장음표시 사용
81쪽
ita ινἰangulum E D E ad triantulum E C Fi ct rursus convertendo ut triangatum Eo Fati σώadrilateνum E L B F , ita triangulum EC F ad E D F triangu m. Et quoniam ut quadratum F C ad C B quadratum, ita triangulum E C F ad tri an ulum L CB. J Sunt enim triangula EC F , LR C similia , car diaptam inteγ fetapispoptionem habent eiuι, qua est lateris ad latus similis rationis, quemadmiano cr
In hyperbola quidem dividendo .ὶ Nam cum sit, ut quadratum F C ad C P qua Galam , ita triangatum EC F ad triangulum L CBς erix diνidendo ut excessus , qtio Madraram F C excedit C E qaadratam , hoc est rectangulum A F P, ex sext. βο-isdielementorum , ad quadratum C E , ita quadrilaterum E L B F ad triangviluis L CB. Et similiter ut quadratum C B ad rectangulum Α Κ Β , ita triangulum L CB ad quadrilaterum M L B L. I Quoniam enim ut quadratum XC ad C B qtiadra iam, Da e=ian ultim MC Κ ad triangulum L CB a similiter demonstrabitur, ut res aethiam AKB ad BC quadrarum, ita quadrilaterum MLBΚ ad triangulam LCE. qua, e
ΤΗ EO REM A XLIV. PROPOSITIO XLIV.
SI unam oppostarum sectionum recta linea contingens cum diametro conveniat , a tactu Vero ad diametrum linea ordinatim applicetur , atque huic aequidistans ducatur per verticem alterius sectionis, ut conveniat cum linea per tactum & centrum ducha; sumpto autem in sectione quOVis puncto, applicentur ad diam reum duae lineae, quarum altera contingenti aequidisset, altera aequi distet ei, quae a tactu ordinatim applicata est : triangulum ab i
psis factum minus est, quam triangulum, quod abscindit applicata ad centrum sectionis, triangulo simili abscisso ab ea , quae ex
Sint oppositae sectiones A P, BE, quarum diameter AB, centrum C; &ab aliquo puncto eorum, quae iunt in sectione F A, videlicet a puncto F ducatur linea F G sectionem contingens; Ordinatimque appli- L cetur Fo; & iuncta F C producatur, ut ad E: per B vero d ucatur B L ipsi F o aequidistans , & sumatur aliquod punctum in sectione B E, quod sit N; a quo N Hordinatim applicetur; atque ipsi FG aequidillans ducatur N K. Dico triangulum N Η Κ minus .esse, quam triangulum C M Η, triangulo C B L. Ducatur enim per Elinea E D contingens E B sectionem: & E X ordinatim applicetur. Itaque quoniam oppositae sectiones sunt F A, B E, quarum diameter A B; & linea F C E per centrum ducitur; &FG, BD sectiones contingunt: erit DE ipsi P G a quidistans. est autem N X aequidistans F G. ergo & N Κ ipsi E D, & Μ Η ipsi B L aequidistat. quoniam igitur hyperbole est B E, cuius diameter A B , centrum C ;& linea E D sectionem contingit; ordinatimque applicata est E X : & ipsi E X aequi distat B L, sumpto autem in sectione pun-- MN , ab eo ordinatim applicatur N H , & ipsi DK aequidistans ducitur ΝΚε
82쪽
erit triangulum N ΗΚ minus, quam triangulum H MC, ipso CBL triangu.lo . hoc enim in quadragesimo tereri theoremate ostensum est.
Itaque quoniam oppositae sectiones sunt F A, BE, quarum diameter ΑΒ i &linea pC E per centrum ducitur; & FG, DE siniones contingunt: erit DE ipsi FG aequidistans.J Quoniam igitur b perbole est A F 3 lineaque F G sectionem eam
tingit a st applicata est P O : erit recta viam O CG varie quadrato C A , ex trige Lmo septima theoremate et orsimiliter rectangulum X CP quadrato C B qaale. e te tur at rectangulum o CG ad quadratum ais C , ita rectamulum X CD ad quadrarum BC, ct permutando ut rectavaelum OC9 ad rectangulum XCP, ita quadrarum aisCad ἰuam C Be ct ieeirco rectangulum o CG quiue est rectanguis ac D estque linea Oc aquatis ipsic X ergo σ 9 Cipsi C D . sed F c ipsic Eest aqualis ex trigesimotheoremate . tinea igitur F C , C G aqaiaes fant ipsis EC, CP . angulosae agam Ut dς φη es eontinent ad C soni enim fecundum verticem. quare σ FG ipsi E B est a vitia i i Τ' ct angvitas C9 F angulo C D E i qui quidem anguli alterni sunt. erra F G ipsi E Daquidi tabit . Cassius Baias theorematis odee μαε, quemadmodam iri 6uperbola , vi 2 ydiximus in quadrage o tertio Oheoremate, atque eadem eis demonstratio. z
Ex his, qaa superius dicta sunt, licet etiam iuia demonDrare .
Si unam Oppositarum sectis m necta linea tantingat; es' a tam ducatur diameter que ad alteram sectionem: qua ab eo um ducitur, linea sectionem contingenti quid Ham , sectionem ipsam continget.
Sine opposita sectiones A F , T E, quarum diameter A B, ee rrum C , ni in proposita Aguras ct linea F 9 in F sectionem eon tingat : dacatur autem diameter F C E in ectioni E E in ptincto E oecurrens ; σ ab eo daeatur E D qaid, stans F G. Diea lineam E Dfectionem in E contingere. Nam si non contingit E P ; ducasar ab eodem puncto alia linea sectionem eontinxerer , qua sit EF. AEqui i so. primia distabit E P linea F G , ex iam demonstraris . ergo σ ipsi EB rq uodsieri non potes ; eonveniant enim inter se in pancto E . linea igitvr Eo in E sectionem eontingar necesse est.
THEOREM A XLV. PROPOSITIO XLV. SI hyperbolen , vel ellipsim , vel circuli circunserentiam recta linea contingens cum secunda diametro conveniat ἱ & a tactu ad eandem diametrum linea applicetur, diametro alteri aequissistans; & per tactum & centrum ducta linea producatur , sumpto autem in sectione quovis puncto , ad secundam diametrum ducantur duae lineae, quarum una contingenti, altera applicatae
aequidistet: triangulum , quod ab ipsis constituitur, in hyperbola quidem maius est, quam triangulum abscissum ab applicata ad
83쪽
APOLLONII PERGAE Icentrum , triangulo , cuius basis est linea contingens, & vertex centrum sectionis , in ellipsi vero & circuli circunferentia una cum triangulo abscisso aequale est triangulo , cuius basis linea contingens , & vertex sectionis centrum.
SIT hvperbole, vel ellipsis, vel circuli circunserentia ABC, cuius diameter A H, secunda diameter H D, & centrum H, linea vero C ML tacionem concingat in C; ducaturque CD ipsi A H aequid istans;& iuncta CH pro lucatur: sumpto deinde in sectione quovis pueto B , ducantur linea B E, B F, quae ipsis LC, CD aequiuis lent. Dico triangulum BEF in hyperbola quidem maius esse, quam triangulum G H F,triangulo GH; in ellipsi vero & circuli
triangulo F G H aequale esse triangulo CL H. Ducantur enim CL, BN aequi distantes ipsi D H. Et quoniam linea C Msectionem contingit; atque applicata est CK: habebit CK ad KH proportionem con; positam ex proportione, quam
ex ea, qua rectum figurae latus habet ad tra DVersum . ut autem MK
portionem compositam habet ex proportione CD ad D L,& ex propor tione recti lateris ad tra DVersum . atque est triangulum C D L figura, quae fit ex K H: S triangulum C H Κ , hoc est C D H , figura, qu
fit ex C Κ, hoc est ex D . H. quare triangulum CD L in hyperbola quidem maius est, quam triangulum C Κ H , triangulo facto ex A H simili ipsi C D L: in ellipsi vero & circuli circun- serentia una cum ipso C Κ H eidem triangulo est aequale. hoc enim in parallelo
84쪽
grammis triangulorum duplis in quadragesimo primo theoremate est demonstratum. Itaque quoniam triangulum CD La triangulo C Κ Η,vel C D Η differt triangulo , quod fit ex Α Η, ipsi CD L simili. differt autem & triangulo C H L. erit CHL triangulum aequale ei, quod fit ex AH, simile ipsi CD L. rursus quoniam triangulum B F E simile est triangulo C D L ; & triangulum G F H triangulo C D H : ipsorum latera inter te eandem proportionem habent. atque est triangulum B F E, quod fit ex N Η inter applicatam & centrum interiecta: triangulum vero G F H, quod fit ex B N applicata , hoc est ex F H. ex iis igitur, quae prius ostensa sunt, triangulum B P Ea triangulo G H F differt triangulo , quod fit ex
A H, simile ipsi C D L. quare & triangulo C L H.
Attendendum est hoc rheorema plures habere eas s. in hyyerbola enim viginti habet. Ni in punctam , quod pro B sumitur , vel idem est , quod C , vel idem quod in o σt ne contingit , triangulam factum ex e H simile iis D C L idem esse, quod ὀ lineis a Aid stantibus ipsis 'D L , L C abscinditur. Si vero B sumatur inter A C , ct paneta D, L sint Iapra terminor fecunda diametri, sient tres casus . nam pancta F, E vel supra rerminos ferent 4r , vel in imo , vel infra: s si D, L. t in terminisseeunda diamet=i; F, E infra terminos erunt. Quod si S sumatur infra C a σ HC ad G pro eamur ; tres alios casus sieri contingit, nempe ipso D vel supra xerminos fecunda diamere; existense, Oel in ipsis , Oel infra e re similiter F faciet tres alios casus. Sin autem B famaιών ex altera pite fectionis ἱ producetur C H ad N propter aemonstrationem o ct B F , B Eires e us et ient. qaoniam F, E vel ad termino secunda diametri ferentur, vel supra,
.el infra. Ellipsis vero, ct circuli circu ferentia varios casus nunc non expliealhmus aeum de his fatis die vim sit in pracedenti theoremate . erant litur huius theorematis ea Ius omnes centum. Sed possum hac eadem exicm in oppositis sectionibus demonstrari.
SI parabolen recta linea continMns cum diametro conveniat: quae per tactum ducitur diametro aequidistans ad easdem partes sectioni, lineas in sectione ductas, quae contingenti aequidistant, bifariam secabit .
Sit parabole, cuius diameter A B D; & linea A C sectionem contingat: per Cvero ducatur H C M aequid istans A D : &sumpto in sectione quovis puncto L, ducatur L N P E , quae ipsi A C aequi distet. Dico L Nipsi N F aequalem esse . Ducantur enim ordinatim B Η, Κ F G, L M D. Et quoniam ex his, quae in quadragesimo secundo theoremate deis ni onstravimus, triangulum E L D aequale est parallelogrammo B M. & triangulum EFG parallelogrammo B K. erit parallelogrammum G M, quod relinquitur, aequale quadrilatero I FGD . commune auferatur Μ D G F Nquinque laterum . reliquum igitur triangulum
Κ F N reliquo L M N est aequale. sed linea K. Fae quid istat L M.ergo F N ipsi N L aequalis erit.
85쪽
- theoγema plures ea ι habet demonΠralisma autem , habita ratisve ecl. ,m quadragesimi feeundi theorematis , ut exempli causa si Feadat σni , ita ccemus . Quoniam triangulum E D L araiae est parasiellirammo es B D M. commane auferatur NMD B . erit reliquum eriangulam , scilicet L N M aquale reliquo MN P . IAM aliis autem ad hunc modum . suoniam triangulum L E D parallelogrammo HE 'D M eis aqaala. steriangulam F E 9 parallelogramma HS 9 Κ . erit reliquam L F G D equale reliquo K 9B M. eam- mane auferatur NF 9 D M. reliquum igitur triaetu
THEOREM A XLVII. PROPOSITIO XLVII. SI hyperbolen , vel ellipsim, vel circuli circunferentiam recta linea contingens cum diametro conveniat: per tactum & ce trum ducta linea ad easdem partes sectioni, lineas, quae in bone ducuntur contingenti aequidistantes, bifariam secabit.
86쪽
centrum C; ducaturque DE sectionem contingens ; &iuncta C E producatur: sumpto autem in sectione quovis puncto N , ducatur per N linea Η N O G ipsi DE aequidistans. Dico N O ipsi O G aequalem esse. Applicentur enim ordinatim X N E , B L, G M K. ergo, ex demonstratis in quadragesimo tertio theoremate, triangulum H N F aequale est quadrilatero L B P X . & G H Κ triangulum quadrilatero L B Κ Μ. reliquum igitur N G Κ F quadrilaterum reliquo M L F X est aequale . commune auferatur O N F Κ M quinquelaterum . erit reliquum triangulum OMG aequale reliquo OX N. atque est ΜG aequidistans NT. ergo
HOC theorema in hyprebo a tot habet ea s , quot habebat pracedens in parabola d demonstrati
nes autem eorum faciemus , attendentes ea s
quadragesimi teris, theorematis ; er in ellipsi is dem , ut in Iabiecta Hura , cum punctum ci extra fumitur. saeoniam triangulum Lais C aquale est triangulis HG V, CC M, hoe est triangulis O HC , O M 9. atque est idem triangatum L eis C aquale triangAD X P C , O quadrila ero L a P X , hoe est triangADNHP , ex his , qua demonstrara sent in qκadragesi
X O N aequale est reliquo MO G ; er est NX aquid stans M G. ergo No ipsi O 9 est aqualis .
ΤΗ EO REM A XLVIII. PROPOsITIO XLVIII. SI unam oppositarum sectionum recta linea contingens cum diametro conveniat 3 & per tactum& centrum linea producta secet est ram sectionem : quae in altera semone
ducta suerit contingenti aequidistans, a linea producta bifariam secabitur.
sint oppositae sectiones , Parum diameter A B, centrum C ; & linea K L sectionem eo tingat ; iunctaque L C producatur: sumpto autem in B sectione puncto N, per N ducatur N G, quae aequid istet L L. Dico lineam No ipsi os aequalcm eile . Ducatur enim per E sectionem contingens E D; erit E D ipsi L L aequid istans. quare S ipsi N G. Quoniam igitur hyperbole est B N G, cuius centrum in lineaque D E sectionem contingit; & iuncta est CE; sumpto autem in sectione puncto N, per N ipsi D E aequi- distans ducta est N G: ex iis, quae in hyperbola ostendimus, erit No ipsi OG aequalis. EU'ex demo stratis ab Eut io i. . huius.
87쪽
so APOLLONII PERGAE IE UT OCIUS.
HIRIVS etiam theorematis ea ι ita se habent . at in quadragesimo Ieptimo theoremare die am est de hstperbola deseriptione.
THEOREM A XLIX. PROPOSITIO XLIX.
SI parabolen recta linea contingens cum diametro conveniat,& per tactum ducatur linea diametro aequidistans ; a vertice vero ducatur aequidistans ei, quae ordinatim applicata est , & fiat, ut portio contingentis, inter applicatam & tachum interies a,ad portionem aequi Mantis, quae itidem inter tactum & applicatam interi jcitur, ita quaedam recta linea ad duplam contingentis: quae a sectione ducta fuerit aequi distans , poterit rectangulum contentum inventa linea , & ea , quae inter ipsam & tactum imterijcitur.
SIT parabole , cuius diameter M B C; & linea C D sectionem contingat; per D vero ipsi B C aequidistans clueatur FDN;& F B ordinatim applicetur , fiatque, ut E D ad D P, ita quaeda recta linea G ad duplam ipsius C D: & sumpto in sectio. ne puncto Κ, ducatur per L ipsi CD aequidistans ΚL P. Dico quadratum K Laequale esse rectangulo , quod fit ex linea G&DL, hoc est , diametro existente DL, lineam G esse rectum latus. Applicentur enim ordinat in DX, Κ NM. Et quoniam CD sectionem contingit; ordinatim vero applieata est D X: erit C Bas, lectualis B X. sed B X est aequalis FD. ergo CBipsi F D aequalis erit: & propterea triangulum E C B aequale triangulo E F D. commune addam tur, figura scilicet D EBΜN. quadrilaterum igitur DC MN aequale est parallelogrammo P M,
,.huius. hoc est triangulo Κ P M. commune auferatur qua drilaterum LPM N. ergo reliquum triangulum K L N parallelogrammo L C est aequale . angulusis
autem D L P aequalis est angulo K L N . quare'I Nrectagulum Κ L N duplum est rectanguli LD C. quoniam igitur ut E D ad D F, ita est linea G ad duplam ipsius C D. & ut E Dad D F, ita Κ L ad L N. erit,ut G ad duplam C D, ita Κ L ad L N. sed ut L Lad LN , ita quadratum K L ad rectangulum Κ L N : & ut G ad duplam C D, ita rectangulum, quod fit ex G & D L, ad duplum rectanguli C D L. quare ut quadratum K Lad rectangulum Κ LN, ita rectangulum ex G & DL ad duplum ipsius C D L rectanguli ; & permutando . est autem Κ L Ν rectangulum aequale clu-plo rectanguli C D L. ergo quadratum Κ L rectangulo ex G & D L aequale erit. AUT OCIUS. ERGO reliquum triangulum KLN parallelogrammo DL PC est aequaIe. angulus autem D L P aequalis est angulo Κ L N. quare rectangulum Κ LN duplum
88쪽
grammum aquale parastelogram- 1 o LS . est istem oe aquianguintum quoniam anguli ad L secundam venirem sunt aquales. sed qualiam, re quiangulorumparialelogrammornm latera , qua eirea aquales angulas, ex contraria parte sibi a
ipsis respondent. ergo ut x L ad LT , hoe est au D S , ita P L ad L Nproptereaque rectangulum Κ L Naquale est rectangvia Lis S. σ eum D S dupla sit ipsius DC. νe- tε. lextis avxlum Κ L Nret anguli L DC duplum erit. e T si linea DC ipsi LP aquidistet a C p vero non quidisset ipsi P L: erit DC P L trapezium: s lane dico rectangulam XL Nequiae esse et , quod linea P L ,s utraque ipsarum C D , L P
continetur . Si enim parallelogrammum L R eompleatur , μcuti priis ; producauturque DC
demerit demonstratio. Hoc antem πιιιe eLF etiam ad ea, qua sequ-t r.
SI hyperbolen , vel ellipsim, vel circuli circunferentiam recta
linea contingens cum diametro conveniat, & per tactum & cen trum linea producatur vertice autem ordinatim applicata comVeniat cum ea , quae ducitur per tactum¢rum; fiatque,ut portio contingentis, inter tactum & applicatam interiecta , ad portionem lineae duree per tactum & centrum, quae itidem inter tactum & applicatam interijcitur , ita quaedam recta linea ad duplam contingentis: quae a sectione ducitur , contingenti aequissiuans, ad lineam per tactum & centrum ductam , poterit spatium rectangulum , quod adiacet inventae lineae , latitudinem habens interiectam inter ipsam & tactum; in hyperbola quidem excedens figura simili contentae linea dupla eius , quae est inter ce trum , & tactum , & inventa linea , in ellipsi vero & circulo e dem deficiens. H sIT
89쪽
POLLONII PERGAE IRIπ λυ-e Ie . vel ellipsis, ves circuli circunserentia, cuius diameter A B, contingat: iuncta vem CE producatur adtata I : bonaturque C Κ ipsi E C aequalis, & per B ordinatiin applicetur deinde per E ad rectos angulos ipsi E C ducatur E id a natque, ut F E ad F G ita E Had duplam ipsius E D ; &runcta ΗΚ producatur: sumpto denique: Uiuine puli L, per Isum ducatur L MX quidem issi BD a quidistans; aequidistans B G; fit ipsi EH aequi distans P. Dico quadratum LM rectangula EM P aequale esse. Ducatur enim per C ea CS Oaequi distam
erit Es ipsis si aequali E G, ita SE ad E D . ut autem
B dem:stratum sit triangulum RNC in hyperbola quidem maius esse, quam tran Gem F h titum C D E : in ellipli vero S circulo minus , ipso
NRMX quadrilateros in ellipsi autem & circulo, triangulo M X C . erit L ilR triangulum quadrilat. Μ E DX aequale . atque est M X aequi distans D E, &angulus L M R aequalis angulo E MX . ergo rectangulum L M Raequale est re-u ctangulo, quod linea ΕΜ, & utraque ipsarum ED, MX continetur . est au tem ut M C ad CE, ira&M X ad ED, & M o ad E S .ut igitur M o ad Es, ita M X ad E D: & componendo ut utraque M O . S E ad E S, ita utraque M A , D E ad E D. quare permutando, ut utraque M o, S E ad utranque M X , D E, , stati. ita S E ad E D. sed ut utraque M o, S E ad utranque MX, DE, ita rectan gulum , quod continetur utraque Μ Ο, s E, & ipsa E Μ, ad contentum utraque M X, D EM E M. ut autem S E ad E D, ita FE ad BG, hoe est LM ad MR, vide icet quadratum L M ad rectangulum L M R . quare ut rectangulum, conten tum utraque M o, S E & E M, ad contentum utraque M X , D E, & E M , ita quadratum L M ad rectangulum L M R: & permutando ut rectangulum, conten 'tum utraque M O, s E, & EM ad quadratum M L, ita contentum utraque M A, DE, & E Μ ad L M R rectangulum. est autem rectangulum L M R aequale rectangulo , quod fit ex E M , & utraque M X , D E. ergo quadratum L M aequa te eit rectangulo ex E M, & utraque Μ O, SE . estque ES ipsi SH aequalis, NS H ipsi O P. quadratum igitur L Μ rectangulo E M P aequale erit.
90쪽
CASRS baius theorematis ita se habent, ut in quatit agesimo tertia , ct ita ea s tbeorematis quinquagesimi primi.
G , LMR. nam eum aquidistent G F , L R ; angulas cy F E qualis est antalo R L M; 9,primi. Cr angulus F G E angulo LP M. ergo ct reliq-s reliquo aqualis a ct triangulum F E cyrei gati L MR simile erit . . 'Sed cum demonstratum sit triangulum R N C in hyperbola quidem maius esse, B quam triangulum C G B . J Etenim in quadragesimo tertio huius demonstratum eurriangulum X L N in Θperbola minus esse , qaam triangulum C N triangulo C GE, tu ellipsi vero , s ei culi eire ferentia vina eum ipse C Naquiae esse triangulo C G E . me est trianguIum C D E. J Triangulum enim CDE triangati CGB aquale δε- Cmonstratam est in quadragesimo tertio huius, videlicet in secunda demonstratione , qaam
fert Eutoeias in commentariis .
Ergo rectangulum L M R aequale est rectangulo, quod linea E M, & utraque Dipsarum E D, Μ X coutinetur. I Ex octavo temmare Pani, ct ex iis, qua Eutocius
seisi , sunt enim triangula C E D , C M X similia; itemque similia inter se tria ala C MO, C E S.
THEOREM A M. PROPOSITIO LI. SI quamlibet oppositarum sectionum recta linea contingens cum diametro conveniat i & per tactum & centrum linea producatur usque ad alteram sectionem ; a vertice vero ducatur linea aequi distans ei, quae ordinatim applicata est , conveniensque cum linea per tactum oc centrum ducta , & fiat, ut portio comtingentis inter applicatam & tactum ad portionem lineae ductae per tactum & centrum , quae inter tactum & applicatam in te ij citur, ita quaedam recta linea ad duplam contingentis: quae in altera sectione ducitur, aequidistans contingenti , ad lineam pertactum & centrum ductam , poterit rectangulum , Ouod adiacet inventae lineae, latitudinem habens lineam , quae est inter ipsam& tactum , excedensque figura simili ei, quae linea, inter oppostas sectiones interiecta,&mventa continetur
SINT Oppositae sectiones, quarum diameter AB , centrum E ; & linea CD sectionem B contingat; iunctaque C E producatur : ordinatim vero applicetur BLG; &fiat, ut L Cad CG, sie quaedam recta linea Κ ad duplam C D. Itaque perspicuum est in sectione B C lineas aequidistantes C D, quae ducuntur ad lineam 14, huius H 1 in Diuitigod by Cooste