장음표시 사용
191쪽
C P B ad quadratum C B. Superius enim demonstratam est, xt rectangulam H F 2 ad quadrilaterum F X, ita quadratam C E ad trian talum C PS.
IN ALIAM DEMONSTRATIONEM, QUAE AB EUTOCIO AFFERTUR.
p RURSUS si a rectangulo AOL auferatur rectangulum AP L ; relinquitur
M o P rectangulum. J Nam rectangulum E O L aquase est rectangulo Mo P una eum rectanguia e P Lo quod quidem primum demonstraeam est a Pana in tertio, Grquarto eorum lemmatum , qua infecundum librum e pollonis conscripsit; deinde ab Ea locis in Commentari s in vig esimam tertiam fecundi huius .
THEOREM A XUIII. PROPOSITIO XVIILSI in oppositas sectiones duae rectae lineae contingentes in unu conveniant, sumatur autem in quavis sectione aliquod punctum; i & ab eo ducatur linea uni contingentium aequi distans, quae §ionem & alteram contingentium secet: ut quadrata contingentium inter sese, ita erit rectangulum contentum lineis, quae
interijciuntur inter sestionem & contingentem, ad quadratum li-J neae inter aequidistantem & tactum interiestae.
SINT Oppositae sectiones AB, M N, & contingentes lineae A C L Ε, B C II;
quae in puncto C conveniant: per tactus autem ducantur diametri AM, BN; &sumatur in sectione MN quodvis punctum D, a quo du- ς eatur D F GE ipsi B C aequidistans. Dico, ut quadratum BC ad quadratum C Α, ita esse rectangulum FED ad quadratum Α Ε. Ducatur enim per D ipsi A E aequi disians D X. Et quoniam hyperbole est ΑΒ, cuius diameter B Ν; lineaque B H sectionem contingit, & ipsi aequi. A distat D P: erit F Ο aeq ualis O D. adiungitur autem D E. 6. leesidi. ergo rectangulum P E D una cum D O quadrato aequale est quadrato Ο Ε, dc clim E L aequid istet D X ; triangulum E O L simile est triangulo D O X. est igitur ut totum quadratum E O ad triangulum E O L, ita ablatum i q. quiti. quadratum Do ad ablatum DO X triangulum . quare & reliquum rectangulum F E D ad quadrilaterum D L, B ut E O quadratum ad triangulum E ΟL. sed ut quadratam Eo ad E OL triansulum, ita quadratum BC ad triangulum B C L. ut igitur rectangulum F E D ad quadrilaterum D L, ita quadratum BC ad BCL triangu-C D lum. aequale autem est quadrilaterum D L triangulo A E G, & triangulum BCLtriangulo ACH. ergo ut F E D rectangulum ad triangulum AEG, ita qua- dea tum B C ad A C H triangulum. sed ut triangulum A EG ad quadratu α, E A , ita triangulum A C H ad quadratum A C. ex aequali igitur ut quadratum B C ad quadratum C A, ita restangulum P E D ad E A quadratum.
IN aliquibus exemplaribus alia demon ario huius theorematis invenitar: ckn utrareque sectionem contingentes recta linea conveniant.
192쪽
SINT enim oppositae sectiones A , B; quas contingant lineae AC, CB in puncto C convenientes: sumaturque aliquod punctum D in Bisitione; &abeo ducatur DEF, ipsi AC aequi distans. Dico ut quadratum A C ad C B quadratum, ita esse recitangulum E F D ad quadratum P B. Ducatur enim per A diameter A H G, & per B,G ducantur B L, G Κ aequis distantes E F. Quoniam igitur B H in iuncto B b yperbolen contingit ; & ordinatim applicata eu B L: erit ut A Lad L G, ita Α Η ad Η G. sed ut A L ad L G, ita C B ad B Κ: &ut AH adHG, ita AC ad ΚG. quare ut CB ad B Κ, ita AC ad ΚG: &permutando ut A C ad CB, ita G K ad KB. sed ut quadratum A C ad quadratum CB, ita quadratum G K ad K B quadratum :& ut quadratum G Κ ad quadratum ΚΒ , ita demonstratum est re ctangulum E F D ad quadratum F B . ergo ut quadratum AC ad CB quadratum , ita EF D rectangulum ad quadratum FB.
ERIT F o aequalis o D. JEx qaadragesima octava primi huius Sed ut quadratum Eoad EOL triangulum, ita quadratum BC ad triam gulum B C L. J Est enim triangulum BCL simiae trianguis EO Lt propterea quὸd
linea E O aquidistat contingenti A C. ergo triangulum EO L ad triangatam B C L saexti. plam proportionem habet eiur , qua est linea EO ad B C . quadratum ainem Eo ad quis is x Gasiam E C proportionem itidem habet duplam eiusdem proporrιonix. at igitur quari tum Eo ad B C quadratam , ita triangulam EO L ad triangulum B C L 'σ permatando ut quadratam Eo ad EO L rriangulum,ita quadrinum BC aa triavxtam ECL.
AEquale autem est quadrilaterum D L triangulo AEG. J Ex seria Baias. CEt triangulum BCL triangulo Α C H. J Exprima huius. D
IN ALIAM DEMONSTRATIONEM, QUAM PONIT EVT ID.
Et ut quadratum G Κ ad quadratum K B, ita demonstratum est rectanem HIum E F D ad quadratum F B. J Demonstratur hoc in decima sexta huius.
THEOREM A XIX. PROPOSITIO XIX. SI oppostas sectiones duae reme contingentes in unum comveniant, & ducantur contingentibus arquidis antes, quae& sibi iapsis,& sectioni occurrant: ut quadrata continsentium inter sese, ita erit rectangulum contentum lineis , quae interijciuntur inter
sectionem & linearum occursum, ad rectangulum , quod lineis smiliter sumptis continetur. X SINT
193쪽
SINT Oppositae sectiones , quarum diametri AC, B D, centrum E; &eontingentes A F, FD, quae in F conveniant: &mantur autem quaevis puncta, & ab ipsis clucantur G H I Κ L, Μ di X O L lineis AF, FD aequi- distantes. Dico ut A F quadratum ad quadratum F D, ita esse rectangulum G L I ad rectanguluin MLX. Ducantur enim her X,I lineae XR,IPae-quidistantes ipsis A F, F D . Itaque quoniam ut quadratum A F ad Α FS triangulum, ita quadratum H Lad triangulum FI LO ,&quadratum H Iad triangulum H l P: erit & reliquum rectangulum GLI ad reliquum I POL quadrilaterum, ut quadratum A F ad triangulum A F S. atque est triangulum A F S triangulo D F T aequale, & O PI Lquadrilateru quadrilatero Κ R X L . ut igitur quadratum AF ad triangulum D TF, ita rectangu- C lum GLI ad quadrilaterum RX L Κ. est autem ut triangulum DT F ad FD quadratum ,ita quadrilaterum R X L Κ ad reistangulum MLX . ergo ex aequali ut quadratum AP ad PD quadratum, L ita rectangulum GLI ad rectangulum MLX.
IN aliqaibas eodieibas demonstratio huius theoreminis invenitur Miusmodi,
DUCATVR Μ L quidem ipsi F A. aequidistans, quae sectionem D C secet; G L vero aequidistans F D, &ipsam A B secans: demonstrandum est ut quadratum DF ad F A quadratum, ita esse rectangulum G Ll ad rectangulum MLX. Dueantur enim per tactus A,D diametri A C, D B a & per C,B ipsae B P, P C contingenti-D bus aequiuistantes. ergo B P, Ρ C sectiones in punctis B, E C contingunt. Et quoniam E centrum est sectionum: F erit B E ipsi E D aequalis, & Α Ε . ualis E C. quare citin aequid istent AT P, C SP &TE aequalis erit E S: G & propterea B S ipsi DT, triangulumque BPS triangulo UTP aequale . linea igitur B P aequalis est D F: &H similiter CP aequalis A F demonstrabitur . sed ut quadratum B P acl P C quadratum , ita est rectangulum GL l ad rectangulum Μ LX. ut igitur quadratum D Fad quadratum P Α, ita GLI rectangulum ad rectangulum MLX.
RURSUS clueatur utraque linearum G H Κ, IH Linqui distans cantingenti,secansque DC sectionem Oilendendum est ut quadratum D P ad quadratum P A, ita esse rectangulum I Η Lad rectangulum G Η Κ. Du- έ tur enim per A tactum diameter A C,& per C ipsa CR M , quae ae uidistet A P. Ergo C M continget sectionem E D in puncto C: atque .it ut qtaadratum DM ad qua-
194쪽
dr atum M ita rectangulum I HL ad rectangulum GH in autem DMq uratum ad quadratum M C, ita quadratum DP ad quadratum P A. quare ut q u adratum D F ad F A quadratum , ita rectangulum IH L ad rectangulum G HK. F E D. COMMANDINUS. ATQUE est triangulum A FS triangulo D F T aequale. Ex Parta batus. ΑEt O PIL quadrua terum quadrilatero ΚR XL. Ex septima hama. BElt autem ut triangulum D Γ F ad F D quadratum, ita quadrilaterum R X CL Κ ad rectangulum M L X. Eodem enim modo, qua Iupra demonstratum est rectangulum G L. fad 3 am aterum I P L. O, at quadrasum A F ad triangul- - F S, δε- monstrabitur stiam M L π rectantulum ad qώadrilaterum R X L x esse , ut quadraru D F ad tμiaetatum D T F. qua e re eonvertendo ut triangulam DT F ad quadratum F D , ita erit quadrilateram Rae LM ad MLX rectangaelum .
IN ALIAS DEMONSTRATIONES, QUAE AB EUT IO AFFERUNTUR.
ERGO BP, P C sectiones in punctis B,C contingunt. J me nos demonstrari- Dmus in commentariis in qAadragesimam qMartam primi huius . Et quoniam E centrum est sectionum; erit B E ipsi E D aequalis, & Α Ε aequa. EIis E C. I Ex trigesima prim/ huius. Quare citin aequid istent Α T F, CS P; & T E aequalis erit ES. 3 Quoniam enim Flinea AT F, C S P inter se equia nant; erant triangula se T E,C S E similia: ct propterea in a E ad ET , ita C E ad E Sis prematando ut ais Ea. EC , Da T E ME S . linea igit- T E, ES inter Ie aquales seni. ct adaita S E ipsi Ed, σ T E ipsi ED , erit oe B S aqualis D T. Triangulumque B Ps triangulo DTFaequale. R Uur enim ob ianeas aDidia GDantes 'B P , D F,itemqae in F , C P r triantulum B P S simile est triangulo DT 'σ ue S E ad B P , ita T D ad D F rct permarando in B S ad DT , ita a P au D F. est autem B S aqua lis DT , us demonstratum est. ergo σ B P ipsi 'D F. ex qaibas constat triantalum B P S eriantulo DT F etiam aquale esse. Sed ut quadratum B P ad P C quadratum, ita est rectangulum G L 1 ad rectan. Hgulum MLX. Ex proximὲ demonstratis . εErgo C M continget sectionem C D in puncto C. δε π iii, qua demonstroimus in Κquadragesima is quartam primi huius . Atque erit ut quadratum D M ad quadratum Μ C, ita rectangulum I H L ad Lrectangulum G H Κ. Ex decimaseptima huius . Ut autem DM quadratum ad quadratum M Cita quadratum DP ad quadra- Mium F Α. J Iisdem enim manentibus, eatur DC P suncta F E Pro carur,as eum tinea C M in pancto Neonveniata erit,ex triges septima ct trigesima nona fecundi bulas, F ε δ recta diameter oppositariam feeZionum ; qua ipsi D C aquid abit: τ iccirco triangula 'D MC , F M Nintres similia erant . itaque tit F Mad MN, ita 'o M ad MC : EZ permutando ut F Mad MD , ita NMM ME . ergo componendo , converintendoque ut M D ad D F , ita MC ad C N: re rursus permktando ut 'D Mad Mc, Da D F ad C N. eu aatem F . ipsi C Nequiuis; qaod iam demonstratum fuit . quare at D M ad MC , ita 'D F ad F A .ae litar quadratum D Mad Mc quadraram, ita quadratAm D F ad quadratum F est .
SI oppostas sectiones duae restie lineae contingentes sibi ipsis
195쪽
1 88 APOLLONII PER G AEI occurrant, &per occursum ducatur linea tactus coniungenti. quidistans, quae secet utranque sectionem; ducatur autem alia linea aequidistans eidem, sectionesque & contingentes secans: erit
ut rectangulum contentum lineis , quae inter occursum con
tingentium & sectones interi jciuntur, ad quadratum lineae contingentis, ita rectangulum, quod continetur lineis inter sectiones& contingente interiectis, ad quadratum lineae ad tactum abscissae.
SINT Oppositae sectiones AB, C D, quarum centrum Ε, &ΑF, FC lineae eontingentes: iungantur autem A C, E P, A E, & protrahantur; perque P d catur B F H D ipsi AC aequidistans, & sumpto in sectione quovis puncto G, ducatur GL SMNX aequidistans A C. Dico ut rectangulum B PD ad quadratum F Α , ita esse rectangulum G L X ad quadratum A L. Ducantur enim a punctis G,Blineae GP, BR aequidistantes ipsi A F. Et quoniam ut quadratum B Fad BP R triangulum , ita quadratum G S ad tri- A angulum G s P, & quadratum L S ad triangulum L S F: erit B C & reliquum rectangulum G L X ad quadrilaterum GL FP, D ut quadratum B F ad triangulum BFR. quadratum autem E B F aequale est rectangulo B F D, triangulumque B R P triangulo A F H , R quadrilaterum GL FP triangulo A L N . ergo ut rectangulum B F D ad triangulum A FH, ita GLX rectangulum ad triansulum A L N. sed ut triangulum Α FH ad quadratum A F, ita triangulum A L N ad quadratum . ZAL. ex aequali igitur ut rectangulum BFD ad quadratum FA, ita rectan. gulum G LX ad quadratum Λ L. PED. COMMANDINUS. A. ERIT & reliquum rectangulum G LX ad quadrilaterum GL FP, ut qua-
saecundi dratum B P ad triangulum BFR. Ex decima noua quinti, nam rectangulum L πώna eam quadrato L S αqMale est quadrato cy S . quare si a quadrato 9 S auferatis L Squadratum relinquitur rectanga m 9 L X. B Ut quadratum B P ad triangulum BFR. Desiderabantar bae is Greco radiae, qua nor sapplevimus. C Quadratum autem B P aequale est rectangulo BFD. J Linea enim T F, F Da viales sunt a cum res a diameter sit E F , at ex trigesima octava σ trigesima nona fecundι huius manifeste apparet o D Triangulumque B R. P triangulo AFH. Nam ex quadragesima quinta primi haias triangulaeam B R F maiAs est , quam triangulum E Is F, triangulo F A E. qum re sequitar triangatam E R F quale esse duobur triangatis EHF , E e F , hoe ess
E Et quadrilaterum GL FP triangulo ALN. Ex quinta hutar.
THEOREM A XXI. PROPOSITIO XXI.
IISDEM positi; si in sectione duo puncta sumantur 3 &per ipsa ducantur rectae lineae, una quidem contingenti aequi di
196쪽
stans, altera vero aequi distans lineae tactus coniungenti, quae &sibi ipsis & sestionibus occurrant: erit ut rectangulum contentum siri eis, quae interi jciuntur inter occursum contingentium §iones, ad quadratum contingentis , ita rectangulum conten tum lineis, inter lectiones & linearum occursum interiectis , ad Arectangulum, quod lineis similiter sumptis continetur.
SINT eadem, quae supra: & sumptis in sectione punctis G,Κ, per ea ducantur NZGOPR , Κ S T ipsi A F aequi distantes;&GL M, ΚΟU IXφn aequidistantes A C. Dico ut rectangulum BFD ad quadratum F Α, ita esse ΚΟΩ r changulum ad rectangulum N OG. Quoniam enim est ut quadratum A P ad triangulum APH, ita quadratum A L ad ALM triangulum, &quadratum Z Ο ad triangulum ZO , & quacratum Z Gad triangulum ZGM: erit ut totum quadrarum Z O ad totum triangulum ΖΟ , ita quadratum Z G ablatum ad ablatum triangulum Z G M.quare S reliquum rectangulum N OG ad reliquum quadrilaterum GO Merit, ut quadratum AP ad APH triangulum. sed triangulum Α FH aequale est triangulo B ΥF, & quadrilaterum G O 'ν M quadrilatero Κ ΟR T. ergo ut quadratum AP ad triangulum B Y F, ita rectangulum N OG ad quadrilaterum ΚΟ IRT. ut autem triangulum BIP ad quadratum B F. hoe est ad rectangu Ium DB F D, ita demonstratum est quadrilaterum Κ Ο R T ad rectangulum ΚΟΩ. exaequali igitur ut A F quadratum ad rectangulum B F D ita reetangulum N OG ad rectangulum Κ Ο Ω ; & convertendo ut rectangulum BFD ad quadratum P Α, ita Κon rectangulum ad rectangulum N o G.
AD rectangulum, quod lineis similiter sumptis continetur. Hae nos addidimas, A
qua in Graea codice desiderari videbantur, vel alia in eandem fententiam .
sed triangulum APH aequale est triangulo B Y F . Seruitur hae ex qMAM Bgesima quinta primi huius, At nos proxim. ostendimus. Et quadrilaterum GOΦM quadrilatero Κ U R T . F.ου deeἰma feexnda batus. CVt autem triangulum B Y F ad quadratum B P, hoc est ad rectangulum BF DD, ita demonstratum est quadrilaterum ΚΟRT ad rectangulum ΚΟΩ. De
monstrabimus enιm, at in antecedente, ret angulum L O si ad quadrilaterum L O RTita esse , At quadratum B F, hoc est rectaetulum B F D ad triangalam d F T. quare σ conpertendo.
SI oppostas sectiones contingant duae re&e lineae, inter se aequi distantes , ducantur autem aliae lineae , quae & sibi ipsis & si elionibus occurrant, una quidem contingenti aequidistans, altera
197쪽
1yo APOLLONII PERGAEI vero aequidistans ei, quae tactus coniungit: erit ut transversum latus ad rectum figurae, quae ad lineam tachus comungentem constituitur, ita rectangulum, contentum lineis inter sectionem & linearum occursum Interiectis, ad rectangulum, quod lineis similiter sumptis contInetur.
sINT oppositae sectiones A, B, quas contingant rectae lineae A C, B D inter se a uidistantes: & iuncta A B, ducatur E X G ipsi Α B aequi- distans.&ΚELΜ aequidistans A C. Dico ut A B ad rectum figurae latus, ita ene G E X rectansulum ad rect g tum ΚΕΜ. Ducantur enim per X O lineae GE, AN ipli A C aequidistantes. Et quoniam A C, B D, aequidistantes in- A ter se , sectiones contingunt: erit & A B diameter; & lineae ix L X N , G P ad iplain Orclinatim applicabuntur. ut igitur A B ad rectum latus, ita B L A recitanguluin ad quadratum L Κ, & rectangulum B N Α ad quadratum N A , hoe est ad quadratum L E. quam ut totum rectangulum B L A ad totum quadratum K L, ita erit rectangulum B N A abla- C tum , hoc est P A N , quod N A, B P aequales liat, aci abla- D tum uuadratum L E. reliquum igitur F L N rectangulum αd relio uuin rectangulum L E M erit, ut a B ad rectum latus eu autem rectangulum P L N aequale ipsi G E X. ergo ΚΜ ut A B traniversum figurae latus ad rectum, ita G E X rectangulum ad rectangu
ERIr & Α B diameter. Nam si sed non est diameter i per centrum non transi -- M, quare . C , A D convenιent inter sese ad easdem parte centri,ex trige a prima Deandi huius; quod quidem fieri non sto est . ponebantur enim aquidistantes.
ut ititur An aci rectum Iatus, ita BLA rectangulum ad quadratum L L.
Ex vi e ima prima primi huius.
Quod NA, BE aequales sint. Est enim ut quadratum N X ad rectangatum
. . R N. , ita sectionit eis rectum latus ad transversum : OP ut quadratum F c, ad je-R '' 3.hjklam se F E , ita sectionis B rectam latus ad transversum . harum autem sectio. '' istim ij.8oessam latas idem est , videlicet AB: er fectιonis A ιMas rectam est ararie ecto lateri sectionis B s quod apparet ex dec ma quarta primi huius . ut igitur quad aisium NX ad rectangulum B Ne , ita quadratum F 9 ad eis FE rectangalam σρ mutando tit quadratum N X ad quadratum F G , ita rectangulum S NA ad rectava luis A F B.sed quadratum NX est aruale quadrato F 9, quod linea Nx a1ualis FU, est enim N X G F parallelogrammum . ergo rectangulum N NA rectangulo A F d esta 3uale : π propterea sequitur oneam Nis ipsi F B AEqualem esse , e.τ lemmate,qώοd con- semipsimus in sextam aecimam secandi huius . D Reliquum igitur FLN rectangulum ad reliquum rectangulum Κ E M erit, ut AB ad rectum latus. Reu angulum enim B L A superat rectangulum A NA reuctangulo F L N; quod Panus in quarto lemmate demonstravit.
THEO8EMA XXIII. PROPOSITIO XXIII.
SI in oppositis sectionibus, quae coniugatae appellantur duae
198쪽
CONICORUM LIBER III. rectae lineae oppositas sectiones contingentes conveniant in qu Vis sectione, ducantur autem aliquae lineae contin Sentibus aequia dii tantes, quae & sibi ipsis, & alijs sectionibus oppositis occurrant: ut quadrata contingentium inter se se , ita erit restangulum contentum lineis, quae inter sectiones & occursum interi j ciuntur, ad rectangulum , quod lineis similiter sumptis continetur.
HUC theorema plures hiaet casus , quemadmodum ct alia : verum quoniam in alia quibus exemplaribus loco theorematum casus descripti invenixntur, ct alia qkadam δε- monstrationes ; nobis visum est ipsas auferre. Ut autem ii a qui in hac inciderint, ex differenti appositione fententiam meam perpendere posset ear in commentariis exisposuimus.
ITAQUE contingentibus aequidistantes G Κ Ο,H ΚS per centrum, quod sit X.,transeant . Dico iam ut quadratum E L ad quadratum L Α, ita etiam esse rectangulum H L S ad rectangulum G Κ. o. Ducantur enim per G, H lineae G M, HN , quae contingentibus aequi- distent: erit triangulum G Κ M triangulo A Κ T aequale. triangulum autem H Κ N aequale triangulo ΕΚ fit triangulo E Κ Ρ aequale Λ Κ T triangulum .ergo triangulum G Κ M ipsi H Κ N aequale erit. sed ut quadratum E L ad triangulum L E T, ita quadratum G Κad triansulum Η Κ N : atque est triangulum L E T aequale triangulo L A P; triangulum vero H Κ N trian. gulo G ΚΜ. ut igitur quadratum E L ad triangulum
199쪽
quadratum L Α, ita triangulum G A. Mad quadratum GK. ergo ex aequali ut
quadratum E L ad quadratum L Α, ita quadratum H Κ, hoc est rectangulum H Κ S ad quadratum G Κ, hoc est ad rectangulum G Κ Ο . IISDEΜ manentibus,si linea Η Κ Ρ, quae ipsi E L aequid istans ducitur, transerat per K centrum, G O vero per centrum non transeat. Dico similiter ut quadratum E L ad quadratum L A, ita esse rectangulum H X P ad rectangulum G X Q. Ducantur enim per O,P,contingentibus aequid istantea, s O R, P s. Et quoniam triangulum M O re maius est, quam triangulum M N Κ, triangulo A L. Τ. triangulum autem Λ Κ T aequale est triangulo ΚS P . erit ΜΟR triangulum aequale triangulis M N Κ, Κ S P. quare sublato communi, videlicet triangulo M X Κ, reliquum quadrilaterum X S quadrilatero X R est aequale . quod cum sit ut quadratum E L ad triangulum E L T, ita quadratum Κ P ad triangulum X PS, & ita quadratum Κ X ad triangulum L X N : erit ut quadratum E L ad E L T triangulum, ita reliquum, rectangulum scilicet H X P ad quadrilaterum X S. est autem triangulum ELT aequale triangulo A L U, & quadrilaterum X R qu drilatero X S. ergo ut quadratum E L ad triangulum o A L U, ita rectanguium H X P ad quadrilaterum X S. & eadem ratione ut tri- angulum ALV ad quadratum A L, ita quadrilaterum X S ad rectanguluin G A O. ex aequali igitur ut quadratum B L ad quadratum L Λ, ita rectangulum H A P ad rectangulum G X O.
SED E U L triangulum aequale est triangulo Α L49 Ex quarta huius. Ee quadrilaterum T N X S quadrilatero X R Y o . me nos Iapra demonstravimus in commentariis in quintam decimam propositionem huius libri.c Ut autem triangulum A L ad quadrilaterum A L, ita quadrilaterum X RY O ad rectangulum G Xo. Eodem enim modo, quo supra, demonstrabimus reEt au- talum 9 X O ad quadrilateram X RT O ita esse, ut quadratam in L ad AL u triangulum . quam ct convertendo quadrilaterum X RΥ Ο rectangulum V X O e is , ut triangulum e L Q ad quadratum e L .
ERIT triangulum G Κ Μ triangulo A Κ T aequale; triangulum autem HKNU aequale triangulo E L P. I me enim supra demonstratum est in Dioxa decima pro
Et triangulo E L P aequale Α Κ T triangulum. I Ex quarta bulas. Et quoniam triangulum M o R maius est, quam triangulum M N Κ, trian - P gulo ΔΚ T. Ex eadem quinta decima huius . o Et eadem ratione ut triangulum A L V ad quadratum A L, ita quadrilate.
rum X s ad rectangulum G X o . Hi enim quadratum A L ad triangulum ALGita eis quadrasum M. O ad triangulam Mo R : ct ita quadratum M X ad tWianziatim MX K. quare νeliquam rectangulum cst X O ad quadrilaterum X ' erit ut quadratame L ad triangulum in L Ut σ eonvertendo qua itaterum X hae est X S ad rectangasum 9 X O, ut triangulum e L Uad quadratam eis L.
200쪽
:o N I C o R V M LIBER III. 3p3ΤΗΕΟREMA XXIV. PROPOSITIO XXIV. π Si in oppostis sectionibus, quas coniugatas appellamus a centro ad sectiones ducantur duae riat e lineae I quarum una quidem sit transversa diameter, altera vero recta; & ducatur aliae lineae his diametris aequi distantes, quae&sibi ipsis &semonibus occurrant; ita ut occursus sit in loco inter quatuor sectiones intermedior rectangulum, contentum portionibus lineae diametro transveris aequidi stantis, una cum eo, ad quod rectangulum ex portionibus lineae aequidistantis rectae diametro proportionem habet eandem , quam diametri rectae quadratum ad quadratum transverse, aequale erit duplo quadrati, quod a dimidia transversiae diametri consti
SINΤ oppositae sectiones, quas coniugatas appellamus, Α,B, D, quarum centrum E: perciue E ducatur Α E C transversa clameter, & DEB recta, &durantur FGHI KL, MNXΟPR aequidistantes ipsis A C, D B, quae in puncto X conveniant: sit autem X prius intra angulum bE U, vel T E T. Dico rectangulum P X L una cum eo, ad quod rectangulum M X R proportionem habet eandem, quam D B quadratum ad quadratum AC, aequale elle duplo quadrati A E Ducantur enim asymptoti sectionum S ET, YEV: N per Α ducatur S GA V sectionem contingens. Quoniam igitur rectangulum β A U aequale est quadrato D E: erit ut rectangulum S A U ad quadratum E Α, ita quadratum D Ead E A quadratum. rectangulum autem S A V ad quadratum E Α proportio. nem habet compositam ex proportione S Λ ad Α E &e
proportione V A ad Λ E. sed ut s A ad Α Ε, ita N X ad X hi: & ut v Α ad A E, ita P X ad X Κ . 'uare proportio
quadrati D E ad quadratum Ε Α componitur ex proportibone N X ad X Η & proportione P X ad X K. proportio autem rectanguli P X N acl rectangulum L X H composita est ex eisdem proportionibus. ut igitur quadratum D E ad E A quadratum, ita rectangulum P X N ad rectangulum Κ X H : ω propterea ut quadratum D E ad quadratum EA, ita quadratum DB una cum rectangulo P X N ad quadratum EA una cum rectangulo ΚΛ H. atque est . quadratum D E aequale rectangulo P M N, hoc est rectam fgulo RNΜ; & quadratu E A aequale rectangulo Κ F Η, hoc est L H F. quare ut quadratum D Ε ad quadratum Ε Α, ita rectangulum P SN una cum rectangulo R N M ad rectangulum LX H una cum rectangulo LI P. rectangulum autem P X N una cum rectangulo RN M aequale est rectansulo R X M. ergo ut quadratum D E ad quadratum E A , ita RXM rectangulum ad rectangulum LX H una cum rectangulo x FH. itaque demonstrare oportet rectangulum F X L una cum rectangulo Κ Κ Η, & rectangulo L PH aequale duplo quadrati E A. commune auferatur quadratu Α Ε, hoc est rectangulum Κ FH. reliquum igitur rectangulum LX H una cum rectangulo LXPd monstrandum est aequale quadrato A E: quod quidem ita se habet. nam rectangu-Y lum