinue in medietate dispositi sitivo medius inter aethrete interbete marithmesticam medietatem .dicoque opportio a adb:cam essedade. nam a decimanonam huius ut a ad dritab ad Gigitur pernautatim ut a ad b:lla d ad e.quod est propositum.
Si inter duos numcros mcd0 duo proponatur alter in arithnrcnca et alter insico: si metuca mediciare: qui cst sto in arui inclicam reliquo tanto ampliuo potaest Φ tum cst quadratum cillarentic iplus ad alterutrum exlrcmorulli.
ῖ CUt inter aeto sint bc duo medii:sc3b in arithmetica naedierat eletem geometrica. dico bainpitiis - tanto posse suo cui ucst quadratrina differettebada aut badd:q6 idem est. nam P vicesimaprimamc V huius ο, fit exa in f ilicstuum euat rcii inc at Plertiat ui quadrarum b addit lupidus fit a. v inde tum quadratum differretea ad b. igitur et imae det sup quadratum e.qi odest propositum.
Ut res numeros in arithmetica in ictate reperire:inter quo* binos et binos scomgeometricam mcdictatum medios assignare coiingat.
Smtaetbduonfieri pares:et baut equalis aut numeras a.et positus ex aetbsit e cuius duplus sit o ducaturin a in cet Iuciliat e.quia P primam septimi copositus ex aer e est pariet se duodecimam eiusde eest par.ergo p textam eiusde si 'posit' ille detrahar ab errelinques par. sit ergo par relictus Let eius medietas g.et compositars ex ginc sit h.u inberae emponath sint v lmn quadrati labsquos dico esse numeros quales querimus .nam P decimaminiam primi l quadranam let addit sup mquadratum h:d tum est quadratum a.et eo fit ex V bis in a. boc est Otum quadratum a et qη fit ex a indet freq6 fit exa in se et in f minuit eoq6 fit exstine*tum est qd fit exa in c.et q6 fit exa in destetrum m fit ex bine .elmq6exa et bine equae et cxcinmerit q6 addit quadratum hisy quadratum d minus eo q6 ex e in e si tum est os fit ex e in a.et ex eodem parer iotcst q) quadratum b addit sua quadratum seisi q6 fit ex cinis et inf:u6min' est eo qffit excine ortum est q6 fit exe in a.quare quanto labundat suu m tanto ut abundat sup n. quare quadrati l m n sunt in arithmetica medietate innitimi et peorrelarium quarte sexti interiet minis medius a portio alistet sinter intermet in factum est emo propolinam.
Silani piis tribuo terminis marithnicii cana edictalcmeduinter illos fmgeomer ,, iricam medicialium statuatur:isiter quadratos illo*quadratu medii alio*in arithmetica mcdictate constare necessie est.
USint a b c numeri in arat dimetica medietate costituti P precedentem inueti inter quos sint de fimgeometricam medietatem.dico quadratu medii b ee in aritbmctica medietate ine quadrata mediovdete.nam stet quadratum d p vicesimas tam secsidi est Otum qs fit ex bina st per nonam primi qua dratum d addet suo quadratum b Φtum qd fit ex b in Miam suam ad a.et disinter quadratum di addet sis quadratum eq)tum q6 fit ex bin Miam suam ad c sed bada et bade equalis indifferetia:ititur quadrata numerorum P b e: unr in arithmetica medietate.quod est propostrum.
Grdialis tribus turnunis ut harmonica medietate:ciar manini ad mediu:* medu 3 ad minimum malor proportio.
76쪽
CSint ab curansieri in barmonica medietate stituti:ssima maximus dico a oba portionem*bad c.Stimid differetia a adb: oedii ci et labad erit mi perriniturionem Poeneiata ad c et per nonam securia ad c maior lipomo Φ a ad h.quama a b muror prodire totius scya totst minora tris Φ detram ad detractum. ergo PDectiniquartam secvriboc idui ad residuum niinor Mortio. a adb totius ad totum.quod e twoutum.
F CIn eadem medictate duo extreini pium:maius medio duplicito cilicient.
nizi 2 eodem msmoeotauet numerum medio duplicato maiorem.quod inpropositum.
gIn eadem medietate couitetur sub atremis est situm quadrarum me cu co
37 CIn eadem qu 3 medietatechmo fit medio mommmmduplumescius quod 38 Canter Uratcinet aliqum numerumssiue inter numeros in sua yportioe mimos
in sua proportione utintini Quod est 'tra polli vim.
Q in ramici extremio Moostis medium inter eos
77쪽
seindi ab adytisicitigat hoste erymutat ima adest ibaddire t periden a adesi rgi, adhiquare licingad h.etura etessit tota ergethdetracta: erit ergo eadfrinduus ad residuum v quitani secundi via ad c totus ad torum.quare emutatim a ad e scut c ad Lquod es propostrum.
Si inter duos numeros alii duo medii xponionalita sumantur: sumaturm maior MFm arithineticam medictate:sumenir minor fiat harmonicam.* si minor sm harmo: nicaminialor fui anthmeticam sumetur.
Sumisma adesicut d adb.et cmaior sit medius marithmeticam medietatem i ueraetb.duodesset disi harinonstam incestrate ine aetb. et uertitur.Sumoeni PQ adragesin aprinasti vive et fit sim in itidea adb .interkssitam arithmeticam medietate mediviethfm harmonicam. quia igis P quadragesina primani e ad si sicut i, ad Letu decimanolsam huius ead g sicut a ad e.qrecudadbnaad creti, adfute ad g.misth ad fur dad h.sed et qrbest medius harmonicus ad quem friamnum habet eam proportioem q b ad d: facilest preedenton inuenies o eo in harmonica medi rate inter stet h.co uersum asti facile a1babis per quadragesimaprima hui' o sededo niediu arithnie tire medietatisque cunminuentulanetae equalem e maiori.
CFumeros auotlibet in arithmetica medietate pati relinter quota dinos et binoo fm harmonicam medictatium possint assignari moess.
Ut si iubear continuare tres nunteros in arithmetica medietate inter quo*binos et binos possint assignari in barmonica medietate me di .capio a b e totidem numeros in arithmetica medietate costitutos:quo*differcita ut parri inter illos sumatur medii in eadem medietate quisne d et e.et multplicentur oespere .et. eniant f g hi h l quid decima septimam huius erri in arit',inetica medietate. ducatur. it e ins et fiat m. et quia u inprimam secfidi que*portio c ad e ea est b ad h.et se octauam eiusdem it q e ad e ea est m adi equitern et inumerus h maior est in arithmetica medietate medi issi mr se precedetem in est medius inter ij et i in harmonica medietate.multiplicetur item oes hi per
vetetatumi in olpiqiris et rest ut prius mo p qis in arithmetica medietate:etr inter' et sin har*monica medietate.ducatur item a in b et amentat r.et eadem rone qua prius mostrabis ipm re mediti in harmonica medietate per precedentem intern ip .st cinerulptinuattvra1positum est in arithmetica medietate numeri facts mapparebit propositum. LEtsi de pluribus agereturiquoties erit apponendus medius harmonicus:toties facienda erit modo predicto multiplicatio.
CPuobus numeris ad alios duos proportionalibus:τrrorum alteria inter reliquos ΦS medium csse in harmostica medicta ic:cit impossibilc.
At illa ad b sicut eao d:dico cno Gnaedium 'n medietatem barmonicam inter a et bet necub intere et .ssoli possibile sit: esto ergo cui harmonica medietate inter a et b:et b intercet D. quia eni a ad D sicut cad d.et intera et b et e etdnumeros quide oortionales: stilusitur e et b medii fiat medietatemdarmonicam .igitur perquadragenmam sam huius erit proportio a ad enculcadb maximi sc3 ad medium que medii ad mimum.quod per tricem quartam huius est impossibile et propositum.
Si n es numeri in arithmetica medietate sumpn aliquein numerum numercia tussiem quos cum numerant in ordine damonicem telans mutnietur.
4 Sintabem medietate arithmetica sumprimuineret id disie fg.dico esses in narmonicam vietate ordinatis.Sint rei tres dupli e bit litui et iidemersit patebit in harmonica medietate et fit militer', et in arithmetica niedietate medius.qreniatne te ing costitu sit drogopvicesimam quintam secundi exponio a adcea estgaderet ques ad per quintam secudi ea esti ad b. sed per decima nonam binus adnisicut a b.etu perindevicesimaquintam secta di a adb sicut ad cieritobboelaum struthadb.sed p quadragesimst ternamhuius h est medius harmonice inter leth.isieres barmoni remedius interget e. quod estproposmm.
simum cros quattuor perscrutari: quoi secundus stater primum et tertium: et tertius 67 inter lactandum et quartum in harmonica medietate costituatur.
CSint ab ed quattuor numeri in arithmetica medietate costituti qui numerent indem numerum e mDgihIk.dico fghhese quatruor numeros quo*gsecsidus in in harmonica medietate inter feth primunt et terriff.eth tertius itidem ee in narmonicamedietate inter g et k fremet quartum nam mires sieri abe in arithmeticet medietate disi initi numerantem figi hist per precedet figit, sunt in harmonica medietate. et per idem qui ab cid tres alo arit binetice medietatis numerant eundeme fim gibi Hergo gh sunt in harmonica medietate estigi ruta ponebat g medius damonice intera et V:ctb itidem medius harmonice inter g et k.quod est propositrum.
- . CSi tres numeri geometrice medietatio aliquem numerum numerent: et illos scome - quos numerant in eadem inueniti necesse est.
c i, Cin sint ab cingeometrica medietate 'stituti cinuerent dFme fg:dicos; fe in eademiportiones . α- ri periri. Iam per elima quintam secundivr a ad b ita fad e:et per eandem vib ad c ita gad Lquareeriteadfulsa gera fingeometrica mediate medius.quod est propostrum.
CSi tres numai musice medietatis aliquem numerent:illi pm quos eum numerant . in antbmerica medietare disponetur.
78쪽
rvec est uersa quadragesimes: terint ergo ab cui barmenii a medietate dis liqui numerciit --σ-- corme fginico essesse in arithmetica medietate constitutos. Simo bul duplis adia b c qui sinter e si erutu darmonica medietate et in medium arithmeticam medierat cininterhetl .emicru quadra b si se imaprimam huius bad insicut tradi. quareticurgat s adiuua ex clima mira se di. sed per m -- Rcadetii vicesimaquisam sali cognoscet g ad e sicut l, ad i. scd h ad ni riter tum: Hut g ad ρ fusi medium et mam ut fadeagitur per decimano nam huius fimcduis erum Acdictate arithmetica inter aete. quod eu propositum.
Ο Quotlibet nuctos in geometrica medic latc fm datam Iporta in onnuare: inter quoipsingulos fini harmonicam nacdictatem medioctassignare sit possibile.
si pertricemnanonam bui sumaturina datam Proportio albi e tres numeri in harmonici me f- Pietate:et sintd e termini amoritonis a ad c.et ducas d in oes illos et ameniant fg di qui p septimam g -- δsecoierunt in eademedietate et per correlarium eiusdem seprime differtiles adget g ad n teque n--s multiplices adde ducatcre me et altaeniatu. erit BP octauam secudis adb sicut badu.yre durarer einbetanaeniat l.erit. ladii sicut Dadc.quaret harmonice medis interbetil. habeamiosis data misortioetii geometricestinua frinter quoa et duo medii barmonice metretatis stiluinum. R s- c si plures delideras oue d in ora inuetos et e in duos extrenios et babebis tres smedietate geomes ctrica tinuatos et inter binorii singulos ea rone qua prius medios in harmonica medietate sumptos et hoc quoin pacio quotquot voles inuenies.
Tres numeros in Damotrica nimietate disponere:ita ut iter binos et binos medii spm medietatem geometricam costistant.
in arithmetica medietate CScsin exigentiam recesi mesecunde mus inueniatur ab c tres numeri stitutuinter quos sint det e in geometrica medietate. et sit filii trierus que oes numeraminumeret b- eum Digbulni et patet u quadragesimasenam huius stli mee in barmoὶlica medietate:sed et per e quadragesiman octauatnduisthinterget linet interuet merui in geometr ramedietatris c. paret e mectum propositum.
brimam residuarum medietatam:innumcris constituere.
Cloee a geometrica sumitur.Et sint abe in geometrica medietate ita tamen utcnummus sit malor in dyia maiorum .substrabat igitur differetia maiorum ab e mimo et residui, sit d.dico b c d ee in hac Tprima collateralium medietatum oritutos.na quia ab esunt in geometrica medietate coititurirideo 'que sportio a ad breaino vicesimaria bulus differeti te malorum ad differentiam minorunt.sed diis ferennaa ad best eadem differentie cadd. igitur differentia cad omissorum ad differentiam bade maiorum sicut aad b. are sicutb ad c maxinu ad mem .per diffutulonem ira paret a polinum.
, CPeamde inuention declarare. a
CSint ut prius abcingeometrica medietatequo differentiam minorum addo ad spoum ito.dico D ad b esse in seceda reliquo medietate. nam per vicesimam duius que a mno gavd ea erit ρ disserenue maiorum ad differentiam minorum nsimust in geometrica meruetare astituto in eadem est proportio differetie a ad b ad differetiam a ad d igitis per diffinitionem cociudirur propositum.
a. si Tertiam carudem innumeris assignare. .
sist re etiam babetur P geometricam medietatem.sit ergo preceterium hppotens et maiorum diffferetia dematur ab di medio:strae residuum d.dico bi cid esse ui terita nie ictat me differetia a ad b ea est b ad O.igitur que xportio differtile a ad b ad differentiam b ad c ea es differtile e ado ad
ss gQuartam interminis manifestare.
Sint ab quilibet duo numeri et copositus et i pis sit civicoc Iastere tres terios in mel fartanis dissile dato qr eni driae et bextremo .eltaald incarnatorumin b. Φque oonio a ad biliouadmunsi:ea erit dPie extremos ad driam maiorum. per diffinitionem iram pilat tactu ni esse νpositum.
, si dumte dei nonstranon explicare d
c Decaaeometrica medietate elicitur.Sint igitur ut prius ab e tres num i geometrica medietate . op e mimo addo differentiam malorum:et commus sit d.dico P b aee differentia P e extremorum est differentia a ad b:igitur adiuuante vicesima huius que arportio b ad em . ad minimum:ea erit differentie d ade extentorum ad differemiamb ad c mincuum.&Lamperdimnitionem demonstratum est propostrum.
tabes biuratissa prime in harmoni a medietate: si diffinitio
ho e eazod maiorum' ad driam mino*.capto nuerum d inter a et c: cuius desia fit ad a quc d ad c. erutilam trasmutate dimereti tuta que differentia a ad D maiorum:raesto ademiorum.et quc bade minorum:ea erit a ad D maiorum. dico iram a d cesse qui petiiturinam quelportio a ad e eximiic*ea est differeti eo eminorum ad differentiam ad maiorum. per diffusitio igitur patri cliectum se Docisitum Quod si capite secudisve ara metices diuus tauerinus restatur huic iiicia relata quia m
79쪽
cptinetur sub medio paruissimo:hoc indubitatu est per septimoni ucsidi quoties maximi adnisinsiest habitudo dupla, alioquin perean non teneatino per eandem scit; pcrque 1 portio maxin adminium ea erit eius quod cotinetur sub maxinio et niedio ad id q6 continetur sub medio et ni naos imo id ornati medietati comune citi
Seprime terminosi ininstigare. M
CDec ex geommim. Sint a b c tres numeri in geometrica medietate ab a maximo eo* substrabo Differentiam mitiorum et Illi res inrumd, et patebit ut priusque Urtio Raub maximi admi murtam Use differentie extremo*ad differentiam maioriam. quare perdidi itionem conuabit propositum.
si me etiam ex geemetrica. Sint ius dati numeri a Ibse in geometrica medictate: et minorsidi ferentia addatur medio:fiatm coenoesuus d.dico a d besse in pae vitta medietate.nam qu expornoaad b maximi ad mimum:ea estatu: ua evicesima butus differetia a ad b extrenioru ad differetiam v b minorbinam equatur differentiebadc.igitur per diffinitioinemn Idsbsunt in dac medietate.licet; constant octo colla terales medietates mori strale.
si Trium numeror uni maxinii ad ni colum:ativ dishrennc maximi ad minimum ad codifferentiam medii ad ipm: candcm esse proportionem impossibile est.
Sint albi e tres diuersi numeri quicum:quop a sit maximus b mediust et c mimus: et differentia a ad cntd.et differcntiaba desite.dico impossibile esse eandem *portionea ad D maximi ad mediuqlIedade differenti emaximi et minimi ad different lammetsi ad mimum . nam si ea xpertio sita adbque vade totius sc3adio trumque detracti ad detractsi:erit cresidui aderendusi:que a ad litotius ad totum.est enim e virtut residuinar .qua rea et bidciri sunt numerus aicpe quales. quod est contra hypothesim.
Sit a ad c a portio quecum quepotest in duo equa diuidi .vt exempli causa quadrupla inter cuius trema per tricesimanonam huius sit inuentus b in barmonica medietate duplo a b et e et lueniant die squidisinterersit in cadcin medietate.et quia per septimana secuti dant via adc. cta ad cpotita est par ibitis in tuas equas xportiones:partietur cvam d ad fin equas .diuidatur igitur per g.erit igitur P avgurgadnquare g perdiffinitioncm ni edius cstge emitruus inter det Let quia i etdfunit pares: psorsi simul iunctorum capio medietas cmquestu:que per quintam huius est in arithmetica medietate inter v et habemus igit inter duos numeros Det stres mediosi sesc3hinariti metica metietate gingeometrica ete in barmonica vcmostratos.qd supponebatxpositio.dico igitur dessemanmum mediorum:ete minastret gniedium a portioaliterat seemetricum inter Vete nctii quiah est medius ine d et sm artihmeticam medietate et e fini harmonicam:ergo P quadragesima prinia1 huius b maior estu e.etque a portiod ad deaeste ad Ligitur pervicesimaquintani secudiqd fit exoint usi est ei qui fit ex D in e.sed quia g est mediusa portio alia inter det fDigitur pervicesimasextam eiusdem quod sit ex din te si est ei qui fit ex ginis.quare quod fit ex gin seim est *tum quod ex bine agitur per secedam partem eiusdem vicesimes te secundit, gelant proportibales.quare heruma us:g medius proportionalis:ete minimus. odintendebat propositio.
Tuos numeros quo* iportio non sit data proportione maior I inucstigareunter riquos fm tres dictas medietates medios assignare sit possibile.
Datiam proportionem quicun diuidamus per sexagesimisonam noni in quotlibet xportionest. De sint equales: que posite nonnivata proportioe maior. misit istam .pportioem 'positamisero medium harmonicum rin exigentiam tricesimenonehuius et oino connmiliter operado ut in principio precedentis factum est inueniam tres medios modo qui in precedenti dictus est,inter duosnameros Moy proportio non erit data proportione malor .sici pconstabit propositum.
inii elementorimi arithmetices Iordani sinis.
80쪽
ICIacobi fabri et a lentio tamenta musicalia ad clarissimu vim
Ricolaum debaqueuille inquisitorium aprcsidet . mera clarissime vir nulli incas elemento* musicaliu qualescunm sum prius dicare vigilias:* probatas cognouisse. is id me mi mel amaldemostrationcsan quibusvci soli suis scientie costitit mo probari non potuisse V cru si presentisi iudicia pami ducis reputas*:binbi ex diluuio sumopere musicos comendare labores iure valebunt. adercurius Tanarras
Ptolomeus Orpbciis armcnias Thebanus Eubolides 'ormagoras Samius Terpander lesbius
Bnon lesbius Emacus Colopbonius.
ahνdaothrygius Tymotbcus milestus Albinusa orebus lydius Ricomacbus Diuus Seuerim Boccius.
reddidit i si es inter quosa uos pceptores meosIacobu Labilliu et cobii turbeimu stnumero:lan* ea arte posterilati victuros. Comedant et ea mirifici cius effect . Pythagorici mi animo* ferocia ubilo fidibus* emolliebant. Esclepiades fremetio uulgi stoinones crebro cantu compescuit. Idem tuba surdis medebatur. Samon pythagoricus cbrios et proinde petulatius adolescctes:grauiorib' modulis ad teperantiam redunt.febre etvulnera:musica modulationemravitantistris Eade quom suauitare schias coxendicum dolores em auit: qiue disinoeias theban terasse memoransr.Theophrastilo ad animi plurbationes moderisas musicos adhibuissem orae moduleo. Nec iniuria quide. incni musica ut quedanrodreationis lex at in regula .Quamobre bono iure eos ridebat diogenes musicos: qui ce cithara ad harmonicos costia suo daberent telnperata: animu gcrerent incopositu ci prorsus harmonia vlte destitutu. Lenocrates organicis modulis lymphaticos liberauit. Eales ocrensis suauitate clibare: morbosi pestilennam fugaint. Terpader et anon Sones et ichios cantu a grauissimis morbis levasse: diuus Scuerinus autor est. Derophilus medicus egrorum vcnas musicis pensiculabat numcris.s ymotheus aut musicus dumvoluit efferam reddidit at Endru ad armam furentestia aliter cu libuit ab armis ad couiuia retraxit emollitu.Tbraci orpheus fera*sensus fidibus catum inflexit. boc est sermos holm mores leges ad cithara canciido ad moderata humanitate reduxit.Cervi fimalis capitatur studio. modulationu deti nentur.Cygni hyperborei clinare catibus allicratur. Elephates indi organica dulcedine permulcetur. Nuicule fistulis irretiumr. Teneros adhuc infanΠu sensus permouent catus crepitacula vvagientia sedat.Pelphinos suis sibi fidibus cociliauitanon Uerpetes citibus rupuntur.Sepulto manes cantibus excitatur. n actiaco mare cithara personarem oratur.Megaris cubara personat saxura ad cui ibet
pulsantis ictum fidicinat. Et possem pleram talia vir clanssime ad musicatione adducerciat milianusmet recennu et prisco* comendari autoritatibusnbi nucab me atm bonariss litterax studiis dicata disciplina: uo suscipias animo tuis aut picus lucem habitura. Et me unum inter tuos clietulos ruarum viriumltuim nominis obseruator esse cognoscito. Vale.