장음표시 사용
181쪽
triangulo LΗF differt,triangulo HAE. ergo BMF triangulu a triangulo AKL disestri, KFE triangulo.
CONSTAT igitur quadrilateru BKEM triangulo LL A aequale
esse. THEO REMAXII. PROPOSITIO XII.
182쪽
erit quaGilatero G E S . est autem resaetati aAMN aqtiate qaa laterum, E M E R . triangulum igitur VK P Mnd eam quadrilatero A ME aquale eLF triangulo A ZM N una eum quadrilatero VAES e ct dempto ex utri ae commani L M ES, resJuum V K P trianotam una eum B LS R eis aquais triangulo A MN una cum V af L . Quod si utrisque addasar commane X P UL B; erit quadril te rum K R aquale quadrilatero X P RI R. simili ratione or alia eiusmodi demonstrare
THEOREM A XIII. PROPOSITIO XIII. SI in oppositis sectionibus , quae coniugatae appellantur, rectae lineae contingentes sectiones, quae ὀeinceps sunt, in unum punctum conveniant , & per tactus diametri ducantur: triangula, quorum communis vertex est sectionum centrum, inter se aequalia erunt.
SINT Opposive sectiones , quae coniugatae appellantur , Α, Β, C, sectiones Α, B contingant rectae lineae AE , B E in . q. punctoE convenientes: sit autem centrum H; &iunctae ΑΗ, B H ad C , D producantur . Dico BFΗ triangulum triangulo Α G Η aequale esse . Ducantur enim per A, id lineae A Κ, H L M ipsi B E aequi- distantes. Et quoniam B F E sectionem contingit a &per tactum diameter est D HB; duciturque L M aequi- distans B E : erit L Μ diameter coniugata ipsi D B, quae secunda diameter appellatur: & propterea A K ad B Dordinatim est applicata. contingit autem A G. ergo rectangulum Κ H G aequale est quadrato B H; & ut K Hai H B, ita Β Η ad H G. sed ut K H ad Η B, ita Κ A ad B F, & Α Η ad H F. ut igitur Α H ad FI F, ita B H adH G . & sunt anguli ΒΗ F, G Η F duobus rectis . . aequales . ergo Λ G H triangulum triangulo BI F aequale erit.
obus rectis aequales . ergo AG Η triangulum triangulo BHF aequale erit. DESCRIBANTVR seorsum trian- D ula . producta e H ad X ,fiat vii SH ad HB, ita F H ad HX. Itaque quoniam ut EH ad H9 , ita est . Hau II F, erit A Nipsi H X aqualis: σ propterea triangulum A cst Hagarie trian- eul. 9 MX .sed ut X Had H F, ita 3 H ad HGr s circa aquales angulor , qui sani ad vertice m latera ex eontra ria parte sibi ipsis respondent. triangAIῶ igitur FHd triangulo 'Hx est aqua. ae r ' ieeirco aquale triangulo A 9 H. SED Gr aliter demonBrare possum ι . triangula qualia esse . Quoniam enim ostensam est, ut Κ H ad HB, ita E Had HG. σώιΚMad HB, ita e K ad PF. erit at A R ad B F , ita E Had εις. quare re i6. lexti,
183쪽
9. primi. I aviatam ex K ct HG a a te est rectangula I B H. Gr eum anguli G H L , H R Fsint aquales: si rasielogramma romboidea descripserimus , D deis lateribus contenta ,s4. sexti rue angulos ad H, H aquales habeant; etiainter sese aequalia erunt,propterea qu.d latera ex contraria parte mi ipsis respondet : ι γ so r. primi atque erit νomboides FA HL in angulo Strianguli HBF plum; cuius quidem diameter est Fre romboides aatem, quod con-
tinctur 9 H ct linea QMali A Κ, videlicet I L N in angati G H. N, duplum trian- Iuli A G H. sunt enim in eadem basi Gres ob eadem linea , qua a puncto e g dacia i , . inii. tur g sici Marui istam . triau ulum litur eAGH tria'gulo F B Haruale esse manifesto constar.
THEOREM A XIV. PROPOSITIO XIV.
IISDEM positis, si in quavis sectione punctum sumatur; &ab
ipso ducantur lineae aequi distantes contingentibus usque ad diam tros : triangulum, quod ad centrum constituitur, a triangulo ci ca eundem angulum differt, triangula basim habente lineam com tingentem, & verticem sectionum centrum.
. . SINT alia quidem eadem; sumatur autem punctum in B sectione, quod sit X,& per ipsum ducatur X R S aequid istans A G, & X O T aequiui itans B E. Dico triangulum O H Τ a triangulo X T S differre,triangulo HB F. Ducatur enim a A puncto A linea Α Y ipsi B p aequi distans. Quoniam igi. tur ex ijs, quae dicta sunt, sectionis A L diameter est L Η Μ ; coniugata autem ipsi & secunda diameter D H B, atque a puncto A ducitur A G sectionem com B tingens; & applicata est Α Y, quae ipsi L M aequi di-C stat: habebit Α Y ad Y G proportionem compositam ex proportione H Y ad Y A, & ex proportione transversi 1 A l
rae, ad L M, transversum latus ad rectum, ita figurae, quae ad B rectum latus ad transversum. ergo
X T ad T s proportionem habebit compositam ex proportione H B ad B F, hoe est II T ad T O , & ex Ε proportione recti lateris figurae, quae est ad B D, ad latus transversum . quare per ea, quae demonstrata sunt in quadragesimo primo theoremate primi libri, triangulum THO a triangulo X T S differt, triangulo BFH: & propterea triangulo A G H.
FED. COMMANDIN Us. A QUONIAM igitur ex ijs, quae dicta sunt, sectionis A L diameter est L H M;
coniugata autem ipsi & secunda diameter D IB. me ex vige a propositione fec..udi libri e pollonii tonstare potest e sed tamen ex alijs demonstrare conabimur.
184쪽
Praducatur enim ε Υ que adfectionem C Min Κ ; qua sectionem B secet in p-ctis V V. conveniet enim e T cum utraque sectione AL, C Min uno tantum puncta, υod in sexta decima secundi huius demonstratur: ct erunt eis r , Υ Κ inter fee. tiales. ductis nanquefectionum asymptotis δ' H, H P , tinea e N est aquaris P Meae sexta decima , quam diximur; ct Neaqualis VP, ex octava eiusdem. Ledo a1Malii est T V, quod a V contingenti AE aquidi- siet. ergo ΑΥ, Υ Κ inter se cruales sunt. Daque quoniam linea A K oppositas Iectiones e L , C M Deat, non transiens per centrum Ur a puncto ipsius medio T ad centrum H ducitur T E M D t erit ex trigesima septima feruudi huius D HE oppositarum fectionum diameter, qua recta appellatur; L Nar vero, qua equidi stat ε- Κ, transversa ipsi coniugata . Potest etiam boc ostendi ex quadragesima tertia eiusdem. Nam cum tinea's V fectionem Z in duobus punctis fecet; σper centrum H ad medium quidem linea Q ducta sit HV, L H M vero ipsi aqui- distans r erunt L M, E D fectionum coniugata diameiatri iccirco Iectionis se L diameter eis L M , σD P Usi coniugata ct fecunia diameter .
Et applicata est AY, quae ipsi LM aequidistat. Je plicatar enim e ad diametram D B ordinatim. quoniam , Et demonstravimus , linea A X ab ipsa D Bbifariam fecatur .
Habebit A Y ad Y G proportionem compositam ex proportione H Y ad Y A, & ex proportione transversi lateris figurae , quae
sit ad L M , ad latus reistum. J Ex quadragesima primi huius , recta enim linea A GIectionem L eontingens eum fecunda diametro convenit: σ a puncto se aes eandem diametram applicatar AH alteri diametro L Mcquidistans, ut OAZendimas . Ut autem figurae, quae ad L M, transverlam latus ad rectum, ita figurae, ad BD, rirectum latus ad transversum . Hoc ita esse nos demonstravimus is comment sis iis V vigesimam fecundi huius.
are per ea , quae demonstrata sunt in quadragesimo primo theoremate , Ε primi libri, triangulum T Η O a triangulo X T s differt, triangulo B F H: &propterea triangulo A G H . I Describantur enim a lineis X T, HE , HTpapallelogramma equiangula X T S , H B F , HTO in thia avrulorum angulis . Et quoniam linea X T infectione B ad diametrum ordinatim applicatur ; habetque X T ad T Syroportionem eompositam ex proportione H B ad B F, ct proportione recti lateris ad transversum ; ct est parasielο- grammum H To simile parallelogrammo H B F quod triangulum triangulo simile: erit ex quadragesima prima primi huius parallelogrammum GTO maius, quam parasielogrammum X T S, parasielogrammo HB F . sed parasiel gramma triangulorum dupla Iunt . triangulum gitur H T O a triangulo X T S disert, triautilo H E F, hoc es triangulo Ab H, quod ipsi HE F est eruate , ex antecedenti.
THEOREM A XV. PROPOSITIO XV. SI unam oppostarum sectionum, quae coniugatae appellantur, rectar lineae contingentes conveniant, & per minis diametri duca tur ; sumatur autem punctum in quavis sectionum coniugatarum ,
& ab ipso ducantur aequidistantes contingentibus usque ad di
185쪽
metros: triangulum , quod ab ipsis ad sectionem constituitur ,
maius est, quam triangulum , quod ad centrum, triangulo b sim habente lineam contingente, ει verticem centrum sectionum.
SINT Oppositae sectiones, quae coniugatae dieuntur, AB, GS, Τ,X, quarum centrum H; & sectionem A B contingant ADE, B D C; & per tactus A, B diametri Α Η F, ΒΗ T ducantur: sumatur autem in GS sectione punctums; a quo ducatur S F L ipsi B C aequid istans. & S Y aequidistans A E. Dico S L Y triangulum maius esse, quam triangulum H L F, triangulo I CB. Ducatur enim
Ο aequidistans B T. quare perspicuum est diametrum X G coniugatam esse ipsi R BT ; & so, quae aequi distat B T, ad HGo ordinatim esse applicatam ; itemque parallelogrammum esses L HO. quoniam igitur BC sectionem contingit; duciturque B II per tactum; & contingit altera A E: fiat ut D B ad B E, ita li-C nea Μ N ad duplam ipsius B C ; erit M N linea, quae figurae ad B T constitutae rectum latus appellatur . ergo secta M N bifariam in P, ut D B ad B E, ita est M PD ad B C. deinde fiat ut X G ad T B , ita T B ad lineam R; erit & R latus rectum te in a. figurae, quae fit ad X G. Itaque quoniam ut D B ad B L, ita M P ad C B . & ut decim , D B ad B E , ita quadratum D B ad D B E rectan- iς ς ε gulum: ut autem MP ad CB, ita rectangulum ex M Ρ & B H ad rectangulum C B H. erit ut qua eratum D B ad rectangui um D B E, ita rectangulum ex MΡ&BH ad rectangulum C BII. sed rectangulum ex MΡ & BH aequale est quadrato E HG: propterea quod quadratum X G est aequale aedexti. rectangulo ex T B & M N; & rectangulum ex M PS B H quarta pars est rectanguli ex TB & MN;
quadratum vero G H est item quarta pars quadrati AG. ut igitur quadratum DB ad rectangulum , D B E, ita est quadratum G H ad rectangulum C BH; & permutando ut quadratum DB ad quadratum G H, ita rectangulum D B E ad C B H rectan-F gulum. sed ut quadratum D B ad quadratum G Η, ita triangulum D B E ad triangulum GHI; simi-G lia enim sunt: & ut rectangulum DB E ad rectangulum CB H, ita DBE triangulum ad triangulum C B H. ut ergo triangulum D B E ad triangulum G H I, ita triangulum D B E ad ipsum CBis triangulum. quare triangulum G HI triangulo CBH est aequale: & iccirco triangulum G H Κ a triangulo UlΚdiffert, triangulo G H I, hoc est triugulo CBH. rursus quoniam HB ad B C compositam proportionem habet ex proportione HB ad M P, & ex proportione M P ad BC. S u t HB ad ΜΡ, ita I B ad MN, & linea R ad XG: ut autem MP ad BC, ita D B ad B E . habebit H B ad B C proportionem compositam ex proportione D Bad B E ,& proportione R ad X G. quod cum aequi distent BC,SL; triangulum H CB simile est triangulo HLF : & ob id ut H B ad BC , ita est H L ad L F. quare HL ad LP compositam proportionem habet ex proportione linea: Rad X ta, & proportione D B ad B E , hoc est G H ad HI. quoniam igitur hyperbole est SG; cuius diameter quidem X G , rectum vero latus Ra &ab aliquo ipsius puncto S applicatur sO: describiturque ab ea, quae ex centro, viclelicet ab H Gfigura HI G & ab applicata S O, vel H L ipsi aequali figura HLF: ab H U autem,
186쪽
179 quae est inter centrum & applicatam, Vel ab S L ipsi H O aequali dest Ibitur SI. Ytigura, similis figura: HIta, quae fit ab ea, qua: ex centro, & proportiones habet compositas, ut dictum est: erit triangulum S L Υ maius, quam H L F triangulum, triangulo H CB.
a seeundi huius . linea enim 'E C sectionem contingit: ct per centram H ducitur TH B quidem ad tactum , X HG vera eontingenti quidistans.
Et SO, quae aequidistat B TadHGO ordinatim esse applicatam S, enim per BG daeatur linea sectionem eantingens; aquidistabiς ipsi T M 'ex eavim vigesima fecundi . quare Er ipsi S O : proptereaque ex quadragesima septima primi halvis S O ad HGO
Erit Μ N linea,quae figurae ad ΒΤ constitutae rectum latus appellatur.I Ex quis' Cquagesima primi huius. Erit & R rectum latus figurae, quae sit ad X G . I Est enim sectionis S cv diameter, D e transpersum latas XV; σET fecunda diameter ipsi coniugata, ut dictum est
secunda autem diameter mediam proportionem habet inter Agina rateνa ; quod ex eius di finitione apparet.
Propterea quod quadratum X G aequale est rectangulo ex T B & M N. EEx di nitione Deunda diametri . nam X cs secunda diameter essectionis a B ; exis quidem tran emum latus est TR , rectum vero M N.
Sed ut quadratum DB ad quadratum GH , ita triangulum DBE adtri. Fangulum GHI: similia enim sunt.) Triangula enim Dd E, G HI similia sunt ob
aquid, stantiam linearum DB , HG s Demque linearum e Ε, Κ 9. quare triangu- I9. lexti. Ium DE E ad ipsum G H I dapiam proportionem habet eius, quaeis sinea D S ad 9 H similitek quadratum D B ad quadratum G M proportionem habet eis empr portionis duplam. ut igitur qAadratum D B ad quadratam HG , ita triangarum DBE ad triangulum G HI. .
Et ut rectangulum D B E ad rectangulum CBII, ita DBE triangulum ad G
triangulum C B Η . I Describantur seorsum riangula DEE, C B Hr Gr due tarperpendiealares P m C V: erunt v B Q,C 'E U triangula inter se similia. ε re ueB Q ad D E , ita pectangulum ex D mer B E ad rectangulum P B E , ex prima feni Elementorum: π eadem rasune ut C U ad C B, isa rectavatam ex C UUr B Had rectangulum CPH. er eo ut rectangulum ex D Z σ H E ad rectangulam DSE, ita jectangulum ex C V s B H ad rectangulum C B H ; ct permutando rectangulum ex D E E ad rectangulum ex C U G' B H, ut D E E rectangatam ad reiactangulum CBM. rectangulum astem ex D Q ct B E duplum est trianguia D B E; π re tangulum ex C U s B H duplum trianguli C E H . ergo ut rectangulam DB Rad rectangulam CB H, ita DBE triangulam ad triangulam CBM.' Et linea Rad X G. J Vi enim figura , qua ad T B constituitur, transverse Im Hlus T A ad rectam MN, ita figura, qua ad X G, rectum latus R ad X 9 transis sum; quod nos in vigesima secundi huius octendimus. Ut autem M P ad B C, ita D B acl B E. I Paruit hoc supra. Erit triangulum L SY maius, quam HLF triangulum, triangulo Η CB. JNam ex quadragesima prima primi huiuν sequitur triangulum S L. Υ maius esse, quam . triangulam HL F, triangulo 9 MI, hoe est trianoti GEM; quod ipsi cu NI est aquaιe, ut ostensum est superius . ILLUD autem , quod hie demonstrat a pollonius , sequitur etiam, si recta linea Deliones oppo*as contingant. Sint enim opposita sectiones, qua coniugara appellantur,
187쪽
a B, C, D E, F, quarum emtrum S, ct sectiones e B, DE Onetarant recta linea a H , E I in puncto I esuvenientes; perque -, E ductis diametμis in s D , E9 β , fumatur in sectione C punctum K a d qaeo dueatur Κ L M quidem ipsi E L a-quidistans , ct x N aquidistans e L. Dico triangulum Κ M N maius esse , quam triangulum L MG, triangulo 9 - H. Dueatur per B linea B OF sectionem in Beontingeni , qua ipsi E I aquidistabit, ex demonstraris ab Eurocis in quadragesima quartam primi huius. qaare st x M aquissipat E P. Itaque quoniam sectionem A E eam ringunt recta linea ε O , o B ; σ a pancto x in festione sempto ducuntur Κ L M, Κ N, contingentibus aquidistantes t eodem modo , quo supra, demonstrabitin triangulaem ΚM N maias , quam triangulum L Ar 9 , triangulo G a Masque hoc ess , quod demonstrandum proponebatur. Ex iam dictis etiam illud Theorema ostendi potest.
IISDEM possit,si in pui vis sectione aliqua pumcta sumantur , ου ab ipsis ducantur linea contingemtibus aequidi fiantes , quae π contingentibus oe di
metras occurrant: quadrilatera , a lineis ductis con Zι- tuta ad diametros, inter se aequalia erunt:
. MANEANT enim eadem, qua supra; ct in festione Caliud punctum Jmatur , quod sit C : atque ab eo ducantur C me S, T eontingentibus valdι Pantes. Diesquadrilaterum x L R Q. quadratatero G QNT aquale e D. Exi senim, qua demonstrata suut, triangu m C ST maius est , quam triangulum RS9 , triangato G H. quare quadrilaterum CRU T trian talo 9- H est aquale. Vsimili ratione eum triangulum x M N m iut Iis , qua os triavulum L. My , triangulo 9 A M, erit σ quadrilaterum Κ L9 N aquale eιdem GA H triangulo . qua aritatem. litam GRAIT , R L9 Ninter se aqualia erunt: σ dempto commani qua drilatera R G NQ, relinqaetur quadrilaterum Κ L R Quadria uero C s 'T aris D ; qaod quidem aemonstrine oportebat.
THEOREM A XUI. PROPOSITIO XVI.
SI coni sectionem, vel circuli circunserentiam duae rectae lineae contingentes in unum conveniant; & ab aliquo puncto e tum, quae lunt in sectione, ducatur linea uni contingentium ri
quidisfans, quae & sectionem & alteram contingentium secet ut quadrata contingentium inter sese, ita erit rectangulum contentum lineis, quae interi jciuntur inter sectionem & contingentem, ad quadratum lineae inter aequi distantem & tactum interiectae.
SIT coni lectio , vel circuli circunferentia A B , quam contingant rectae ineae AC, CB, in puncto C convenientes: & sumpto aliquo puncto D in sectione, ab eo ducatur DF, qtue ipsi B Caequid istet. Dico ut quadratum BC ad C A quadratum , ita esse rectangulum F E D ad quadratum E A. Ducatur enim
per A, B diametri A G H,Κ BL: & per D ducatur UMN aequi distans A L: perspicuum est , lineam DK ipsi KF aequalem ella, triangulumque Α EG aequale quadrilatero D L , di triangulum BL C triangulo ACH . Itaque quo- . niam
188쪽
I 8 Iniam F Κ aequalis est Κ D; & ipsi adiicitur D E: rectanstulum F E D una clam omingulum EL L similae eis: dratu in KD, ita triangulum E LΚ ad triangulum . DN Κ.& permutando ut totum quadratum E L ad to. tum triangulum E L Κ, ita ablatum quadratu D Κ ad ablatum triangulum DNΚ. ergo & reliquum F E Drectanguluin ad reliquum quadrilaterum D L, ut quadratum E Κ ad triangulum E L Κ. sed ut quadratum ΕΚ ad ELΚ triangulum, ita est quadratum C B ad triangulum L CB. ut igitur F E D rectangulum ad quadi i laterum D L,ita quadratum C B ad L C B triangulum . est autem quadrilaterum D L triangulo AEGaequale; & triangulum L CB aequale triangulo A H C. quare ut rectangulum P E Dad triangulum AEG, ita
A G E ad triangulum A H C,ita quadratum E A ad AC quadratum. ergo ut recta-gulum F E D ad q-dratum C B,ita quadratum EA ad quUtatu Α- permuta clo ut quadratum B C ad quadratum C A,ita F E D rectangulu ad quadratum EA.
IN ali aibas eodienus hoc theorema , ut septimum decimam apponitum t sed re Φεγε decimi . eo enim tantum d t, qvid linea contis em es a sC, C E diametras aquιd ant ' alia vero eadem ine constat. In commentari igitur xllud ponere oportebait, ut scripsimur in quadragesimu prima theorema primi libri.
SI in elijsi π circulo diametri , quae transtunt per tactur, eontingentiabus aeptiditiantes simi , eadem prorsus mensent, quae in propositione dicuntur.
QUONIAM enim ut quadratum B Η ad rectangulum L ΗΑ , ita D G primi
quaaratum ad rectangulum LGA: cI n R huius.
atque est rectangulum quidem L ΗΑ se quadrato A id aequale: rectangulum autem LGA aequale rectangulo IAGI quod linea Α H aequalis sit H L, & DK ipit L F : proptereaque G H aequalis H I, & A G ipsi I L . erit ut quadratum AH ad HB quadratum, hoc est quadratum BC ad quadratum C, A ita rectanguluin IAG ad quadratum D G, hoc est rectangulum FED ad EA quadratum . THE-
189쪽
SI coni sectionem , vel circuli circunferentiam duae rectae li
neae contingentes in unum conveniant , sumantur autem in s
ctione duo quaevis puncta, & ab ijs ducantur lineae contingentibus aequi distantes, quae & sibi ipsis & lineae occurrant: ut qua drata contingentium inter sese, ita erit rectangulum contentum i lineis, quae interi jciuntur inter sectionem & linearum occursum, ad rectangulum, quod lineis similiter sumptis continetur.
SIT eoni sectio, vel circuli circunferentia A B; quam contingant A C, C Brectae lineae, in puncto C convenientes: sumanturque in sectione puncta D,E; & ab ipsis ducantur EF IK, DFGI , quae lineis AC, CB aequidistent. Dico ut quadratum AC ad C B quadratum, ita esse rectangulum Κ F E ad rectangulum H F D. Dueantur enim per Α,B diametri ALMN, BΟXP; & producantur contingentes lineae , & ipsis aequidistantes utque ad diametros; & a puncti; D,Eaequi distantes contingentibus ducantur DX, ΕΜ: iam constat xl aequalem Α esse IE, & Η G ipsi G D. Quoniam igitur Κ E secatur in partes aequales tria.
s. laesidi. puncto I ,& in partes inaequales in F; rectangulum KFE una eum FI quadrato aequale est quadrato B EI. & ctim triangula similia sint ob lineas aequi. distantes; erit ut totum quadratum EI ad totum IME triangulum, ita ablatum quadratum IF ad ablatum triangulum FI L . quare & reliquum , KFE rectangulum ad reliquum quadrilaterum F Mest, ut totum quadratum EI ad totum ΙΜΕ trian-gqlum.sed ut quadratum EI ad triangulum IME, ita quadratum AC ad triangulum C AN . ut ist-tur KFE rectangulum ad quadrilaterum F M, ita C quadratum AC ad C AN triangulum. atque est D aequale triangulum C A N triangulo CPB, ω quadrilaterum FM quadrilatero F X. ergo ut rectangulum Κ F E ad F X quadrilaterum , ita quadratum A C ad triangulum C P B similiter demonstrabitur & ut rectangulum H F Dad quadrilaterum F X, ita esse quadratum C B ad triangulum CPB. itaque quoniam ut rectangulum Κ F E ad , E quadrilaterum E X, ita quadratum A C λd CPB triangulum;& convertendo ut
190쪽
quadrilaterum P X ad rectangulum H P D , ita triangulum C P B ad quadratum C B. erit ex aequali ut quadratum A C ad C B quadratum, ita rectangulum Κ F Ead rectangulum H F D.
Hoc therema similiser ac praeedenr positum ess, quod nos, ut casum auferentes , hoe loea conscripsimus
SI in ellipsi, γ' circuli circunferentia diametri, quae per tactus ducumtur, aequidstantes sint contingentibus AC, CZ, erit itidem ut quadratum AC ad quadratum CZ, ita rectangulum ΚF E ad recta ulum DF H.
DUCANTVR enim per D,H ordinatim applicata: D Ρ, Η Μ . Et quoniam ut quadratum Α C ad C B quadratum, ita quadratum B N ad quadratum N A, hoc est ad reuangulum AN L. ut autem quadratum B N ad rectangulum AN L, ita quadratum D P , hoc est qua- edratum F O ad rectangulum A P L. & equadratum Eo ad rectantulum AOLerit & reliquum ad reliquum,ut totum. ad totum. sed si a quadrato E O auferatur D P quadratum, hoc est quadratum FO , relinquitur rectangulum L F E: est enim K O ipsi O E aequalis. rursus si a rectangulo AOL austra. tur rectangulum A P L; relinquitur Μ Ο Ρ rectangulum, hoc est rectangulum H F D r nanque A P est aequalis M L&PN ipsi NM. ut igitur quadratuum AC ad quadratum CB, ita relictuum rectangulum L F E ad reliquum ΗFD. Quod si punctam F extra sectionem cadat, additiones & ablationes contra facere oportebit.
QUONIR M igitur L E secatur in partes aequales in puncto I, & in partes in- Α aequales in F;rectangulum Κ F E una cum PI quadrato aequale est quadrato E L
Ra quidem argumentabimur , cum punctum F c ot intra Iectionem e sed eam cadis extra; in hunc modum dicemus . Quoniam Κ E in puni o I bifariam secatara σ ipsi ari eitar recta linea E F : erit rectangaIum K F E una eum E I quadrato aequale quadrato E F . sunt autem triangala FL I, E M I inter se ilia. quare cam sit aer totum qu dratam IF ad torum triangatam F , ita ablatam quadratam E I ad ablatam EMItriangatum ; erit σ reliquum rectangatum K F E ad reliquum quadrilaterum F M, ae I F q-adratum ad triangviam F L I. Catera, qua deinceps sequuntur , eodem modo
Et cum triangula similia simi ob lineas aequi distantes; erit ut totum quadratum BEI ad totum IM E triangulum, ita ablatum quadratum 1P ad ablatum triangulum F I L. JEst enim per tertiam lemma Pani ut quadratum E Iad quadratum IF,ita triangulum fas Ead F I L triangulum. quare σpermutando ut quadratam E Iad ινμ gurum I ME, ita quadrarum IF ad triangatam F I L . Atque est aequale triangulum C A N triangulo C P B . I Ex prima batur CEt quadrilaterum F M quadrilatero F X. J Ex tertia batus. DEt co avertenda ut quadrilaterum F ad rectangulum H FD, ita triangulum E