장음표시 사용
161쪽
, ita V O ad minorem& per o ducatur N O R ad rectos angulos ipsi M P; & iungantur MN, N P . angulus igitur MN P minor est angulo A C B. anguli autem MNΡ climidius est angulus M N O: & anguli A C B dimidius est ΑCE. ergo M N O angulus an-B gulo Α C E est minor. ει qui ad E,Ο anguli recti sunt. quare linea A E ad E C maiorem proportionem habet, quam Μ Ο ad O N : & ideo quadratum A E ad E Cquadratum maiorem habet proportionem, quam quadratum M o ad quadratum O N. sed quadratum A E aequale est rectangulo A E B; & quadratum M o aequa-ι, . terti I. Ie rectangulo M O Ρ, hoc est ipsi N O R. ergo rectangulum A E B ad quadratum C E C, hoc est transversum latus ad rectum maiorem proportionem habet, quamis lem.in reistangulum N O Rad quadratum Ο N, hoe est quam linea R O ad O N . fiat ut dς si transversum latus ad rectum,ita si Z ad Z Σ: & si Σ bifaria secetur in o. quoniam igiis quinti tur transversum latuS ad rectum maiorem proportionem habet,quam R O ad ON: apud C. . habebit lcsid ad Z Σ maiorem proportionem,quam R O ad O N; & componendo D ΩΣ ad ΣZ maiorem habebit, quam R N ad N O. sit U circuli centrum. ergo Φ Σαρ. quinti ad Σ Z maiorem habet proportionem, quam V N ad N O: dividendoque o Z ad apud Ca. Z Σ maiorem habet, quam U O ad O N. fiat ut o Z ad Z:
L ipsa O N , hoe est ad OI: perque Iducatur I psi M P aequid istans;& ducatur in Taequidistans N R, F & V aequid istans eidem M P. erit igitur ut Φ Z ad Z Σ, ita V O ad OI& η S ad S componendoque ut
ΦΣ ad Σ Ζ, ita ' Q ad QS; & antecedentium dupla ut si Σ ad Σ Ζ, ita Τ Q ad QS dividendo ut si Z ad Z Σ, hoc est ut transversum latus ad re num , ita T S ad S Q iungantur Μ QO QP: & ad lineam A L,& ad E punctum constituatur angulus A E Κ aequalis angulo M P in & pet L ducatur Κ H se stionem contingens; & Κ L ordinatim applicetur. Itaque quoniam angulus M pQ . aequalis est angulo A EΚ .&rectus angulus, qui ad S, est aequalis recto, qui ad L. erit itiangulum QS P simile triangulo Κ LE. & ut transversum latus ad rectum, ita est T S ad SH hoe est rectangulum T S Q ad quadratum ini, hoc est rectangulum M SP ad quadratum in . simile igitur est triangulum H L Κ triangulo M S Q ; & triangulum H Κ E simile ipsi M QΡ: & propterea angulus M Pest aequalis angulo H Κ E . est autem M QP angulus aequalis angulo MN Ρ, hoc est angulo X . quare & Η Κ E angulus angulo X est aequalis . angulus igitur deinceps GL E ei, qui deinceps est angulo Y, aequalis erit. ergo ducta est linea G Hsectionem contingens, quae cum diametro Κ E per tactum ducta facit G Κ E angu .lum dato angulo Y aequalem. quod fecit se oportebat.
A DATUS autem angulus sit Y non minor angulo AC G. quare & A C B angulus non est minor angulo X. J Si enim an Ius T sit aqualis angulo a C G σ angatas X angulo T aquaIis erit: si vero F angulo A Cssit maior; erit X minor ipso ACE.quare Iequisur angulum a s C A non esse mino em angula X.
B Quare linea A E ad E C maiorem proportionem habet, quam M O ad O N.
Hoc an undecimo lemmate Tani demon Lyratur.
162쪽
Quam rectangulum N O R ad quadratum O N. Hac ποι appo imas, qua ista C
cyraco exemplaνι deesse videbantur .
Ergo Φ Σ ad Σ Z maiorem habet proportionem, quam V N ad N O . I suoniam Denim H ad Σ Z maiorem proportionem habet, quam Iin ad Noo ct anteeedentium dimidia ΦΣ ad ΣZ habebit maiorem proportionem , quam UN ad No.
& U Ψ aequi distans eidem M P. I Hune Deum ita res ituimas. nam in Graeco exemplari , ut opinor, nonnatia desint.
mile ipsi Μ my. J me eodem modo demon abitur, quo usus est Pappuι inseptimo tem- mare . nam rectangulum H LIS ad quadratum L Rest , as transversum talas ad rectum, hoe est ut rectangulum Ad SP ad quadrarum S a. .
163쪽
LEMMATA IN TERTIUM LIBRUM CONICORUM APOLLONII.
ERIT & Η Α ipsi Α Κ aequalis . I ob similisadinem trianguloram T D G,x P itemque triangulorum C D G, Ho a g. est enim ut EG ad G D, Da Κ -- e D. σωρ D 9 ad 9 C , ita D A ad . H. ex a ali igitών ut B si ad G C , ita L A ad A M. sed Asy est aqualis G C. ergo ct Κ ε ipsi δει qualis erit. Ergo ut B C ad Η Α, hoe est ut B E ad E Α, ita B C ad Κ A, hoe est C F ad F A.3Sunt enim triangula similia B EC , A E M. ct triangata E F C, x F A itidem similia
SINT triangula MC ,DEF, qua angulos A, D aequales habeant si re δεῖ angulum ZAC aequale rectangulo F.Dico trianguli. triangulo aequale esse.
164쪽
IN III. LIBRUM CONICOR V M 3Is dimidium est A B C triangulum: & rectanguli ex E Η & D F dimidium triangulum D E F. triangulum igitur ΑΒ C triangulo D E F aequale erit. Perspicuum autein est & parallelogramma ipsorum dupla inter se aequalia esse.
ERGO ut rectangulum ex B G & Α C ad rectangulum B A C, ita rectangulum Αex E H & D F ad rectangulum E D P. Exprima sexti. est enim rectangulum ex B9σ AC ad rectangulam B AC, ut BG ad E A ; quod eandem altitudinem habeant, videlicet lineam ε C: ct similiter rectantulum ex E H ct D F ad rectangulum E D F , t E Had E D. quare ex undecima quinti sequitur propositum .
SIT triauulum AR C : es' fit D E ipsi B C quirimm . Dico ut quadratum A I ad quadratum AD, ita esse tria angulum ASC ad triangulum AD E.
QVONIAM enim triangulum ABC fimile est trian. gulo A D E ; habebit AB C triangulum ad ipsum. Α D E duplam proportionem eius, quae est B A ad A D. sed & quadratum AB ad quadratum AD duplam proportionem habet eius, quae est B Α ad A D. ergo ut quadratum AB ad quadratum AD, ita erit ABC triangulum ad triangulum A D E.
SINT lis, a Z , CD inter se aequales: sumatur quodvis pumctum Ε . Dico rectangulum C E Z superare rectangulum C AS , rectanguli DEA.
sMETVR enim B C bitariam in P. Ergo punctum F lineam quoque A D bitariam secat. & quoniam rectangulum C E B una cum B F quadrato aequale est qua- ε Meundi deato E F: rectangulum autem D E A una cum quatiato Α F aequale est quadrato E F. atque est quadratum A F aequale rectanguio C A B una eum B F quadrato: commune aula . . Σ-- Αratur quadratum B F. reliquum igitur rectanguium C E B aequale est rectangulo C A B una cum rectangulo DEA. quare C E Brectangulum superat rectangulum C A B, ipso D E Α rectangulo . quod demon
COMMVNΕ austratur quadratum B F. a Sequitur enim ex iam dictis rectam Agulam C E B una cum quadrata B F aruale esse rectaetalis D E - , C in Bana eum quadrato S F. LEM-
165쪽
SI merὸ punctum L fit niter ac, B: rectangulum C EZquam rectangulum C A Z , eodem ipse A ipatis , iidelicet rectangulo D E A; quod a x
si ratione demoninabitur. - - - minus ese.
SIT lima a B aequalis ipsi Z C ι π duo puncta D, E cmantur Dire, quadratum AZ quater sumptum aequase se rectangulo A D C bis uia eum rectangulo ΑΕ C bis.N quadratis a m . di DF, ZEbis sumptis. CF D n. HOC autem perspicuum est . quadratum enim A B rari ubi iumptum propter bipartitas sectioneste quale est rectangulo ADC bis, & quadrato DB bis: itemque quadratum A Bbis est aequale rectangulo A E C his, & bis E B quadrato a
S IT linea A Z qualis etsi C Dλου fumatur punctum E . Dico P
166쪽
apposito communi quadrato E Fbis , erit rectan- R AFC Dgulum A CD bis, una cum quadratis CF, FE bis, aequale quadratis D F. F E bis sumotis A B T P C D- quadratis D E , F E bis sumptis aequalia sunt quadrata Α Ε, Ε D. quadratis autem CF, FE F E C D 9 &1o.se. bis sumptis aequalia sunt B E , EC quadrata. ' '' eundi. quadrata igitur A E, E D aequalia sunt quadratis B E, E & rectantulo AC Dbis sumpto
COMMUNE enim auferatur quadratum C erit reliquum, quod continetur A C, D B,aequale rectangulo D C A. aequalis ieitur est C D ipsi D B. COMMENTARIVS.υ lemma est veluti conversum sexra propositionis Aeandi libri element-am r istaeuias demonstratione eum non nulla desideseri videantur a nos planius M apertius explicare tentabimus hoc modo . Commune a reatur quadratum C D; eris reliquum rectangalum E AC aquais νectanetiis Da C uia eum rectangulo D - . est enim x fecunda propiatione secundi libri elementorum,quadratum A D aquale rectamuis P AC Bad eum pectangato A DC , hoe est xia eam rectangati DC A σ quadrato c D, ex tertia eiusdem . fedox prima rectangulum B AC aquale est rectangulo D AC una cum eo, Pod E D π AC eontinetur . quare rursus ablato communi rettaetulo D e c , relinquitur rectant iam eontenis eam B D ct eis C aquale rectangulo P C e . aqualis igitur est linea C P .psi D P.
SIT rectangulum a C S una cum quadrato C D aequale D Z quais to . Dico lineam a D aequalem esse D B.
PONATUR ipsi C D aequalis D E. Ergo rectangulum CBE una cum quadrato DE, hoc est quadrato CD, aequale est DB quadrato, hoc est rectangulo A C B una eum qua-A C D E ndrato C D. quare rectangulum C B E est aequale . rectangulo A C B: & propterea linea Α C aequalis ipsi E B. sed & C D aequalis est sta iD E. tota igitur A D toti D B est aequalis. COMMENTARIUS.'- lemma eonversum est quinta propositionis Deundi libri elementorum. inlata
167쪽
Quare rectangulum C B E est aequale rectangulo A C B. J Nna e ablato commvni,videlicet C D quadrato . . i. O .. L Ε M M A X l.
SIT tarsias rectangulum ZAC una cum D B quadrato aequale quadratos D . Dico lineam CD aequalem se D 'S.
PONATUR enim ipsi D B aequalis Α E. Et quoniam rectangulum B A C una cum quadrato D B, hoc est cum quadrato E A aequale est quadrato A D. commune austratur rectangulum D AC. ergo reliquum, quod BD & AC continetur, videlicet E AG o nre tangulum E AC una cum quadrato EA, quod '- est rectangulum C E Α, aequale est ipsi ADC rectangulo. quare linea EA. hoe est BD ipsi D C est aequalis.
COMMVNE austratur rectangulum D AC. J Est enim rectangialum P se Ca Me νectangat. DAC und eum eo , quod B D σ A C eontinetur; quadratum veroa D aquais rectangula D e C una eum rectangulo A DC. Quod est rectangulum C EA. I Ex tertia fecundi libri elementara . Quare linea E A, hoc est B D ipsi D C est aequalis . a me nos demonstraυ-us in eo entariis in sextam decimam secundi haos .
SIT recta linea AB, in qua fumantur tria puncta C 9,E ; ita ut Z Esit qualis Ε C, re rectangulum A E D aequale quadrato C Ε . Dico ut B A ad AC, ita esse 2D ad D C.
QVONIEM enim rectangulum A E D aequale est quadrato C E ; erit ut A E ad E C , ita. C E ad E D . quare per conversionem rationis , antecedentibusque his sumptis, & dividendo ut B A ad AC, ita erit B D ad D C.
Erit ut A E ad E C, ita C E ad E D . me nos addidimus perspicuitatis
ea a . in braco enim codice tantum legitur αλλωπ .
Quare per ςonversionem rationis, antecedentibusque bis sumptis , & divi dendo ut B A ad A C, ita erit B D ad D C . Quoniam enim At A E ad E C , ita C E ad E D ; erit per eonversionem rationis ut E e g C , itet E c ad C P ; ct antecedentium dupla, ut A A , A C ad C e , ita E Cad C D: e F engm P C ipsi ι C E dvla . ergo dividendo ni Z ad ses C ,
168쪽
SIT rursus rectangulum BCD aequale quadrata C E , π AC ipsi C E qualis . Dico rectangulum A Z E aequale esse rectangulo C E D.
QUONIAM enim rectangulum BCD quadrato C E est aequale: ut BC ad C E , hoc est ad C Α, ita erit C E, hoc est A C ad C D; di tota ad totam; & per Aconversionem rationis; & spatium spatio a qua- A C nle. ergo rectangulum A B E aequale est C B D------. rectangulo. Sed illud etiam constat, rectangu- . Blum scilicet AD E ipsi BDC aequale esse . si enim a quadrato CE,&a rectangulo BCD auferatur commune quadratum C D; quae relinquentur, aequalia
ET tota ad totam; & per conversionem rationis; & spatium spatio aequale. J A
Quonιam enim est ut B C ad C A , ita A C ad CDd erit componenda , ut tota Z is ad A C , hoe est ad totam E C , Da pars AB ad partem B C. ergo reliqua Rae ad 39 vinti reliquam S E , ut A e ad eis C ,s per eonversionem rationis DE TE, MAE A C. rectangulum igitur in B E rectangulo C B D eLF a kale. '. ac xi Sed hoe etiam aliter demonstrare possumus. Nam eum linea e E bifariam secetar in o. secundic ; atque ipsi addatur E N o erit rectangviam aAR E una eum E C quadrato aquale qua- arato C B .sed eidem C B qaadrato aqualia Iunt utraque rectangula C B D , BCD. rectangulum igitur e B t una eum qaadrato E C aquale eLF rectangulo C BD una eam rectangulo a CD. qaare oblato quadrato EC ex altera parte , σ ex aetera rectangulo A C D , qua inter se aqMalia Iant, sequitur rectangulam AN E rectangati C E Daquale esse.
Sed illud etiam constat, rectangulum scilicet A D E ipsi BDC aequale esse. I BCum enim se C sit aqualis CE; ret avulam a D E una eum C D quadrato aquale est s. secui di quadrato CB. sed rectangulum PDC and eum qaadrato C D est aquiae rectangAD 3. A C D , hoe est quadrato C E. quare sublato communi quadrato Cae , relinquitur rectangulam A D E rectangulo BDC aquale. e iter quoque idem demonstrari potest hoc pacto . Goniam xt tota E ad EC , ita est pars AD ad BC ρ erit σ reliqua B D ad D E, ut e D ad D C d Er propterea re- Ιε. sexti. hangulum AD E araiae rectangulo BD C.
LEMMA XIV.m duas aequus vita AS , C D per idem punctum E tres lineae ducantur A L D , B E C , F E G. Dico ut rectangulum a si Z ad rectangulum AF I , ita ese rectangulum C E D ad C G D rectam
ΗOC per compositam proportionem manifestum est . ut enim A E ad ED, ita est A F ad D G; & ut B E ad E C , ita F B ad G. C . &componuntur ex his proportionibus spatia . constat igitur propositum . S Sed Diuiti sed by Corale
169쪽
Sed licet & aliter demonstrare absque composita proportione hoc pacto . oniam enim ut A E ad E B , ita est D E ad E Cierit rectangulum A E B ad quadratum E B , ut rectangulum D E C ad quadratum E C . ut autem quadratum E B ad quadratum B F , ita quadratum E C ad C G quadratum . quare ex aequali ut re elangulum A E B ad quadratum BF , ita rectangulum D E C ad quadratum C G . sed ut quadratum B F ad rectangulum B F Α , ita quadratum C G ad rectangulum C G D . ex aequali igitur ut rectangulum A E B ad rectangulum AFB, ita rectangulum C E D ad restangulum C G D.
HOC per compositam proportionem manifestum est . I Cum enim linea in E , C D inter se aqaidistenta erit e E F triangulam simile triangulo D EG , ct triangulum F EB simile ipsi V E C. qaare M E A ad A F , ita E D ad D G , ut E E ad B F, ita EC ad Ccj . proportio autem rectanguli a E B ad rectangulam e F R eomponitar ex proportione E e ad e F , ct proportione E B ad B F: σproportio rectaviai C E Dad rectangulum C G D componitur ex proportione E D ad D G, ct proportione EC ad C G . quare eum proportiones,ex quibus componuntur, ecdem sint a sequituν retiangulam A E B ad AF B re angulam ita es, at rectangulum C E D ad rectangulum C G D.
170쪽
CUM COMMENTARIIs EUTOCII ASCALONITAE,
ET FEDERICI COMMANDINI. THEO REMA I. PROPOSITIO I. venientes in puncto B: & per tactus A, B diametri sectionis CB,DAducantur, quae contingentibus occurrant in punctis FC,D Dico triangulu ΑDE triangulo EBC aequale esse.Ducatur enim a puncto A linea AF ipsi BD aequidistans, quae ordinatim applicata erit: & in parabola quide parallelo- Agrammum ΑΒ DF aequale erit triangulo A C F. quare ablato communi A E BF, triangulum ADE, quod relinquitur, aequale est triangulo C B E. IN alijs verb conveniant diametri in centro G.Et quoniam ordinatim applicata est Ad BN AC sectione contingit rectangulu FGC aequale est quadrato BG.ut igitur FG ad G sexti ita est BG ad GC.quare ut FG ad G ita quadratu FG ad quadratu GB.sed ut quadra- C divim FG ad quadratum GB.ita triangulum AGF ad triang u lu DGB:& ut FG ad GC, ita s.seni. S 1 trian- Diqilired by Cooste