장음표시 사용
71쪽
&ipsius G C dupla DC . ut igitur utraque C F, FD ad F D, ita D C ad CH :& clividendo ut C F ad F D, ita DH ad H C. quod demonstrare oportebat.
Ex iam dictis manifestum est lineam E F contingere sectionem, sive rectangulum F GH aequale sit quadrato G C, sive FHGr
'angulum ad quadratum H E eam , quam diximus, proporti nem habeat. converso enim modo illud facile ostendetur. E V T O C I V S.
IN aliquibus exemplaribus hoc theorema in sola hyperbola demons patum invenimu , sed hoc loco universaliter demonstratur , qΜoniam eadem contιngunt or in ali s sectioni bus r Apollonio autem visum est non solum brperbolen , fed etia- esti m feeundam dia metrum habere, ut saepe ex ipso in superioribus didi imus .inire eui quidem ea m non habet; in hyperbola vero tres habet casui: punctum enim F, in quo linea sectionem eonti gens eiam fecunda diametro convenit, vel est infra D, veι tu tuo D, vel ona. π propte-kea puu tam Hsimiliter tres iocos obtinet. attendendaem aute in est, cum F cassit infra D, ct H ius a C cadere : cum dero F cadis in D, UT G in C cam F supra 'D , G Hμ-
Ex iam dictis manifestum est lineam EF contingere sessionem, sive rectangulum F G Η aequale si &c.
SIT eisim huerbole , vel ellipsis , vel circuli circunferentia , euius diameter AUT , feeoisia diameter D : σ sumatur in se tione aliquo punctain E; a quo ad diamet mo=dinatim applicetur E M: σ ad fecuπdam diametrum duci ιγ E H, ipsi AE agaidi- flans . sumpto autem in linea GD ρΜΠ itor F , ita ut rectavuliam F 9 H . aiae sit quadrato C G ; iungatur EFfecavi diametrum in L. Dico It neam E F sectionem contingere . Si enim fleri potest, noucontingat Iectionem mea E L F, sed alia linea E NKb eis dem modo , quo usus est e Potlovius demonstrabitur reαμ-o altim Κ G H quadrato C SI AEquale esse . sed eidem qkadγato C 9 ponitur aquale rectaetulum F 9 H. rectav lom , ituν Κ G H rectangulo F G Hest aequale . ut adirem rei sexti. it avolam Κ G H ad recta utum F 9 H, ita linea K Gad lineam F G . eτο linea Κ G aqualis eis ipsi F 9 j quod fieri nullo modo potest. sequitur igitur lineam E L F nec effasei. fectionem contingere. Aisdem manentibus, habeat rectangaltim F H 9 quadratum m eandem proportionem, quam rectum latus ad transversum . Rursus dico lineam E L F contingere fectionem. Habebit enim quadratum H F ad rectangulum F H9 proportionem eandem , quam traUUersum latus ad rectum . fed propretio qdadrati H E ad Vese anguli. FH 9 composita est ex proportione E IIad H F, b ia est L AI ad ad E ; cr ex ε' ς ' ργοο, tione E G ad HG , hoe est G Ar ad AI E e qua quidem est ea , quam habet rectant ultim G af L ad qAadrarum M E . ergo rectangulum G Ar L ad Dauratum M E est, Attransversiam latas ad rectum . quare ex his, qua in antecedenti demis ravimus, linea E L. F sectionem continget.
72쪽
CONICORUM LIBERI. 6sTHEOREM A XXXIX. PROPOSITIO XXXIX.
SI hyperbolen, vel ellipsim, vel circuli circunferentiam recta
linea contingens cum diametro conveniat; & a tactu ad diam trum linea ordinatim applicetur: sumpta quavis linea ex duabus, quarum altera interijcitur inter applicatam & centrum sectionis, altera inter applicatam & contingentem ; habebit ad eam applicata proportionem compositam ex proportione , quam habet altera dictarum linearum ad applicatam, &ex proportione, quam rectum figurae latus habet ad transversum.
SIΤ hyperbole, vel ellipsis, vel circuli circunferentia, cuius diameter AB, centrum autem F: ducaturque linea CD sectionem contingens a &CE ordinatim applicetur. Dico C E ad alteram linearum F E, E D proportionem habere com positam ex proportione, quam habet rectum figurae latus ad transversum, & ex ea, quam altera dictarum linearum P E, E D habet ad ipsam E C. Sit enim rectangulum P E D aequale rectangulo, quod fit ex E C, & linea, in qua G . Et quoniam ut rectangulum F Ε D ad quadratum C E, ita transversum latus ad rectum. atque est rectangulum F E D rectangulo ex EC, & G aequale.erit ut restangulum ex E - e B& G ad quadratum C E , hoc est ut G ad C Ε, ita transversum latus ad tectum. rursus quoniam rectangulum P E D aequale est rectangulo ex EC & G: ut F Ead EC, ita erit G ad E D. habet autem CE ad ED proportionem compositam ex proportione, quam C Ε habet ad G, & ex ea, quam G ad E D . utque C Ead G, ita est rectum latus ad transuersum: & ut G ad E D, ita F E ad E C . ergo C E ad E D proportionem habebit compositam ex proportione , quam habet rectum latus ad transversum , & ex ea, quam F E habet ad E C
Si hyperbolen, vel ellipsim, vel circuli circunserentiam recta
linea contingens cum secunda diametro conveniat , & a tactu ad eandem Δametrum linea applicetur, diametro alteri aequissislans: P 3 sum-
73쪽
APOLLONII PERGAE Isumpta qualibet linea ex duabus , quarum una inter applicatam& sectionis centrum interijcitur , altera inter applicatam & contingentem : habebit ad ipsam applicata proportionem compo tam ex proportione, quam habet transversum figurae latus adroctum , & ex ea, quam altera dictarum linearum habet ad applicatam. SIT hyperbole, vel ellipsis, vel circuli circunserentia A B, euius diameter BF secunda diameter DF E: duc aturque recta linea sectionem contingens hi L A.&ipsi BC aequidistans ducatur ΑG . Dico A G ad alteram linearum HG, GF ω portionem habere compositam ex proportione, quam habet transversum figui ae i tus ad rectum, & ex ea, quam altera dictarum linearum Η G, G F habet ac ipsam G R. Sit enim rectangulum H G F rectangulo, quod sit ex G Α, & linea Κ, a:qua-3ε. huius. te. Itaque quoniam ut rectum latus ad transversum , ita rectangulum H GF ad quadratum G Α . rectanguis autem H G F aequale est , quod fit ex G Α & Κ . erit rectangulum ex G Α & Κ ad quadratum G A, hoc est Κ ad A G, ut latus rectum ad transversum. & quoniam A G ad G F compositam habet proportionem ex proportione , quam habet A G ad Κ, & ex ea, quam Κ ad G F. estque ut A G ad K, - ς xi. ita transversum latus ad rectum: & ut K ad G F, ita H G ad G Α; propterea quod rectangulum H G F aequale sit ei, quod ex A G & Κ. constat ergo Α G ad GF compositam habere proportionem ex ea, quam transversum latus ad rectum, & ex ea.
quam H G habet ad G A . THEOREM A XLI. PROPOSITIO XLI.
SI in hyperbola , vel ellipsi, vel circuli circunferentia recta linea ordinatim applicetur ad diametrum ἱ & ab applicata, & ea,
quae ex centro, parallelogramma aequiangula describantur , habeat autem applicata ad reliquum parallelogrammi latus proporti nem compositam ex proportione, quam habet ea, quae ex centro,
ad reliquum latus, & ex proportione, quam rectum figurae secti nis latus habet ad transversum: parallelogrammum iacium a linea, quae
74쪽
quae inter centrum & applicatam interijcitur , simile parallel grammo ab ea, quae ex centro 3 in hyperbola quidem maius est, quam parallelogrammum ab applicata parallelogrammo ab ea, quae ex centro ue in ellipsi vero & circuli circunferentia una cum parallelogrammo, quod sit ab applicata, aequale est parallelogram
mo ab ea , quae ex centro. SIT hyperbole, vel ellipsis, vel circuli circunserentia, cuius diameter AB, centrum E; & ordinatim applicetur C D: a lineis autem E A, C D aequiangula parallelogramma describantur, quae sint A F, D G ; & habeat D C ad C G pr
portionem compositam ex proportione, quam habet A E ad E F, & ex ea, quam rectum figurae latus habet ad transversum. Dico in hyperbola parallelogrammum, quod fit ex E D simile ipsi A F, parallelogrammis A v , G D aequale esse : in ellipsi vero & circuli circunserentia, parallelograminum, quod fit ex E D simile Α F, una cum parallelogrammo G D ipsi A Fesse aequale. Fiat enim ut rectum figuraelatus ad transversum, ita DC ad CH. Et quoniam ut DC ad CH , ita rectum latus ad transversum . ut autem D C ad C Η , ita quaeratum DC ad rectangulum D C H: & ut rectum latus ad transversum, ita quadratum D C ad rectangulum BDΑ. erit rectangulum B D Arectangulo DCH aequale. rursus quoniam D Cad C G proportionem habet compositam ex proportione, quam habet A E ad EF,& ex ea, quam rectum latus ad transversum, hoc est quam D C habet ad C H. seclD C ad C G compositam proportionem habet ex proportione D C ad C Η, & ex proportione AEC ad C G. erit proportio eomposita ex proportione A E ad E F, &ex proportioneDC ad CH eadem , quae componitur ex proeortione DC ad C H, &ex proportione H C ad C G. communis austratur, proportio scilicet D C ad C H. reliqua igitur proportio A E ad E P eadem est , quae reliqua H C ad C G . ut autem H C ad C G , ita rectangulum II C D ad rectangulum G C D: & ut Α Ε ad E F, ita quadratum ΑΕ ad rectangulum A E F. ergo ut rectangulum H C D ad rectangulum GCD, ita quadratum AE ad rectangulum AEF 'sed ostensum est recta-gulum ΗCD aequale esse rectangulo BDA. ut igitur rectangulu BDA ad rectangulum GCD, ita quadratum A E ad rectangulum A E P: permutandoque ut rectangulum B D A ad quadratum A E, ita rectangulum G C D ad ipsum A E R& ut rectangulum G C D ad Α Ε F rectangulum, ita parallelogrammum D G ad
a. huius. si quinti riseritilem. in a
75쪽
LiaextL parat Iesogrammum F Α : parallelogramma enim aequiangula sunt, & proporti nem habent compositam ex proportione laterum G C ad A E, & C D ad E F. quare ut rectangulum BDA ad quadratum A E , ita paralIelogrammum D G ad B ipsum F A. Itaque in hyperbola hoc modo concludemus. Ut omnia se habent ad
fidecundi omnia, ita unum ad unum. ergo ut rectangulum BDΑ una cum quadrato A E
ad A E quadratum, hoc est quadratum D E ad quadratum E A, sic parallesogram C ma GD, A P ad parallelogrammum A F . sed ut quadratum D E ad quadratum E Α, sic parallesogrammum, quod fit ex D E simile, & similiter descriptum ipsi Α F ad parallesostraminum A P. ut igitur parallelogramma D G, A F ad parallelogrammum AP, sic parallesogrammum ex D E deseriptum simile ipsi A F ad ΑF. quinti. ergo parallesogrammum ex DE , simile ipsi Α F, aequale est parallelogrammis D G D, A F. In ellipsi vero & circuli circunferentia hoc modo. Quoniam ut totum, quadratum sicilicet A E ad totum parallelogrammum A F, sic ablatum rectangulum A D B ad ablatum parallesosrammum D G: erit resiquum ad reliquum, si-GI μμ- eut totum ad totum . quod si a quadrato E Α auseratur rectangulum BD Α, relinquetur quadratum D E. ut igitur quadratum D E ad excessum, quo parallelograminum A F excedit parallesogrammum DG , sic quadratum A E ad paral-E IElogrammum A P. sed ut quadratum AE ad paralles rammum ΑF, sic quadratum D E ad parallesogrammum, quod fit ex D E simile ipsi A F. ergo ut quadratum D E ad excessum, quo parallesogrammum Α F excedit ipsum D G, sic quadratum D E ad parallelogrammum ex D E, smile ipsi AF. parallelogrammum igitur ex D E simile A F aequale est excessui, quo parallesogrammum A F excedit' quinti. D G. quare sequitur parallelogrammum ex DE simile AP una cum parallesogrammo D G ipsi Α F aequale esse.
Theorema hoc in hyperbola easu non habet,in e lipsi vero,si applicata is centrum cadat, ct reliqua eos modo disponantur, parallelogrammu, quod sis ab applicata parallelogrammo, qnod ab
it ea , qua ex centro, ἀ7uale erit. Sit enim ellipsis, enius diameter
A S,centrum D, ordinatimque applicetur C 'mst ab ipsis C D, D e paralleugramma aquiangata describantur , ae 9 , - F. habeat autem 'D C ad C N proportionem compositam ex proportioue , quam habet eis D ad D F , π ex ea, quam rechum figura latus habet ad transversum. Dies parallelogrammum A P
76쪽
aquale esse paWallelogrammo D G. uoniam enim in superioribus ostensum est , ut quadrata n A D ad parasielogrammum A F , ita esse rectangulum A DB ad parallelogram- mum D G : ema permutando , At quadratiam e D ad reti1angulum eAD B, ita parati logrammum ain ad parallelogrammamD 9. sed quadratam A D aquale est rectanguloe n D B. ergo parasielogrammum A F parallelogrammo D G egarie erit.
FED. COMMANDINVS. E T ut rectangulum G C D ad A E F rectangulum, ita parallelogrammum DO A
ad parallelograminum F A . me etiam constat ex sexto lemmate Nani. Ut omnia se habent ad omnia , ita unum ad unum J In omnibtis antiquis codici- Bb s quos viderim, sic legitur: - πὰντα - παντα, cs κωδε - . Sed delenda sunt , ut arbi tror , tan7ua ab aliquo addita ; illud enim per eompositam rationem colligi perspicuai est .
Sed ut quadratum D E ad quadratum E A , sic parallelograminum, quod sit ex D E simile, & similiter descriptum ipsi Α P ad parallelograminum A F J Qua-
dratum enim 'D E ad quadratam E . duplam proportionem habet eius , qua est lateri P E ad Latas E A : cr eandem proportionem habet parallelogrammum ex ae E uel AF ad F, ex corollario 2o . sexti elementorum . Quoniam ut totum, quadratum scilicet A E ad totum parallelogrammum AP. I D Demonstratum enim est superitis, ut rectangatum B D - ad quadratum se E, ita esse parallelogrammum D 9 ad parasielogrammam F t . quare permutando rectangulum 'E 'D -aci parallelogrammum D 9 est ut quadratum e E ad parallelogrammum eAF .
Sed ut quadratum A E ad parallelogrammum Α F,sic quadratum D E ad paral- Elelogrammum, quod fit ex D E simile ipsi A F) Erat enim ut quadratum D E ad quadratum E A, sic paria logrammum ex D E simile ipsi A F ad A F. ergo permatando.
THEOREM A XLII. PROPOSITIO XLII.
SI parabolen recta linea contingens cum diametro conveniat & a tactu ad diametrum linea ordinatim applicetur isumpto autem quovis puncto in sectione, applicentur ad diametrum duae lineae, altera quidem contingenti aequid istans, altera vero aequi distans ei, quae a tactu ordinatim applicata est: triangulum, quod ab ipsis constituitur, aequale erit parallelogrammo contento linea a tactu applicata, & ea, quae interi jcitur inter aequi distantem &verticem sectionis.
SIT parabole , cuius diameter A B, ducatur', linea A C sectionem contingens a & CH ordinatim applicetur: a quovis autem puncto D applicetur D r;& per D quidem ducatur D E ipsi AC a quidillans , per C vero ipsa CG aequialitans B F, denique per B ducatur BG, quae ipsi H C aequidistet. Dico triangulum E D Faequale esse parallelogrammo F G. moniam enim A C sectionem contingit, & o
77쪽
dinatim applicata est C H: erit A B aequalis ipsi B Η, & Α Η dupla H B . triangulum igitur Α Η Cparallelogrammon C est aequale. & quoniam ut quadra. tum C H ad quadratum DF, ita linea ΗΒ adipiam BF, propter se-B ctionem. ut autem qua
dratum m ad quadratum DF, ita triangulum Α C H ad triangu-' tum EDF: & ut 1 Bad BF, ita parallelogrammum G H ad parallelogrammum G F. erit ut triangulum ACHad triangulum EDF, ita H G parallelogrammum ad parallelogrammum FG : & permutando, ut ACHtriangulum au parallelogrammum H G, ita triangulum E D F ad parallelogram-mum FG. sed triangulum ACH aequale est parallelogrammo Η G. ergo triangulum EDP parallelogrammo F G aequale erit.
HOC theorema undecim habet e vi ; unum quidem, si D supra Comatur; eonstat enim lineas aquidistantes cadere intra ipsas e C Hr alios autem qMinque e us habet, si D famasar infra C a nam linea D F aquidiuans cadet extra C H, σ D E inter e ct B eadet , vel in ipso S , vel inter B ct Η, .el in H, vel infra H; at enim supra Acadat, fieri non potest o quoniam cum D sis infra C, s qua per ipsum quidistans eAEC EMD- , infra A eadet. quodsi D fumatur ex altera parte fectionis; vel inraque 'u distantes inter F σ Meadent; ves D F quidem eadet supra H C, punctum vero E vel in H, vel infra: vel rursus E eadet infra H; σ F viel in B, ita ut C H D sis recta I nea , squanquam tune non exacte quidi Uantium proprietas fervetur I vel infra He det . Oportet axiem in demonae,arione quinque ea Am po emorum lineam D F usque adsectionem, Er ad ipsam 9 C produci. Sed ex his aliam quandam descriptionem mente concipere possumus , cum videlicet fumarur aliud punctum , ct qua in principio sumpta fueram linea fariant id , quod dictum est. sed hoc theorema est, non casas .
F E D. COMMANDINUS A Triangulum igitur ΑΗ C parallelogrammo B C est aequale. Est enim paral-
. i. primi. lelogrammum C HA duplum trianguli A H C, itemque duplam parasielogrammi Cm, r. sexti. hoe est ipsius 'B C . quare ex nona quinti sequitur triangulum ACH parallelogrammo BC quale esse. D Vt autem quadratum C H ad quadratum D F, ita triangulum A C H ad triangulum ED P. Quadratum enim C H ad quad=atam D F dulam proportionem habet eius , qua est lateris C H ad D F, ex coros. D. sexti: a similiter eandem habet proportionem triangulum AC es ad triangulum E D F ipsisimile . ut igitur quadratum C H ad quadratnm P F, ita triangulum A C H ad triangaelam ED F.
THEOREM A XLIII. PROPOSITIO XLIII. SI hyperbolen, vel ellipsim, vel circuli circunferentiam recta linea contingens conveniat cum diametro ; & a tactu ad diam
78쪽
trum linea ordinatim appliceturi huic vero aequidistans ducatur per verticem semonis, quae cum linea per tactum & centrum du-dtii conveniat, & sumpto aliquo puncto in sectione, ab eo ad di metrum duae lineae ducantur , una quidem contingenti aequi distans , altera vero aequi distans ei, quae a tactu applicata est: tria angulum ab ipsis frustum in hyperbola minus erit, quam tria gulum , quod abscindit linea Per centrum & tactum ducta , tria angulo ab ea, quae ex centro, umili abscisso: in ellipsi vero, & ci culi circunferentia, una cum triangulo abscita ad centrum, aequale erit triangulo simili abscisso, quod ab ea quae ex centro describitura
SIT hyperbole, vel ellipsis, vel circuli circunserentia, cuius diameter A B, centrum C; ducaturque linea D E sectionem contingens; & iuncta CE, ordinatim applicetur E F: sumatur autem aliquod punctum in sectione, quod sit Gi&ducatur linea G H contingenti aequi distans; &GΚΜ ordinatim applicetur: per B verti ordinatim applicetur B L. Dico triangulum ΚΜ C differre a triangulo C L B per triangulum GK H. Quoniam enim linea E D sectionem contingit; or- Adinatim verb applicita est E F: habebit E F ad F D proportionem compositam ex proportione C F ad F E, & ex proportione recti lateris ad transversum . sed ut EP ad F D, ita GK ad ΚΗ; Sut CF ad FE, ita CB ad B L . ergo GK ad KHproportionem habebit compositam ex proportione C B ad B L, & ex proportione recti lateris ad transversum . quare ex his, quae in quadragesimo primo theor male ostendimus, triangulum C Κ M a triangulo B C L differt, triangulo GΗΚ. etenim in parallelogrammis triangulorum duplis haec eadem demonstrata sunt.
maliquibas radisibus huius theorematis statis Ivitur demonstratio. Quoniam enim
rectangulum F C D aequale est quadrato C B: erit ut F C ad C B, ita B C ad C D. quare ut figura, quae fit ex F C ad figuram ex C B, ita linea P C ad C D . sed ut 1igura ex F C ad figuram ex C B, ita E C P triangulum ad triangulum L C Ba & F ut
79쪽
, ut linea FCad ipsam CD, ita EF C triangulum ad triangulum E C D. ut istitur E C F triangulum ad triangulum L C B, ita triangulum E C F ad ipsum E C D. 441, i proptereaque triangulum E C D triangulo L C B est aequale. ergo in hyperbola A per conversionem rationis; & in ellipsi, convertendo, dividendoque, & rursus B convertendo, ut EF C triangulum ad quadrilaterum ELEF, ita triangulum,aiulis i. E C P ad triangulum ED F. quare triangulum E D P aequale est quadrilatero C E L B F. & quoniam ut quadratum P C ad C B quadratum, ita triangulum E C FD ad triangulum L CB : in hyperbola quidem dividendo ; in ellipsi autem conver-E tendo, & per conversionem rationis, & rursus convertendo, erit ut rectangulum
F A P B ad quadratum B C, ita quadrilaterum E L B F ad trianstulum B L C: &similiter ut quadratum C B ad rectangulum Α Κ B, ita triangulum L C B ad quadrilaterum MLBK. ergo ex aequali ut rectangulum A F B ad rectangulum Α Κ B, . . ., ita E L B F quadrilaterum ad quadrilaterum ΜLBK. ut autem rectangulum .:' Α F B ad rectangulum Α Κ B, ita quadratum E F ad quadratum G Κ: & ut qua- dratum E F ad quadratum G Κ, ita triangulum E D F ad triangulum GH Κ. quare ut triangulum E D F ad triangulum G Η Κ, ita quadrilaterum E L B F ad radii laterum MLBΚ: & permutando ut triangulum Ε D F ad quadrilaterum. LBF, ita triangulum G H Κ ad quadrilaterum MLBΚ. sed triangulum .ED Fostensum est aequale quadrilatero EL BF . ergo & triangulum GH Κ quadrilatero Μ L B Κ est aequale . triangulum igitur M C Κ a triangulo LCB differt. triangulo G ΗΚ. Sed eum hae demonstratio obscuritatem quandam habeat in proportionibas ellipsis , e enitendam eis, ut ea, qua breviter dicta sunt, lati s explicentur . Quoniam , inquit,
ut quadratum P C ad quadratum C B,ita triangulum E C F ad triangulum L CB,
erit convertendo, & per conversionem rationis, rursusque convertendo. est enim convertendo ut quadratum B C ad quadratum C F , ira L CB triangatum ad triam gulum EF C : s per conversionem rationis , ut quadratum B C au rectanguis lum A F B s hoe est ad excessum , quo quadratum B C excedit quadratum C F , qaσ- si siet. πιam punctum C lineam A C bifariam secat J ita triangulum L A C ad quadrilaterum L EF Er ct eonvertendo , ut rectangulum A F E ad quadratum P C , ita qώadrilat νωm LE F E ad LC B triavulum. Halet autem in perbola ea s undecim, quot habebat praeedens theorema in parabola, ct praterea alium quendam,e.m scilicet punctum, quod in cy fumitur, idem sit, quod E. tune enim eontingit triangulam EDF aena cum tri- angvilo LE C aquale esse trianolo C E Ft quoniam ostensum est triangatum EDF quadriaatero L A F E aquale . quadrilaterum autem L B F E a triangulo C E F ias L B Ee iangula di fert. Sed in ellipsi vel punctum G idem est, quod E , veι supra E sumitur,
80쪽
s tane atraAme quid antes inter D UT F ea re perspicuum est . Quodsi 9 sem eariis a E ,er ab eo ducta linea quid ans ipsi E F cadat inter F σC; panctam H qainque ea s esseis. vel enim cadit inter D ct B, vel in B, vel inter BσF, ves in F, vel inter Fs C. Si vero, qua per G ducitur Vplicata aquidistans, incentrum C cadat , punctam Hsimiliter quinque esseit ea 3. Attendendum ramen est, trianguum factam a tineis, qaa. D D E , E F quidistant , triangulo ABC aquale esse. Muoniam enim ut quadratum E F ad qaadratam 9 C, ita triangulum E D F ad triangulum G HC ; similia enim is angula fuat . σ ut quadrat Μm E F ad quadratum G C , ita rectangulam B F -- ν. hRiv flavatam T C A , hoc eis ad quadratum BC. erit, ut triaetulam E D F ad ipsam 9 HC , ita jectangulum N F A ad quadratum BC . ut autem rectangulum B F ad .adratum E C , ita quadrilaterum L B F E ad triangulam L BC, qaod demonstrarum iam fuit . ergo ut E D F triaetutum ad triangulum G MC , ita est quadruateram L γε g ad triangatum LN C δ π permutando M triaetulum E D F ad quadrilaterum L BF E, ita triangulam 9 HC ad triaugulum G DLEC. sed aquale est triangulam ED Fqaadrilatero LE F E. triangatam igituγG H C triangulo LEC est aquais. πα- l ι
mus autem hac etiam aliter probare a si di- x, V
daptis eadem demonstrata esse, videliere in quadragesimo primo theoremate. Quod si ducta per G aquidistos E F eadat inter C σε , producetur quidem, quousque I nea C E cum ipsa conveniat s C panctum Hseptem e ur essetet . vel enim inter B σD eadit, vel in P, veI inter B ct F, vel in F, Oel inter F ET C , vel in C . ves imier Coe Ar ct in his calibus contingit, dispentiam est gularum L BC , G MX infraeonstitui a lineis G x, Ec prodActia. Si vero G famaeam M altera parte semonis 3 σqua per is ducitur, ipsi E F Huius πι, inter B or F eiam; prodaeetur ob di monstrario nem, quo que feret ipsam LC o ct punctum H faciet septem casus a vel inter ZOFeadens , vel in F, vel inter FOC, vel in C , vel inter C ct a , vel in A, vel infra .A. Et si 9 K eadat inter F Gr C; punctum H quinque casus sciet. vel enim erit inteν F ct c, vel in C, vel inter C ct e , vel in a , vel infra A. SedFG Κ in eentrum C eadat a punctum Mea 3 e ciet tres , veι inter C ct in eadens , vel in a vel extra se: atqae in his ea laus rursus contingit triangatum G ΗΚ quale esse triam
gulo LPC . Senique si si x cadat inter C ct e I punctum M vel eadet inter c ct A,
vel in se , vel extra. Itaque in ellipsi fur omnes erunt quadraginta daa, s totidem in circuli cireunferentia i ita ut butur theorematis casul sint nonaginta sex.
FED. COMMANDINUS IN DEMONSTRATIONE M.
Ergo in hyperbola per conversionem rationis in Quoniam enim est, ut ECF trian- Αoulum ad triangulam LC R , ita triangulam EC F ad trianguum E C Deerit per eontersionem rationis , at EC F triangulum ad quadrilaterum E L B F , ita trianga mEC F ad triantulam ED F.
Et in ellipsi convertendo, dividendoque, & rursus convertendo R-μι quoniam Bat triangulum EC F ad triangulum L CB , ita triangulam E C F ad tristi m E C si convertendo erit, ut L CP triangulum ad triavatam EC F , ita triangulam EC B ad triareulum E C F e dividendoque , ut quadrilateram E LT F M triangulam EC F ,