장음표시 사용
101쪽
s s. huius. diff. see. divinet.
DATIS duabus restis lineis, sese bifariam secantibus, circa utranque ipsarum sectiones oppositas describere ; ita ut reme lisneae sint coniugatae diametri : & quarumlibet oppositarum s ctionum diameter possit figuram aliarum oppositarum .
SINT datae rectae lineae, bifariam se invicem secantes , AC, DE. Oportet iam Circa utranque ipsarum diametrum oppositas sectiones describere; ita ut A C, DE coniugatae sint in ipsis: & D E quidem possit figuram earum , quae circa A C sunt 3 A C vero figuram earum possit, quae circa D E . Sit quadrato D E aequale
rectangulum A CL; sitque L C ipsi C A ad
rectos angulos : & duabus datis rectis lineis , ad rectos inter se angulos constitutis , AC , C L , describantur oppositae sectiones FAG, H C Κiquarum diameter transversa sit C A , & rectum latus C L: ductae autem a sectionibus ad C A in dato angulo applicentur . erit ipsa D E secunda diameter oppositarum sectionum : qutio mediam proportionem habeat inter latera figurae; & ordinatim applicatae aequiei stans ad B bifariam secetur. Sit rursus quadrato AC aequale rectangulum
E D R: & sit R D ad rectos ansulos ipsi D E.
Itaque datis duabus rectis lineis , ad rectos inter se angulos , E D , DR , sectiones orpositae , Μ D N , Ο E X describantur ; quarum transversa diameter DE, & D R rectum figurae latus : ductae vero a sectionibus applicentur ad D E in dato angulo . linea A C secunda diameter erit sectionum
M D N , Ο Ε λ . ergo A C lineas ipsi D Eaequi distantes inter sectiones P A G , H C Κbifariam secat; DE vero aequidistantes ipsi AC , quod facere oportebat. vo centur autem huiusmodi sectiones coniugatae.
SCRIPSIMUS in commentariis in decimum theorema , qaod nam fuerit propositum a posenio in primis tr decim theorematibus d ct in eommentari s in sextum decimum de tribus sequentibus dictum est. vis vero in septimo decimo asserit e poluntas rectam tineam , qua per verticem ducitur , ordinatim applicata a 'vidistans, extra sectionem cadere . In decimo octavo lineam , qua utcunque eontingenti a Midistans intra fectionem ducitur , ipsam scare . In decimo nono lineam , qtia discitin ab aIiquo puncto diametri , o, dinatim applicata aquidissipans , cum feIione convenire . In vigesimo , ct in vigesimo primo lineas infectionibus ordinatim applicatas inquirit, quomodo inter se se habeant ditemqne diametri portiones , qua ab ipsis stant. In ν resimo feexndo , oe vigesimo lsetis tractat de linea , qua in duobas punctis sectioni Oeeurrit. In vigesimo quarto , ct O TULMo quinto de ea , qua ipsi occurrit in uno puncto tantum , hoe est de linea , qua secti nem eantingit. In vigesimo sexto de ea , qua diametro parabola , ct hyperbola aquidi stan
102쪽
stans tacitur. Lis vigesimo septimo de linea ferante parabola diametrum , quippe qua ex utraque parte sectioni occurrat. In vigesimo octavo de ea , qua quidistans ducitur contingenti tinam oppositarum fetitionum . In vigesimo nono de ea, qua per centrum oppo rarum sectionam transiens producitur . In trigesimo de linea transeunte per centrum ellipsis , ct oppositamm sectionum , qua producta a centro bifariam dividitis. In trigemmo primo de linea Θperbolen contingente , qua quidem diametrum Lecat inter centrum , O verticem jectiois . In trigesimo secunda , trigesimo tertio , trigesimo quarto , trigesimo quinto , ct trigesimo sexto de lineis contingentibus agitur . In trigesimo septima de eo ut tuentibus , ct de js , qtia a tactu applicantar in hyperbola, ct Glipsi. si trigesimo o taνα de contingentibas hyperbolen , ct ellipsim, quo pacta se habeant ad secundam diametrum. In trigesimo nono, Er quadragesimo de iisdem agit, compositas ex his proportiones inquirens . In quadragesimo primo de parat Iogrammis descriptis ab arplicata , ct ea , qua ex centro h perbola , ct ellipsis . In quadragesimo Iecundo asserit triangulum in parabola , ex eontingente ct applicata factum , aquale esse ei p4rasteu- grammo , quod, cum aqualem altitudinem habeat, in dimidia basi eonstituitar . I quadragesimo tertio inquirit in hyperbola cr ellipsi, qMomodo se habeant inter sese tri- avula, qua a contingentibas α applicatisfiunt. In quadragesimo quarto idem inquirit in opposiris sectionibus . v qaadragesimo Pinto itidem in secunda diametro h perbola sellipsis. In quadragesimo sexto de aliis parabola diametris , qua sunt post diametrum principalem . In quadragesimo septimo de alijs diametris Θperbola ct ellipsis . In quadragesimo octavo de aliis diametris oppositaram sectionum. In quadragesimo nono de lineis, iuxta quas possent applicata ad alias parabola diametras. In quinquagesimo de iisdem in hyperbola re ellipsi . si quinquagesimo primo de iisdem in oppositis Iectionibus . It que eum bae scripsisset, addidi eique epilogum quendam, in quinquagesimo fecundo pro blema iuud ostendit, qώomodo parabole in plano describatur. A quinquagesimo tertio, quomodo describarar hyperbole. In qainquagesimo quarto , quomodo euiss . In quin quagesimo quinto, quomodo on ιδ sectiones. si quinquagesimo sexto, quomodo describantur opposita sectiones illa, quas coniugatas appella
103쪽
LEMMATA IN SECUNDUM LIBRUM CONICORUM APOLLONII.
est. nam si per E ducatur E C aequid istans Α B; &per C ipsi D E aequidistans p imi dueatur CΑ: erit A CED parallelogrammum: & propterea AC iaequalis & aequidistans ; quae quidem in datas rectas lineas A B, E
Producatur enim B C ό & conveniat cumay.primi. DE, DF in punctis G, H. estisitur angulus E aequalis angulo G, hoc est ipsi B; pro- Gpterea quod duae lineae AB, BC duabus B c a M.. shit:. D E, E P aequidistant. Itaque quoniam ut A B ad B C, ita est D E ad E F. ω anguli ad B, E sunt aequales. erit angulus C AEqualis angulo F, hoc est angu-a3. prini'. lo H. ergo linea AC ipsi DH est aequidistans. LEMMA III.
SIT recta linea AZ ,sintque aequales a DS: es' inter CD sema
104쪽
IN II. LIBRUM CONI CORVM. Uytur quodvis punctum L. Dico rectangulum ADB unai cum rectangulo C ET aequale esse rectangulo AE B.
SECETUR enim C D bifariam in F, quomodocunque se habeat ad E punctum. Et quoniam rectangulum ADB una cum quadrato F D aequale est quadrato F B. quadrato autem P D rectangulum C E D una cum quadrato F E est aequale: & quadrato F Baequale rectangulum A E B una cum quadrato A FT D DF E . erit rectangulum ADB, una cum rectam gulo C E D & quadrato F E, aequale rectangulo A E B & quadrato F E. commune auferatur quadratum P E. reliquum igitur ADB rectangulum una cum rectangulo C E D aequale est recta ligulo A E B. LEMMA IV. .
SIT recta tirua a S ; π aequales sint AC, DB: Ninter C D μοι vis punctum Esumatur . Dico rectangulum AC S aequale esse remet u C Ε D , is rectangulo D AC . , o
SECETUR enim C D in F bifariam, quomodocunque se habeat ad punctum E . Quare tota A Fipsi FB est aequalis . rectangulum igitur Α E B una cum quadrato E F aequale est quadrato A P. sed rectangulum DΛC una cum CF.quadrato quadrato A F est aequale . ergo rectangulum - Α Ε B una cum quadrato E F aequale est rectangulo - D AC, &CF quadrato. quadratum autem CD est s-I aequale rectangulo CED, & quadrato EF. quare sublato communi, nempe quadrato E F , erit, quod relinquitur, rectangulum A E B aequale rectangulo
SINT duo triangula AS C , D Ε F : ου fit angulus quidem C aequa
lis angulo F , angulus merὸ Ε angulo Ε maior . Dico lineam S C ad C A minorem proportionem habere , quam EF ad F D.
CONSTITUATUR enim angulus C B Gaequalis angulo E & est angulus C angulo Faequalis . ergo ut BC ad C G, ita EF ad PD. sed BC ad C A minorem habet proportionem squam B C ad C G. quare & B C acl C A minorem proportionem hasebit, quam E F ad F D.
BEAT rursu, Z C ad C A maiiorem proportionem , quam E F
105쪽
ONIAM enim B C ad C A maiorem , proportionem habet, quam Ε F ad F D: si fiat, ut B C ad C A, ita E F ad aliam quandam , erit ea minor , quam F D . itaque fit F G :E G iungatur. cum igitur circa aequales an- ' mu' gulos latera proportionalia sint; angulus B est . ta Z 'aequalis angulo P E G : & propterea angulo E .
SINT triangula ilia AB C, D L F: γ' ducantur AG , D H , ita ut fit rectangulum BCG ad quadratum C a, ficus rectangulum E F Had quadratum F D . Dico triangulum AG C trianguli DHF simile se.
QVONIAM enim est, ut rectangulum B C G. ad quadratum C Α , ita remnas. sexti. gulum E F I ad quadratum F D . & proportio rectanguli B CG ad quadratum C A composita est ex proportione B C ad C A , & proportione G C ad C A: pr portio autem rectanguli E F H ad quadratum PD componitur ex proportione EF ad PD, & proportione H F ad PD a quarum quidem proportio BC ad C A eadem est, quae E F ad F D , propter similitudinem triangulorum . erit reliqua G C ad C A eadem , quae H P ad
F D . & sunt circa aequales angulos latera Proportionalia. ergo triangulum AC G tri angulo D F Η simile erit. Hoc igitur ex coniumsta proportione in eum, quem diximus, modum demonstratur : sed licet & aliter demonstrare absque coniumsta proporticine. ALITER. Ponatur enim rectangulo B C Gaequale rectangulum ACK. ergo ut BC ad C Κ , ita AC ad CG . rursus ponatur rectangulo E FH aequale rectangulum D P L. erit ut E P ad F L, ita D P ad F Η . sed positum est , ut rectangulum BCG , hoc est rectangulum A C Κ ad quadratum AC, videlicet ut A C ad C Κ, ita rectangulum E F Η, hoc est D F L ad quadratum D F, uidelicet ut DF ad F L . ut autem BC ad CA, itai,. quiMi E F ad F D, ob similitudinem triangulorum. ergo ut B C ad C Κ , ita E F ad F L. sed ut B C ad C Κ , ita Α C ad C G , quod demonstratum est: itemque ut E F ad F L , ita D Fad FH. quare ut A C ad C G, ita erit D F ad F H. & sunt circa aequales angulos. triangulum igitur Α C G simile est triangulo D F Η: & eadem ratione triangulum AGB triangulo D HE ; quod & ABC triangulum 'ipsi DEE simile sit.
STI triangulum quidem A Z C simile trianguli DEF , triangulum
106쪽
IN II. LIBRUM CONI CORVM. 99WH AS G triangulo D E H simile . Dico ut rectangulum S C G ad quadratum C a, ita se rectangulum E F H ad quadratum F D .
QUONIAM enim propter similitudinem trianguloru totus angulus Α toti D est aequa lis.angulus autem BAG aequalis est angulo EDH.erit reliquus GAC reliquo ΗDF aequalis. sed & angulus C est aequalis angulo F. est igitur ut G C ad C Α , ita Η F ad F D. ut autem B C ad C A, ita E F ad F D. ergo & composita proportio compositae proportioni eadem erit: iccircoque ut rectangulum B C G ad quadratum C A , ita rectangulum EFH ad quadratum PD .
ALITER ABSQUE CONIUNCTA PROPORTIONE.
PONATUR rectangulo BCG aequale rectanguIum ACK, &rectangulo EF Η aequale rectanguluin D F L : erit rudi Aius ut B C ad C Κ , ita A C ad C G. ut autem E F ad F L, ita DP ad F H: & eadem ratione, qua sup , demonstrabimus, ut A Cad C G , ita este D P ad F Η . ergo ut B Cad C Κ, ita EF ad F L . sed ut BC ad C Α, ita E F ad F D ob triangulorum similitudinem. ex aequali igitur ut KCad CA, hoc iest ut rectangulum LCΑ, hoc est rectangu- ri u inu LM i. Q. LGO . L. I iluin BCG ad quadratum C Α , ita LP ad .D 4, i tinet i .F D, hoc est rectangulum L FD, hoc est rectangulum EFH ad quadratum F D. quod demonstra re oportebat .
SIMILI TER demonstruimus ii si ut rectangulum B C G ad quadra tum A. C , ita fuerit rectangulum E F H ad quadratum F D : ου tria angulum ASC simile triangulo D E F e π triangulum AB G tr angulo D Ε Hsimile esse .
SINT duo triauula fi lia ABC, D E F : γ' durantur perpendiculares A G , D H . D- Λco, ut rectangulum Z G C ad 'quadratum a G , ita esse re- - ct angulum L H F ad quais
HOC autem ex iis, quae supra di- B CL cta sunt, perspicue constat. Κ L.
107쪽
PAPPI LEMMATA LEMMA XI. SIT apualis quidem angulus B angulo Ε , angulus τπὸ a aquis D minor. Dico C E ad B A minorem proportionem habere , quam F Ε ad
QUONIAM enim angulus A minor est angulo D; constituatur angulo A aequalis angulus E D G. est igitur ut CB ad B Α, ita G E ad E D. sed G E ad E D minorem habet proportionem , quam F E ad E D. ergo & C B ad B A minorem proportionem habebit, quam F E ad E D . similiter& omnia alia eiusmodi ostendemus.
LEMMA X I LSIT ut rectangulum S G C ad quadratum a G , ita rectangulum Ε H F ad quadratum D H: NAt BG quidem qualis G C ; CG mero ad G A minorem proportionem babeat, quam F H ad HD , Dire F H
ONIAM enim quadratum C G ad quadratum G Α minorem proportionem habet, quam quadratum P H ad quadratum H D. quadratum autem C Gaequale est rectangulo B G C. habebit B GC rectangulum , ad quadratum A G minorem proportionem , quam quadratum F Η ad quadratum H D. sed ut BG C rectan-lta positum est rectangulum E Η F ad quadratum H D, ergo rectanguIum Ε Η Fad quadratum H D minorem proportionem habet , quam quadratum P H acl uadratum H D. maius igitur est quadratum P H rectangulo E H d. quare cicilinea F H maior erit linea H E.
108쪽
vales bene est ; ego quidem satis commode habeo . Apollonio filio meo dedi,
ut ad te perserret, secundum librum conicorum , quae a notas conscripta sunt. Tu eum diligenter percurres: & communicabis cum ijs, qui eo tibi digni videbuntur . Philonidae etiam Geometrae, quo cum tibi Ephesi amicitiam concili vi , si quando in istaec Pergami loca ve
THEO REMA I. PROPOSITIO I. SI hyperbolen recta linea ad verticem contingat , & ab ipso ex utraque parte diametri sumatur aequalis ei, quae p*test quartam figurae partem : lineae , quae a se ionis centro ad sumptos terminos contingentis ducuntur , cum sestione non convenient . SIT hyperbole, cuius diameter A B a centrum C , & rectum figurae Iatus BF; linea vero D E sectionem contingat in B : & quartae parti figurae, quae continetur lineis A B , B F, aequale sit quadratum utriusque ipsarum D B, Diuit
109쪽
QBE: i unctae C D, C E producantur. Dico eqstum sectione non convenire. Si enim fieri potest; conveniat C D cum sectione in G : &a G ordinatim applicetur G H. ergo GH aequi distans est ipsi DB. Et quoniam Αlem .ima. ut AB ad BF, ita est quadratum A B ad rectangulum decimi. ABF. quadratum autem CB quarta pars est quadrati A B : & quadratum BD itidem quarta pars rectanguli uidi . ABF. erit ut A B ad BP , ita quadratum CB ad A BD quadratum, hoc est quadratum CH ad quadras tum H G . sed ut AB ad BF , ita est rectangulum A H B ad quadratum H G . quare ut C H quadra- .. quinti tum ad quadratum H G , ita rectangulum A H B' ' ' ad Η G quadratum . ex quibus sequitur rectangu-c tum A FI B quadrato C II aequale hine : quod est absurdum . ergo C D cum sectione non convenit . similiter demonstrabitur neque ipsam C E convenire cum sectione . sunt igitur lineae D CD, CE asymptoti, hoc est cum sectione non convenientes.
EXPLICATVRVS fecundum librum eouisorum, am eissime e sothemi, illud pra-duere oportere existimo , me ea tantummodo in ipsum conscribere , qua ex primo libro . intelligi non possunt. Primum theorema casum non habet. linea enim PC, C E sectionis ais toti eumsint, eadem mane t in emui tum diametro, tum linea contingente.
FED. COMMANDINUS. A HOC est quadratum C H ad quadratum H G. suoniam enim ponitur, lineam
C D productam eam sectιone convenire in G o erit,ex quarta sexti, ut C B ad B D , ita G H ad HG.quare ex vigesima seeunda ei dem,ut quadratum C E ad B D quadratum, ita quadratum C H ad qaadratum HS . B Led ut A B ad B F, ita est rectangulum Α Η B ad quadratum H G. Ex v gesima prima primi libri huius . C Quod est absurdum . EP enim quadratum C H aquais rectangulo M HB undeum quadrato B C , ex sexta fecundi libri elementorkm . I Sunt igitur lineae CD, CE a mptoti, hoc est cum sectione non convenien
tes . Has Graci ά με- ις τε πιμη , vel simpliciter ἀσυμπτι-: appestant . quare nobis deinceys, ut uno verbo dicamus, cur a voce uti liceat.
IISDEM manentibus, demonstrandum est non esse alteram asymptoton, quae angulum D C E dividat.
SI enim fieri potest; sit C II: & per B ipsi C D aequid istans ducatur B H,
quae cum C II in H puncto conveniat; ipsi ver6 ΒΗ ponatur aequalis D Gas 3. primi. & iuncta GH ad K, L, M producatur . Quoniam igitur B H, DG aequales sunt S aequi distantes : & ipsae DB , GH aequales & aequid istantes sint,ne- - οῦ Π di c-sse i st . secatur autem A B bifariam in C: & ipsi adiungitur quaedam liqnca B L. ergo rectangulum A L B una cum C B quadrato aequale est quadrato
110쪽
drato CL. similiter quoniam G M ipsi DE aequid istat, atque est DB aequalis B E. & G L. ipsi LM aequalis erit. quod cum GH sit aequalis DB: erit GLipsa D B maior . estque Κ M maior B E , quoniam & ipsa LM . rectangulum igitur ΜΚ Gmaius est rectangulo DB E , hoc est quadrato D B. & quoniam ut A B ad B F, ita est quadratum C B ad B D quadratum. ut autem A B ad B F, ita Α L B rcistangulum ad quadratum L L. erit, ut quadratυ C B ad B D quadratum,ita Α L Brectangulum ad quadratum L K. sed ut quadratum C B ad quadratum B D , ita quadrazum a CL ad quadratum L G. ergo ut quadratum CL ad quadratum L G , ita ALB rectangulum ad quadratum L Κ . itaque cum sit, ut totum qua dratum CL ad totum quadratum LG, ita ablatum rectangulum A L Λ ad ablatum quadratum L Κ: erit reliquum quadratum CB ad reliquum rectangulum Μ Κ G, ut quadratum CL ad quadratum LG, hoc est ut quadratum CB ad BD quadratum. ergo rectangulo MΚG aequale est quadratum B D: quod fieri non potest . ostensum eli enim eo maius . non igitur linea C H asymptotos est , videlicet cum sectione non
HOC theo=ema casum non habet: si quidem linea B H festionem omnino in duobus punctis Deat. Quoniam enim aequidstans ea CD, cum ipsa C H conveniet. quare prius eum sectione conveniat, necesse est.
& G L ipsi L M aequatis erit. J Ex i r , qua nor aemonstravimus in commentariis in sextam propositionem primi libri huius . Erit G L ipsa D B maior . J Nam cum ponatuν C H Uymptotos panctam es Bextra Iectionem eadet , videlicet extra punctum K δ σ iccirco inea 9 Κ maior erit, quam G M, hae est quam PS .
Eitque Κ M maior B E , quoniam & ipsa LM . J Eis enim in triane l. CC L Ar, ut C L ad L M, ira C E ad A E : s permutando ut L C ad CP , ita L Mad B E . sed L. C maior e 1 C E . ergo ct L M maior E E. atque efZ X ac maior L M. matto igitur K M ipsa E si maior erit.
ET quoniam ut A B ad B F, ita est quadratum C B ad B D quadratum . Ex Ddemonstratis in prim a propositione Miaes libri.
Itaque cum sit, ut totum quadratum CL ad totum quadratum LG, ita Eablatum rectangulum ALB ad ablatum quadratum L Κ: erit reliquum, &c.)Quoniam enim rectangulum M L E una eam quadrato C B aquale es quadrato C L p si ε.seeundia quadrato C L auferatur νectangulum e L B ; reliquum erit C E quaaratam . rursus quoniam recta linea 9 meeatur in parres aquater in L , ct in partes inquaIes ἰn Κ: s.lecundirectauulum M x9 una eum qua ato L x aquale est quadrato L G. ergo si ὰ εὐ- deato 6 9 auferataer L Κ quadratum; relinquetur rectangulum MX G. cum igitur sit, ut quadratam C L ad quadratum L G , hoc est ut totum ad totam , ita rectangatam 19.quinti A L B ad quadraιam L Κ, ablatam sollicet ad ablatum a erit reliquam ad reliquam , abae est quadratum C B ad rectangulum MLG, ut totum ad totam .