장음표시 사용
171쪽
TERITI' Conicoram tiber , amicisme Anthemi, denas ab antiquis exim rus eis, in quem multum studi' ac diligentia conferretur; id quod varia ipsias editiones ostendunt e sed neque epistolam habet , quemadmodum alii libri; neque eommentarios in iuum docti alicatus viri ex iis , qui ante nos fuerunt: quanquam in eo multa sint contemplatisne dignilsima, ut ipse inpollonius in prooemio totius libri asserit. Omnia a nobis manifeste explicata Iant, ac demonstrata ex precedentibus libris Q commentartyr, quos in ipsos conscripsimas . Invenitur etiam alia demonstratio , in parabola quidem huia odi.
Quoniam Α C sectionem contingit, & ordinatim applicata est Α F; erit & C Baequalis B R& B Fipsi A D.ergo A DA B inter se aequales sunt.sed & aequid istantes. triangulum igitur A D E aequale est,& simile triangulo E B C. In alisi vero hoc pacto. Iungantur AB,CD.Et quonia ut F G ad G B,ita est BG ad G C.& ut FG ad G B, ita AG ad G D: est enim AF ipsi D B aequid istans ergo ut B G ad G C,ita AG adGD:& propterea Α B aequidistat ipsi CD triangulum igitur A DC aequale est triangulo BDC:& communi CDE ablato,relinquitur triangulu ADE triangulo CBE aequale
Hoc theorema in parabola quid7,9 h pepbola non habet ea ι; in ellipsi ver o,2 eiretiae, unferentia duor habet:siquide contingentes linea in tactitas duntaxat diametris occur Vant cT 'sis productis,uet occurriu secat in proposita Mura,vel ad alterai partes, n quibus
est E,3u admodii ct in hyperbola. FED. COMMANDINUS. A ET in parabola quidem parallelogrammum A B D P aequale erit triangulo A CF . 3 Ex quadragesima fecunda primi huius . A Et quoniam ordinatim applicata est A F; & A C sectionem contingit: rectanguluin F G C aequale est quadrato B G . t Ex trigesima septima primi huius . C Sed ut quadratum F G ad quadratum G B, ita triangulum A G F ad triangu .lum DG B. J Ex tertio lemmate 'Pani. D Commune auferatur A G B E. reliquum igitur triangulum A E D reliquo C EB
aequale erit. J D ellipsi quidem ct circuli circisnferentia , ablato vel addito communie 9 E E: sed in hyperbola , ablato eo uni BEC Ginequitur illucquod propositum est, viaeticet triangulum e E D triangulo B EC aquale esse .
IN ALIAM DEMONSTRATIONEM, QUAE AB EUTOCIO PONITUR.
' 13 Erit de C B aequalis B F. J Ex trigesima quinta primi hiatus. Triangulu igitur AD E aequale est, & simile triangulo E B C. Est enim ex intesima Diuiligod by Corale
172쪽
sima nora primi angulus D aequalis angati Β , π angulus A angulo C. santqae angali adverticem ayuales . trιangula igitur aequalia,s similia erant .
Et quoniam ut F G ad G B, ita est B G ad G C. ) υ enim pectangulam F G C Gera ite quadrato A 9,ex trigesima optima primi huius . Et i. t b G ad G B, ita AG ad G D. Ex quarta sexti 3iad trietati A GF GH i- Ηtia fant. Et propterea A B aequidistat ipsi C D. J Nam eum sit AG ad 9 D, at BG ad G C; erit permutando C9 ad 9 qui S c j ad j A.σfunt eirea eosde, vel aquales angulos latera proportionalia.ergo trianguliι CG S simile est triau lo BGA.π avatas ci Dc angulo GAB qualis. linea igitur D G linea AE est aquidistans.Sed itiad et iapo mus exprimo lemma re Pappi demonBrare iuncta enim 9 E lineam A S bifariam feeabIt,ex trigesima secundi libri hώιur.quare ct i cm C 'mex demonstratis in sextam propositionem primi libri huius. Triangulu igitur A D C aequale est triangulo B D C. 3 Ex trigesima septima primi
Et communi C D E ablato,relinquitur triangulum A D E triangulo C B E aequa - Mle . merum est hoc in hyperbola quidem semper , in ellipsi vero s circvii circunferentia
in uno tantiam casu . nam in aetero casu ablato communἰ COD , σ eommani in E B aidito , sequitur triangulum e D E equale esse triangulo C B E.
IISDEM positis,si in coni semone, vel circuli circunserentia sumatur aliquoa punctu;& per ipsum aequidistantes contingetibus usque
ad diametros ducantur: quadrilaterum actum ad unam contingentium & ad unam diametrorum, aequale erit triangulo, quod ad eandem contingentem , & ad alteram aiametrum constituitur.
SIT coni sectio, vel circuli circun rentia AB, quam contingant rectae lineae
173쪽
aequale quadrilatero Α L; commune apponatur, ves austratur quadrilaterum I K. ergo triangulum AIM quadrilatero C G est aequale.
CASUS hutas theorematis invenientur per quadragesimum fecundum ct quadragesimo tertium theorema primi libri , s per commentarior , quos in ea eonscripsanus . oportet autem scire , sipunctum inter e B fumatur a ita ne aquidistantes
sunt in theorema te quadragesimo no
quoniam linea contingens est a C , cui quid at G N; ct Gameter est M X , ct NK aquatis ae G . quoniam Witur rei vulum Κ NX aquale est quadrilatera ΚC, s relangalo ΚG ae; comm i Miato ε σιν , reliquum triangulum a I Ag reliquo C G quadrilatero aquati erit.
THEO REMA III. PROPOSITIO III.
IISDEM positis, si in coni sectione , vel circuli circuriserentia duo puncta sumantur 3 & per ipsa ducantur aequidistantes contingentibus usque ad diametros: quadrilatera, quae ab ipsis fiunt in diametris constituta, inter se aequalia herunt.
SIT eoni sectio , ves circuli circunserentia ; lineaeque contingentes & diametri , sicut dictum est & sumptis in sectione duobus punctis P, G, ducantur per F quidem lineae contingentibus aequid istantes FHKL, NFIM; per G vero ducantur N G Xo , GH PR. Dico quadrilaterum L G quadrilatero Μ Η, & quadrilaterum L N ipsi R N aequale esse . Quoniam enim antea demonstratum est triangulum R P A aequale quadrilatero G C, & triangulum A I M quadrilatero C F . est autem Α R P triangulum malua , quam triangulum ΑΜ I, quadrilatero P M . erit & quadrilaterum C G maius , quam C F, eodem P M quadrilatero et & propte- Duilired by Corale
174쪽
rea quadrilaterum C G aequale est quadrilateris C F , P M, hoe est ipsis C hi , R F. commune austratur CH . reliquum igitur quadrilaterum L G
HOC theorema plures casus habet, quos ut in antecente inveniemusr sed animadvertendo est duo puncta, quasumuntur, vel esse inter duas diametros, vel extra ct ad easdem partes . nam si alterum quidem extra fumarur , alterum vero inter diametros a non constituentur quadrilatera, de quibus in propositione dictum est et sed neque ad utrasqae diametrorum partes constituentur.
SI oppositas sectiones duae rectae lineae contingentes inter se conveniant , & per laetius ducantur diametri contingentibus occurrentes : triangula , quae ad contingentes constituuntur , sibi ipsis aequalia erunt.
SINT Oppositae sectiones A, B ; quas contingant rectae lineae AC, B C, in puncto C convenientes; sitque sectionum centrum ri& iunctis A B,C D,producatur C D usque ad E: iungantur etiam AD, BD; &ad F, G producantur. Dico triangulum A G D aequale esse triangulo B D F;& A C F triangulum triangulo B C G. Ducatur enim EerH contingens lectionem H L, quae ipsi A G aequi distabit. Et quoniam A D aequalis est D Η ; erit Α G D triangulum aequale triangulo H L D. sed & triangulum D HL aequale est triangulo BD F. ergo oc triangulum ΑGD triangulo B D F: & propterea triangulum A C F ipsi B C G est
IN propositione huius theorematis σ eorum , qua sequuntur , oportet scire , e pollonium indeterminate dieree oppositar fectiones. Er nonnulli quidem eodices habent duas contingentes in una sectione o nonnulli vero non duas contingentes in una, sed sivatas in
175쪽
ptop. M. in utraque fectione contistentes, qua inter se convenient sati dictam emisseeando lib=. in angulo , qui deincem est avgulo asymptoton o ct ita eveniunt ea, qua in propositione dicuntur. Licet autem js, qui volunt,iac ex descriptionibus considerare: quanquam si unam Midem sectionum dua recta linea contingant; qua per punctum, in quo conveniunx, ct per centrum daeitur linea, tranoe a diameter est o si vero utranque fectionem singala linea contingant; qua per dictum punctum oe centrum ducitur , recta est diameter oppositara, Iectionum.
FED. COMMANDINVS. A Quae ipsi A G aequi distabit. J Ex iis, qMa ab Eutocis demonstrata funt in quadragem
B Et quoniam A D est aeq ualis D Η. 3 Ex trigesima primi huius . C Erit A G D triangu lum aequale triangulo II L D J Nam eam linea Asi, H L
s .pi imi. inter se aquidsent, erit angulut AG D equalis angulo H L an ali, qui ad 'D,aqaa- les sunt. quare ct reliqaas aquatis reliquo, T triangulum triangati simile. xt igitar A D
ad D H, ita 9 D ad D L , ct A cs ad M L . sed A D est aqualis D H. ergo er 9 D a Malis D LAE A G ipsi H L ct ieci eo triangulum AG D triangalo H L P a Male erit. D Sed triangulum D HL aequale est triangulo B D ra Demonstratam est Me in prima propositione huius libri.
SI oppositas sectiones duae rectae lineae contingentes sibi ipsis o currant ; & in quavis sectione aliquod punctum sumatur, a quo ducantur duae lineae, una quidem contingenti aequidistans, altera vero arquidistans ei, quae tactus coniungit: triangulum, quod ab ipsis constituitur ad diametrum per occursum duitam, a triangulo, quod est ad occursum contingentium, differt, triangulo facto ad contingentem & ad diametrum, quae per tactum ducta fuerit.
SINT Oppositae sectiones A, B; quarum centrum C, & Iineae contingentes sint E D , D F, quae sibi ipsis oceurrant in D; iunctaque E F & C D, ac producta,iungantur F C, EC,& producantur: in sectione autem sumatur aliquod punctum G ; per quod ducatur GK HL aequidistans EF, &G M aequid istans D F. Dico triangulum G Η M a triangu-Α lo HKD differre, triangulo KL P. Quoniam enim Ostensa est C D diameter oppositarum sectionum; & E F ad ipsam ordinatim applicatur ;&GΚΗL quidem ducitur aequid is stans EF, Μ G vero aequid istans D F: triangulum ΜGI a triangulo C L H differt, triangulo C D F . quare M G Htriangulum a triangulo Κ. H D differt, triangulo Κ FI.
CONSTAT igitur triangulum ΚFL quadrilatero MCKD
aequale esse. E V T O C I V S.
INTVM theorema manifestum est i verum in Agura, qua unam diametraminabet
176쪽
habet idelicet recta ita dicemur. amam ostensum est trianguIum GHM maias esse, nam triangulum CL M, triangulo C D F; erit triangvium GH M trianguia C ML, ct t/ian is c D F aquale. ergo OR aequale triangulo x D Huna eum triangulo F L Κιν angulum litar G M Ma triangulo Κ D Hdissert,triangulo Κ L F. eommune auferature lautilum H D Κ.quare reliquum KLF triangulum aquale est qaadrilatero Κ D MG IN figura vero, qua transversum diametrum babet , hoc modo. Uuoniam prius dein monstratam est C L H triangulum maius esse , quam triangatam M HG , triangulo C D F; eriι CHL triangulum aquale triangati HUMκua eum triangulo C F D . commune auferatar quadrilateram C D Κ L. reliquum stitur K MD triangulam varie est e=iavalis HGM una cum triangulo MLF . rursus commune auferatur μεις . ergo tria vulum X F L, quod relinquitur, quadrilatero G MD X aquale erit. Casera habet plures , quos ex demonstratis in quadragesimo ,σ quadragesimo gainto the remate primi libri addiscere oportet. Cam aatem dieD- , feratur vel apponatur quadrilaterum vel trianguIum', abla- tiones re appositiones iuxta proprietatem casuum faciemus . Sed quoniam ea , qua sequuntur , postra ca=r continent ob 1 ripunctorum omptiones s quidistanter ιineas o ne confasionem llegentibus aferamus multas figuras describentes , anam i is tutis theorematibus faciemur, qua oppositas sectiones ct dia- I meeros ct tineas contingentes habeat 3 ut fervex- isiud, quod in pro Dione dictum est. His positis, oe lineas quid ames, quousque alijs occurrant, dacemar, inae γ' elementa collocantes , ita ut unusquisque serναπι ea , qua conse antis facile possi e res omnes demonstrisdie. M ν
QUONIAM enim ostensa est CD diameter oppositarum sectionum. J Nam ,
is primo e fu , cumscilicet dua linea contingunt utranque sectionem , reis C D dia- 'meter recta; qaod elicitur ex trigesima octava σ trigesima nona seeundi Nisi baius insecundo ainem casu quando Δε lineε alteram tantum sectionem contingunt, diameter erit transversa,quod apparet ex vigesima nona ct trigesima eis o
Triangulum M GH a triangulo C L H differt , tricangulo C D P. I Constat hoc in primo casu ex quadragesima qainta primi huius. sed in altero casu hoc modo demonstrabitur. Iisdem enim manentibus , qua in Agara , d vertiee Iectionis linea EA N ordinatim applicetur , qua ipsam F C in puncto etet. triangulum igitur My H d triangulo C Les diserti triangulo C NA , ex quadragesima tertia primi huius .sed triangulam C D F triangulo C Ne r est aquale ,.ut assensum enin quadragesima tertia primi libri huius , in fecunda demonstratione , qua ab Eutocio conscribitur . ergo triangulum M9 H a triangulo C L H dissen, triangulo CD F.
IISDEM positis, si in una oppositarum sectionum aliquod
punctum sumatur ue & ab eo ducantur resta lineae, contingentiabus aequidistantes, quae & contingentibus & diametris Occu
177쪽
APOLLONII PERGAE Irant: quadrilaterum, ab ipsis factum ad unam contingentium& ad unam diametrorum , aequale erit triangulo, quod ad eandem contingentem &ad alteram diametrum constituitur . .sINΤ oppositie sectiones, qua rum diametri A E C, B E D; & sectionem A B contingant rectae lineae Α F , B G convenientes inter se ita, punisto H : sumatur autem aliquod punctum L in sectione; a quo aequi- distantes contingentibus ducantur ΚL M, L N X. Dico quadrilaterum K F aequale esse triangulo A I N. Quoniam enim oppositae sectiones sunt ΑΒ, CD; & sectionem Λ B contingit recta linea A F, ipsi B D occurrens;& ducta est X. L aequidistans A F: triangulum A I N quadrilatero Κ Faequale erit.
F E D. COMMANDI NUS. TRIANGULUM A I N quadrilatero Κ P aequale erit. J In
qua hὶc apponi solet, videlicet habente punctum K in δε- Iioue a B s quanquam ad fecundam propositionem hAius magis pertinere videatur I sit punctam o , ubi tinea K Maiametrum ACfreat. ergo ex iis , qua demonstratasunt in quinquagesima primi, vel ex fecunda huius , triangulum ΚΟ N aquale est qaadrilatero ais o M F; ct apposito communi A IKO , trianguiam A IN quadrilaterax F est aquate. In prima vero earum , quas nos addidimur , quascilicet punctxm x infectione C 2 habet inter C ctae, dueatur Co P fectionem contingens t erit tri 3.huiu ' angvium C O Nequale qώadrilatero x P ; ct apposito co-i . huius. μηνε O E, triangulum CP E, hoe est triangultim EG E, hoc est e F E vaale quadrilatera x E. rursus appona tur commune E f. triangaelum igitur ε IN quadrilatero Κ F aequale erit. Ied infecunda Agura, qua punctum Rhabet in sectum D C extra C . triangulam Κ O IV quale est quadrilateγο Ο P. σινι avgulum in E F aruale triangulo C 'P E . ergo communi F EO K I apposito , erit triangulum eis fN quadrilatero Κ F aquale.
THEOREM A VII. PROPOSITIO VII.
IISDEM positis, si in utraque sectione aliqua puncta sumantur;& ab ipsis ducantur lineae contingentibus aequi distantes , quae &
. contingentibus & diametris occurrant: quadrilatera, a lineis ductis constituta ad diametros, inter se aequalia erunt.
178쪽
PONANTUR entia eadem, quae supra: & in utraque scinione puncta IQ, L sumantur; per quae ducantur Μ Κ Ρ R in, N s T L Ω ipsi A F aequidistantes; NIO LX, Q γ YLP aeq.ii distantes BG. Dico ea evenire , quae in propositione dicta sunt. Nam cum triangulum AOI quadrilatero R Ο aequale sit : commune apponatur Eo; erit totum triangulum AEFaequale quadrilatero Κ E. est autem BGE triangulum quadrilatero L E aequale , & triangulum δε E F triangulo BGE. ergo & quadrilaterum L E aequale est quadrilatero I Κ R Ε . commune apponatur N E.
totum igitur T K toti I L , & Κ Y ipsi R L aequale
FED. COMMANDINUS. EST autem & B G Ε triangulum quadrilatero L E aequale 3 me nor demonstravimus in antecedente : sed cum yriangulum e F Esse asMale quadrilatero L E, quod etiam δε--stravimus , fortasse licebit illud, quod propositum est,expeditius ostendere ab tie triangulo 22 G E. isoniam enim triangulum se E F aquale est quadrilatera ΚΕ. e st aequale quadrilatero L E. erit oe quadrilaterrum L E ipsi K E a kale o ct commisi apposito NE, torum T Κ toti L, σ totum Kr toti R L aquale erit.
THEO REM A VIII. PROPOSITIO VIII.
IISDEM postis, pro punctis Κ, L sumantur QD; in quibus
diametri cum sectionibus conveniant: & per ipsa contingentibus a quidis antes ducantur. Dico D G quadrilaterum quadrilatero
FC , & quadrilaterum X I quadrilatero T O aequale esse.
ONIAM enim triangulum AGH ostensum est aequale triangulo BI F.& linea, quae a puncto Α ducitur ad B, aequidistat lineae a puncto G ad F ductae . erit ut A E ad EG, ita BE ad E F: & per conversionem rationis ut E A ad A G , ita E B ad B F . est autem ut C A ad A Ε, ita D B ad B E: utraque enim utriusque est dupla. ergo ex aequali ut C A ad A G, ita D B ad ad B F. & sunt triangula sinulta propter lineas aequidistantes. ut igitur CT A triansulum ad triangulum A II G, ita triangulum X D B ad triangulum B HE: & permutando. triangulum autem Α Η G aequale est triangulo B H F. ergo & CT Α triangulum triangulo X D B est aequale. quorum triangulum A H G aequale est triangulo B Η F , ut ostensum est. reliquum igitur quadrilaterum DII est aequale quadrilatero CH: &propterea quadrilaterum D G quadrilatero C F. Itaque quoniam C O aequidistat A F; triangulum C OE aequale est triangulo AFE: similiter autem & triansulum DEI triangulo BEG. sed B EG triangulum triangulo Α EF est aequale. ergo&tri- vangulum C OE triangulo DIE. estque G D quadrilaterum aequale quadrilatero F C. totum igitur XI toti O T aequale erit.
179쪽
B Et linea, quae a puncto A ducitur ad B, aequidistat lineae a puncto G ad F ductae. J Hoc ex primo lemmare Pani apparere potest . C Ut igitur CT A triangulum ad triangulum A H G, ita triangulum X DB ad triangulum B H F . J Quoniam enim ut C A ad Ab , ita est D A ad A F , erit
ut quadratum C A ad quadratum se s , ita quadratum D B ad quadratum E F .nt autem quadratam C e ad quadratum A G, ita triangulum C T ad triangώ-lum G H A ; quod triangula similia sint: eadem ratione ut quadratum DB ad quadratam E F , ita triangulam X DB ad triangulum H F E , ex tertio lemmate Pani. ergo ut CT ais trianguIum ad triangvium G H A. ita triaugatum X D Ead triangalam H B F .
D Itaque quoniam Coaequidistat AF; triangulum C O E aequale est triangulo A F E. J Sunt enim triangώla C O E, A F E itia. oe eIE A E aqualis E C. quare sequitur , ut s alia latera e re iccirco ipsa triantata inter se aruesia sint.
E Sed B E G triangulu triangulo A E F est aequale. sensu est hoc in prima huias . THEO REMA IX. PROPOSITIO IX.
IISDEM positis, si alterum quidem punctumst inter diametros, ut K ; alterum vero sit idem, quod unum punctorum C, D, ut C : & atquidistantes ducantur. Dico triangulum C EO aequale esse quadrilatero ΚΕ, & quadrilaterum L Oae
A ILLUD vero perspicue apparet . nam cum demonstratum B sit C E O triangulum aequale triangulo A E F . triangulumque AEF aequale quadrilatero Κ E. & triangulum C EO quadrilatero Κ E aequale erit. ergo S triangulum C R Mquadrilatero ΚΟ, & quadrilaterum LM quadrilatero Loeit aequale.
FED. COMMANDINVA NAM ctim demonstratum sit CEO triangulum aequale triangulo A E F. IIn qu ita huius, B Triangulumque AEF aequale quadrilatero ΚΕ. J Hac nos fura demonstravimus in sextam huius. C Ergo & triangulum C R M quadrilatero Κ Ο . I lato nimiram communi qua. δε Hatero O f. εχ tqui hoc prius per se Patex exsecAnda huius . linea enim C o sectionem contingit r ex quo contra seqvixur , apposivo communi O M , trianealvi in C E O quaώWilatero Κ E aquale esse . D Et quadrilaterum L M quadrilatero L O est aequale. JNam cum triangula CR Iua vitem qώadrilatero Κ o; communι apposito L R, erit L as quaarilatera quadrilaιeio L O aquale.
IISDEM positis, sumantur Κ, L non in punctis, in quibus di
180쪽
CONICORUM LIBER III. mmetri sectionibus occurrunt: demonstrandum est quadrilaterum
L T R T quadrilatero D Y LI aequale esse.
QUONIAM enim rectae lineae A F, B G sectionem contingunt & per tactus diametri A E , B Ecucuntur; & sunt LT , Κ. I contingentibus aequid illantes: triangulum T.Y E maius est, quam triangulum YΩL , triangulo EFAi similiter &triangulum X E I maius est, quam triangulum X R Κ, triangulo B EG. sed triangulum AE Faequale est triangulo B EG . quare eodem excessu& triangulum T Y E excedit triangulum Y Ω & triansulum X E I excedit ipsum X R Κ. triangulum igitur TYE una cum triangulo XRK aequale est triangulo X E I una cum triangulo Y si L. commune apponatur Κ X EYL' . ergo quadriIaterum L TR quadrila tero da φ Κ Ι est aequale.
FED. COMMANDINVS. TRIANGULUM T Y E maius est,quam triangulum Y n L, triangulo E P A. Α
Ex quadragesima tertia primi huius .
Sed triangulum AE E aequale est triangulo B E G. Ex prima halus. BTriangulum igitur TYE una cum triangulo XRK aequale est triangu- CIO X E l una cum triangulo Y Ω L.) Hoc demonstraviς EutDius in commentariis
in quadragesimam octaνam fecundi huius.
IISDEM postis , si in quavis sectione punEtiam sumatur; &
ab ipso lineae aequid istantes ducantur I una quidem contingenti aequidistans , altera vero aequi distans ei, quae tactus coniungit: triangulum, quod ab ipsis fit ad diametrum per occursum contingentium ductam, a triangulo, contento linea contingente & di metro per tactum, differt triangulo, quod ad contingentium occursum constituitur.
SINT sectiones oppositae AB, CD; & lineae contingentes Α Ε, DB, quae in puncto E sibi ipsis occurrant: sit autem centrum Η; iungaturque AD & EHG; & sumpto in sectione A B quovis puncto B, ducatur B F L quidem ipsi Α G aequid illans, B M vero aequiei stans A E . Dico triangulum BF Matriangulo Α Κ L dii terre, triansulo Κ E P. Lineam enim A Dab ipsa E H bifariam secari perspicuum est . & E H Uiametrum elle coniugatam ei, quae per H ducta ipsi A D aequid istat. quare A G applicata est ad E G. Quoniam igitur G E diameter est; lmeaque AE sectionem contingit, & applicata est AG ; sumpto autem in secthne puncto B , ad E G applicatur B F ipsi A Gaequidistans, & B M aequid istans A E: triangulum B M F a