장음표시 사용
101쪽
CProposui Quadragesii ualecunda, a contrapositis ad coniuncti cim duo lines' sc inuici tu secent no per oentrum illeates, n secant la inuicem per illediuir. li CSint ad coniunctionem contrapolita lectioni S, a, b. N. g. i. dc in sectionibus
d's Cubica quadrata 8 o oc Propositi Quadragesinraici tia.
I unam ad coniunctionem contrapositatum linea secet ad duo puncta, cx notrum aute haec quidem ad mediam secantem ducatur, haec aute secantem, n iunctae erunt diametri contrapostarum. et Sint ad coniunctionem contra sits sectiones.et.b 5c. g.d.6c secet.a .linea quedam ad duo puncta .c.M. ΔΚ secetur prr medium.e.z.ad. h. V centru quide .c. N coniungature. hαquid istas aut ducatur. De. e. r. Dico .a .e.6 . :. g. colundis sunt diametri, qβ. . diameter est a c. 6c per medium secat.eta. tanges ad a. qui distas cst. e. z.quat e S .gC. qn igitur trapositae sunt sectiones oc uni ipsatu silicet. a.ducta est tanges ad .ada centro autem.e.haec quidem ad tactum coniuncta est silicetae.a. baec autem ad taugentem ducta est. g.e. Igitur. g.a M. g.e. coiuncis sunt diametri, hoca: .prius demostratu cit
102쪽
PROPOSITIO XLIIII. XLV. ET XLVI.
Propositio,Quadrages quarta. Τ Ata Coni sectione diametrum inuenire. Sit data Coni sectio inqua .aci. g. d. pucta, oportet utiq; ipsius diametrum
in inuenire,fiat, di sit. g. t.ducti S uti Orssiuate.da. O .e. t. N Pductis crit quidema. .equalis .et. b. 6 .rita. a. si igitur ordinem . b.d. N.e .a.posmoe existeres cadistantes .erunt data .r. N.z.s uncta quare postione crΠ.t ga. Componetur autem si Sit data Coni sectio in qua.a. g. d.ci puncta,& ducatur equi distantcs. b. d.N .aae. N secentur per medium assiet. N. cita coniuncta.z. t. diameta erit
sectionis: Eodem modo itastitos inueniemus diametros. R liga a 324 m a 33
a t e Propositi Quadragesinaquinta. . Ata delectione vel hyperbole centruminuenite. hoc autem manifestum, bi .n. ducantur duo diametri sectionis.a. b. N. s. d. ad quod secabunt se inincem, erit e ictionis centrum ut supponitur.
Propositio,inadragemasexta. UA ta Ceni sectione axim inuc nire.
Sit data coni sectio prius parabole in qua .et. g. e.puncta,oportet autem Ipsinuaxim inuenire ducatur autem diameter ipsus.a. b. Siquide.a. b.axis cst, lactum est ordinatum, Si autem non fiat, di sit axis. g. d. Igitur axis. g.d.equi distans est .a. b.&ductas in ipsam cathetos per medium secati,d ad . d. g. catheti di ad a. baathcti sunt, quare. g.d. ad a b.cathetos per medium secat. Si igitur ordinauer . e. z.cathetum ad a. b.erit positi & propter hoc. e. d.cqualis est. d.et. datum igitur est. d.dato igitur. d. ducta est. g.d. positione ad .a . b. positione igitur est.g.d. CCoponetur uti si ',Sudata parabole in qua .et.e.a.& ducatur ipsus diameter .a. b. Nin ipsam cathetus ducas. bae. N producas ada. Siquide igitur.e. b.equalis est. b. Σ.manifessu *.a. .axis est sat non seces .e.Σ. p mediu ad.d .5c ducas g.d.ea distas. a . b. mani sessu utiq; .g.d. axis est sectiois, eassistas existes diametro, idest diamcaer existes
103쪽
per mediu*6 ad rectos Har.ear. in is igitur paraboles axis inirentus est. g. d. ec mani festum in unus a CS est Parabole Si. n. alius eritur. a.b erit equi distans. g d. ec secate.Quare dc per medium Igitur b. equalis est.b. z.quod est absurdum.
s Cubica quadratat 4 b . CPropositio,Quadragesianas rima. Atar hyperboles vel delectionis axim imaenire. Sit byperbole vel defectio.a.b. g.oportet vito ipsus axim Inuenire, Inuenia
cur,ec sic. d.cctru aut sectionis.c.Igitur. c.dan ipsa ordinate ductas p medium ec ad rectos seca ducas camelus. g. d.a.dc cdiungatur. c. dec. e. g.qn igitur. g. d.equalis est.da. Igitur e .g.c.equalis.ea. Si ordinautamus datu. g.Erit data .g. e.quare centro.c.oc spatio.e.g.circulus descriptus veniti ec pa.dc est positionc datus; si aut Naida. msectio data positione datu igitur. a.est aute Ec g.dat u igitur positiones .a.N es .g.d. equalis . da . datu igitur.d. Sed N. e. da tu igitur positioe.d.c.Compones aut sic, Sit data hyperbole vel defectio.aβ. g.ec relictu sit ipsius centris. e. relictu aute sit in lectione coringes punctu .g.& cetro.cspatio araeg. Circulus describatursae a. 5c coiungatur M. 5c per mediu secetur ad. d. bc coiungatur.ega .e.d. dc producasa.dad.Kqu igio tura.d.equalis est.d'Tomanis auteA. . Dico igitur. g. da.duabusa.d.ζsunt equa les ta basis. a.equalis.c.g. Igitur. b. d. per mediu* dc ad rectos secat. a. d. g. axis illi tur est e. d.ducae per mavi .e sistas.g .lsic maiaxis est sectiois colunctius.b.c.
104쪽
Propositi Quadragesimaod aua. Emonstratis utim his deinceps demonstrandum est,axes earudem sectionum non sunt,si.n. polsibile sic di alter axis.c.h. per cade viil antea ducta cathcto.a.d r.eris. a.taequali S.t.l.quare N. a c. c.l. sed N.c. g. quod est absurdu, in igitur&.a. e. g Circulus ad aliud punctu intera.b. g. io coincidit sectioi in hyperbole mani se. stum,in defectione aute catheti ducatur. g.b N. qn igitur.c.g.equalis est.c.l.ex centro u equalc est di quod fit ex.g.c.ci quod fit ex.e.l. Sed ei quide quod fit ex. g.c. ualia iant que ex.g.r. Na.c.fiant eiq; quod fit ex.l .e.equalia sunt que fiunt ex. ea. Igiturque fiunt cx.ga.5 s.caequalia sui his que fiunt ex. l. s. N.s.c.Eoioc quo differt quod fit e .g.r. ab.c.oquod fit ex. l.f. hoc differt quod fit ex.s.c.ab eo quod fit ex.c.r.rursus quoniam quod est suban.r. n. cum co quod fit ex.r.c.equale est ei quod fit ex can.est autem N quod fit ex.m. g n. meo quod fit ex.s.ciequale ii quod fit ex.c.m.quod igitur est sub.m. n. cum eo quod fit exa.c.cquale est ei quod est suban s.n. cum co quod fit ex s.c.co igitur quo differt quod fit ex. s.e.ab eo qS fit ex .e.r. hoc differt quod est sub.m. r. n. ab eo quod est sub .m.s.n.dcmonstratum est autem o coquo differt quod fit .s.c.abeo quod fit ex.c.r. hoc differt quod fit ex.g.r.ab co quod fit ex.l.s.quo igitur differt quod fit ex.g.r.ab eo quod fit exta. l. hoc differt quod est sub.m.r.D.ab.eo Quod est sub.m.s.n. N quoniam applicats sunt. g.r.N.l. s.est ut quod fit ex.g.r.ad id quod est sub.ma.n.quod fit ex.l.s .ad id quod est sub.m.αn. demonstratu autem est Nin utrisq; eade excelletia quale igitur est quod fit ex .g.r.ei quod est subans .n quod me fit ex.l .s.quod est s .m .s.αCirtalus igitur est. .gan.liae'quod est absurdum, si ponitur enim desectio. . . . vi I
ropositio,Quadragesimanona. AIoni sectione data N punctomminua sectionem ducere a iusto lineam ad
105쪽
ta cathecus ducatur. a. d. erit utiq; positioni: d est . b.e.equalis.b. d.de est data .h. d.da ta igitur cit M. be. Nest. didatu datu igitur N. e. Sed N. a. sitione Igitur .a c. Componetur au cm sic, ducatur ab . a. cathctus. a. d. N ponatur. b.e.equalis. b.d. N coiungatur.a. lmul testam uti l l tangct sectionem, Sit rursus datum punctu in axi quod sit c. fiat re ducatur tangens. a. en. camelus ducatur. a. d. Igitur.b. e. equalis est.Kd.x data. b. e. daca Igicur ta. b.d. V cst damna. b.datum igitur M. d.& est recta. d.a.datu igio tur oc .a. Sed &.c.positione igitur.a.c. Componatur autem sic ponatur. b. d.equalis. b.c. Napuncto. did .a.recta lineo .d.c.N coniungatur.a .e. manifestum utilis. a. erangit, mani festui S si datum puctum idem siti. b. st ducta a puncto. b. ecta lageret sectio' ne Sic autem punctum. g.& fi at, dc lit. g.a. N pcrg. ducatur.g.'. equi distas ari idem b. d. positionc igitur est. g. z.Nab. a. ad. ga. Ordinateducatur. a. d. ritvliqq. g.h. qua
lis. .h.6c est datum h. cicum agit ut 6 .et.bc applicata est.Δa.ordinate idest equi distans tangenti ad.h. si ione igitur est. et . a.datum igitur N.a. Sed N. g. positione igitur est g. a. Componetur sic duratur per. g. g. z.equi distans.b.d. dc ponatur. Ur.equalis.gar. N ducas. z.a.eadillas tangeti ad.h. α corangat .a. g. manifestu se faciet problema.
it rursus hyperbole cuius axis.b A. matrum autem.'.ndri tangenres autem sae. M.t .et. datum autem punctum, ves insectione dabitur Ves in axi relintra angulum qui est sub. e. t.et .vel in aliquo deinceps loco vel in una non tangentium non adientium sectionem vel in eo loco qui est inter ambientes eam quae est ad sumitatem anguli qui est sub Q. eciit prius in sectione via. bc fiatae sit tangens a .h.& ducatur cathetus a. d. transuersum autem speciei latus sit. b. g. Erit utiq; visi. d.ad. db.sic. g. h. id .h. b.ratio. Dd. ad. d. b. data. Data.n. utraqI, ratio igitur M. g. i. ad B.b. Nest data.Kg. datum igitur N.h. Sed N. a. positione igitur Componetur sic,ducatur ab. a. thetus.a.d.M ratio. g. h. ad .h. b. eadem sit rationi .g.d.ad. d. b. N coniungatura. h. manifestum utiq; .a.h. tanget sectionem rursus uti cpsit datum punctum in axi quod sit.h.6c fiat lc ducatura. h.tangens N camelus ducatur.a. d. per eadem utiq; erit ut .g I. ad h.b.Ω.g. d.ad. Zb.
dc est data.b. g. d. datum igitur.d. N est recta. d.a. positione igitur .d.a. positioe autem dc sectio datum igitur. a. Sed SA. positione igitur est.a. h. Componetur autem si supponacalia quide eade& fiat ratio. g.d. ad. d. b.iderau&.gda. ad. hi . de recta ducatur
106쪽
d. a.& eoiungas.a. h.manifestu uri .a .h. facit PNema N ab. h. ducis utraq; tansges sectione ad alteras partes et Me subiectis sit datu punctu.eatra locu aguli a est subes . e. M dectu, sit a puncto.c. ducere tangentem sectionem dc fiat ta sit. c. . ni in
ad. e. l. data, ratio ijs Nn .m.adan. l. data, bc elidatu. l. datu 3gitur ec. m. fc ordinate applicata .m. a.eadistas tangeti ad. l. post ioeigii est. m. a. positioc aut N. a.t.b sectio, datu igitur. a. doc. e. dam,data igitur. c.a. Copones aut sc suppcnas alia ade eade datum puuctam .e. 5cc iuncta. r. producatur ta ponatur. t.n .equalis. l. t.& fiatvt.n. c. ad.l.c.sic. n. m.adan.I. N ducatur .m. a. equi distans tangenti ad.l. 5c coniunga. tur.e. a. Igitur.c.a. tanget sectionem dc manifestumst, ec altera ducetur a puncto. c.tangens sectionem ad alteras partes. sit ducere a puncto .et. tagente sectione 5c fiat de sitiet. a. e. dc p. a. ducas. a. d. eil distans e. t. Erit FiliF. d. t. eqlis. d.z.qtnec .et.a.equalis est a. e.&est data.Σ.t datu igitur. d. scdato.dAucta est. dci. ad .e.t. positione. Igas positione est. d. a. stione aut ec sectio. Datum igi c. a. Sed N. z. positione igitur.et .a .e.Componet aut sic, sit sectio.a.b.N.e.t. N. t et . um tangento ec datum punctum.et. io una non tangentium N ambientium sectionem ec secetur. z.t. per medium ad . d. ecper. d. ducatur. d a. ut distans. t. e. Nconiungatur a. a. id quoniam .et. d. valia est druequalisigitur ec. . I amuare per prius demonstrata.et,a.tanget sectionem. t ti
107쪽
Eisdem subiectis sit datu punctu in loco qui est sub angulo qui extra est abientiu se/ctione oc sit. c oportet viala puncto.c. duceretagente sectione,& fiat,& st. c. a. dico iuncta.c.t. produca erit vial positione. Si vero in lactione relictu sit dat ii punctu .g. ec p .g. ducas. g. d. equi distas. b. r. bc si secetur. g d. per mediu ad e. ec eos uncta. r.e. Nproducat crit positione diameter existes coluncta. t. ponas viii. t.h.equalis. b.t. Nper.aducatur. a.laeada stas. b.t. erit utiq; propterea quod . e. l. N.b. h. eoiuncis sunt dia/metri ec tanges. a. h.e. 5 .as. ducta ad. b. h. quod est sub.c. t. l. equale est quatiae patii speetes ad . b.h. datu igis quod est subae.t. l. N est data .cit data igitur N. t. l. Sed & positione,& est datu . t.datum igitur. I. N p. l.ducta est. . a. ad.b.h. poscide, sitione igitur l. a positione aut & secti datu igitui. a. d 6 . .positione igitura. . Copones aut sic, supponatur alia aderade datum aut punctu .c.in prcdicto locota coluncia.za .pioducatur, ta relictu sit quoda punctsi. g. M ducatur.g.daeassistas. r. di secetur. g. d. p me sdium adae.&c5iuncta.e. .producas N ponatur. 'aeqlis. b. .lgi tui .hh. tralueria dia. meter est coluncta. d. . natur utiq; qis est sub.e. l.t.eqle quaris parti speciei ad. Kh. 8c per .ducatur.l.aaea distash.h.6c eoiungas.ea .manifestu staea. aget sectioncm per esiuersionem propositionis, Si aut in loco rntera.r. p.detur impossibile erit problema, tangens.n.secabit.h. . uarc coincidet utri .et.t.p.quod est Uossibile per demonstrata
Sed &.c. sitione igitur.ea.Compositio autem eadem ei qus ante ipsum.
108쪽
s, Caica quadrata 68 6 p ligata 33 9 83 ἴ- - Propositio, inquagesima. Ata Coni sectione tangentem ducere qus ad axim angulum faciat ad eadem se.
etioni, ualem dato acuto angulo. CSit Coni laetio prius parabole cuiua axis. a. b.omi ter uti ducere tangenoxem lectione irqus ad axim. a.diangulu faciat ad eadem sectioni equalem dato acuto. Fiat e sit. g. d. est aut &qus est ad. b. data, attones igitur. d. b. ad .b. g. dais, ratio autem. b. d. ad.b. a. data, igitur di ratio. a. b. ad.b.g.data ita est datus angulus qui es a. d. b. data igitur &qus est subda. a g. Nest ad . b. a. positione & dato. a. positione igitur g. a. postione autem di sectioidatum igitur. g. M tangit. g. d. positione Igitur est. g. d. Coponetur utiq; problema sic.Sit datus angulus acutus quae est sub. c.z.li .6c telictumst punctum in e.et. N cathetus ducatur.e.h. ec secetur in duo. z.h. pd. t.& coniungaturi. 5c ponatur angulus qui est sub.b.a.g.equalis angulo qui est sub.h.t. e. 5c ducatur eaothetus. b. g.&ponatur. a. d. equaliS,b. a.&coniungatur. g. d.tangens igitur est. g. d. sectione. Di eo utiqi seque est sub. g.d. b. eqlis est ei si est si .e. z. h. qn. n.cst ut .et. haidh.t. sic. d. bad.b. a. est aut vi. r. h.ad. bα. sic. a.b. ad. b. g. per equassiit estvt. z.h. ad h. e. qc.d.bad.b. g. ec sunt recti aguli qui sunt ad . b. b.eqlis igitur.et .agulus agulo. d.
109쪽
Sit sectio hyperbole ec fiat bc fit tangens. g. d. dc relictum sit centrum sectionis. e. ecconiungatur.ge. ec catherus.g. e.ratio igitur eius qui est sub.e .e. d. ad id quod fit exae. g. data, cidem.n. st rationi transverss ad rectam, ratio autem eius quod fit ex g.e.ad id quod fit ex .e.d. dat'data. n.utraq; earum que sunt sub. g. d. e. ec .d.e. g.rat Io Igitur ec eius qui est sub.c.e. d. ad id quod fit ex. e. d.data,quare ec ratio.e .e.ad. e. d. est data,ec dataque est ad .e. data igitur 6c que est ad . e. postione utiq; ad lineam die. ec data .e. ducta est quedam. g.e. in dato angulo positione igitur. g.e. positione aute dc sectio datum igitur.g. bc ducta est tangens. g.d. posicione igitur.g. d.ducatura. e.non tangens sectionem , Ιgi-.g. d.producta coincidet non tangenta coincidat ad . .maior Igitur erit angulus qui est seb. z.d. e.eo qui est sub et .e. d.oportebit utiq; in compostione datum angulum maiorem esse dimidia contentae sub nen tangentibus.
Nprolata 3 8983 p CComponetur autem problema sic.Si data hyperbole cuius axis.a.b non tangens acte.z.datus autem angulus acutus qui est su&e. r. h. maior existens eo qui est sub.ae.z.eeducatur ab.a. a.et. ad rectos a b relictum autem si punctum .h. in .h.Lic ducatur ab ipso ad. t.e. cathetus. h.c. qn igitur equalis est qui est sub.z.e.a. ei qui est sutil.t.c. sunt
quate dc quod fit ex e.a.ad id quod fit ex.a. z.maiorem rationem habet si quod fit ex.ticad id quod fit ex .ch. vi autem id quod fit ex.ea .ad id quod fit ex .a.et. transuersa ad rectam, Igitur εἰ transuersa ad rectam maiorem rationem habet si quod fit exa.cad id quod fit ex .c. h. Si autem faciamus ut quod fit ex.ea .ad id qa fit exta. z.sie aliud quod ad id quod fit ex. e. h. ius erit eo quod fit ex. tae. sit quod est sub .m.t. c.&coniungaetur.h.m.qn igitur maius est quod fit ex .m .caeo quod in sub.ma.c.quod igitur fit exm.e.ad id quod fit rex'.maiorem rationem habet si quod est subanaae.ad id quod fie)ex.c.a .idest quod fit exae. a. ad id quod fit ex. .et.& si faciamus ut quod fit G.m.ead is quod fit G.eda.sie quod fit ex.ea.ad aliud quid erit ad minus coquod fit ex. a.et.& que a puncto. e. ad relictum punctum coniungitur linea similes iaciet triagulos di propter hoc maior est qui fit exciae.a. qui est sis. b. m.c.ponac uti qui in sub. a.c. gequa lis illi qui est sub.hm.c. Igitur.e.gsecabit sectionem secet ad g. ec apudio. g.ducatur s. d.tangens sectionem,N cathetus s. eaimile igitur in trigonum.g.e. e.hm. c. gituro quod fit exae.ea. id quod fit ex. e. g quod fit exan.tad id quod fit ex. e. h. ist autem
110쪽
V ut transuersa ad rectam quodq; est sub.rie.d.ad id quod fit exing.&quod fit est sub m. e. t. ad id quod fit ex .es .ec ex conuerse ut quod fit ex.g.ead id quod est subae. e. d. quod fit ex. h. cad id quod est subma.c.per lia agitur ut quod fit exaeae.ad id quod est sub.eae. d.quod fit ex .cad id quod est sub.maa. Igitur ec viae dind. anaeiadae.
rini anguli qui sunt adae. e. ualis igitur angulus qui est ad .daei qui est sis. h. t.e. M sectio desectio cuius axis .a.b.oportet utiq; tangentem ducere sectionem, que adaxim ad eadem sectioni cqualem angulum contineat dato angulo acut fiat di sirg. d. datus igitur est angulas qui est subsi.dia. ducatur cassicius. gae. ratio igitur eius quod fit ex. d. e. ad id quod flexae. g.data it centrum sectionis e. c coniungatur.g. .ratro aute eius quod fit exae Iad id quod est sub. daeae.data, cadent aest rects ad O ansuer sam Igitur di eius quod fit ex.dae. ad id quod est sub. dae.e.ratio est data,Igitur N.d e. ad .eae. ratio est data, M. d.e.ad. e.g. Igitur raritag .e.adae.eis data eL est recta que est ad.e. datus igitur angulus ad. e. N est ad positionem N datum angulum, datum igitur est punctumg.Na datoss.langens g. d. sitione igitur .g. d. Coponec aut problema su Sit datus quide angulus acutus qui est suberara. 5c relicta semin .et.h.lc cathetus ducatura .l.fiat ut recta ad transuersam quod fit ex.et. t. ad id quod est sub. h.t. c. V coniungaturiem dc centrum sectionisae.N ponatur angulus qui est sub. a. .equalis ei qui est.b. z. Nducatur.g.d. tangens sectionem. Dico . g. d. Dcit problema,idest Φ cqualis est angulus qui est sub. g.d.e es qui est sub. z.di. r. qn clivi. e.c. adae. g. sicie .lad t.bcuti e quod fit ex .e.e.ad id quod fit ex. e. g. se quod fit ex. . didquod fit σα r.est autem n quod fit ex. g.ead id quod est sub.dae .e. se quod fit cxa. t. ad id quod est subGt. b. uter .n. est idem rationi rectae ad transuerosam, ta pereulia,ut igitur quod fit ex .e.e. ad id quod est subae .e. d. sic quod fit ex. . .