장음표시 사용
91쪽
ius .so. huius 46. huius I. huius
in directum ipsi E C productam, posse spatia adiacentia lineae Κ, latitudinemque habentia lineam, quae est inter ipsas& tactum, & excedentia figura simili contentae linea C F& Κ.dupla est enim P C ipsius C E. Dico igitur idem evenire in sectione A F. Ducatur per F linea M F, quae AF sectionem contingat : ordinatimque applicetur A XN Et quonia' oppositae sectiones sunt B C, A Fatque ipsas contingunt C D, MF. erit CD ipsi MF aequalis, &aequi- distans. est autem CE aequalis E F. ergo & E D ipsi E M . sed quoniam ut L C ad C G , ita linea K ad duplam C D, hoe est M F. erit ut X Fad F N, ita X. ad duplam M P. atque est hyperbole 4 F, cuius diameter A B, & MF ipsam contingit : ordinatim vero applicata est A N; & ut X Fad F N, ita Κ ad duplam M F . ergo quaecunque a sectione ducuntur, quid istantes F M, ad lineam, quae in directum protenditur ipsi E F, poterunt rectangulum contentum linea Κ, & interiecta inter ipsas & punctum F, excedensque figura similies, quae linea CF ω Κ continetur.
ITAQUE his demonstratis, perspicuum est in parabola una
quanque restarum linearum , quae diametro ex generatione ducuntur aequidistantes,diametrum esse; in hyperbola vero, ellipsi,& oppositis sectionibus unaquanque earum , quae Per centrum ducuntur : & in parabola quidem applicatas ad unaquanque diametrum , aequidistantes contingentibus , posse rectangula ipsi adiacentia ; in hyperbola , & oppositis poste rectangula adiace tia ipsi, quae excedunt eadem figura , in ellipsi autem, quae eadem deficiunt: postremo quaecunque circa semones, adhibitis principalibus diametris, demonstrata sunt, & aliis diametris assumptis,
eadem contingere. E V Τ Ο C Ι V S.
D AMETR Meae generatione voear communem sectionem plani secantis, s trianis I li per axem , qua in ipso cono esseitur a quam ct principalem diametrum Appellat. Dicat autem omnia aeeidentia sectionam , qua in operioribus theoreinatibus demonstrata sunt, positis pkincipalibia diametris , er aliis qώibuscunque diametrii assa tis , eadem contingere posse.
RECTA linea data in plano, ad unum pun&1m terminata, invenire in plano coni sectionem, quae parabole appellatur , ita ut eius diameter sit data linea, vertex lineae terminus , quae verba sectio ne ad diametrum in dato angulo applicatur , possit rectangulum
92쪽
CONI CORVM LIBERI contentum linea, quae est inter ipsam & verticem sectionis, & a, tera quadam data linea.
SIT recta linea data positione Α Β, ad A punctum terminata ; altera autem masnitudine data C D: & datus angulus primum sit rectus. Itaque oportet in subiecto plano invenire parabolen; ita ut eius diameter sit A B, & vertex Α: rectum autem figurae latus C D; & ordinatim ductae in recto angulo applicentur, hoc est ut A B sit axis. Producatur Α B ad E; sumaturque ipsius C D quarta pars C G; & sit A E maior, quam C G: ipsarum autem C D, E A media proporti natis sit H. est igitur ut C D ad E A, ita quadratum II ad E A quadratum. sed C D est minor, quam quadrupla ipsius E Α. ergo & quadratum H quadrati E Αminus est, quam quadruplum: & propterea linea H minor, quam dupla ipsius EA. Cum igitur duae lineae E A maiores sint, quam Hi fieri potest, ut ex H,& duabus E A triangulum constituatur . ergo in linea E A constituatur triangulum E A F rectum ad subiectum planum ; ita ut E Α aequalis sit A P , & Η aequa. lis PE: dueaturque ΑΚ aequidistans EF; &PΚipuE A: deinde intelligatur
conus, cuius vertex F punctum; basis autem circulus circa diametrum Κ A, rectus ad planum, quod per lineas A F, F Κ. tris sit . erit igitur is conus rectus, quoniam Α F aequalis est F k. Itaque secetur conus plano , quod circulo K A aequi distet, faciatque sectionem circulum Μ N X, rectum videlicet ad planum
transiens per M F, F N : & sit circuli M N X , &MFN trianguli communis sectio M N. quare M N circuli diameter est . communis autem sectio plani subiecti, & circuli sit X L. Quoniam igitur circulus M N X rectus est , & ad subiectum planum, & acl triangulum MFN: communis ipso- rum sectio X L ad M N P triangulum , hoc est ad
KF A perpendicularis erit . quare & ad omnes rectas lineas, quae in triangulo ipsam contingunt, &ad utranque ipsarum M N , ΑΒ. rursus quoniam conus balim habens circulum M N X, verticem vero punctum P, secatur plano ad MFN triangulum recto, quod sectionem facit circulum MN Xa secatur altero plano subiecto, secante nasim coni secundum rectam lineam X L , perpendicularem ad Μ Ν,
quae communis sectio est circuli M N X ,& Μ FN trianguli. communis autem sectio subiecti plani, & trianguli MFN , videlicet AB aequid istans est lateri coniFX.M. erit coni sectio, in subiecto plano lacta, parabole, cuius diameter δε Br& lineae, a sectione ad ipsam A B ordinatim ductae, in redhctangulo applicabuntur. aequid istantes enim sunt lineae X L, quae est ad ΑΒ perpendicularis. &quoniam
tres lineae C D, H , E A proportionales sunt. aequalis autem E A ipsi Α F, & ipsi F Κ; atque Η aequalis E F, & A K. erit, ut C D ad A Κ, ita A L ad A F. quare ut C o ad A P , ita quadratum A K ad A F quadratum , hoc est ad id , quod
Α P E. continetur . ergo rectum sectionis latus est C D. illud enim in undecimotheoremate demonstratum fuit.
IISDEM positis non sit datus angulus rectus; intelligaturque ipsi aequalis, qui H A E continetur ; & sit Α Η dimidia CD; ab H vero ducatur H E ad Α Eperpendicularis; perque E ipsi BΗ aequidistans dueatur BL & ab A ad EL perpendicularis A L: deinde secta EL bifariam in Κ, ab ipso X. clueatur Κ M ad reeios angulos ipsi E L ; & ad puncta F, G producatur; & quadrato A L aequa
93쪽
le sit rectangulum L Κ M . Itaque duabus rectis lineis L Κ, ΚΜ datis, L Κ quidem positione, quae ad K terminatur, Κ Μ vero magnitudine; & dato angulo recto, describatur parabole, ut dictum est, cuius diameter Κ. L , vertex Κ, ω rectum latus Κ Μ : transibit autem per Α, propterea quod quadratum A L rectangulo L Κ Mest aequale ; & linea A E sectionem continget, quoniam L X. aequalis est Κ E. sed HA aequidi. stat E Κ L . ergo H Α B diameter erit sectionis:& a sectione ad eam applicatae, ipsi A E aequid istantes, hilariam dividentur a linea A B; & in angulo HAE applicabuntur . Quoniam igitur angulus Α Ε Η aequalis est angulo AGE.&communis, qui ad A. triangulum AII E simile /est A GF triangulo. ut ergo HA ad A Ε, ita
FAad AG: &ideo ut dupla H A ad duplam A E , ita F Λ ad Α G. sed cum CD sit dupla sipsius ΗΑ; erit ut P A ad A G, ita CD ad
duplam A E. quare per ea, quae in quadragellino sexto theoremate ostensa sunt, erit C D rectum sectionis latus . .
DATIS duabus rectis lineis terminatis, quae ad rectos inter se angulos constituantur , & altera producta ad easdem partes angulo A recto, invenire in linea producta coni sectionem , quae hyperbole dicitur , in eodem plano , in quo sunt datae lineae; ita ut pro ducta sit diameter sectionis, & vertex punctum , quod ad angu lum consistit : quae vero a sectione ad diametrum applicatur, angulum faciens aequalem dato , possit rectangulum, quod adi cet alteri lineae, latitudinem habens lineam interiectam inter a plicatam & verticem sectionis, excedensque figura simili, & l1- militer posita ei, quae datis a principio lineis continetur.
SINT datae rectae lineae terminatae AB, BC, ad rectos inter se angulos; &producatur A B ad D. oportet igitur in plano, quod per ABC transit, invenire hyperbolen; ita ue eius diameter sit AB D, vertex B punctum, & rectum figurae latus B C: quae vero a sectione ad B D in dato angulo applicentur , possint rectangula adiacentia ipsi BC; quae latitudines habeant lineas interiectas inter ipsas, S punctum B; excedantque figura simili, & limiliter posita ei, quae lineis B AB, B C continetur. Sit datus angulus primum rectus; & ex linea AB planum attollatur, rectum ad subiectum planum, in quocirca lineam AB circulus cle-ieribatur Α E B F; ita ut pars diametri circuli, quae in portione A E B comprehenditur, ad partem comprehensam in portione A F B non maiorem proportionem habeat, quam AB ad BC: & secetur AEB circunserentia bilatiam in E a tertii. Uucaturque a puncto Ead AB perpendicularis ΕΚ; & ad L producatur . ergo
94쪽
clucatur B X ipsi P E aequid istans. Itaque quoniam angulus Α F E aequalis est angulo E FB. angulus autem A FE angulo A X B: &EFB ipsi F B K. erit&FB X angulus angulo F X B aequalis. quare & linea FB aequalis lineae F X. Imtelligatur conus, cuius vertex F, &basis circulus circa diametrum B X, rectus
ad F B X triangulum. erit utique is conus rectus i quia F B aequalis est P X. Pro ducantur PB, F X, MF;& secetur conus plano, quod circulo B X aequidisset: erit ea sectio circulus; qui sit G P H R. ergo G Η circuli diameter est . communis autem sectio circuli G Η, & subiecti plani sit P D R. erit P D R ad utranque ipsarum GH, D B perpendicularis. uterque enim circulorum X B, ΗG rectus est ad triangulum F G H. sed & subiectum planum ad F G H rectum est. ergo communis ipsorum sectio PDR erit & ad FGH perpendicularis, & ad omnes
rectas lineas, quae, in eo plano consistentes, ipsam contingunt. Quoniam igitur conus, cuius basis est circulus G Η, & vertex F, secatur plano ad FGΗ triangulum recto, quod facit sectionem circulum ; secatur autem & altero plano subiecto, secante basim coni secundum rectam lineam PDR, perpendicularem
ad GDH; & communis sectio subiecti plani,& trianguli FGH, videlicet D B producta
ad B convenit eum G P in puncto Α: erit ex ijs, quae demonstrata sunt, sectio P B R hyperbole, cuius vertex B; & ordinatim ductae ad diametrum B D in recto angulo applicabuntur . aequidistantes etenim sunt ipsi PDR. Praeterea quoniam ut A B ad B C, ita est E Κad F. M. & ut E Κ ad K. M , ita EN ad N F, hoc est rectangulum E N F ad N F quadratum. erit ut A B au B C , ita E N f re tangulum ad quadratum N F . sed E N P rectangulum aequale est rectangulo A N B. ergo ut A B ad B C, ita rectangulum A N B ad N F quadratum. rectangulum autem A N B ad N F quadratum proportionem habet compositam ex
FO ad ΟΗ. quare AB ad BC proportionem compositam habet ex proportione F O ad O G,& ex proportione F O ad Ο Η, hoc est ex proportione quadrati F Ο ad rectanguis luimGO H. est igitur ut AB ad BC, ita quadratum FO ad G Ο Η rectangulum . atque est F o aequid istans A D . sequitur ergo , .ut A B sit transversum figurae latus, & B C rectum. etenim haec in duodecimo theoremate ostensa sunt .
NON sit autem datus angulus rectus: sintque rectae lineae datae Α B, AC:& datus angulus aequalis sit et , qui B Α Η continetur. Oportet igitur describere hyperbolen; ita ut eius diameter sit ΑΒ, & rectum latus AC: duactae vero ad diametrum in angulo B Α Η applicentur. Secetur A B bifariam in D: & in linea A D describatur semicirculus A F D : & ducatur quaedam recta linea FG in semicirculum, aequidistans ΑΗ; faciensque proportionem quadrati P G ad rectangulum D G A eandem , quam habet C A ad duplam A D. & iuncta FH D producatur: ipsarum autem PD, D H media proportionalis sit D L; ponaturque ipsi L D aequalis D K; & quadrato A P aequale
decimi. 33. tertiI. 33. sexti. sexti. 1 3. sexti.
95쪽
le rectangulum L FΜ, & iungatur ΚM: deinde per L ad rectos angulos ipsi KF clueatur L N; & ad X producatur. Datis ergo duabus rectis lineis terminatis, & ad rectos inter se angulos LL, LN, describatur hyperbolei cuius transversum quidem latus sit KL, rectum vero LN: & a sectione ad diametrum ductae in recto angulo applicentur . ci possint recta ngula adiacentia
lineae L N, quae latitudines habeant interiectas inter ipsas & punctum L; ex-redantque figura simili ipsi Κ L Ν. transibit igitur sectio per Α, cum quadratum A F aequale sit rectangulo L F M : &s linea A H sectionem continget ; rectangulum enim F D H quadrato D L est aequale . ergo ιν. huius. Α B diameter est sectionis. Et quoniam ut C A ad duplam A D, hoc est ad A B, ita quadratum F G ad rectangulum D G A. sed C A ad duplam A D compositam proportionem habet ex proportione C A ad duplam A H , & ex pro-1 ,.quinti. portione duplae Α Η ad duplam D A, hoc est ex proportione H A ad A I , hoe est F G ad 4. sexx G D. habebit C A ad A B proportionem compositam ex proportione C A ad duplam A Η,& ex proportione F G ad G D . habet autem& quadratum P G ad rectangulum D GA proportionem compositam ex proportione F G ad G D, & ex proportione F G ad G A . proportio igitur composita ex proportione CΑ ad duplam Α Η, ex proportione F G ad G D eadem est , quae proportio eom' posita ex proportione v G ad G D, & ex proportione F G ad G Α . communis auferatur proportio, quae est F G ad G D . ergo ut C Α ad duplam. sediti. Α Η , ita F G ad G Α . & ut F G ad G Α , ita Ο Α ad A X . ut igitur C A ad duplam Α Η, ita Ο Α ad A X: quod cum ita sit , erit AC linea,
iuxta quam pos Iunt , quae a sectione ducuntur . hoc enim in quinquagesimotheoremate demonstratum est .
ET ex linea A B planum attollatur, rectum ad subiectum planum, in quo eirca lineam A B circulus describatur Α E B F, ita ut pars diametri circuli, quae in portione A E B comprehenditur, ad patiem comprehensam in portio ne A F B , non maiorem proportionem habeat, Fquam A B ad B C . J Sint dua recta linea in B,
B c , ct oporteat 'circa e B circaelum describere, . nius diameter a linea A B ita dividatών , tit pari Ε--
ipsius , qua est ad C, ad reliquam partem non misi. em fi
96쪽
eeutro quidem cs , intervallo autem G F eireulas describatur . necessiniam utique esseum veι per puncta A , B transire , vel extra , vel intra toes transeat per A,B;factum tam erit , quod oportebat Isi vero transeat extra, pro eatur e B in utranque partem, me conveniat cum circumferentia circuli in punctis Η, Κ t iant i ae F H, ME , ΕΚ,
Κ F, ducatar per E linea Ar E , quidistans F Κ , ct B L qaidistans K E: ct tangam tur M A , 4 g L , qua ipsis F H , H E aquidistabant : propterea quod aquales inter se sint AD , D B , itemque H D, D Κ, ET E D F ad rectos angulas ipsi H x. Quoniam igitur angulus, qui ad K, rectus est. er ME, B L quidistant ipsis F Κ , K E. erit σqui ad E rectus . σ eadem ratione , qai ad A. quare elaevius eirea Ar L descriptur per puncta A , B transibit. Itaque describatar, sitque ac se LE . Et quoniam M E qu distans est ipsi F x; erit, at FD ad D Ar , ita Κ D ad DE d ct iliter at Κ D ad PE , Da E D ad D L : ct permatando αι Ε D ad D F, ita Lis ad D M. ergo ut Adad B C, ita Lis ad D Ac. uvid si circulas eirea F E descriptus secet lineam AB Iidem nihilominus demonDrabitur.
ET in linea A D describatur semicirculus A F D: & dueatur quaedam rem ii nea FG in semicirculum, tequidistans A Ha laetensque proportionem quadrati FG ad rectangulum DG Α eandem, quam habet C A ad duplam A D. J Sit δε-
INUENIRE in linea producta coni sectionem, quae hyperbole dicitur. I cyraeus A
de , ne verba illa μὶ τῆς in supervacanea sint i statim enim Dbiungis :
EST igitur ut A B ad B C, ita quadratum F Ο ad G Ο Η rectangulum. 4 e a C
hunc locum , ut opinor , unum Pani lemma pertinet; in qAo ostenditur , ut quadratum E O ad rectangulum 9 Ο Η, ita esse rectangatum a NA M N F quadratum. Faciensque proportionem quadrati P G ad rectangulum D G Α eandem, Equam habet C A ad duplam A D. J In cyraea radico legitur : -- τῶν is ἀπὸ Z H - .crium Δ Η Α λο- - ---νης Α P -ὰ Α Β . sed legendum ea , ut apud Eurocium. ---τω - ΔΓ ενες τυο δεπι- αν τῆς ΑΔ. quod etiam ex iis , qua sequuntur, perspicuo apparet
97쪽
F ΕΤ linea AIs sectionem continget ; rectangulum enim FDII quadrato DLest aequale. J Nam eum inter lineas F G , 'D H promptionalis Duasis D L , rectan-i . sexti. gutam F D H quale est quadrato D L . quare ex Vs, qua demonDra limus in comment, s su trigesimam septim. π propiationem huius , linea e H Iec ιonem ιuam cono tingat neceste est.
DATIS duabus rectis lineis terminatis, atque ad rectos inter se angulos, invenire circa diametrum alteram ipsarum coni secti nem, quae ellipsis appellatur, in eodem plano , in quo sunt datae lineae; ita ut vertex sit punctum ad rectum angulum: & a sec fione ad diametrum applicatae in angulo dato, possint rectangula adi centia alteri lineae, quae latitudinem habeant lineam, inter ipsas &
verticem sectonis interiectam; deficiantque figura simili, Mimiliter posita ei, quae datis rectis lineis continetur.
SINT datae rectae lineae AB, A C ad rectos angulos constitutae, quarum maior Α Β . Itaque oportet in subiecto plano describere ellipsim a ita ut eius diametersit A B, vertex Α , & rectum latus Α C: ductae vero a sectione ad A B in dato angulo applicentur; &possint spatia adiacentia lineae AC, quae latitudines habeant Iineas , interiectas inter ipsas & punctum A; deficiantque figura simili , & simi. iter posita ei, quae lineis B A, A C continetur. Sit datus angulus primitin rectus ; & ex linea A B planum attollatur, re- Ectum ad subiectu planum; in quo ad AB circuli portio ADB descripta bifaria dividatur in D ; & iungantur D A, D B: ponatur autem ipsi AC aequalis Α X,&per X ducatur X O aequid istans B D; ω per O ipta O F aequid illans A B; iunctaque D x conveniat cum AB priaucta in 7.quinti. puncto E. erit igitur ut BA ad AC,
Φ, R H. ita B A ad A X , hoe est D A ad Α Ο , hoe est D E ad E F: deinde iunganturA P, F B , & producantur; sumaturinque in F Α quodvis punctum G; & per G ipsi D E aequidillans ducatur GL ,
quae cum A B producta conveniat in Κ: denique producatur Fo;& conveniat cum G Κ in L. Quoniam igitur εο tertii. cireunserentia AD a qualis est ipsi D,-- B : & angulus AB D angulo D F B P in Τε erit. & quoniam angulus E FAaequalis est duobus angulis F Α D MF DA. atque est F Α D angulus aequa
98쪽
F Π G sit aequalis, & linea F G lineae F Η . itaque circa G H describatur circulus
G HN , rectus ad triangulum H GF: S intelligatur conus, cuius basis citculus G H N, & vertex punctum E. erit is conus rectus, quod G F aequalis sit F H . &quoniam circulus G H N rectus est ad H G F planum. est autem & planum subiectum rectum ad planum, quod per G H F transit. communis ipsorum sectio ad planum per G H P perpendicularis erit. communis autem sectio sit linea ΚΜ. ergo Κ M perpendicularis est ad utranque ipsarum A Κ, Κ G . rursus quoniam conus, cuius basis est circulus G H N, & vertex F, secatur plano per axem, quod facit sectionem triangulum G H F . secatur autem & altero plano per A L , Κ M transeunte, quod est subiectum planum , secundum rectam lineain L M, Perpendicularem ad G Κ: & planum occurrit ipsis GP, FH lateribus coni. erit facta sectio ellipsis, cuius diameter AB: ductae vero a sectione ad AB in recto angulo
applicabuntur: sunt enim ipsi K Μ aequidistantes. & quoniam ut D E ad E F, ita rectangulum D E F, hoc est B E A ad quadratum E F. rectangulum autem BEAad quadratum E E compositam proportionem habet ex proportione B E ad E F, &ex proportione A E ad E F : utque B E ad E F, ita B K ad K. H, hoc est F L ad LH: & ut AE ad EF, ita A K ad K. G, hoc est F L ad L G . habebit B A ad A C proportionem compositam ex proportione F L ad L G, & ex proportione F Lad L H: quae quidem proportio eadem est, quam habet quadratum F L ad G L Hrectangulum. ergo ut B A ad A C, ita F L quadratum ad rectangulum G L H. quod cum ita sit, linea AC rectum erit figurae latus, ut ostensum est in deci
IISDEM positis, sit linea A B minor ipsa A C: & oporteat circa diametrum ABellipsim describere; ita ut A C rectum sit figurae latus. Secetur AB bifariam in D; a quo ad rectos angulos ipsi A B ducatur E D F; & rectangulo B A C aequale sit quadratum F E , & linea F D aequalis D E : lineae vero A ti aequi distans ducatur F G ; &fiat, ut C A ad AB, ita E Fad FG. maior est igitur E F, quam FG. Itaque quoniam rectangulum C A B aequale est quadrato EF: ut CA ad AB, ita est quadratum F E ad quadratum A B, & quadratum P D ad D A quadratum . ut autem C A ad A B , ita E Fad F G. ergo ut E B ad F G , ita quadratum F D ad quadratum D A . sed quadratum F D aequale est rectangulo F D E . quare ut E F ad
F G , ita rectangulum E D F ad DA quadratum . Duabus igitur rectis lineis terminatis, aptatisque ad rectos inter se angulos , quarum maior est
E P , describatur ellipsis ; ita ut E Fdiameter sit , & F G rectum figurae latus . transibit utique sectio per Aa quoniam ut rectangulum P D E ad quadratum D A , ita est E P ad F G, atque est A D aequalis D B . transibit igitur etiam per B : ac propterea et lipsis circa A B descripta erit . & quoniam ut C A ad A B , ita quadratum F D ad quadratum D A . atque est quadratum D A rectangulo A DB aequale . erit ut C A ad A B , ita D F quadratum ad rectangulum A D B. quare A C rectum est ngurae latus . SED non sit datus angulus rectus; sitque ipsi aequalis B AD: & secta A B bifariam in E , circa lineam A E semicirculus A F E describatur ; in quo ipsi A D aequidistans ducatur P G ; ita ut faciat proportionem qua crati F G ad rectangulum AGE eandem, quam habet linea C A ad A B: Si unctae AF, EF producantur: & sumatur ipsarum D E , EF media pro- I x por
99쪽
portionalis E H, cui aequalis ponatur E Κ: fiat autem quadrato A F aequa te rectangulum H FL; ningaturque Κ L, & per H ipli H F ad rectos angulos ducatur Μ H X , aequidistans ipsi A P L; a1. tertii. rectus est enim angulus, qui ad F . itaque da- itis duabus rectis Iineis terminatis , & ad rectos Iinter se angulos Κ Η , Η Μ , describatur elli. Ipiis, cuius diameter transversa Κ Η , & rectum Itigurae latus H M : ductae vero a sectione ad , CH Κ in recto angulo applicentur . transibit igi- 33.huius, tur sectio per A ; quia quadratum F A rectan- Ar, gulo H F L est aequale . & quoniam H E ae- Γ' ,
per B sectio , cuius quidem centrum E, diame- l ' o F ter A E B , & linea D A lectionem continget; D 14 ae propterea quod rectanguluin D E P aequale est . I
quadrato E H. est autem ut C A ad A B, ita
F G quadratum ad rectangulum A G E . sed αC A ad A B proportionem habet compostam , , ' ex proportione C A ad duplam Α D , & ex proportione duplae A D ad AB, hoc eli ex ia I proporxione D A ad Α E. quadratum vero F G ad rectangulum AGE compositam proporti nem habet ex proportione F G ad G E , & ex V proportione F G ad G A . ergo proportio, com- polita ex proportione C A ad duplam A D,& ex proportione D A ad A E , eadem est , quae componitur ex proportione F G ad G E, & proportione F G ad G A . sed ut . sexti, DA acl AE, ita FG ad G E. ergo sublata communi proportione, erit ut C AG ad duplam AD, ita F G ad G Α, hoe est X A ad A N . quando autem lioc ita sit, linea A C rectum est figurae latus.
ΕΤ secta AB bifariam in E, eirea lineam Α Ε semicirculus AF E describatur; in quo iesi A D aequidistans ducatur F G ; ita ut faciat proportionem quadrati F c; ad rectangulum AGE eandem, quam habet linea C A ad AB . J Sit semicirculuse, A c' , in quo recta linea qaviam e- B ; ponanturque ira recta linea inquares 'D E, E F ; CP producatur E F ad G, ut sit F G variis D E E cyin H bifariam diνidatur e fumpto autem circuli centro Κ, ab eo daeatur perpendicularis ad A B , qua lcircunferentia circuli occurrat in L ; perqtie L ipsi Vi
100쪽
quadratum ad rectangulum O R P ι atque est rectangatum OR P rectaualis . R C 3F' ς 'aquale, At igitur 'D E ad E F, ita quadratam O Rad rectangulum EAE R C .
HABEBIT B A ad AC proportionem compositam. J Superius nanque demon Astratum est B A ad A C ita esse , At D E ad E F . ITAQUE quoniam rectangulum C AB aequale est quadrato E F ; ut CA ad BA B , ita est quadratum P E ad quadratum AB. Cum enim rectangulum C AB
quadrato E F sit aruale. erit ut C AE ad E F , ita E F ad se R . quare ut C A ad AE , r. sexti ita quadratum Ce ad quadratum EF , hoc est quadratum E F ad . B quadratum . ς'r' ψεις
TRANSIBIT utique sectio per A; quoniam ut rectangulum F D E ad qua- c''dratum UA, ita est E E ad E G. I Ex vigesima prima propoRisione huiks . QUARE A C rectum est figurae latus. J Ex eadem vigesima prima. Ei' linea DA sectionem continget; propterea quod rectangulum D E Faequale est quadrato EH. Ex jι, quo nos demonstravimus in trigesimam octavam propositionem huius libri.
QUAN autem hoc ita sit,linea AC rectum est figurae latus Ex quinquagesima Gpropositione huius.
DATIS duabus restis lineis terminatiis, atque ad rectos inter se angulos, invenire oppositas sectiones; quarum diameter sit una datarum linearum , & Vertices lineae termini : applicatae vero ab utraque sectione in dato anSulo possint spatia adiacentia alteri litaneae, excedentiaque figura simili ei, quae datis lineis continetur.
SINT datae rectae lineae terminatae ad rectos inter se angulos B E, B H i & datus angulus sit G . Oportet utique circa unam linearum B E, B H sectiones oppositas describere; ita ut ductae a sectione lineae in angulo G applicentur. Datis igitur duabus rectis lineis ΒΕ, ΒΗ, describatur hyperbole ΑΒ C; cuius diameter transversa sit B E, & rectum figurae latus Η B: ductae vero ad lineam, quae in directum ipsi B E constituitur, applicentur in angulo G ; quod quomodo fieri oporteat, iam dictum est. Ducatur per E linea E K ad rectos angulos ipsi B E , quae sit aequalis B Η: & describatur similiter alia hyperbole DEF; ita ut eius diameter sit B E , rectum figurae latus E Κ,& ductae a sectione ordinatim applicentur in angulo qui deinceps est ipsi G . constat igitur B, E sectiones esse oppositas, quarum diameter est una; duo vero recta latera inter se aequalia.