장음표시 사용
151쪽
P Erit H D aequalis DF: quoniam & F Α ipsi A E est aequalis. J Nam cum F e ra qualis A ex tertia huius:Gr F D 1UD H aquatis erit,exsecanda sexti elementorum. Ω- Quare ex us,quae demonstrata sunt,linea DA sectionem contingit.J Ex nona huius. Erit rectangulum ΚΗL aequale quartae parti figurae, quae ad BU constituitur.)Est enim,ex trigesima octava primi haius yrectangusu ΚHL Myhiae quadrato,quod si ex dim Ela fecunda diametri,hoe eu aquale quarta parti sigura ad Ecj con tittit a. quoniam fecunda diameter media proportione obtinet inter figura latera,ex uenitione fecunda diametri.
S Linea igitur ΚΑ sectione cotingit, per conversionem trigesimi octavi theorematis.J
Hunc locu nos restituimus.etenim in Graeo exemplari numerus theorematis deerat. Vide eius demonstratione in comentariis,qua nos in trigesima octavaprimi huius eo cripsimus.
DATA sectione coni, lineam contingentem ducere, quaecum axe ad partes sectionis angulum faciat, dato angulo acuto aequalem.
SIT coni semo primum parabole, cuius axis A B. Itaque oportet lineam ducere, quae sectionem contingat; &cum A B faciat angulum aci partes sectionis , dato angulo acuto aequalem. Ponatur factum esse; & sit linea C D. datus igitur est BD CA angulus. ducatur perpendicularis B C . est autem angulus, qui ad B datus. suam
B data est proportio D B ad B C. sed D B ad B Α proportio est data . proportio igitur C AB ad: proportio LB C data erilerit. & datus angulus, qui ad B. ergo& B AC angulus est datus& est ad lineam B Α, quae datur positione; F iD & ad datum punctum A. linea igitur C A positione dabitur. at sectio data est positio. I l ne. ergo punctum C datum. & linea C D f lsectionem contingit. quare & positione f
modo. Sit data coni sectio primum parabo- I le, cuius axis AB: datus autem angulus I I
acutus, qui lineis E F G continetur; sum R λptoque in linea E F puncto E, ducatur per- --- pendicularis E G; & F G in II bifariam secetur; & iungatur H E : deinde angulo G H E aequalis constituatur angulus B A C; & ducta perpendiculari C B, linea: BAponatur aequalis A D; & C D iungatur . ergo linea C D sectionem contingit. Dico angulum C D B angulo E F G aequalem esse. Quoniam enim est ut F G ad G Η, ita D B ad B A . & ut H G ad G E , ira A B ad B C. erit ex aequali ut F G ad G E , ita E D B ad B C.sed anguli,qui ad G, B,recti sunt.angulus igitur Fangulo D est aequalis. SIT sectio hyperbole: ponaturque iam factum esse; & linea C D sectionem contingat: sumpto autem X sectionis centro, iungatur C X; & C E perpendicularis duca-37. primi tur. Ergo data est proportio rectanguli X E D ad quadratum κbui Wy E C: eadem enim est,quae transversi lateris ad rectum.propor
V tio autem quadrati CE ad quadratum E D est data quod da- G tus sit uterque angulorum C D E,D E C. quare & rectanguli sebis X E D ad quadratum E D proportio data erit: & iccirco pro. .c portio X E ad ED. sed angulus,qui ad E,est daturuergo&qui ad X.& ad lineam X E positione datam,& ad datum punctum L X ducta est XC in dato angulo. ergo &XC positione dabitur. V
data est autem & ipsa sectio positione. quare & C punctum.& ducta est C D eontingens. linea igitur C D positione erit data. Itaque ducatur F X sectionis asymptotos. M N ergo CD producta asymptoto occurret. occurrat in F. crit FDE angulus angulo F X D ma ior: & propterea in compositione problematis oportebit datum angulum acutum maiorem esse, quam sit dimidius eius, quem asymptoti continent. COM.
152쪽
I y COMPONETUR autem problema hoc modo. sit data hyperbole, cuius axis quidem A B, asumptotos autem X F; & datus ansulus acutus K HG, qui sit m ior angulo A X F ; sitque angulo A X F aequalis angulus ΚΗL; & a puncto A ad rectos angulos ipsi AB ducatur ΑF: in linea vero G H sumatur aliquod punctum G , a quo ad Η Κ perpendicularis ducatur G Κ . quoniam igitur angulus F X A angulo L Η Κ est arsualis. 6c anguli ad Α,Κ recti sunt. erit ut X A ad A F, ita Η Κ ad Κ L. & H AEd Κ L maiorem proportionem habet, quam ad K G. ergo & X Α ad A F maiorem habet proportionem, quam H Κ ad Κ G : & iccirco quadratum , X A ad A F quadratum maiorem habet,quam quadratum H Κ ad quadratum K G.
ut autem quadratum X A ad quadratum Α F , ira transversum figurae latus ad rectum. quare transversum figurae latus ad rectum maiorem proportionem habet, quam quadratum Η Κ ad quadratum KG.si igitur fiat,ut quadratum X Α ad quadratum A P, ita aliud quoddam ad quadratum K G; erit illud quadrato Η Κ ma- ius. sit rectangulum M Κ Η: & iungatur G M. itaque quoniam quadratum M Κ maius est rectangulo M K H; habebit quadratum M K ad quadratum. Κ G maiorem proportionem, quam rectangulum M Κ Η ad idem L G quadratum, hoc est maiorem, quam quadratum X Α ad quadratum A F . quod si rursus fiat, ut quadratum Μ Κ ad quadratum LG, sc quadratum X A ad aliud quoddam ; erit id minus quadrato A F; dc recta linea,quae ab X ad sumptum punctu duci-xur,triagula similia essiciet: & propterea angulus F X A angulo G M K erit maior.ponatur angulo G MK aequalis angulus AXC.ergo X C sectionem serat. secet in C : & a C ducatur C D sectionem contingens, & C E. perpendicularis. triangulum igitur CX E simile est triangulo G ΜΚ. quare ut quadratum X E ad quadratum EC, ita quadratum ΜΚ ad quadratum K G. est autem & ut transversum figurae latus ad rectum,ira rectangulum X E D ad quadratum E C, & rectangulum M K H ad quadratum Κ G: & convertendo, ut quadratum C E ad rectangulum X E D, ita quadratum K G ad rectangulum Μ Κ Η. exaequali igitur ut quadratum X E acl rectangulum X E D, i in quadratum M K ad rectangulum ΜΚH: proptereaque ut X E ad E D, ita M K ad Κ Η. sed ut C Ead E x,ita erat G Κ ad Κ Μ.quare rursus ex aequali ut C E ad E D,ita G Κ ad Κ Η.& sunt anguli, qui ad E,Κ,recti. angulus igitur ad D angulo G Η Κ est aequalis.
SIT seetio ellipsis, cuius axis A B: & oporteat lineam ducere, quae sectionem contingat, S: cum axe ad partes sectionis faciat angulum,dato angulo acuto aequalem.
Itaque factum sit; & sit linea C D. ergo angulus CDA est datus. & ducatur perpendicularis C E. proportio igitur quadrati DE ad quadratum EC cata es i. sit sectionis centrum X, & iungatur C X; erit proportio quadrati CE ad rectangulum D E X data:eadem enim
est, quae proportio recti lateris ad transversum. ergo
dabitur proportio quadrati D E ad rectangulum D EX : & iccirco proportio D E ad E X. proportio autem D E ad E C est data. data igitur & proportio C E ad
huius as. Dat . . . Dat αrum .
153쪽
ut rectum latus ad transversum, ita quadratum F Η ad rectangulum G Η Κ; &iungatur ΚF: sit autem sectionis centrum X ; S angula Η Κ Faequalis angulus constituatur A X C,& clueatur C D sectionem contingens. Dico lineam C D facere illud,quod proponebatur, videlicet angulum C D E angulo F G Η aequalem esse.
Quoniam enim ut X E ad E C, ita Κ Η ad H F; erit ut quadratum X E ad quadratum E C, ita Κ H quadratu ad ipsum H F.est autem & ut quadratum E C ad recha gulum D E X , ita quadratum F H ad rectangulum GH Κ: utraque enim proportio eadem est,quae recti lateris ad transversum. quare ex aequali ut quadratum X Ead rectangulum X E D, ira quadratum K H ad rectangulum Κ Η G.ergo ut linea X E ad E D,ita est ΚΗ adH G.estque ut X E ad E C, ita Κ Η ad Η F. ex aequali igitur ut D E ad E C, ita G II ad H F. quod cum circa rectos ansulos latera proportionalia sint angulus C DE Bangulo F G H est aequalis .linea igitur C D facit illud, quod propositum fuerat. p E . D. COMMANDIN US. QUARE data est proportio D B ad B C. I m enim anguli C DE, P R c dati
sint; erit σ BC D reliquas ex duobas rectis datur. quare ex quadragesima propositione libri varoram Euclidis , triangulam DC E dabituroecie . s propterea laterum ipsius
Proportio igitur A B ad BC data erit. J Ex octava propositione libri Datorum. utraque enim ipsarum AE , R C ad eandem D B proportionem habet datam . Et datus angulus,qui ad B.ergo & B A C anguIus est datus.J Ex quadragesima prima esu de Lisi. tar nanque triangulum ABCfpecie. erto ct reliqui ipsiur anguli dabantur. Linea igitur C A positione dabitur.) Ex vigesima nona eiusdem Gisi. Angulus igitur P angulo D est aequalis. Ex sexta sexti elementorum. Proportio autem quadrati C E ad quadratum E D est data; quod datus sit uterque angulorum CDE, DEC. J Datas est enim angulas CDE . itemque D E C, qui est rectus. ergo ct reliquus ECP .ct triangulam D C E specie dabitur , ex quadragemma propositione Sasorum. data ess itisa proportio lateris C E ad E Drct iccires ex quinquagesima eiusdem , quadrati C E ad quadratum E D proportio data sit, necesse est . Quare & rectanguli X E D ad quadratum E D proportio data erit. J Ex octava
ei dem. data eis enim utriusque proportio ad quadratum E C. Et iccirco proportio X E ad E D. J Eadem nanque est, qua rectanguli X EP ad quadrarnm E P,ex prima sexti Mementora,vel ex lemmate in vigesima secunda decimi. Sed angulus, qui ad E,est datus. ergo & qui ad X .) Muiam enim proportio X Lad E D est data . σ data proportio C E ad E D , ex iis, qua supra dicta funt. erit exalta*a Narorum X E ad E C proportio quoque data . . est datur angulus ad E rectus . ergo triangulkm X EC specie datur, ex quadragesima eiusdem e s propterea reliqui ips
Ergo & X C positione dabitur. J Ex vigesima nona eiusdem. Ergo C D producta asymptoto occurret . J Ex tertia huius. Erit F D E angulus angulo F X D maior .s Ex deeima sexta primi elementoram. Erit ut X A ad A F , ita H Κ ad Κ Lὰ Ex quarta sextilequirun enim ex i- dictis trianex in F X A triangulo 9 Η Κ simile esse . Ut autem quadratum X Λ ad quadratum A F, ita transversum figurae latus ad rectum. J Ex demonstratii in prima huius . N
154쪽
I TItaque quoniam quadratum M Κ maius est rectangulo MX. H. Nam ex prima insecandi quadratum M K aruale est rectan uia Ar R H, ct rectangulo Κ Ar MEt propterea angulus F X A angulo G M K maior erit.) me etiam ex sexto le-- Rmiare Pani manifes Io constarepotest : cum Ag Κ ad Κ9 maiorem habeat proportionem , quam X A ad A F.
Ergo X C sectionem secat. Exseeunda halas . SEst autem & ut transversum latus ad rectum , ita rectangulum X E Dad qua- Tdratum C E. J Ex trigesima septima primi huius . Et rectangulum M K H ad quadratum K G. Ex iis, qua saperius ostensa sunt. V
quare sequitur, ex undecima quinti, retit angulum X EB ad quadratum E C ita esse , ut rectangulum Arae Mad quadratum K G.
PROBLEMA VIII. PROPOSITIO LI. DATA sectione coni, lineam contingentem ducere,quae cum diametro per tactum ducta faciat angulum,dato angulo acuto aequale.
sta data coni sectio primum parabole , cuius axis AB a & datus angulus H. Itaque oportet ducere lineam , quae parabolen contingat ; & cum diametro, quae pertactum ducitur, contineat angulum aequalem dato angulo U. Factum iam sit, &linea contingens sit C D: quae quidem cum diametro EC Dper tactum ducta faciat angulum E C Diangulo H aequalem; & axi in puncto D occurrat. Quoniam igitur A Daequidistat E C; angulus Α D C angulo ECDest aequalis . & datus est angulus E C D: est enim aequalis angelo H. ergo & A D C angulus datus erit. lCOMPONETUR autem hoc modo. Sit parabole, cuius axis AB;& datus angulus II. Ducatur linea C D secticinem contingens, quae cum axe faciat ansulum C D A aequalem angulo II: & per C ducatur E C ipsi A B aequi. distans. Itaque quoniam angulus H angulo A DC est aequalis . angulus autem A DC est aequalis angulo ECD. & H angulus angu- Io E C D aequalis erit. SIT sectio hyperbole, cuius axis AB, centrum E, & asymptotos E T: datus autem angulus acutus sit n ; & linea C D sectionem contingat ; iungaturque C Efaciens illud, quod propositum est ;& C G perpendicularis clucatur. Itaque pro- Aportio transversi lateris ad rectum data est . quare & da ta proportio rectanguli E G BD ad quadratum C G. exponatur recta linea data F H; & in ipsa circuli portio describatur, suscipiens angulum aequalem angulo Ω quae quidem portio semicirculo maior erit: & ab aliquo puncto eorum, suae sunt in circunferentia, vide. licet a puncto Κ ducatur perpendieularis Κ L, faciens proportionem rectanguli F L Η ad quadratum L Κ eandem, quae est transeversi lateris ad rectum; & iungantur F Κ, Κ H. quoniam igitur angulus F Κ H est aequalis angulo ECD. est autem ut transversum latus ad reetum, ita & rectansulum E G D ad quadratum
C G ; & rectangulum F L H ad quadratum K L. erit triangulum Κ F L triangulo C GEDEDisiligod by Cooste
155쪽
I 8 H C G E simile; & triangulum FHΚ simile triangulo E D C. quare angulus Κ F Hangulo C E Dest aequalis. COMPONETVR autem hoc modo . Sit data hyperbole AC , cuius axis K AB , centrum E , & asymptotos ET : datus autem angulus acutus fit δε & data proportio transversi lateris ad rectum sit eadem , quae lineae . R acl R V; &, . teitii. ' V in Υ bifariam secetur: deinde exponatur data recta linea P H; & in ipsa ei r-culi portio maior semicirculo describatur, quae suseipiat angulum aequalem angu- Io s2; sitque F Κ Η: sumatur autem circuli centrum Ν; a quo ad F Η perpendicularis ducatur N O: & N O secetur in P; ita ut N P ad P Ο eandem habeat proportionem , quam Y Vad U R; N per Pipsi FH aequid istans clueatur Ρ Κ ; & a K ad F H productam perpendicularis Κ L ducatur: deinde iungantur FΚ, ΚΗ; pro-a . primi. ducaturque L Κ ad M; & ab N ad K M ducatur N X perpendicularis. aequid istat L igitur N X ipsi F Η : proptereaque ut N Ρ ad P O , hoe est Y V ad U R, ita X Κ ad Μ Κ L; & antecedentium dupla, ut i V ad U R, ita M K ad K L; componendoque ut R ad R V. ita Μ L ad L Κ. Biem. inia. sed ut M L ad L Κ , ita rectangu decimi. tum M L Κ ad quadratum L Κ.ut igitur . R ad R U, ita rectan gulum M L Κ ad quadratum LX, N hoc est rectangulum FLII ad LΚ9uadratum. ut autem PR ad RV, ita transversum latus ad rectum.
ergo ut rectanstulum F L Η ad quadratum L Κ , ita transversumo latus ad rectum. ducatur a nuncis
A linea AT ad rectos angulos ipsi L ITO pΑ B. & quoniam ut quadratum E A ad quadratum A Τ, ita est transversum latus
ad rectum: & ut transversum latus ad rectum, ita rectangulum F L Η ad quadras. quinti. tum L K. quadratum autem P L ad L Κ quadratum maiorem proportionem habet, P quam rectangulum F L Η ad quadratum L Κ. habebit quadratum P L ad quadra tum L Κ maiorem proportionem, quam quadratum B A ad quadratum A T. &sunt anguli ad A,L recti. angulus igitur P angulo L minor erit. itaque constitua tur angulus Α E C aequalis angulo L FK. ergo linea E C sectioni occurret. occur rat in puncto C ; & a C ducatur C D contingens sectionem & C G perpendiculari, 37 p 'hi erit ut transversum latus ad rectum, ita rectangulum E G D ad quadratum C G ι
'μ ' ut igitur rectangulum P L H ad quadratum L Κ, ita rectangulum E G D ad qua-R s dratum C G: ideoque triangulum Κ F L triangulo C E G est simile; & triangulum K H L simile triangulo C D G: & Κ F Η ipsi C E D. quare E C D angulus angulo
T F Κ Η, hoc est ipsi n est aequalis. Si vero transversi lateris ad rectum proportio sit V aequalis ad aequale; linea K L circulum P Κ Η continget: & a centro ad K ducta aequi dis ans erit F H; & ipse problema essiciet.
A ITAQUE proportio transversi lateris ad rectum data est. sidoniam enim positis.
ne data est ET UTmprotos: se a punito se ducatur ad rectos anguisi ipsi A E linea e T,
9 Dator. qaee Hymptots in T occurrat; erit e T data . Er data proportio Erue ad AT . quare σ ' pjoportio quadrati Ee ad qaadratum AT . hae autem eadem est , qua tran es lateris ad rectum , ex demonstratis in prima huius quanquam data hyperbola , ct latare eius transverse ,statim transversi lateris ad re tum proporito data erit abseque asymptotis . fiant enim asymptoti retio latere quodammodo posteriores .
156쪽
data su ρ P G,9 A, ct ea si proportio dabitur,hoe est proportis rectanguli R A G ad .a. Iea .in a. aratum G A. estrae data C inergo π data proportio A G ad G Qer ieeiseo qώadrati Asi 4ςςimi ad quadratu C G.proportio igitur rectanguti H 9 A ad quadratum C G data eris, .isa est Γ Α ς' versi iateris ad rectam, ex vigesimappima primi Mias . ' φ' Quare & data proportio rectanguli E G D ad quadratum C G. Eadem enim est, Rqua transversi lateris ad rectum, ex trigesima septima primi baius. Et in ipsa circuli portio describatur, suscipiens angulum aequalem angulo n. I CEx trigesima tertia terti' elementorum. Quae quidem portio semicirculo maior erit. Ex trigesima prima eludem tertii DPaciens proportionem rectanguli FLH ad quadratum L Leandem, quae est Etransversi lateras ad rectum. J Quomodo Me stat , mox apparebit in proHematis
Est autem ut transversum latus ad rectum, ita & rectangu Ium E GD ad uua- Fdratum C G : & rectangulum P L H ad quadratum K L. I Quare ex undecima quinta I equitur rectangulum F L M ad quadratum L R ita esse , - rectaneatam EG D ad quadratum ci C. proportis autem rectavali F L H ad q adratiam L Κ componitur ex iςxti. proportione F L ad LX ct proportione H L ad L Κ o ct promisio rectauul, E G D ad quadratum G C eomponitur ex proportione E 9 ad 9 C s DG ad 9 C . erro proportio, composita ex proportionibus F L ad L Κ H L ad L Κ, eadem ess , qua componitur ex
proportionibas Ε9 ad 9 C σD 9 ad 9 C . Erit triangulum Κ F L triangulo C E G simile; & triangulum F H Κ simile tri- Gangulo E D C . Est enim F L ad L Κ ,κt E9 ad G C , qaod postea demonstrabimus
HX L reliquo DCV araatis r σ triangulum K F H simiae triangulo CE D - item eir angulum HK L triangulo DC9. . 'e t Dedio F L ad ΔΚ ita esse, ut E 9 ad G C, hoc modo demonstrabimus. Si enim 'μ. potest a sit proportio F L ad L A malo , quam EG ad 9 C erit 6 L ad L Κ pγυον iamιnor , quam PG ad G C o quoniam proportio , commina ex proportionibas F L ad L Rct HL ad L Meadem es , qua componitur ex proportionibus E 9 ad 9 G s DG ad Gm quod supra ostensum est . itaque stat et E Gad G C, ita ML LK. erit M L mi,. ' ε. quinti.' am F L. rursus sar, vi H L ad L x, ita ost ad G C. 'eadem ratione minor erit OG , quam D 9. Quoniam in viritum ac L ad L Κ eandem habet proportionem, quam EG ad 9 C .ctiant angvili ad L,G recti inter se ay les. triangulam M Lx triareulo EG C simile erit. ruros quoniam ob ad G C eandem proportionem habet, quam ML ad L Κ ; erit σ triangviam OG C simile iis M LK. antulus igitur ECG aqvialia est angati Ar Κ L .ct angatas ΟC9 qualis angulo M K L . ergo retiquus ECO reliquo M K H qualis erit . quod fieri non potest . ponebatur enim angulus E CD aqualis angulo F Κ u. σ est angalus ECo maior angulo ECP. quare matto maior est angulo M K H. idem sequetar ab riam ; si proportio F L ad LX ponatur minor , quam E Gad 9 C . ex qaibas constat F L ad L X eandem habere proportionem, quam EG ad 9 C. Quare angulus Κ F L angulo CEDest aequalis.) Hunc locum nos ita eorreximus. Hin Graeo enim exemplari legebatar . ara λωίν υπο δ x Θμπία, πιπιο η si τοῦ ι το E T Δ, hoe est Quare angulas F R H, videlicet angulas Ω angulo EC D est aquatis a Gr mendo , at opinor. concluderet enim, quod anteam erat: essetque eadem conclusio in resolutione ct compositione problematis , quod est ab rdum . Et asymptotos ET . in Hac nos addidimus, qua tu Graeco exemplari non erant e fed Κramen desiderari videbantur.
157쪽
aquale rectangulo Ar L Κ ; quod utrunque M aquale quadrato eius linea , qua ab L dacta circulum eontingit , ex trigesima sexta tertj elementorum .
U Ducatur a puncto Α linea Α Τ ad rectos angulos ipsi AB. Linea et g T in pancto e sectionem eontingit a ct asymptoto recurrit in T. ergo quadratum E eis ad quadratum e T eam proportionem habet, quam transversum tarus ad rectam , ex jι , qua in prima huius demonstrantur ,
P Habebit quadratum F L ad quadratum L Κ maiorem proportionem, quam quadratum Ε Α ad quadratum AT.& sunt anguli A, L recti. angulus igitur F angulo E minor erit. I uuoniam enim quadratum F L ad quadra: um L ae maiorem proportionem habet, quam νadratum E a ad quadratum e g T; habebit linea F L ad L x maiorem proportionem , quam E eis ad eis T. quare ex sexto lemmate 'Pappi angulus F
Ergo linea B C sectioni occurret. Ex feeunda huius. Ideoque triangulum Κ F L triangulo C E G est simile.J Nam auulut C Ecgfamjι est aqualis angulo Fangu 3 9 retitus aquaeis est recto L. ergo reliquas reliquo aqualis erit: ct triangulum X F L triangulo C E 9 simile.
S Et triangulum Κ Η L simile triangulo C DG ;&ΚFH ipsi C E D. I Constat b,
ex septimo lemmate Pani. T Si vero transversi lateris ad rectum proportio sit aequalis ad aequale. Hoc est si transversem talas sit equale recto. Linea K L circulum F Κ H continget: Δca centro ad K ducta aequi distans erit F H. J Si enim is eantro Nad eircunferentiam circuli ducarur linea N Κ , qua ipsi F Haquidisset,s a X ad FH productam demittatur perpendicularis KLr linea KL circulum
continget,ex decima sexta propositione tertis elementoru:quoniam s ad ipsam NK es popendicularis.
THEO REM A XLIV. PROPOSITIO LII. SI ellipsim recta linea contingat: angulus, quem facit cum diametro per lataim ducta, non est minor angulo deinceps ei, qui lineis ad mediam sectionem inclinatis continetur .
SIT ellipsis, cuius axes AB, CD, centrum E ; & sit axium maior veto G F L sectionem contingat; & iunctis A C,C B, F E, producatur B C ad L. Dico angulum L FE non esse minorem angulo L C A . Linea enim F E, vel est aequi distans ipsi L B, vel non ae- .. sexti. quid istans. Sit primum aequidistans . & est A E aequalis E B . er- ,. huiu, go& A H ips H C est aequalis . sed F E diameter est. linea igitur, quae in F scistionem contingit, ipsi A C est aequid istans. ests . primi. autem S F E aequid istans L B. quare parallelogrammum est A F H C L: Sc iccirco angulus L FH aequalis est angulo L C Η.quo-33 primi niam igitur utraque ipsarum A E , EB est maior EC; an-hMR Τ B gulus ACB est obtusus. ergo acutus angulus L C Η & L FE:& propterea G F E obtusus erit.Sed non sit E F aequidistan, L B: C & ducatur FK perpendicularis . non igitur angulus L B E aequalis est ipsi F E A. rectus
158쪽
rectus autem angulus ad E recto ad K. est aequalis . ergo triangulum C B E non est simile triangulo F E Κ : & ideo non est ut quadratum B E ad quadratum E C , ita quadratum E L ad quadratum K F. sed ut quadratum B E ad quadratum E C., soc est ut rectangulum A E B ad quadratum E C, ita transversum latus ad rectum,& rectangulum G Κ E ad quadratum K. F. ergo linea G Κ non est aequalis ipsi L. E. exponatur circuli portio M Y N, suscipiens angulum aequalem angulo AC B .angulus autem A CB est oblucus. ergo circuli portio M Y N est semicirculo minor. dat igitur ut G Κ ad Κ Ε, ita N X ad X M; & per X ad rectos angulos ipsi M Ndueatur g X Qs & M Y, Y N iungantur : secetur autem Μ N bifariam in T ; &ad rectos angulos ducatur O T P. erit Ο Τ Ρ diameter. sit R circuli centrum, a quo perpendicularis ducatur RS;& iungantur Μ Ο, ΟΝ . itaque angulus M O N est aequalis angulo A CB.& utraque ipsarum A B, M N in punctis E ,T bifaria secatur: suntque anguli ad I 4Ε,T recti. triangula igitur OTNA , . . . E B inter se similia erunt. ergo ut Iquadratu N T ad quadratum TO, uita quadratum BE ad EC qua insta i
dendoque PT aclTO minorem, quam Q X ad X Y . sed ut PT ad To, ita Κquadratum N T ad quadratum T Ο, & quadratum B E ad quadratum E C, &transversum latus ad rectum, & rectangulum G Κ Bad quadratum KF . ergo te. hantulum G Κ E ad quadratum Κ F minorem habet proportionem , quam Q X ad XY, hoe est quam rectangulum Q X T ad quadratum XY , hoc est rectangu- lZmm 3δ. Ium N X Μ ad quadratum X r. si igitur fiat, ut rectangulum G Κ E ad quadratum K. F, ita refrangulum N X M ad aliud quoddam; erit illud maius quadrato s. quinii X Y. sit quadratum XV. Itaque quoniam ut G Κ ad Κ Ε, ita ΝX ad X M. & L sunt K F, X V ad rectos angulos & ut rectangulum G Κ E ad quadratum K F, ita rectangulum N X M ad quadratum X U. erit angulus G P E aequalis angulo NUM. ergo maior est angulus N Y Μ,hoc est Α C B angulo G F E.qui vere, deinceps est,uidelicet L F H est maior angulo LCH.non igitur angulus LP H angulo LC H minor
FED. CO M MANDI NUS. QUONIAM igitur utraque ipsarum Α Ε, E B est maior E C; angulus A C B Α
etrio dixit , at ex duabus angulis , quos diameter cum linea cσntingente esseis, Mutam intelligamus, non obtusum , qui est ex par eq. hac enim omnia feraeenti problemaei ἐκ- fervire perspicuum est.
N on igitur angu lus L B E aequalis est ipsi F E A. J Quoniam enim linea B L, E F Cnon sunt aquisistanetes : si producantur 9 convenient inter sese; atque erit angulus FE Κ
159쪽
exteriar quolιbet interiore σ opposita maior , ex decima sexta primi elemen
D Et ideo non est ut quadratum B Ε ad quadratum E C , ita quadratum E L ad quadratum L E . ) cyracus eodex corruptus est , quem nos ita res usti-
verba cia a ' μίν ἡ Η x H x E in verisimiae est nonnulla desiderari in bane sententiam : Non igitur est, ut νectangulum G x E ad quadratum X F , ita quadrasum E M ad quadratam K F . quare rectavatum G Κ E quadrato Κ E non est aquale . Hae aatem magis perspieua essent ; si hoc modo explicarentur . Ergo trian- . . tutum C E E non est simile triareulo F E X s ideo non est Ar B E ad E C , ip i' ita E K ad K F ; neque ut qMariarum B E ad quadratam E c , ita quadratumi s. I ''' E Κ-quadratum K F . sed ut quadratum B E ad quadratum E C , hoc est m,ν. primi rectangulum A E B ad quadratum E C , ita tra νομα latus ad rectum t re athuius. transversum latas ad rectum , ita res aetatam 9 Κ E ad quadrinam Κ F . nonigistir in rectangatam G Κ E ad quadratam Κ F , ita est quadratam E R ad quadratam x F . qaare rectangulum G Κ E quadrato x E non est aquale, ut autem rectavaikm 9 Κ E ad quadratam R E , ita limea Κ ad X E . e,go linea G Κnon est araatis ipsi x E .E Secetur autem Μ N bifariam in T . Non enim punctum X eadit in media tinea M N , quemadmodam neque X in medio G E: cam ostensam sit 9 x non esse aequalem Κ E.
P Itaque angulus M O N est aequalis angulo Α C B r & utraque ipsarum A B , Μ N in punctis E, T bifariam secatur . 1 Post ea verba desiderari
nonnulla videntur , cui mori hac sunt e quare Iulus TON est a vatis antia.
H Et antecedentium dupla Ρ Ο ad Ο Τ minorem habebit, quam Q Y ad Y X. Fiat
M ROMOT, Da ST ad aliam , qua sit Τ Z. reis T Z maior, quam T X. ut autem 3 v xi S O ad RO , ita ν ad ST . ex aquae, litur , ut PO ad Ori ira UT ad T Z . fed Υ ad Τ Z minorem habet μαγνι ionem , quam au T X. ergo σ P O ad OT minorem proportionem habebit, quam κΥ ad T X.
K Sed ut PT ad TO, ita quadratum T N ad quadratum T O. Ex eorMeor. 8. 1ς- lario vige a sexti . fant enim tres linea 'P T, T N , T O proportionaler. at V ' . . autem quadratam T N ad quadratum T O , ita quadratum B E ad quadγatam huiu,. E C , rectangulum cis E E ad quadratum E C , hoe est era n e um δε-3 . tus ad rectum d ET ut transversum latus ad retitum , ita rectangialum G Κ E ad quadratam Y F . ergo ut 'P T ad T O , ita rectangulum V A E ad qaadrartim x F . Gr propterea rectangatam 9 Κ E ad quadraram K F minorem proportio
nem babet, quam et X ad X T. L Itaque quoniam ut G K ad K Ε , ita N X ad X M . & sunt Κ F , X U ad rectos angulos : & ut rectangulum G Κ E ad quadratum L F ita reviangulum N X M ad quadratum XU. erit angulus G F E aequalis angulo N U M . uad vero nos hae Lemmate demonstrabimus t quoniam a Pappo demonstrarum esse non apparet. SINT triangula A E C, E F 9: Er iactis eis D , Es yeνpendieularibus ad bases E C , F 9 , sit ut B VI ad 'D C , ita F H ad H G : sitque xl reetau- salum B D C ad quadratum P - , ita F H 9 recta gulam ad quadrartim H E. Pico
160쪽
Pica triangulum E F Η triangulo eis B D simile simile triangulo in DE F G triangau - A C .
ad rectangulum T D Ca aeto triangulum Quoniam enim
Ii G , ita qMadratam F H ad rectangatum F H G. ergo ut quadratum B D ad rectangulam B D C , ita quadratam F H ad re-e angvlum F H. sed ut rectangalam BD Cad quadratum D A , ita erat rectangulum F H G ad quadratum H E . ex aquaei e tar ut quadratum B D ad quadratum D A, ita quadratum F M ad quadratam M E. quare M linea B D ad D - , ita linea F Mad H E ct eadem ratione demonBrabitur,nt linea C D ad D - , ita esse lineam G H ad H E . cum igitur circa aquales angatis , videlicet circa rector , qui fune ad D, H, latera proportionalia sint ; triangu-tam E H F simile erit triangulo A D E ;O triangatum E H 9 triangulo eis D C . quare angulus F E H aqualis est angulo B AP. G angulas H E cy angulo D eis C . angulus stisar F EG angulo B AC est aqualis . ct est angulus E F G aqualis angulo A R C , ct aettilus EG F angato in C B. ergo σ triangulum E F 9 triangulo sed C simiae eris. quod oportebat demonstrare .
PROBLEMA IX. PROPOSITIO LIII. DATA ellipsi, contingentem lineam ducere, quae cum diametro per tactum ducta faciat angulum,dato anguloacuto aequalem opo tet autem acutum angulum datum non esse minorem angulo dei ceps ei, qui lineis ad mediam sectionem inclinatis continetur.
SIT data ellipsis, cuius maior axis A B, minor CD, & centrum E ;&iungantur A C, C B: datus autem angulus sit Y, non minor angulo Α C G. quare &λ CB angulus non est minor angulo X. ergo angulus Y vel
est maior angulo A C G, vel ipsi aequalis. Sit primtim aequalis:& per E ducatur E K ipsi B C aequidistans; & per L contingens sectionem Κ Η. Quoniam igitur Α E est aequalis E B. &ut AE ad EB, ita AF ad FC. erit Α F ipsi F C aequalis. &est Κ E diameter. ergo quae in L sectionem contingit, hoc est Π Η Κ G aeqv idistat ipsi Λ C. sed & ΕΚ aequissistat B G. parallelograminum igitur est Κ P C G : & ob id angulus G Κ Eangulo GCF aequalis . angulus autem G CF est aequalis angulo dato Y. ergo & G Κ E angulo Y aequale erit. Sit deinde angulus Y maior angulo AC G: erit contra angulus X minor AC Bangulo. Exponatur circulus; & ab eo auferatur