장음표시 사용
141쪽
APOLLONII PERGAEI THEOREM A XXXVII. PROPOSITIO XXXVIII. SI oppositas sectiones duae rectae lineae contingant, in unUm punctum convenientes: quae ab eo puncto ad medium lineae tactus coniungentis ducitur, oppositarum sectionum diameter erit, quae recta Vocatur , transversa vero, ipsi coniugata, quae per centrum ducitur, lineae tactus coniungenti aequi distans.
SINT Oppositae sectiones A, B, quas rectae lineae C X , X Dcontingant: & ducta C D bifariam dividatur in E; & iungatur E X . Dico E X diametrum rectam esse; transversam vero, ipsique coniugatam, quae per centrum ducitur lineae C D aequi distans. Sit enim diameter E F, si fieri potest:& sumatur quod . A vis punctum F. ergo DX ipsi E F occurret. occurrat in Ppun-B cto, & iungatur CE . conveniet igitur C F cum sectione . conveniat autem in A: & per Α ducatur AB, quae lineae C D sit aequi distans. Itaque quoniam E F diameter est, secans Chhi. fariam : & ipsi aequi distantes lineas bifariam secabit. quare A GC ipsi GBest aequalis . sed eum C E sit aequalis E D ; erit in triangulo CFD linea AG aequalis G Κ . ex quo sequitur &D G Κ ipsi G B aequalem esse ; quod fieri non potest. non igitur E
A ERGO D X ipsi E F oecurret. I Si enim ὀ puncto D ea ordinatim applicetur ια B sectisne, aqMidistabit linea E F. quare σ D X i E F occurrat necesse est, exsecunda propositione Vitelitonis . v Conveniet igitur C F cum sectione. Nam eum C X eontingat sectionem. linea C Feandem necessari. Deabit, ex trigesima secunda primi huius .
V Erit in triangulo CFD linea A G aequalis G B. Vide, qua scripsimus in sextam
primi huius. Non igitur E F diameter erit. Deest hoc loco principalis conclusio , quam nos fv-plere debemus. ex bis enim necessario colligitur , lineam E X oppositariam fectionum diametrum rectam esse: at vero transversam esse eam, qua per centrum ducitnν ipsi C 'Daqui distans , demonstrabimus , ut in antecedenti propositione.
THEOREM A XXXVIII. PROPOSITIO XXXIX. AB CSI oppositas sectiones contingant duae rectae lineae in unum punctum convenientes: quae per punctum illud & per centrum ducitur , lineam tactas con iungentem bifariam secabit.
SINT Oppositae sectiones A,B, quas duae rectae lineae C E,ED contingant : & iuncta C D,ducatur diameter EF . Dico CF ipsi F D esse aequalem. Si enim non ita sit; secetur C D bifariam in G: & iungatur G E. Ergo G E diameter est . sed & E F est diameter . punctum igitur E centrum erit: iccircoque lineae , quae contingunt sectiones,in centro ipsarum convenient; quod est absurdum. constat ergo CF ipsi F D aequalem esse.
142쪽
earum comveniunt, e n et I a qui Minc a est angula Iectiones conti nent , ut conitar ex tragesimasecunda . us . . . . '
THEo REM A XXXIX. PROPOSITIO XL Si oppositas sectiones duae redita lineae contingentes in unum 'conveniant ; & per punctum, in quo con Veniunt, linea ducatur, tactus coniungenti aequidistans, & sectionibus occurrens : quae ab oecu sibus ad medium lineae tactus coniungentis ducuntur,
HHiones ipsas contingunt. di i . . . .,
. SINT Oppositae sectiones A,B, quas dum rectie linea: CE, EDeontingant muga urque C D . de per E ducatur F E G ipsi C D aequusi. stans; succi autem C D bifariam in ii , iungantur PH , H G. Dico F Η , Η G lectiones contingere. Ducatur enim E FI
i a M. Errori E. coniugatae diametri simi. GH yrri dinatim appIicata est C Η ad secundam' diametrum; es FC E sectionem contingit , secundae diametro occurreΑ r ctangulum igitur E X Η aequale est quadrato climiniae se cundae diametri , hoc est quartae parti figurae , quae ad A B eonstitamur . & quoniam 2 E Ordinatim applicaxur ;&iiungitur P Η ; pe, spicuum est F H contingere sectio. nem A . simul iter & G ll continget sectionem B. linea: igi. tur FH, H G sectiones A B necessario contingunt. IPED. COMMANDINUS. ERGO E II tecta diameter est; transversa vero, ipsi coniugata. Ex triste M A
Rectangulum igitur E X H aequale est quadrato dimidiae secundae dumetri. I BEx erigesima octava primi huius . Perspicuum est F H contingere sectionem A. J Ex iis, qua nos demonstravimas in Ccommentari's trigesima octava primi haias.
THEO REM A XL. PROPOSITIO XLI.
SI in oppositis sectionibus duae rectae lineae se invicem si
cem , non transeuntes per centrum , sese bifariam non s cabunt. SINT Diqiti by Cooste
143쪽
SINT. oppositae sectiones A,B; is quibu, duae rectae lineae C B, Α D, per centrum non transeuntes, se invicem secent in E. Di co eas bifariam sese non .secare . Si enim fieri pote st; secent sese bifariam :. sitque X ipsarum centrum ; NA iungatur E X . ergo E X diameter est . clueatur per B X lineae BC aequi durans X F. Erit x F diameter ipsi EX coniugata . quae igitur in F secti anem contingit, est aequidiuans E X . eadem ratione si ducatur H X aequi distans A D ; suae in id contingit sectionem, ipsi E X erit aequidistans . . ereo quae contingit sectionem in F aequidistans est lineae in Id contingen- C ti a quod fieri non potest . conveniunt enim Inter, sese , ut iam. demonstratum est . non igitAr C B ,Α D per centrum non trinseuntes sese hilariam se- .
A ERGO E X diameter est. I Ex trigesimaseptima hutas. B Erit X F diameter ipsi E X coniugata. Ex eadem. C Conveniundenim inter sese , ut iam demonstratum est . κm enim Kn a, tactus
F, H eaniungens,non trans s per centrum 3 qua sectionem contingit in F , non aquid stabis linea in fiscontingenti , Ied cum ea estnvenier ad ea em paries centri, ex trigesima quarta primi Miss. . l . c. H
SI in oppositis semonibus , quae coniugatae appellantur, dux rectae lineae se invicem secent, non transeuntes per centrum , bifariam sese non secabunt.
SINT Oppositae semiones; quae coniugatae appellantur in AB, C D : & in ipsis duae rectae lineae EF, G Η, non reatis, VL. - cuntes per centrum, se invicem iecent in L . Dico E F, G Η s i sese bifariam non secare. Si enim fieri potest; seeent se bita lriam;& sit X sectionum centrum: ducatur autem A B aequi- . Ddistans E P, &CD ipsi SI aequidistans;& iun3atur Κ X. A Ergo Κ X, A B coniugatae diametti sunt. & similiter comu - . . t ΛΒ gatae sunt diametri ΚN, CD. quare linea, contingens sectio, I I Inem in A,aequi distat lineae in C contingenti; quod fieri non lino N
C potest . conveniunt enim inter sese : quoniam contingens in I gC sectiones A,B secat; & contingens in A secat ipsas C, D D patet igitur eas convenite in locum , qui Est sub angu Io A XC. non igitur E F, G Η, per centrum non transeuntes, sese bifariam secant.
144쪽
conveniunt enim inter sese: quoniam contingens in C sectiones Α,B serat; & eon. tingens in A secat ipsas C,D. Ex decima nona huias . Patet igitur eas convenire in locum , qui eis sub angulo A X QJ Conveniunt enim ad eam V1mptoton , qua inter eis X , X c inter citur , ex vigesima prima huius.
THEO REM A XLII. PROPOSITIO XLut SI una oppostarum sessionum, quae coniugatae appellantur,rem linea in duobus punctis secet; & a centro duae lineae ducatur, una quidem ad medium lineae secantis,altera vero ipsi aequidistans: erunt hae oppositarum sectionum coniugatae diametri.
SINT Oppositae sectiones,quae coniugatae appellantur, A B, CD,St sectione Aquaedam recta linea secet in duobus punctis E,F 6c EF bifariam clividatur in G: sit aute X sectionu centrus iungaturque XG,& C X ipsi E F aequidistans ducatur.Dico A X , X Cconiugatas diametros esse. Quoniam enim diameter est A X , & lineam E F bifariam secat: quae in Α contingit sectionem aequidistans est ipsi E F. quare & ipsi C X.& quoniam oppositae sectiones sunt, & unam ipsarum, videlicet A quaedam recta linea in A contingit; a centro vero X ducuntur duae lineae, una quidem X A ad tactum, altera vero C X contingenti aequidistans: erunt A X, X C sectionum coniugatae diametri. hoc enim superius demonstra
PROBLEMA II. PROPOSIT DATA coni sectione, diametrum invenire. I O XLIV.
SIT data coni sectio, in qua puncta A,B,C,D,E: &Oporteat ipsius diametrum invenire.Itaque iactum iam sit; & diameter sit C Η: ductis autem ordinatim lineis D F, E Η, & productis; erit D F aequalis P B; & Ε Η iesi H A. si igitur ordinabimus B D, A Ε, ut sint positione aequilis antes; data erunt puncta E,F. quare & H P C positione data erit. COMPONETUR aute in hunc modsi it data coni sectio,in qua AS, D, E puncta:ducanturque lineae BD, AE inter se aequidistantes,& in punctis F,Η bifaria divi-riantur. Ergo iuncta FH diameter erit sectionis. Eade ratione & infinitas diametrog
Centrum inVenire. HOC autem manifeste constat . Sic nim duae sectionis diametti Α Β , C D lucantur ; punctum , in quo se secant , centrum erit sectionis , ut positum iam est .
145쪽
38 APOLLONII PERGAEI PROBLEMA IV. PROPOSITIO XLVI.
DATA coni sectione, axem invenire.
SIT coni sectio data primum parabole, in qua puncta P,C,E. Itaque oportet ipsius axem invenire. Ducatur enim diameter A B: & si quidem A B sit axis; factum erit, quod proponebatur: sin minus; ponatur iam factum esse; & sit axis C D. Ergo C D ipsi A B est sequidistans.& quae ad ipsam ducuntur,perpendiculares sunt. ergo CD bifariam dividit perpendiculares, quae ad A B ducuntur . si igitur ordinabimus E F perpendicularem ad Α Β ; erit ea positione data: & iccirco E D aequalis D F. quare punctum D datum erit. dato autem D puncto, & ducta DC, quae lineae AB positione datae sit aequi distans; erit& ipsa D C positione data . COMPONETUR autem in hune modum.Sit data sectio parabole, in qua puncta P, E; ducaturque dia meter A B : &BE ad ipsam perpendicularis, quae ad F producat ur. Si ergo E B se aequalis B F; perspicue constat A B axem esse : sin minus; di vidatur E F in D bifariam & ipsi Α B aequid istans ducatur C D : erit utique C D sectionis axis sest enim diametro aequid istans hoc est diameter , quae lineam E F & bila riam & ad rectos angulos dividit . datae igitur parabolae axis inventus est C D. Itaque patet unum esse parabolae axem . nam si alius axis si, ut A B; erit ipsi CD aequi distans, desecabit EF. quare & bifariam secabit . ergo B E est aequalis B F; quod fieri non potest.
DATA hyperbola vel ellipsi , axem invenire .
SIT hyperbole vel ellipsis A BC: & oporteat ipsus axem invenire. Sit iam in ventus; de sit L D: centrum vero sectionis sit Κ. ergo Κ D lineas,quae ad ipsam ordinatim applicantur, bifariam de ad rectos angulos secat . itaque ducatur perpendicularis C D A; &Κ Α, Κ Ciungantur. Quoniam igitur C D aequalis est D A .&CK ipsi X A est aequalis . ergo si punetiam L datum sit; erit linea CL data. quam ex centro Κ & intervallo C K circulus descriptus & per ipsum A transibit ; & erit positione datus. est autem & A B C lectio data positione.ergo & punctum A sed & Cest clatu. data igitur positione linea C A. & est C D ipsi D A aequalis . ergo punctum D datur. sed & ipsum Κ. linea igitur D Κ positione data erit.
146쪽
uoniam A ta est aequalis D C. & DK communis. erunt duae lineae C D, D Κuabus A D, D Κ aequales. & basis K A aequalis basi Κ C. quare linea K D B ipsam ia.pruni. A DC bifariam & ad rectos angulos secat : & iccirco k Dest axis . ducatur per Κ ipsi C A aequidiltans M K N. ergo M N est axis sectionis ipsi B L cupiugatus.
THEO REM A XLIII. PROPOSITIO XLVII. HIS autem demonstratis , reliquum est, ut ostendamus non esse alios axes ipsarum sectionum .
SI enim fieri potest; sit axis alius Κ G. ergo ducta perpendiculari ΑΗ, ex ijs, quae supra diximus, erit AH aequalis HL. quare & AK ipsi L L. sed& ipsi KC. iunt igitur L L, K C inter se aequales; quod est absurdum. At vero circulum A E Cnon occurrere sectioni in alio puncto inter Α C , in hyperbola quidem perspicuum est : sed in ellipsi, ducantur perpendiculares CR, L S. Et quoniam Κ C est aequalis AK L; ex centro enim sunt: erit & quadratum C Κ quadrato Κ L aequale. quadra r. primi. to autem Κ C aequalia sunt quadrata C R, R Κ : & quadrato Κ L aequalia quadrata L S, s K. ergo quadrata CR, R Κquadratis L S, S L aequalia erunt. quo igitur differt qu cratum C R a quadrato L s, eo quadratum S K differt a quadrato ΚR . rursus quoniam rectangulum M R N una cum quadrato RK aequale est quadrato ΚM . rectangulum autem M SN una cum quadrato S K eidem Κ Μ quadrato est aequale.erit rectangulum M R N una cum quadrato R Κaequale rectangulo M SN una cum S Κ quadrato. ergo quo differt quadratum S K a quadrato ΚR , eo rectangulum M R N differt a rectangulo Μ S N. sed demonstratum est, quo quadratum S K di fert a quadrato Κ R, eo differre C R quadratum a quadrato L S. quo igitur differt C quadratum C R a quadrato L S, eo rectangulum M R N a rectangulo M SN dis. teri . itaque cum applicatae sint C R, L s; erit ut quadratum C R ad rectangulum MM R N, ita quaeratum L S ad rectangulum ΜSN. demonstratum autem est in utrisque eundem esse excessum. ergo quadratum C R rectangulo Μ R N est aequa- Ele. & quadratum L S aequale rectangulo M SN. circulus igitur est linea L C M; Fquod est absurdum. posuimus enim ellipsim esse.
QUO igitur differt quadratum C R a quadrato L S, eo quadratum S K differt Ba quadrato Κ R.
SINT duae magnitudines aequales AB, CD, π dimidantur in partes in aquales in punctis CF. Dico, quo dissert AKὰ CF, GES Uerre ab FD
cessus magnitudinum Acs, A ri boe est C F , A Eo est V enim a b aqualis C F. sed ct e B ipsic P. reliqua Digitur GE reliqua FD est aqώHis . quare EG est excessus ipsarum E B, E 9, hoe est EF, FD.
SED Ilat quatuor magnitudines AE E , ES , C F , F D disserat
147쪽
E G eis Mecessas maenitudinum A E , C F. eodematitem disserunt A E , C F ; σ E S, F D. ηruales igitur sunt G B , FD. sed π. G , C F quales. ergo A Z ipsi CS aquail er t. perspicuam igitur est, si prima excedat feeandam magnitudine aliqua; σ eadem magnitudine tertia qaartam excedato pri-isam ct PMeam Iecunda oe tertia 4 Mis3 esse i-υ ariιhmeticam proportionem. Itaque hi, positis , si sit ut prima ad tertiam, it se μηδε βι quartam: prima quidem tertia equa. lis erit, secAnda vero quarta . potest enim hoc in AEl. ι demonstrari. propterea quod in vi gesimo quinto theoremate quinφι libri elementorrem Estolidis demo fratam est , siquas κον magnitudines proportionHes sint, prim- σ quartam reliquis duabas maiores esse.
A ET quoniam L C est aequalis Κ L, ex centro enim sunt. Nam si ponamus utra-
C Quo igitur differt quadratum C R a quadrato L s, eo rectangulum M RNarei tangulo M SN differt J Ex bitoqui Ar per ea, qua Eusocias hoc loco demovisa otiit, q adratum C R una cum re tam l. M SN aeruare esse quadrato S L aena eam Ar Rox ret angulo aD Itaque cum applicatae sint C R, L S; erit ut quadratum C R ad rectangulum M R N, ita quadratum L S ad recta agulum M SN. Ex vigesima p/ima pγimi huius. quadratum enim C R ad rectangulηm M R Neam proportionem habet, quam figarare tum latur ad transversum . oe eandem hηbet quadratum L S ad rectangvium M SNquare seqAitur , ut quadra um C R ad M RN rectangulam ita esse qaadratam L S ad rectangulam M SN. iE Ergo quadratum C R rectangulo M R N est aequale. Si enim Aepi potest; non sit
aqMale quadratam C R rectangulo M N. σ cum Padratum C R ad rectangulum M RNeandem proportionem habear, quam quadratam L S ad M S N wectangulam :erit ex vigesima quinta quinti elememorum quadra m C R. aena eo rectangalo M SN vel maius , vel minus quadrato S L una cum rectargulo M RN; quod est abfardum. δε-pνa enim demonstravimus ea inter fese aqualia esse. P Cireulus igitur est linea LC MJ Ex fee-do lemmare Pani in primῶ libram,st ex iis , qua Eurocius in quintam propossionem prima Iibri demonstravit.
PROBLEMA UI. PROPOSITIO XLIX. DAT A coni sectione, & puncto no n intra sectio ne dato , ab eo recta lineam ducere,quae sectionem contingat.
SIT data coni sectio primum parabole,cuius axis BD: sic oporreat a punem non intra sectionem dato rectam lineam ducere, ut ante propositum est . Itaque datum punctum vel est in linea, vel in axe, vel in loco , qui cxtra relinquitur. SIT primum in linea, quod sit A: ponaturque iam factinn esse,& sit linea A E. ducatur autem perpendicu-A A laris AD, quae positione data erit: &erit B E aequalis B D. at B D est data. data igitur est B E ; estque punc' e tum B datum ergo & puri tum E. sed datum quoque D est A punctum. linea igitur AE positione data erit. Αρ D COMIL
148쪽
COMPONETUR autem in hunc modum. Ducatur ex ritariori Λ I
DR perpendicularis sit ; & positione erit data. quare & punctum A sed & Ruatum. linea igitur A E positione data erii. PVRςtum A. sed & ECOMPONETUR vero in hunc modum . Ponatur ipsi BE -1imi e m. puncto D ducatur D A ipsi E D perpendicularis. iungaturove Au :ςn ' μ α
lineam A E contingere sectionem: sed & illud ebna a d, his, . LMRmst 'um ςst quod B, lineam, quae ab eo perpendicularis ducitur, sectionem i, ' 'ς SIT datum punctum C, es factum iam sit, quod pro nes, i, Si 'β m , contingens; & ter C ducatur C Faequi disian aii, holha β qmmς C Aipsi D B. ergo C F positione data est: & a puncto A ad CP ordinatim applicetur A F. Erit C G aequalis G F . & G est datum . datum igitur erit & ipsu in F. ordinatim au tem applicatur F A, hoc est aequidistans ei, quae in G sectionem contingit. data igitur est E A BD sitione: & iccirco punctum A datum. seu & punctum C. ergo C A positione da
COMPONETUR autem hoc modo.Ducatur per C ipsi BD aequidistans CF;ponaturque FG aequalis GC:& et,quae Iin G contingit sectionem, aequid istans ducatur FA ;& AC
SIT rursus hyperbole, cuius axis C B D, centrum Η, & asymptoti H E, H Fpunctum vero datum, vel in sectinne erit, vel in axe, vel intra angulum lineis E H F contentum , vel io loco, qui deinceps est, vel in una asymptotou ςOutinentium , sectionem, vel in loco intermedio inter continentes angulum ad verticem eius,qui lineis FHE coprehenditur. ITAQUE sit primum in sectione,ut Α; factumque iam sit; & linea Α G sectionem conti ngaῆ : ducat ur autem perpendicularis AD; & BC sit transversum figurae latus. Erit ut C D ad DB, ita CG ad G B. sed proportio CD ad DB est data; quod utraque data sit. proportio igitur C G ad G B erit data. & est data B Qquare S G datum. sed & ipsuin A. ergo A G positione data erit. COMPONETVR autem sic. Ducatur a puncto A perpendicularis A D: & pro portio C G ad G B eade sit, quae CD ad D B; & iungatur A G. Patet igitur lineam A G contingere sectionem . R URSUS sit datum punctu G in axe:& factu iam sit; ducaturque contingens AG A D perpendicularis. Erit eadem ratione, ut C G ad G B , ita C D ad D B ; & tq' P m Uata est CBD. ergo punctum D datum. est autem D A perpendicularis. quare& politione clata erit . & est sectio data positione . datum igitur est Α punctum. sed & ipsum G . ergo A G positione dabitur . COMPONETUR autem hoc modo. Ponantur aliaeadem a & fiat proportio
ad D B e3dem, quae est C G ad G B: & ducta D A perpendiculari, iungaturA G. Constat igitur lineam A G facere illud, quod pmponebatur: & a puncto G 3 . primi adrata Ippo sitas aueram duci lineam,quae sectionem contingat. huius. IISDEM positis, sit datum punctum Κ in loco, qui intra angulum E H F conti
149쪽
netur : & oporteat ab eo puncto lineam ducere, quae sectionem contingat. P natur iam laetum esse; & sit linea contingens Κ A: iungatur autem ΚΗ, & producatur ; adeo ut ipsi L H sit aequalis Η Ν . omnia igitur data erunt. quare & ipsa L N. itaque ordinatim applicetur Α Μ ad Μ N. Erit ut N K ad K L, ita N M ad M L. proportio autem N K ad K L est data. data igitur erit & proportio N Μ ad M L.estque punctum L datum. ergo & M.& ordinatim applicata est M A aequi distans ei, quae in L sectionem contingit. quare & M A datur positione . at positione datur sectio A L B. ergo & punctum A. sed & Κ datur. data igitur erit linea A K. COMPONETUR autem hoc modo.Ponantur alia eadem a & sit datum punctum K ; iunctaque Κ Η producatur; & sit Η N aequalis L H: fiat autem ut N K ad K L, ita N M ad Μ L; & ei, quae in L sectionem contingit, arquidistans ducatur Μ Α; & Κ Α iungatur. Ergo Κ Acontingit sectionem: & manifestum est ab eodem puncto K ad partes oppositas alteram lineam duci, quae sectionem contingit. IIsDEM positis sit punctum F datum in una asymptoton continentium sectio. nem: oporteatque a puncto P ducere lineam, quae sectionem contingat. Itaque ponatur factum esse; & sit linea contingens F Α E: & per
A dueatur Α D ipsi E Η aequidistans. Erit Η D aequalis D pi quoniam & F Α ipsi A E est aequalis. & data est F Η. ergo & punctum D datum . data quoque erit positione D A, quae per D ducitur aequidistans ipsi H E positione datae. & sectio data est positione . ergo & punctum A . sed & P datum. linea igitur F Α Ε positione data erit. COMPONETUR. autem hoc pacto. Sit sectio A B, cuius asymptoti E H, H F; & datum punctum F sit in una asymptoton stetionem continentium: secta autem F Η bifariam in D, dueatur per D linea DA ipsi HE aequid istans; & iungatur FA. Quoniam igitur FDest equalis D H i & F Α ipsi Α E aequalis erit . quare ex iis, quae demonstrata sunt,
linea F Α sectionem contingit. IISDEM positis sit datum punctum Κ in loco, qui deinceps est angulo sectionem continenti: & oporteat ab ipso Κ lineam ducere, quae contingat sectionem. Itaque factum iam sit ; & sit linea Κ Α, iunctaque Κ Η producatur: erit ea positione data. si iscur in sectione sumatur punctum C; & per C ducatur CD ipsi Κ Η aequidi-il .ins: erit C D data positione . at s C D bifariam secetur in Es iunctaque Η Κ πο- ducatur : & positione clata erit, diameter scilicet ipsi Κ Η coniugata . ponatur H G aequadis B H: & per A ducaturA L aequidistans B G. Quoniam igitur Κ L, B G eoniugatae diametri sunt; & A K sectionem contingit; ipsique BG aequid istans ducta est A L: erit rectangulum ΚΗLaequale quartae parti figurae, quae ad BG constituitur. quare & ipsum datum erit . est autem K H data. ergo &H L. sed & positione ; estque datum punctum II. ergo &L. &ctim per L ducta sit L A aequid istans B G positione datae; ipsa quoque positione dabitur . at sectio etiam datur positione . quare & A pun ctum. sed & Κ. ergo linea A K positione data erit. . COMPONETUR autem sic. Ponantur alia eadem; sitque datum punctum K in loco,ciuem diximus, ει iuncta ΚΗ producatur: sumpto autem in sectione puncto C, ducatur C D ipsi K H aequidistans; & C D hilariam in E secetur; iunctaque E H
150쪽
producatur; & ipsi B Η ponatur aequalis H G. ergo G B transversa diameter est, ipsi ΚHL coniugata. deinde ponatur quartae parti figurae, quae est ad B G, aequale rectangulum Κ H L: perque L ipsi B G aequidistans ducatur L Α; &ΚΑ iungatur. Linea igitur Κ Α semionem continget,per conversionem trigesimi octavi the rematis primi libri. At si in loco inter F H P interiecto aliquod punctum detur; quod propositum est, fieri non potest . linea enim contingens secabit G Η . quare &utrique ipsarum FH, H P occurret; quod est absurdum, ex ijs, quae in tragesimo primo theoremate primi libri, & in tertio huius demonstrata sunt. IISDEM positis,sit sectio data ellipsis; datum vero punctum insectione Α: &oporteat ab ipso A dueere lineam, quae sectionem contingat. Itaque ponatur factum tale ; sitque linea contingens A G; & ab A ad B C axem ordinatim applicetur A D. Erit punctum D datum : & ut C D ad DB, ο κ
ita erit C G ad G B. sed proportio C D ad D B in Fest data. ergo & proportio CG ad G B data erit: Z si & iccirco punctum G. sed & Α. quare & A G M i Nerit positione data. i
COMPONETUR autem hoc pacto. Dueatur I l perpendicularis A D: & C G ad G B proportio i ii j Ieadem sit, quae proportio C D ad D B; iunga- l l l l
turque A G. Constat igitur A G sectionem con-I Ii l itingere, quemadmodum & in hyperbola. . I
S IT rursus datum punctum Κ, a quo oporteat contingentem lineam ducere. Itaque factum iam si Msit,& sit linea K A: ductaque Κ L H ad Id centrum producatur iii N; erit ea posi-
tione data: qucid si A M ordinatim applicetur ; erit ut N K ad Κ L , ita N M ad M L. proportio autem N K ad K. L est data . ergo & data proportio NMad ML.
quare & punctum M . & applicata est MA; aequi distat enim lineae in L contingenti . ergo M A positione dabitur: & iccirco punstum A. sed & ipsum K est d, tum . linea igitur Κ Λ positione data erit. COMPOSITIO autem eadem est , quae supra . FED. COM MANDINUS. QUAE positione data erit. 3 Ex trigesima propositione libri Patoriam Eticlidii. AEt erit B E aequalis BD. Ex trige a quinta primi hiaus . BErgo & punctum E . J Ex vigesima septima libri Darisiam . CLinea igitur A E positione data erit. J Ex vigesima sexta eiusdem. DLineam igitur Α E sectionem contingere manifesto constat. Ex trigesima tertia Eprimi huius.
Ergo B E est aequalis B D. Ex trigesima quinta eiusdem . FErgo & D datum. J Ex vigesima septima libri latorum . GQuod cum D A perpendicularis sit; & positione data erit. Ex vigesima nona Heiasdem.
Sed & illud constat; si datum punctum sit idem,quod B. Ex decima septima Κ
Ergo C F positione data erit. J Ex vigesima octava libri Dararum . LErit ut C D ad D B, ita C G ad G L. Ex trigesima sextaprimi baius . MEt est cata B C. quare & G datum. J Quoniam enim linea B C data in datam pro- Nportionem dividitAr, erunt ET C 9 , G B data ex septima libri Darorum . O est datum, punctum C . ergo T cs erit datum, ex vigesima septima eiusdem . Patet igitur lineam AG contingere sectionem. Ex trigesima quarta primἰ o