Arithmetica

41쪽

Adde I, 2, , 8, totus est is compositus,praetereatur igitur. At I, a, , additis,totus est 3r, primus,& quintus ab eo duplicatus 4 9 6 pe fectus, eiusque partes omnes sunt I, 2, 4, 8, I 3I, 6a, Ia , 248, 96, selus hic perfectus est a Ioo ad Io oo,& sic deinceps. Itaque ut perfectus solus neg lectis partibus habeatur, hinc factu est ab Euclide theorema in hanc sententiam:

36. Si e numeris continue duplicatis ab unitate totus sit primus, facitas ab eo per ultimum eri erfectus.

Sic deinceps a rooo ad Ioooo perfectus est 8 Ia 8, rarique admodum sunt hi numeri, imo nonnullis gradibus nulli sent, ut sexto, undecimo,decimosieptimo,& plerisque aliis. Sic igitur perfectus essicitur e pariter paribus & ex imparibus primis,id est,ex maxime dividuis de minime dividuis.

1 . Imperfectus numerus, est numerus parium toti inaequalium.

Estque redundans aut diminutus.

18. Redundans, est numerus imperfe

ctuspartium toto majorum.

Ut Ia,cujus partes 1, 2, 3, 4, 6 collectae, suntis majores toto Ι2.

19. Diminutus,est numerus impers

42쪽

- - ut 4, 8, & quilibet pariter par.

A R ITHMETICAE

L I B E R I I. Cap.I. de primis differentiis

comparationis.

Ini MA pars Arithmeticae adhuc fuit, seciliada sequitur.

1. Arithmeticae pars fecunda est, quae comparationumqAe genera oe propriet

res.

et Comparatio numerorum est habitudo quaedam ipsorum intersi.

Comparatio est ratio vel proportio.

3. Ratio est comparatio quantitatis.

Rationis termini duo sunt, primus antecedens δc duxissecundus consequens & comes appellatur . Quantitas autem aequalis est vel inaequalis, unde siunt axiomata sequentia.

. Si duo numeri fuerint aequales en

dema

interpretatur numerorum comparationes,

43쪽

' LIBER it. ilem erunt aequales inter se.

Ut et 8c a sunt aequales eidem a. Itaque sunt aequales inter se.

Si numeri aequales addantur aequa libus,toti erunt aequales. 2. is.

Ut et 8c a sunt aequales numeri, adde utrique 3 toti erunt I & s: item aequales inter se.

c Si aequales subducantur ab aequat,

bus,reliqui erunt aquales. 3.axis.

Ut ue & s sunt aequales numeri: ab utroque tolle 3,manebunt adc 2 i item aequales inter se.

7. Totus numerus major en se par

te. s. o. I.

8. Si aequales addantur inaequalibus,

toti erunt inaequales. 4.axio.

ut & 3 sunt in aequales numeri, adde utrique a,toti s & 6 sunt item inaequales.

s. Si aequalissubducantur ab inaequalibus,reliqui erunt inaequales. J.ax.

Ut 6 3c ue sent inaequales numeri, tolle ab utroq; 2 & 2 aequales numeros, reliqui quatuor &3 erunt item inaequales. Ratio est arithmetica vel geometrica.

Io. Ratio arithmetic est imparatio

44쪽

3 ARITHMETICAE in quantitate, qua numerus dissertam

mero. Ut ratio arithmetica et cum et est aequalitatis, 2 cum 3 est differentia. I, et cum S est differentia 3. Ideoque haec ratio differentia dicitur. Cap. a. de numeratione rationum.

Ir Ratio geometrica e F comparatio inquantitate, qua numerus est dirises in nu

merum. Hic praecipue ratio dicitur: dum vero rationis termini scributur, dux superne, comes inse ne notatur sic, 2 3 I

ia. Datis rationis terminis,genus divisione, datoque genere rationis, termini multiplicatione in niuntur.

Sic datis terminis 1 ad I,2 ad 2, ratio erit aequalitatis , quia aequalis aequalem semel dividit. Datis ad 2, 6 ad Α, ratio erit inaequalitatis, illic dupla, hic siexquialtera, quia comes illic ducem bis,hic semel dividit,& dimidium superest. D deris contra genus rationis, nempe ex illis quo-tis si a ct et. Si numerus sit integer, habebis

ducemo

45쪽

LIBER . Ι Ι. ducem. cui a pro comite subjicies,sin fractus sit,

multiplicabis integrum per nomen, factoque numerum partium simul addes ,constitues ducem: comes autem ipse in numero permanet, ut in po 'stremo exemplo: multiplica I per et,& facto et adde I,constitues 3 pro duce , rationisque termini

erunt

I3. Rationum communis numeratio est tanquam terminorum eoque eadem e Equae partium , atque ideo si comites sint

iidem , ob ducese tantur, excepta multiplicatione, quae tum duces, tum Cum res multiplicat.

Sic e ratione gupla 4 ad a addita ail ratione triplam 6 ad a, tota ratio est quintupla io ad a. Sic ratione dupla ad 2 subducta a ratione quintupla Io ad 1,reliqua esst ratio tripla 6 ad a,exempla ita sunt,

6 Ioitem

Sic ratio dupla ad et multiplicans rationem triplam s ad a, faciet latione sextuplam 2 ad 4. Sic ratio tripla' ad 3 multiplicata per rationem quadruplam 8 ad a , faciet rationem duodecuplam 72 ad 6. Exempla ita sunt.

46쪽

1tem

72 3 a Divide rationem duodecuplamis ad 1,in rationem triplam 3 ad I, quotus erit , qui significat dividentem rationem quater in dividenda contineri, aut rationem quadruplam 4 ad I pro quota ratione inveniri: sic ratio sedecupla 32 ad a divisa in rationem quadruplam 8 ad a, relinquit quotam rationem quadruplam. Denique quotus hic est nomen quotae rationis . Exempla ita sent,3 128 Ia

ltem 2 2

14 Si comites sint diges, opus eris r ductione, de qua suo loco.

Ergo haec numeratio communis est in additione, subductione,multiplicatione,divisione.

11 Ratio in qualituis reducitur ad rationem aequalitatis multiplicatione suae

Ut ratio i multiplicetur per rationem I, fiet

ι, quae est aequalitatis. Cap. 3. de generibus rationis. Ratio prima est aut conjuncta, prima multi-

47쪽

LIBER II. Zplex aut superparticularis aut stuperpartiens.

16 Multiplex e F, quando terminus major diWiditur a minore.y.d. 7.

Sic omnis numerus multiplex est ad unitate, ut a duplus,3 triplus, quadruplus , & sic in infinitum . Sunt enim generis hujus reliquorumque species infinitae. Atque hic antecedens est multiplex,ut duplus,triplus,quadruplus, quintuplus textuplus. Cossequens autem submultiplex, ut subduplus subtriplus,subquadrupl',subquintuplus jubsextuplus. Hic etiam unitas numerus est, sicuti saepe in tota comparationum doctrina. Species veto sic notatur,

dupla, tripla, quadrupla, quintupla, sextupla. Si submultiplex multiplici contra compiretur, minoris inaequalitatis erit ratio, & submultiplex dicetur,& antecedens minor erit,cosequens major,ut in coeteris deinceps.Nomen siquidem rationis in minore qualibet inaequalitate,semper amajore termino capitur, addito, sub: sic igitur submultiplicis species notantur,

II I I

Subdupla,subtripla,subquadrupla,s quintupla

subsextupla.

- . . .

48쪽

Haec prima inaequalitatis ratio , vera & propria divisione percipitur, reliquae autam specie imperfecta divisione cognostutur, perpetuoquo

pars. aut partes relinquuntur.

1 . Superparticularis e F, quando marjor di iditur semel a minore, parS er

Si altera,sesquialtera dicitur,si tertia, sesquite tia si quartaseiquiquarta,si quintaiscxquiquinta, si sexta, sexquisexta,ut in subiectis exeptis patet.

3 4 3 6 a 3 4 sSexquialtera,sesquitertiasesquiquarta , sesq*iquintia. T

Sesquisexta. Ac si majorei minoribus dividas, quoti spς-riem rationis & nomen subtilius explicabunt, ut hic vides,

Si minor majori in hac specie comparetur,ratio subsuperparticularis dicetur: res sic erit, 2 33 4 Subsesquialtera, Subssesquitertia, . .

Subsesquiquarta, Subscsquiquinta.

Subsesquisexta.

49쪽

LIBER II. Ubi quoti sunt prioribus similes.

8. Superpartiens est, quando majordiri litur semel a minore , m ejus partes aliquot supersunt.

Si duae,superbipartiens, si tres,supertriparties, si quatuor,superquadriparties,si quinque, super- quintupartiens, ii sex, supersextupartiens, & addimus praeterea nomen partis a comite, tertias, quartas, quintas, sextas, septimas, si comes sit 3, 4, 3, 6, 7. Itaque nomen speciale duplex hic Iit, alterum e numero, alterum e nomine par-xium, ut

3 4 F . , Superbipari. Supertripari. Superquadripar.

superquintupari. Supersextupari. sext. sept. Quorum quoti speciem indicantes sunt,ai, Il, IE, I F. Si coparetur in hoc tertio genere minor majori,siuperbipartiens dicitur,&contrario modo nota ur,ut,

50쪽

I3 Substiperseptupari. septimas. Conjuncta ratio est multiplex superparticul ris,aut multiplex superpartiens.

is Multiplexsuperparticularis est,qua do majorsepius diriditura minore,

Di pari saperest

Duplasesquiquarta. Et sic deinceps, ut,i I ad 3,duplasesquiquinta, 13 ad 6, dupla sesquisexta,quarum quati siun