장음표시 사용
201쪽
in una ah L aequali& rectangulum M HR aequale quadrato DE . quare uvquadratam D E ad Gadra in E R H ita ΝIH R ad rectangulum F H Le 6c propterea.
illud vero ita esse perspicuh conitas. . Sit postremo λ intra ansulam S E Y, vel V RT:erit similiter ob coniunctionem proportionum ut quadratum Uri ad quadratum E A , ita P X-N res gulum adrectangulum LX H. sed qua nato. β restansulum est RNMest aeuuale: B quadrato A E aequale rectangu
lum L H F. ec ut te neulum R N H Nectangulum
dratum B A. itaque ecmonstrare oportet tectangulum L una eum excellis, Quo quadratum Δ E excedit L .rectangulum, aequale esse duplia quadrati Α Ε comm V .mi A p. im R. A ita sectangulum Ma ostendead um eth
rectanguli PHL aequale duplo quadrata Λju . A E aequale rectangu . - tetangulum R N M adfectangulum ablatum P λ N rectangulum ad ablaxum rema-U I l. reliquum igitur rectangulum R A M aa videlicet ad excestum , quo quadratum A E ciangulum Κ X H, est ut quadratum D E ad qua-- APira De Hon nitrare oportet rectangulum V λ
ne auferatur'A E quadratum se hoc est rectangulum PHL. Κ ersto Minoas tandum est. res um rectangatum A H unari in excessu , quo quadratum A Et excedit rectangu iam Κ AH, quadrato A E aequale esse : quod 'uiuem ita est, mam minus . hoc est rectangulum Κ, H una eum excestunam minus , hoc est rectangulum Κ, H iesi aequale maiori, videlicet quadrato. 4 E . . t A 1 i A Z. αγ
QUONIAM igitur rectangulum s A V aequale est quadrato D E. I Ex qain
Atque est quadratum D .L quale rcctangulo PMN .d Ex undecima fecundi
Rectangulum autem P X N una cum rectangulo R N M aequale est rectangu o R X M . Hoc nos emonstr imus ire commentaret in sextam lamma Itaque demonstrare oportet rectangulum P x L una eum rectangulo ΚΤΗ. J
202쪽
Erit similiter ob coniumstionem proportionum ut quadratum D E ad quadra- Ftum E A. I me demons rabitur eadem prorμι ratione , qua supra usi fuimus . Reliquum igitur restingulum R X Mad reliquum, videlicet ad excessum, quo G quadratum A E excedit rectangulum L X H. I Nam rectangvium P M N, hoc eis
R NM excedit 'P X Nrectangulum , reet angula RA M, at demonstravimus . quare reliquum rectangaelum R X AI ad Meliquum, qao rectangulum L H F , hoc est quadratum se si excedit rectangulum Κ X H, erit ut rectangulam R Nar ad rectangulam L H F , hoc est ut quadratum D E ad quadrasum E A, videlicet ut quadratam 'o B ad quadratum e C .
Est ut quadratum D E ad quadratum EA. me nos addidimas, qua desiderari H
. Ergo clemonstrandum est reliquum rectangulum ΚXH una cum excessu, quo Κquadratum A E excedit rectangulum Κ X Η quadrato A E aequale esse. Rectan- caelum enim F x L erierit rectangulum F N L , rectanguis Κ X H.
THEOREM A XXV. PROPOSITIO XXV.
IISDEM positis, sit linearum ipsis AC, B D aequidistantium
occursus in una sectionum D, B , atque in punelai X, ut positum est. Dico rectangulum contentum portionibus lineae, quae transversae diametro aequidistat, videlicet OX N maius este , quam illud, ad quod rectangulum ex portionibus lineae aequi distantis reflat diametro, hoc est RX M , eandem proportionem habet, quam reflae diametri quadratum ad quadratum transveris, d plo quadrati eius, quod adimidia transveris diametri constituitur.
EST enim propter eandem rationem ut quadratum D E ad quadratum E A, ita rectangulum P X Hadrectangulum S A L. qua 1 M ID cratum autem DE aequale est rectangulo P Μ H, & qua, dratum E A aequale rectangulo LΚ S. ergo ut quadra- ω tum D E ad quadratum E A, ita P M H rectangulum ad Prectangulum L KS. itaque quoniam ut totum tectam Ilgulum P X Had totum L XS, ita ablatum rectangulum I igiPM H ad ablatum L Κs, hoe est ad LTS: erit & reli- es / Lquum R X M ad reliquum T XX, ux D E quadratum T V ad quadratum EA. ostendere igitur oportet rectangv- l Il Ilum OX N malua esse, quam rectangulum TXΚ duplo AE N H quadrati A E.commune auferatur TX K. ergo ostenden- cum relinquitur rectangulum OT N aequaleduplo qua- ω in drati A B: hoc autem ita esse mani sestoapparet.
EST enim propter eandem rationem ut quadratum D E ad quadratum EA.J A
Eae demonstratis in antecedente.
Quadratum autem D E aequale est rectangulo PMH. Ea- Andreima secandi Bhuius , ut dictum est. Et quadratum E A aequale rectangulo LΚs. Ex decima secundi Mikst Da v Cia carrigendam s. nam in brus codice legitar A ta ita ingerias in multis locis... Y a Ita
203쪽
D Ita ablatum rectangulum P M H ad ablatum L Κ S, hoc est ad L T s. J AB bae
E Erit & reliquum R X M ad reliquum T X Κ, ut D E quadratum ad quadratu
EA. Nam rectangulum 'F X H superat rectavatam R. X M, re tangato 'P As H, ex quarto lemmate Pani : rectangulum vere L X S,ex sexto Ieismate eιu dem duperatres angalum T X Κ , rectavata L N S. F Commune auferatur T X K. ergo ostendendum relinquitur rectangulum OTNeae,.parte aequale duplo quadrati A E.J Rectanguluω enim O X Nest es ale res angulo TX Κs. lem. una cum reti angulo OT V. G Hoc autem ita esse manifesto apparet. Ex vigesima terιia secandi huius.
QUOD s aequissistantium occursus ad punctum X st in una sectionum A,C, ut positum est: rectangulum, quod continetur portionibus lineae aequidistantis transversae diametro , hoc eis LA F minus erit, quam illud, ad quod rectangulum portionibus' alterius lineae contentum, hoc eis R X G eandem proportionem habet, quam rectae diametri quadratum ad quadratum transversae, duplo quadrati eius, quod a dimidia transversae diametri constituitur.
QYONIAM enim propter eadem, quae prius dici 'Α sunt, ut quadratum D E ad quadratum EA, ita est U B X S rectangulum ad rectangulum Κ X Η: habebit totum Ireelangulum Raeta ad res angulum L X is una eum. i h / lquadrato A E proportionem eandem, quam rectis dia--J I metri quadratum ad quadratum transuetis . ergo cle- ,1 I Lmonstrare oportet rectangulum LX P minus esse , quam 4 , R irectangulum Κ X H una cum quadrato A E, duplo A E quadrati . commune auferatu e quadratum AE . reli- quum igitur rectangulum L X F demonstrandum est mi-- ἡ nus, quam L X Η, quadrato A E, hoc est rectangulo A l: - νC LHF: quod quidem ita se habet . nam reetam. uul Π LHF una eum LX F aequale est rectangulo LX l l . E πα- P E D. COMMANDI NV s. A UT quadratum D E ad quadratum E A , ita est UX S tectangulum ad rectangulum Κ X II. Ob compositionem videlicet proportionum. rM Habebit totum rectangulum R X G ad reclangulum Κ X H una cum quadrato A E proportionem eanuem , quam rectae diametri quadratum ad quadratum
traiisveriae . I Q om am enim est at quadratum D E ad quariatum E A , ita rethan. ii. quiti. gutum s x S ad rectanivium X ae m erit quoque οι quariatam YIE M quadratum ΕΘ, ita quadratum D E una cum rectangulo Ux S ad quadratum E A una eum rectangulo ΚX H. sed quadrato D E a ruale est regangulam M 9 S,hoc est sG . quare at quaism. 'TI E ad quadratum E μγ, ita res augulum V x S uni cum RS cI Wed an Ma -κe-
204쪽
tantulum x X Hana eum quia ato A E . rectangulam orem UX S una euam να -- gulo AI ci est arviae recta uiato I X G,ex quarto lemmare . ut gitur q4aaratum D Eaa quadratum E a , hoe est ut recta dfametri quadratam ad quadratum tran=ersa , ita rectangatum ad rectangulum Κ X H aena cum in E quadraro .
Nam rectangulum L H F una cum L X F aequale est rectangulo ΚXH. J Ex C
THEOREM A XXVII. PROPOSITIO XXVII.
SI in ellipsi, vel circuli circunserentia coniugatae diametri du
cantur , quarum altera quidem sit recta , altera vero transversa ,& ducantur duae reflae lineae diametris aequi distantes, quae& sibi ipsis & sectioni occurrant: quadrpta ex portionibus lineae aequi- distantis transversae diametro , quae inter sectionein & linearum occursum interij ciuntur inflamentia figuras ex portionibus lineae, /quae rectae diametro aequi distat, inter linearum occursum & se-dtionem interiectis , similes & similiter descriptas et , quae ad rectam diametrum constituitur , quadrato transversae diametri ae
nSIT ellipsis, vel circuli circunferentia A BCD, essius centrum E: ducanturque ipsius duae coniugatae diametri ,recta quidem A E C transversa vero B E D:&clueantur KF LM, N PGH; quae ipsi A C, B D aequio istent. Dim quadrata N F, P II, assumentia 5guras ex Κ P, F Μ fimiles es si liter descriptas ei, quae fit ad A C, quadrato B D aequalia esse. Ducatur entin a puncto N linea N X aequi distans A E ; quae ad B D ordinatim applicata erit: & B P sit remam figuraelatus. Qiloniam igitur ut B P ad Α C, ita est Α C ad B D: erit ut Ρ B ad B D, ita AC quadratum ad quadratum B D. quadratum autem B Dest aequale figurae , quae ad A C constituitur . ergo ut ΡBad BD, ita quadratum AC ad figuram, quae Nest ad A C. sed ut quadratum fA C ad figuram , quae ad A C, ita quadratum N X ac sigura, quae fit ab N λ , similein ei, quae ad AC: est autem & ut PB ad B D , ita di X quadratum ad rectangulum B X D . quare figura, quae fit ab N X, hoe est ab P L, similis ei, quae ad A C, rectangu- qRivx lo B X D est aequalis , eodem modo demonstrabimus figuram , quae fit a Κ L, 4milem illi, quae ad A C, rectangulo B L D aequale m esse. & quoniam recta linea DNΗ secatur in partes aequales in G , di in partes inaequales in F : quadrata H F, F N dqpla sunt quadratorum H G, G P hoc est N G, G F. eadem quoque ratio ne sod in M v , F Κ quadratorum K L, L F sunt dupla: & figurae , quae fiunt ab M P. Y te, similes ei, quae ad AC, duplae sunt figurarum similium, quae a K L, L Pi Murae aut em, quae fiunt a L L, L F rectangulis B L D, B X D sunt aequales et & quadrata N G, G F aequalia sunt quadratis X E, E L. ergo 'u,
205쪽
drata N F, FH una cum figuris K F, F M senilibus ei, quae ad A C, dupla sunts.secundi rectangulorum B L D, BAD, & quaeratorum X E,E L. itaque quoniam recta linea B D secatur in partes α A P m Mquales in E, & in partes an- quales in X: rectangulum B XV una cum X E quadrato aequale est quadrato B E; similiter & rectangulum BL D una cum quadrato LE aequale est B E quadrato. quare rectangula B X D, BLD, & qu aurata X E, L E aequalia sunt duplo quadrati L E . quadrata igitur N F, F Η una eum figuris K F, F M similibus ei, quae ad A dupli quadrati B E sunt dupla. atque est quadratum B D dupludupli quadrati B E. ergo quadrata N f, F Η assumentia liguras ΚP, EM similes ei, quin ad Λ C, quadrato B D aequalia erunt.
da Hametri, qua mediam proportionem habet inter figura latera .
Quincatum autem B Dest aequale figurae, quae ad AC constituitur. Habet
emm B D mediam proportionem inter I tera Agura, qua sit ad e C, ex isecima quinta primi Mius.
C Est autem &ut PB ad BD, ita NX quadratum ad quadratum B X D. Ex vigesima prima primi huius. D Et quoniam recta linea N II secatur in partes .aequales in G, & in partes inaequales in F : quadrata H F, F N dupla sunt quadratorum H G, G F. me demο
stravit Euclides in Iecunda libro Elementoram, propositione nona e sed σ aliter destose Lirare possumus boc pacto. Secetur recta linea e B in partes aqaalas ad punctum C, ct in partes inaequales ad D. Dico quadrata e et D , DE quadratorum D C, C B dupla esse . Vnomam enim e C , C II aquaIes oner erit A D linea , qua Z C ipsam C o superat. ergo ex ijs, qua demonis νimus in trigesimam tertiam propositionem primi hiatas, quadrata DC, CB aqualia Iant rectangato , quod bis DC Bcσntinetur, π quadrato ADt iccircoque quadrata . D C, C B Ana eam rectangulo , quod bis D CS eo1 Dotinetur , σ quadrato A 'D dupla sunt qaadratorum..seeundi. D C, C B.fed quadratum D B est aquati quadraris D C , Cta , ct rectangulo , quod bis D CE continetur . quadrata igitur a D, B A qaadratorum DC, C B isne dupla. quod demonsrare oportebat.
THEOREM A XXVIII. PROPOSITIO XXVIII. SI in oppositis sectionibus, quas coniugatas appellamus, Conrugatae diametri ducantur, ut earum altera recta sit, altera transversa, & ducantur duae rectae lineae diametris aequi distantes, quae& sibi ipsis & sectionibus occurrant: quadrata ex portionibus lineae aequidistantis rectae diametro, quae inter linearum occursum
206쪽
ctiones interijciuntur, ad quadrata ex portionibus alterius lineae, quae transversia diametro aequi distat, inter sectiones & occursum linearum interiectis, eandem proportionem habent, quam reste diametri quadratum ad quadratum transversae.
SINT Oppositae sectiones, quae coniugatae appellantur, A, B, D; quarum diameter quidem recta sit A E C, transverta vero B E D: & ipsis aequidistantes ducantur x GH Κ, LGMN; quae & sibi ipsis & sectionibus occurrant. Dico quadrata L G , G N ad quadrata F G , G Κ eandem proportionem habere , quam AC quadratum ad quadratum B D. A punctis enim L,F ordinatim applicentur L X, d O a 'uae aequ id istantes erunt diametris AC, BD: & a puncto B clueatur ipsius BD rectum latus B P . Itaque constat ut P B ad B D, ita esse quadratum A C ad B D quadratum , & quadratum A E ad quadratum E B, & quadratum FO ad rectangulum Bo D, & rectangulum CXΑ ad quadratum LX. est igitur sicut unum μntec dentium ad unum consequentium , ita antecedenti Omnia ad omnia consequentia. quare ut suadratum A Cad quadratum BD, ita rectangulum CX A una cum
quadrato A E & quadrato O P , hoc est E H , ad rectangulum D OB una cum quadrato B E, & quadrato L X, hoc est M E. sed rectangulum C X A una ςum quadrato A E aequale est quadrato X E & re augifilum Do B una cum quadrato BE aequale quadrato OE . ergo ut AC quadratum ad quad.atum BD, ipsunt quadrata X E, E H ad quadrata Ο E, E Μ, ho et est quadrata L M, M Gad quadrata PH, H G. quadratorum autem LM MN aupla sunt quadrata L G, G N , ut demonstratum est: & quadrato -- Hs quadrata FG, G Κsunt dupla. ut igitur quadratum Λ C ad quaoc triti, pia, ita L G, G N qua- .drata ad quadrata F G, GK.
υ enim a C proportionalis inter PE , BD , ex dignitione fecanda diametri. qkare per eorollarium decima nona sexti ut P E ad E D, ita quadratum P B ad quadratum a C , r ita quadratam e C ad E D quadratum . Et quadratum A E ad quadratum E B. J Ex quinta decima quislἰ BEt quadratum F O ad rectangulum B O D. Nam ex vigesima prima primi baias Ciat litura rectum ιatus ad transversum, hoc eis ut P E ad B D, ita F O qaahatum adre angulam a G D . Et rectangulum C X Α ad quadratum L X . Est enim ex eadem vigesima prima Dprimi Mi s ut seutonit A transversum Iasas ad rectum , hoc est ur quadratum eAEC ad quadratam E D , ita rectangulum C X ε ad'quadratum L X . Est igitur sicut unum antecedentium ad unum consequentium, ita anteeeden- Etia omnia ad omnia consequentia.) Ex decima frennia quinti. Quadratorum autem LM, MG dupla sunt uadrata N G, G L , ut de- Fmonstratum est. In feeundo libro Eumentorum propo ione soaea, Ac diximas .
IISDEM positis, si linea rectae diametro aequidistans secet asym-
207쪽
A PO L L D N II. Pi ERGAEI , pistos , quadrata ex portionibus ipsius, quae inter linearum o cursum ,& asymptotos interijciuntur, assumentia dimidium qu drati facti a rem diametro , ad quadrata ex portionibus lineae, quae transverta diametro aequidistat, inter occursum linearum& asymptotos interiectis, eandem proportionem habent, quam rectae diametri quadratum ad quadratum transversae.
SINT eadem, quae supra: & linea L N secet asym-Dtotos in punctis A, O. Demonstranclum est, quadrata δε ΣG , Go, assumentia dimidium quadrati AC, hoc η est duplum quadrati E A , hoe est duplum rectanguli LX N, ad quadrata F G , G Κ eandem prinportionem habere , quam AC quadratum ad quadra- C tum BD. Quoniam enim LX aequalis est ON: qu drata L G, ta di superant quadrata X G, Go. duplo rectanguli LX N. ergo quadrata X G , G Ο una cum duplo quadrati A E aequalia sunt quadratis LG , G N. D sed L G, G N quadrata ad quadrata F G , G Κ eandem habent proportionem, quam quadratum AC ad quadratum BD. quadrata igitur X G, Go una cum o
plo quadrati E A ad quadrata F G, G Κ eandem pro- Portionem habent, quam Λ C quadratum ad qu/dratum BD. E UT OCIUS.C QUONIAM enim L X aequalis est O N: quadrata L G, G N superant qua
A ASSUMENTIA dimidium quadrati AC, hoe est duplum quadrati EA.
Cum enim linea e C dupla sit ipsius A E: erit quadratum A C quadrati a E quadria plum, ex vigesima sextio in Hoc est duplum rectanguli LX N. Ex decima e undi huias, sex dignitio.
208쪽
Quoniam enim LX aequalis est ON: quadrata LG, GN superant quadrata X ta , c; O cluplo rectanguli L X N . J Constat etiam hoc ex octavo lemmate Pupi. Sed LG, G N quadrata ad quadrata FG, GK eandem habent proportionem, quam quadratum A C ad quadratum B D. J Ex antecedente.
THEOREM A XXX. PROPOSIT IO XXX. SI hyperbolen contingentes duae reme lineae sibi ipsis occumrant ; & per tactus linea producatur , per occursum vero ducatur linea uni asymptoton aequi dis ans ; sectionemque & lineam coniungentem tactus secans: quae interi jcitur inter occursum &lineam tactus coniungentem, a sectone bifariam dividetur.
SIT hyperbole ABC; quam contingant rectae lineae A D, D C; asymptoti ve. ro sint E F , FG : & iuncta AC, clueatur per D linea D Κ L aequid istans E P. Dico D L ipii Κ L aequalem esse. lungatur enim F D B M ; ει ex utraque parte producatur, ut sit F H aequalis F B : & per B,Κ ducantur B E, Κ N aequidistantes A C, quae ordinatim applicatae erunt. Et quo iam triangulum E E B si inite est triangulo D K N : erit ut quadratum D N ad quadratum N Κ , ita quadratum P B ad B Equadratum. ut autem quadratum F B ad quadratum B E, ita linea H Bad rectum latus . quare ut quaciratum D N ad quadratum di Κ, ita H B ad rectum latus secl ut id Rad rectu in latus, ita rectangulum H N B ad quadratum N K. ut igitur quadratum D di acl quadratum N Κ, ita HNBxectanguluin ad quadratum N K. ergo rectangulum H N Bquaurato D N eit aequale. eli autem dc rectangulum M. F Daequale quadrato F n . propterea quod linea A D sectionem , eontingit, & A M Ordinatun est applieata quare rectangulum H N B una eum D quadrato B F aequale eil rectangulo M F D una cum D N quadrato. sed rectan- Egulum H N B una cum quadrato B E est aequale quadrato F N . ergo & rectangulum M F D una cum quadrato D N aequale est quadrato F N: iccircoque linea FD M ad punctum N bifariam secatur , ac iunctam habetis D F. &ΚN, LMae- qui distantes lunt. linea igitur D Κ ipsi Κ L est aequalis . a sexti.
F E D. COMMANDI NUS. UT autem quadratum P B ad quadratum B E, ita linea H B ad latus rectum. J A
Sed ut H B ad tectum latus, ita rectangulum H N B ad quadratum N Κ a Ex Boi ebima prima primι huius . Est autem & rectangulum M P D aequale quadrato FB; propterea quod linea CA D sectionem contingit, & Λ M ordinatim est applicata . Ex trigesi a septima
Quare rectangulum H N B una cum quadrato B F aequale est rectangulo MFD Duna cum D N quadrato. Si enim aquat a ad stur, qua sient aqualia erunt. Sed tectangulum H N B una cum quadrato BF est aequale quadrato F N .JEx E
Iccircoque linea D M ad punctum N bifariam secatur, adiunctam habens D F.J F
209쪽
APOLLONII PERGAEI THEOREM A XXXI. PROPOSITIO XXXI.
SI oppositas sectiones duae reste lineae eontingentes sibi ipsis
occurrant , & per tactus linea producatur , per occursum Veroducatur linea asymptoto aequidistans , quae sectionem & lineam tactus coniungentem secet: linea inter occursum , & eam , quVtactus coniungit, interiecta a sectone bifariam dividetur.
SINT Oppositae sectiones A, B; & contingentes lineae AC, CB ; iunctaque A B producatur: asymptotos vero sit E F; & per C ducatur CGH, ipsi E P aequi distans. Dico CG aequalem esse GH . Iungatur enim CE, & ad D producatur : & per E,G ducantur E Κ M N, G X ipsi Α Η aequid istantes; de per Κ,G ducantur K F, G L .seati. aequi distantes C D. Quoniam igitur triangulum ΚFE. mile est triangulo ML G: ut quadratum ΕΚ ad quadra- δε tum K F,ita erit M L quadratum ad quadratum L G. sed ut 9. quinti. qu/d riuum Ε Κ ad quadratum K F , ita demonstratum est N L Κ rectangu lum ad quadratum L G. ergo rectangulum N L Κ quadrato M L est aequale. commune apponatur qua dratum Κ Ε . rectangulum igitur N LΚ una cum quadraseeundi to Κ E , hoc est quadratum L E, hoc est G X aequale est B quadratis M L, Κ E. ut autem quadratum G X ad quadrata Μ L, Κ Κ, ita quadratum X C ad quadrata L G, K F. x quinti. ex quibus sequitur quadratum X C aequale esse quadratis GL, K F. atque est quadratum G L aequale quadrato XE: C D & quadratu KF aequale quadrato dimidiae secundae diametri, hoc est rectangulo C E D. quadratum igitur C X quadrato X E, & rectangulo C E D est aequa-E le: ac propterea linea C D in partes quidem aequales secatur ad puninum X, in ,.sexti. Partes vero inaequales ad E. & D H aequidistat G X. ergo CG ipsi GH aequalis
POSSUMVS etiam hoe theorema demonstrare, M antecedens ; si diae recta linea Iectionem unam eontingant o sed quoniam omnino idem est, atqae illud, quod in una hyperbola demonstratum t s demonstratio eadem repetatar.
PED. COMMANDINUS. Α SED ut quadratum E K ad quadratum K F, ita demonstratum est N L R. re.
C Et quadratum K F aequale quadrato dimidiae secundae diametri. J Vaadratam
210쪽
enim x F est aquale quarta parti figura , qua sit ad alametrum Κ PR, ex prima seeaias . huius e s eam secunda diameter mediam propretionem habear inter Agura tarera ; erit . dimidia Usus quadratum itidem aquale quarta parti Dina . Hoc est rectangulo C E DJ Ex trigesima octava primi bmur. DAc propterea linea C D in partes quidem aequales secatur ad punctum X, in , Epartes vero inaequales ad E. Ex deeima lemmate Papsti.
THEOREM A XXXII. PROPOSITIO XXXII. Si hyperbolen duae rectae lineae contingentes sibi ipsis occurrant,& per tactus linea producatur; per occursum vero contingenti um ducatur linea, tactus coniungenti aequidistans; & per punctum, quod coniungentem tactus bifariam secat, ducatur aequia
distans alteri asymptoton: quae inter dictum punctum & lineam aequidis antem interijcitur, a sectione bifariam dividetur.
SΙΤ hyperbole ABC, cuius centrum D, & asymptotos D E: eontingant amtem sectionem lineae A F , F C; iungaturque CA, & F D; α ad G, H procluc tur . erit AH aequalis 1 C. itaque per F ducatur FΚ ipsi Α C aequidjltans: S per Η , Η LΚ aequid istans DE. Dico Κ L ipsi L H aequalem esse . Ducantur enim per B, L lineae BE, L M, quae aequidissenu AC. Iam ex ijs, suae demonstrata sunt, ut quadratum D B ad quadratum B E, ita erit Η M quadratum ad quadratum M L; & rectanguluin G M B ad quadratum M L. rectangulum igitue G MB aequale est quadrato M H. est autem & H D F res angulum quadrato D B aequale; propterea quod AF sectionem contingit, &ΑHordinatim applicata est. ergo rectangulum G MB una cum quadrato DB, hoc est quadratum D M aequale est rectangulo H DF una cum quadrato M. I t & ideo linea FH bifariam secatur in M, adiunctam habens DF. suntque Κ F , L Μ aequidistantes. aequalis igitur est Κ L ipsi L Η.
THEOREM A XXXIII. PROPOSITIO XXXIII.
SI oppositas sectiones duae rectae lineae contingentes sibi ipsis
occurrant ; & per tactus linea producatur , per occusum vero contingentium ducatur linea tactus coniungenti aequidistans ; & per punctum, quod coniungentem tactus bifariam secat, ducatur linea aequidistans alteri asymptoton, conveniensque cum sectione,& cum linea aequidistante per occursum ducta: quae inter dictu punctum, & lineam aequid istantem interi jestur, a sectione bifaria am dividetur.