장음표시 사용
121쪽
ASTMPTOTI, de quibus dictum est, propius accedunt ad sectionem, quam aliae,si quae sint, asem oti .
. SIT hyperbole, cuius asymptoti C A, A D. Dico C A, A D ad sectionem accedere propius, quam aliae asymptoti, si quae sint. Nanque ut in prima figura, lineas Ε F,FG asymptotos esse non posse, ni feste constat: quod linea E F aequid istans sit D.huius. CA, & F G ipsi A D. demonstratum siquidem est eas, quae in loco asymptotis & 'sectione terminato ducuntur, alteri asymptoto tequi distantes, cum sectione convenire. Si vero, ut in secunda figura apparet, E F, F G sint asymptoti, quippe qua ipsis CA, AD aequi distant: tamen CA, AD ad sectionem propius accedunt, quam L F, F G. Quod si, ut in tertia figura, C Α, Α D i n infinitum producantur I ad sectionem propitis accedunt, & ad intervallum perveniunt minus quolibet dato intervallo: sed E F, F G, quanquam in puncto P, &intra angulum propinquiores sint sectioni; tamen producte ab ipsa magis recedunt. intervallum enim, quo nunet distant, est quolibet alio intervallo minus. Rursus sint asymptoti E F, F G, ut in quarta figura: constat etiam hoc ma-do C Α propinquiorem esse sectioni, quam Ε F: sive EF aequidistans sit C Α; sive cum ipsa conveniat. & si quidem punctum , in quo convenit cum A C, sit insea eam, quae per F sectionem contingit: secabit E P sectionem ipsam: si vero sit in loco intermedio inter contingentem & angulum; non perveniet ad intervallum minus dato intervallo. quare C Α propinquior est sectioni, quam E F: & Α D propinquior, quam P G; Ur eadem, quae uiximus in tertia figura.
AT meia lineam, quae comvenit eum A C infra eam, quae per F ducta flectionem contingit, cum sectione ipsa conmenire , Ac demoniabitur .
. ctum, in quo E F cum C A convenit , sit supra F Κ . Dico P X. convenire cum sectione . Ducatur enim per tactum E ipsi C A asiymptoto 1, huῖM. aequid istans E Η . ergo E Η sectionem in puncto Etantum secat . Itaque quoniam A C ipsi E Η est aequid istans . & P Κ convenit cum A C. 3 cum ΕΗ conveniat, necesse est . quare & cum ipsa sectione. A
SI est alter angulus rectilineuς, qui hyperbolen contineat; non est minor angulo hyperbolen continente , de quo ante dictum est. SIT
122쪽
SIT hyperbole, cuius asymptoti C A, A D: aliae vero asymptoti sint E F, F GDico angulum ad F non minorem esse angulo ad A. Sint enim primum E F, F Gipsis CA, AD aequi distantes. ergo angulus ad F non est minor eo, qui ad A. Si vero non sint aequidis lantes, ut in secunda figura constat maiorem esse angulum. ad F angulo C ΑD. Sed in tertia figura angulus F Η Α, eo, qui ad A, maior est & qui ad P aequalis est angulo F Η Α . Denique in quarta figura angulus, qui adverticem, maior est angulo, qui itidem ad verticem constituitur . non igitur an. gulus ad F angulo, qui ad A, minor erit. F E D. COMMANDINVS.
QUONIAM ergo rectangulum C G D rectangulo F Η E est aequale .J Ex Geima Ahuius . utrunque enim est aquale quarta parti figura , qua ad diametrum consistit. Ergo L N cum sectione conveniet . Eu decima tertia huius . Ex hoe manifestum est lineas AB, AC ad sectionem accedere propius, quanta, omnes aliae asymptoti.) me demonst vii Earoeius in eommentari s d ais totor aurem vocat etἰam alias lineas , qua eam sectione non conveniunt. Et angulum B Α C minorem esse quolibet angulo, qui aliis eiusmodi lineis con- Dtinetur . I Non eo entit hoe eum iis , qua tradit Eutocius. ostendit enim angulum , qui aliis ei modi lineis continetur , non esse minorem anguis B A C. quare vel locus rore gendus est vel intellige punctum , in quo aIia afrmptoti conveniunx, idem esse , quod ais; vel in ip Imptotis , vel etiam intra ipsas contineri. ita enim flet , ut avxlas B AC quolibet alio eiusmodi angulo sit minor . III d aatem , quod hoc loco demonΠratur ace dere al3mptotis σfectioni, ut scilicet in in iram producta non coeant , sed ad seipsas propius accedant, Er ad intervallum perveniant quolibet dato intervatio minus , accidit etiam duabus perbolis , qua eirea easdem aismptator describuntur a quod Fanus δε- monstrare aggressus est in lemmatibus in quintum librum eonicorum Apolloni' : fed quoniam ea demonstratio ob temporum iniurias ct depravata est manea ; non inauile erit verba ipsius Latine reddita in mediam afferre rael, qua perobscura funt, explicemus ; qua vero ad demonstrarionem desiderari videntur ,suppleamas . est enim res admirabilis , σdiligenti contemplatione dignissima.
scribantur. Dico eas Duer se non conmentre. SI enim fieri potest; conveniant ad punctum D: & per Din sectiones ducatur recta linea A D E F C. Erit propter D Esectionem linea A D aequalis FC: & propter sectionem DE erit A D aequalis E C. quare F C ipsi C E est aequalis; quod fieri non potes . non igi tur sectiones inter se conveniunt. Μ χ DICO
123쪽
DICO praeterea eas ,si in infinitum augeantur, ad sese propius accedere , N ad minus inter nasium per venire.
ABC, DUCATUR enim alia linea ΗΚ: & sit diameter, cuius terminus M. Erit igitur,ut rectangulum M L N ad quadratum L G, ita transversum figurae latus ad la- D tus rectum. ut autem M o P rectangulum ad quadratum o R, ita transversum la-E tus ad rectum. ergo ut rectangulum M L N ad quadratum L G, ita rectangulum F MOP ad quadratum OR: & permutando. rectangulum vero Μ L N maius est G rectangulo M o P. quare linea G F maior erit, quam R S. atque est propter secti H nes F D G aequale rectangulo KRH. minor igitur est G D, quam Η R. quare Κ semper ad minus intervallum perveniunt.Sed & illud facile constare potest . si eoim utraque ipsarum ad asymptotos propius accedit: & ad sese propius accedant necesse est .
Imptator A R , B C descripta , ut docetur in quarta propositione huias libri o ct intelliis gantar recta linea a s 9 'D L E F C, H RO S K ad earum diametrum B L ordinatim applicata ; qua inter se aquidi Rabunt. utraque enim aquidi fiat linea in P vel N sectionem eontingenti , ex quinta huius. B Et sit diameter, cuius tetminus M. J Non potest idem terminus esse diametri utria que sectionis. Prodacatur enim L P NB diameter in puncta A , ita At sit M E aqaalis ipsi B N, er B Eaquriis P P e eriι pMnctum M terminus diametri Iectionis V N F, ct i terminus diametri fetitionis DP E. 3-d B sit atriusque centrum . quare miram videtur , Panum uno eodem ae puncto M uti pro temmino utriusque diametri e ni ortassie intelligamus duo puncta , qui termini sunt, eadem ιiter a notari . quod novum est, s inasPatam.
C Erit igitur, ut rectangulum M L Nad quadratum L G, ita transversum figurae latus ad latus roetum. J Ex vigesima prima primi libri huius. D Ut autem M O P rectangulum ad quadratumo R, ita transversum latus ad rectum. me est aerectangulum si O P ad quadrarum O R, ita Dara, qaasit ad P s diametrum sectionis D P E,transversum latas ad rectum. Hia enim sant huius Aura latera, at inque ea , de quibus proxime dictum est e quanquam eamdem inter se proportionem habeant. nam ut figura, qua sit ad N M diametram sectionis N F, transversum ilatus ad rectam, ita est Hura,ad diametrum P Q sectionis DP Ε, transversum latus ad rectum ; quod facile demonstrabitur hoc modo. D eatvir linea NT fectionem G N F can- ' , ζ' tingens in Ne ct ducatur P U, quasectionem 'D P E eontingat in 'P . aquidistabant NT, i. ' P Uinter sese. utraque enim aquidistat linea e C, vel H xo ct sient triangula B NT, E P V similia. ergo Mi B Nad NT, ita 'E P ad P Udi s in qMadratum E N ad N T quadrat um , it a quadratum P P ad q adratum P V. sed ut quadratum E Nad quadrinam NT , ita figura , quasi ad diam tram V M, transve Am latas ad rectam , ex sis , qua tradita funt in prima huius e ct eadem ratione ut qMadrartim B P ad quadratum P ira Aura , quasti ad diametrum P s , tranfoersum latas ad rectum. ergo us Hura, ad diametrum N ac transversem latus ad rectam, ita situra,ad P transversum Iarus ad rectum. ex quibus eonstar hyperbolas cy N F , S P E inter se similes esse , ixemque alιaι , succunque circa easdem Agymptotor hoc pacto describuntur .
124쪽
Ergo ut rectangulum ML N ad quadratum LG, ita rectangulum M o P ad Equadratum O R . Sequitar enim ex iam dictis , ut rectangulum M L Naa quadraram LG , ira esse rectangulum QO P ad quadratum O R. quare re permarando ae M L Nνectangulum ad rectangulum Eo P, ita quadratum L 9 ad O R quadratum Rectangulum vero MLN maius est rectangulo ΜΟΡ . I me est νe A- Fgulum MLN maias rectangulo QOP. nam rectangatum M L N maius est rectanetilo UL P. ergo rectangulo κω P multo maius eris; quod punctum Osupra L sumasur . I I 2 aarem ita demonstrabimus. Rectangulam enim M L Naquale est rectangulo M N L, saecundioe qisadrato N L ; quorum quadratum NL est aquati duobus quadraris N P , P L , σ 4. ei, qMod bis N P L continetur e similito rectangulum a LP est aquati rectangati si PL,σPL quadrato, quorum rectangulum VP L rursus est aquale tribus rectangvii. , i. lecundirectangulo scilicet contento lineis MN, P L s ct contento ZM , P L s G rectangώlo NP L: qua duo postrema rectangula sunt aquatia ei, quod bis N P L continet r.est enim si N P aqualis . itaque oblatis artrinque eommunibas , nempe quadrato P L ,σμectangato, quod ιιι eontinetur IUP L; relinquitur ex altera quidem parte rectangulam M N L ana cum quadrato NP ; ex altera vero rectangulam eontentum M N EV 'P L .
sed rectangvitum M N L est aquale duobus rectangulis, videlicet rectangulo M N P, ct i .seeundi ei, quod Ag N ET P L continetur. rectanguium igitur Ar L N maius est , qaam L Pqώadrato NP , ct M N P rectangulo . ut aatem rectangviam Ar L Nad quadrat,m L 9 , , a rectangulum UL P ad quadratum L D : σpermatanda . ex quabus sequit qώadratum 9 L matur Use quadrato L D. ergo linea G L maior erit , quam L D i ctiora 9 F maior, quam D E ; σ multo maior, iam R S. Hac eo spectare videntur , ae σεndae fectionem D P E intra ipsam 9 IU F contineri quod tamen absque bis ex alijs, qua in principio dictasunt , sariι constat.si enimpunctum 'per quod fectio D P E eranis sie , infra Mumitur; G sectioneν inter sese convenire non possvnx supervacaneam quodammodo fait in his tantopere immorari. Sed vereor , ne Iocas corruptus sit, ux Panus aliad quoddam potiux , quam hoc ostendere voluerit. non enim ex dictis apparet lineamR Κ minorem esse, quam 'D F:quod ad propositum concludendumpramonstrare oportebat.
Atque est propter sectiones rectangulum P DG aequale rectangulo KRH.
Hae nos ita restit mus . nam bracu/ codex habet: Rectangulum F DG aquale rectan fati S Mi s mendose, ut videtur . rectangulum enim F D G est aequale rectaviati K RH, at demonstrabimus e re ideo maius reuangulo S R H. Prodacatur H N ex atra qae parte , adeo ut secet asymptoton A B in T ,σ asymptoton E c in Z . Quoniam igit sexti. Q T Bad BA, ita TZ ad AC. atve eis T E minor , quam B M . erit GT TZ, qkam quinxi. - minor. sed ex js, qua proxime demonstrat sent, a s D minor est, quum T Rroe F Cminor, qkὰm Κ Z. QIm oti enim σfectio producta ad seipsat propiu Mee M. qkaγe si eae linea T Z demantur TR, x Z; T ex a C demantur Ara , F C o relinquita= R xm Do minor, quam D F. Itaque propter sectionem 'D P E rectangulum T R Z aqMale est mectangati EAS C. utraque enim sunt qualia quadrato P V, ex decima huius o Er ρνο-pterfectionem ς NF rectangulum T M Z est aquale rectangato e G C; quod atra aesint a34Mia qMadrato NT.rectangulum vero T M Z una eum rectangulo H est a vi te rectangati Γ R Z , I rectangulum AG C una eam rectangulo G D F quale reuaniatulo ais DC; quod idem 'Panaes demonHravit in lemmatibas huius libri, lemmate teriatio. quape si a rectangulo Υ RZ auferatur rectavatam Γ HZ ; relinquitur rectangatam H RAr orsi a rectantulo in D C auferatur rectangulum e 9 relinqaitis G D Frectangulum : ae propterea rectangulam G R Κ rectangulo GD F est aquaIe. ut itit-R X ad D F , ita est G D ad G R. sed ΑΚ minor o tensa est , quam D F . ergo G D quam H R minor erit . Quare semper ad minus intervallum perveniunt. I Non solἡm ad minas inter- Hvastum perveniunt , sed ad intervastum quolibet dato intervasto minus. Producantur enim sectiones Ana exm asymptotir, quousque intervastum , quod interiscitur inter asymptotos ct sectionem D P E , Ain dato intervallo minui , quod quidem fleri pose, ex decima quarta halas
125쪽
haius apparet; erit tunc intervallum inter fectiones interiectum muD. minvi in ervallo dato : cst quanquam ha sectiones in infinitum producantur, nunquam tamen inter se eomveniant , at 4 Pano superius est demonRratum: O ex proxime traditis Miter demonstrare possismus in hunc modum. Si enim feri potest; eonveniant in Φ,X: σ d catur linea Φ X diametrum ferans in P , qua primum equid et lineis e C , T Z , ut sit ad diametrum P Ψ ordinatim applicara . Eodem modo, quo, supra demonstrabimur rectangulum MΨ Nmaius esse rectangati MI F e ct in rectangulum M'ν Nad quaciratum Φ Ψ,ita rectangulum si P ad idem quadratumr ct permutando rectangulum Me N ad rectangulum P, αν quadratum Φ et ad semetipsum . ergo rectangulum M e N aquale est rectangato P. Ied Er maius a quod est ab ardum .
lam ΩΦΣ propterfectionem 9- aquale quadrata Nos propter sectionem DPE aquale quadrato P H qaare quadratῶ - quadrato FZquale erit.Barae quonisi ut quadratum NT ad quadratam 'Prata quadrartim δε Pad quadratum B P e erit o quadratum N B aquale quadrato E P , Er ideo tinea Nd linea B P aqualis ;quod itidem es absurdum non igitur hasectiones inter se conveniunt. Quod si linea ΦΓ non aquidistet lineis A C , T Z ; dividatur Hyariam in puncto 'ri σ iuncta η B pro catur ad M heeet autem hyperbolas is FE , 9 NF in punctis P,N, Er ab ipsis dAcantur 'P V, NT fectiones eontingentes, qua I neis AC, T Z aquidstavunt, ex quinta huius : si atque E M aqualia B N, ct E si qualis T P. erit N MDet ouis G N F ,σ P Vfectionis 'D 'P E diameter transversa. quare similiter , ut supra, demonstrabimus nuo modo seri pose , ut ha sectiones inter se con
K Sed & illud facile constare potest . si enim utraque i piarum ad asymptotos pro
pius accedit; & ad sese propius accedant necesse est. I mde,q-modo hac ratio necessitatem habeat . posset enim quis dicere utranque sectionem accedere quidem propin ad ais totos e sed tamen pari intervallo ita ut semper inter sese aqaidistent.
OPPOSITARUM semonum asymptoti communes sunt.
SINT Oppositae sectiones, quarum diameter A B, & centrum C. Dico sectionum
A, B asymptotos communes esse. Ducantur entin per puncta
A A, B lineae DAE, F BG, quae sectiones contingant. aequid inantes igitur sunt D A Ε, P B G. abscindantur lineae DA, A Ε, F B , B G ; ita ut cuiusque earum quadratum aequale sit quartae parti figurae, quae ad diametrum A B constituitur . er-U go D A , A E , F B, B G inter se sunt aequales. t ungantur CD, A C E , C F, C G. perspicuum igitur est D C, C G in eadem recta linea contineri; itemque E C , C F: propterea quod aequi-dulantes lunt D A E, F B G . Itaque quoniam hyperbole est , cuius diameter AB; contingens autem D E; & unaquaeque linearum D A , A E potest quartam partem figurae, quae ad AB constituitur : erunt DC , CE asymptoti . &υ eadem ratione ipsius B sectionis asymptoti erunt F C , C G . oppositarum igitur sectionum asymptoti communes sunt. FED.
126쪽
FED. COMMANDINUS. EQUIDISTANTES igitur sunt DAE, F BG. nraque enim equid at Ii- Α
ρου , qMa ad diametrum e B ordinatιm applicantur.
A. Ergo DA, AE,FB, BG inter se sunt aequales.) Ex deeima quarta piami hutar. Bnam tranoecum latas e sa est utrique communtis recta Agara latera inter se aqualia. Perspicuum igitur est DC, C G in eadem recta linea contineri: itemque EC, CC F ; propterea quod aequidistantes sunt DAE, F BG. I VAoniam enim D . E, FE 9 inter se aqaidistant , erit angulas De C aetato G B C e AHis . linea vero a C 29. Primi. eLE aqvialis C R , ct D A ipsi 9 B quare γ basis 'TI C basi C G, π reliqui anguli reliquis
aquales erant. angulas igιtur e C D eis aquatit angulo B C 9 .sed duo angati P C a s 13. DC E fant aqualer Δοιαι rectis, itemque G C E , G C a g. qaare νetiquus ex duobus rectis aetatas DC E est aqualis reliquo eis C G . dao igitur anguli DC AE, O C cydaobas rectis aquales erunt: cr iccirco D GC G in eadem recta linea continentur. Eodem primi. quoque modo EC , C F in eadem recta linea contineri demonstrabimus.
THEO REM A XV. PROPOSITIO XVI. SI in oppositis sectionibus quaedam recta linea ducatur, secans utranque linearum continentium angulum , qui deinceps est a gulo sectiones continenti: cum utraque Oppositarum in uno tan tum puncto conveniet ,& lineae, quae ex ipsa abscis, inter asymptotos & sectiones interljciuntur , aequales erunt.
SINT Oppositae sectiones A,B, quarum quidem centrum C , asymptoti veru DC G, ECF : & ducatur quaedam recta linea H Κ, quae utranque D C , C F secet. Dico Η Κ productam cum utraque sectione in uno tantum . puncto convenire . Quoniam enim sectionis Αasymptoti sunt DC , C E a & ducta est quaedam tecta linea H Κ , secans utranque continentium angulum , qui deinceps est angulo sectionem continenti , videlicet D C F : producta H Κ cum sectione Α conveniet , & similiter cum sectione B . conveniat in punctis L, M :& per C ipsi L M aequidistans ducatur A C B . aequale igitur est rectangulum Κ L H quadrato A C . & rectangulum H M K quadrato C B . quare & Κ L H rectangulum aequale est rectangulo H M K : & iccirco linea Is L lineae
x M est aequalis. FED. COMMANDINUS. PRODUCTA H Κ cum sectione A conveniet, & similiter eum sectione B . A
AEquale igitur est rectangulum Κ L H quadrato A C . & rectangulum H M K B
quadrato C B. Ex eadem. Quare & Κ L H rectangulum est aequale rectangulo H M K. I Goniam enim ti- Cnea e C linea C B est aquatis a quod C sit Iectionis centrum e erit ct quadratum A C quadrato C E aquale. Et
127쪽
D Et ieeireo linea H L lineae L M est aequalis. J LPud nos hoc lemmate demonstrabίmus.
SIT recta linea A X, in qua fumantur duo puncta C,D: Atque rectav-gulum D AC aequale rectangulo C S D. Dico lineam AC i i SD aequalem esse.
SI enim fieri potest a sit ε C maior , qaam B P : s addita utrique communi C D , erit A D maior , quam C B : ct propterea rectangatam , D e C maius rectangaelo C E D. sed ct aqaiae , quod si est ais surdam. linea igitur in C ipsi B D est aqαHis . ALITER. Possumas etiam recta demonstrasione uti hoc modo . 1 sexti. Uuoniam enim rectangulum D AC rectangulo C E D est aquale eνD at AD ad quinti. TIB , ita A C ad C -d oe componendo At A B ad E D , ita E A ad A C . ergo tineae C ipsi B D qualis erit.
THEO REM A XUI PROPOSITIO XVII. OPPOSITARUM sectionum , quae coniugatae appellantur, asymptoti communes sunt.
SINT Oppositae sectiones, quae coniugatae appellantur; quarum diametri coniugatae A B , C D; & centrum E . Dico earum asymptotos communes esse. Ducantur enim lineae,sectiones in punctis A, B, C, D contingentes , quae sint FAG, GDΗ, ΗΒΚ, A Κ C F. ergo parallelogrammum est F G Η Κ . Itaque si iun-B gantur FEΗ , Κ EG ; erunt F E Η , Κ E G rectae li-C neae , & diametri ipsius parallelogrammi , quae a puncto D E bifariam secabuntur. & quoniam figura, quae ad dia- E metrum A B constituitur , aequalis est quadrato C D . &F est C E aequalis E D . unoquodque quadratorum P A , AG , ΚΒ , ΒΗ erit quarta pars figurae , quae consti-G tuitur ad A B . ergo F E H , Κ EG sectionum A, B asymptoti sunt . similiter demonstrabimus sectionum
sectioreum , quas coniugatas dicimus , asymptoti communes sunt.
FED. COMMANDINUS. A ERGO parallelogrammum est F G H Κ. AEquidistam enim FG, Κ H lineis, q
ad se R diametrum ordinatim applicantar . quare s inter sese. σ eadem ratione x F, H G inter se aquidistant. Erunt F E H, Κ EG rectae lineae, & diametri ipsius parallelogramini. me demdinstravimus in quintam decimam huius , videlicet F E H in eadem recta linea eoa-tineri , Cr similiter ΚΕ G. C Quae a puncto E bifariam secabuntur . J me etiam eodem in Ioeo demonstravimus. D Et quoniam figura , quae ad diametrum ΑΒ constituitur, aequalis est quadrato C D Quoniam enim linea C Doctionum ein, B secunda diameter est, conivata ipsi AP , inediam promytionem habet inter figurarum latera , ex dignitione fecunda dia-ir. sexti. metri . quare ut AB ad c D, ita C B ad rectum Dura linxs e G iecisca recitanoM- tam , quod fit ex se R er iatere recto, quadraro Cis est quale .E Et est C E aequalis E D. Aliter enim non esset Deunda diameter. a i Unu-
128쪽
CONICOR RM LIBER II. Iar Unuquodque quadratorum FA , Α G, ΚΒ, ΒΗ erit quarta pars eius Figurae . J Nam eum C D quid et FG, K H; σ e B ipsis F Κ, G Hr erunt linea 34. primi P A, ΚΛ araates C E; ct e G , B re ipsi ED. quare ani cuiusque quadratum quar R i xt rapars est quadrati C P , hoc ei figura eius, qua ad A B constitas in . 'Ergo F E Η , X. E G sectionum Α,B asymptoti sunt. Ex prima huius. GTHEOREM A XVII. PROPOSITIO XUIII. SI uni oppositarum sectionum, quae coniugatae dicuntur, O currat recta linea ; & producta ad utrasque partes extra sectionem cadat : cum utraque sectionum , quae deinceps sunt, in uno in tum puncto conveniet.
SINT Oppositae sectiones , quae coniugatae dicuntur, AB,CD: & ipsi C occurrat recta linea E F, quae producta ad utrasque partes extra sectionem cadat . Dico P cum utraque sectione Α, B convenire in uno tantum puncto . Sint enim G H , Κ L sectionum asym.ptoti . Ergo E F secabit utranque G H , Κ L : & pr Pterea cum sectionibus Α , B in uno tantum puncto
SI in oppositis sectionibus , quae coniugatae appellantur, ducatur recta linea , quamvis. ipsiarum contingens : cum sectionibus , quae deinceps sunt , conveniet , & ad tactum bifariam secabitur 'SINT Oppositae sectiones, quae coniugatae dicuntur AB,C D: & sectionem C contingat recta linea E F. Dico E Fproductam convenire cum sectionibus A,B: & ad punctum C bifariam secari. nam ipsam quidem convenire cum ipsis Α,B manifeste patet. Itaque conveniat in Eunctis G,H. Dico C G ipsi C H esse aequalem Ducantur enim sectionum
asymptoti L L, M N. AEquales igitur sunt E G, F Η itemque C E, C F. ergo & tota CG toti C Η qequaliserit. ΤHEO REM A XIX. ΡROPOSITIO XX.
. iurit . huiu ex anteeedente . 6. huius. r. huius.
SI unam oppostarum sectionum , quae coniugatae appellantur, recta linea contingat'per ipsarum centrum ducantur duae lineae, una quidem per tactum, altera vero contingenti aequid stans, quousque occurrat uni earum sectionum , quae deinceps sunt: recta linea , quae in occursu sectionem contingit, aequi di-N stans Diqiligo: by Corale
129쪽
A POLLONII PERGAE Istans erit lineae per tactum & centrum dusta , quae vero pertactus & centrum ducentur , oppostarum sestionum coniugatae
diametri erunt. SINT Oppositae sectiones, quae coniugatae appellantur; quarum diametri coniugesae sint A B, C D; centrum X : & sectionem A contingat recta lit ca E F, quae
Α producta conveniat eum C X in T; 6c iuncta E X ad Y producatur: deinde per X ducatur ipsi E F aequid istans X G; & per G contingens sectionein HG. Dico H Gipsi X E aequid istate : & G Ο, E Y coniugatas diametros elle . Applicentur enim . ordinatim ΕΚ, GL, CR P: lineae vero, iuxta quas pollunt applicatae, sint A Μ, B C C N . Quoniam igitur ut B A ad A M, ita est N C ad C D: & ut B A ad Α M , ita rectangulum X X. P ad quadratum L E ; ut vero N C ad C D, ita quadratum G L 3. sexti. ad rectangulum X L H. sed rectangulum X K Pad K E quadratum eroportionem compositam habet ex proportione XL ad ΚΕ, & ex proportione F Κ ad L E : &quadraeum G L ad rectangulum X L H proportionem habet compositam ex proportione G L ad L X & proportione G L ad L H . proportio igitur composita ex proportione X K ad L E, & proportione F Κ ad Κ E eadem est, quae componitur ex D proportione G L ad L X , & proportione G L ad L H. quarum quidem proportio P L ad L E eadem est, quae G L ad L X ; lineae enim E L , Κ F, F E aequi distant ipsis X L , L G, G X. reliqua igitur proportio X K ad K E eadem erit, quae G Lari L H . quod cum circa aequales angulos, qui ad ε. sexti. Κ, L, latera proportionalia sint; triangulum E K X simile erit triangulo G H L; & aequales habebit an- gulosJub quibus eiusdein rationis latera subtendun- tur . ergo aequalis est angulus E X K angulo L G H. ak. primi est autem & totus L X G aequalis toti L G X, quare 'E reliquus E X G reliquo H G X est aequalis: ac pro pterea linea E X ipsi G H aequi distat. itaque stat, ut F P G ad G R , ita H G ad lineam, in qua S. erit linea S dimidia eius, iuxta quam einunt, ouae ad diametrum OG applicantur in sectionibus QD. sed A, B sectionum secunda diameter est C D, cum qua con-G venit ipsa ET . rectangulum igitur ex T X & Κ Eaequale est quadrato C X. si enim a puncto E ipsi L Xae quid istantem duxerimus; rectangulum, quod fit ex T X & linea, quae inter X & aequid istantem in-Η terijcitur, quadrato CX aequale erit . quare ut TXx ad Κ Ε, ita T X quadratum ad quadratum X C. ut P.
L autem T X ad Κ E , ita T F ad F E , hoc est triangu- fg M lum Τ X F ad triangulum E X F: & ut quadratum g T X ad quadratum XC, ita triangulum T X Fad V
N triangulum XC P, hoc est ad triangulum GH X. ut igitur triangulum T X F ad triangulum E X Η , ita Τ X g triangulum ad tri y. qun: i. angulum GHX : & ideo triangulum GH X aequale est triangulo XS F. O habet autem & angula HGX angulo X E F aequalem,quoniam E X quidem aequi- ς xi, distat G Hac L E ipsi G Xaergo latera,quae sunt circa aequales angulos,excotraria parte sibi ipsis respondent; estque ut G H ad E X, ita E Fad G X. rectanguissim . igitur H GX aequale estγectangulo K E F. itaque quoniam ut linea S ad H G,ltap R Gad G P . di ut R G ad G P, ita X E ad EB, aequid istant enim . quare ut SadH G, ita X E ad E P. ut autem S ad H G, sumpta X G comimini altitudine ita leni in M. est rectangulum ex S & X G ad rectangulum H G X:& ut X E ad E P,ita quadra.
130쪽
4 Iulum X E ad rectangulum X E F . ut igitur rectangulum ex S& X G ad rectanguis tum H GX, ita X s. quadratum ad rectangulum X EF: & permutando ut rectangulum ex S&GX ad quadratum X L, ita rectangulum HGX ad rectangulum X E F. sed aequale est rectangulum I GX rectangulo X E F. ergo rectangulum ex S & G X aequale est quadrato X E. & rectangulum ex S & G X quarta pars est figur , quae ad G o constituitur. nam & G X est dimidia ipsius G Ο, & S dimidia eius, Iuxta quam possunt: quadratum vero E X quarta pars est quadrati E Y; quod E X aequalis sit X Y. ergo quadratum E Y aequale est figurae ad G o constitutae . similiter demonstrabimus & quadratum G O ngurae, quae fit ad E Y, esse aequale. ex quibus sequitur, ut E Y, G o oppositarum sectionum AB, CD diametri coniugatae sint.
FED. COMMANDINUS. DEINDE per X ducatur ipsi E P aequidistans X G. Intelligendam si X produ- Actam sectioni occurrere ἰn Opunti O . Apollonius punctum , in quo recta linea sectioni , vel aueri linea occurrit , mae-- Vocate nobis oecursum Latine liceat appellare .
Quoniam igitur, ut B A ad Α Μ, ita est N C ad C D. I me ita demonstrabimur. BSint opposita Deliones, qua coniugata appellantur,quaram dia merri coniugata se B , CD centrum E ; σ asymptoti F Η,
autemfectionis e rectam latus - M, s sectionis C rectum a s C N. Dieo ut E A ad A M, ita esse Nc ad C D. Quoniam enim ut 'E 4 ad seM, ita est quadratum E A ad quadratum A F ; quod in prima proposixione Osrensumsme: ct emdem ratione , ut NC ad C m , ita quadratum F C ad quadra-xum C E .sed ut quadratum E e ad quadratum A F , ita est F C quadratum ad quadratum C E , quod E e , F C aquales sint ἱ itemque aquales in F , C E. ergo ut B A ad A M, staNC ad CD.
Et ut B A ad Α Μ, ita rectangulum X K F ad quadratum Κ E. I Ex trigesima septima primi huius. Quarum quidem proportio FK ad KE eadem est, quae G L ad L X. lineae enim E Κ, Κ F, F E ipsis X L,L G, G X aequidistant. Cam enim G x quid et EF , σ LG ipsi R F ; erit angulus E F x aqualis angulo 9 X K, hoc est angati X G L. angatas aatem E Κ F aquatis est i X LG; quo. σ E x a14ἰdistet LX. , . reliquas igitur angulus reliquo est qualis. σ triangulum F x E triangulo G L X simile. quare at F Κ ad k E , ita b L ad L X. Ac propterea linea E X ipsi G Η est aequid istans. I Ex vigesima octava primi a sed Ehoc etiam exsecundo lemmate Pani constare potest .
Erit linea S dimidia eius, iuxta quam possunt, quae ad diametrum o G appli- Fcantur. J Ex quinquagesima prima primi Mius . Rectangulum igitur ex Τ X & Κ E aequale est quadrato CX. si enim a puncto E Gipsi KX aequidistantem duxerimus; rectangulum, quod fit ex T X & ea, quae, &c.
Ex trigesima ossava primi huius . Quare ut T X ad K E, ita T X quadratum ad quadratum X C. Quoniam enim Hrectangulum ex T x π Κ Ε aquate ect quadrato X C ; erant tres linea T X , X C , Κ Eproportionales . ergo QT X ad KE , ita quadratnm T X ad X C quadratum , ex coro tario vigesima sexti.
Vt autem T X ad K E, ita T F ad F Ε . Ex quarta sexti, propter similitudinem Κ