Arithmetica

61쪽

LIBER I L . . si per reliquum nomen 3, multiplica 8 τ, facies a & τ, unde colliges 26,tandemque habebis ri deas integros proportionales 3 et l. Cap. '. de inventione proportionalium per divisionem, deque reductione ad

minimos.

Datis vero majoribus numeris minores inventu tur regula divisionis per contrariam e lege multiplicationis dedulla.

N. Si numerus digisterit numenos, quo

ti erunt proportionales diri sis.

Ut et dividat 8 & 6,quoti erunt proportionales divisis 8 & 6: At & 3 dividant et , quori 6 & 8 ,erunt proportionales divisis,sed contrario genere inaequalitatis. Non enim ut 4 ad 3,sic ε ad 8,illic enim est ratio sesquitertia, hic sesquialtera, sed ut 4 ad 3,sic 8 ad 6. proportionales fiunt divisione non solum minores divisis,sed minimi proportionalium.1i. Si numeri fuerint minimi propor tionalium, eruntprimi inter se. 83 l. 7.11. Et si fuerint primi interst, erunt minimi prΘπtionalium. 24 p.7.

Ut 3 &a sunt primi Sc minimi sesquialter tum, & quia stat minimi proportionalium, ic-

62쪽

circo sunt primi.

33. Si maximus communis dirisor diviserit datos, quoti erunt minimi propor tionales datis. 3Je-7

maximus divisor cum diviserit 8 & ir, quoti r& 3 erut proportionales minimi, unde etiam se

quitur.

3 . Si duo numeri fuerint minimi proportionalium, dirident sibi proportiona

les aequaliter, majormajorem, oe minor

minorem. Me.7. Ut patet in eodem exemplod dividit ipsumar quater, & a dividit ipsum 8 toties. Habet a tem ista ad minimos reductio usium tam necessarium,quam est facile pares numeros prae magnis numerare. Itaque providendum semper est, ut primi numeri & minimi perpetuo proponantur, aut si compositi dati sint, protinus reducantur ad minimos per maximum communem divisorem. Serviet etiam stiperiori 1 mrtionalium reductioni reductio ad minimos rminos , ut postea reductorum terminoru alia reductio prolixior evitetur. Sed reductio ista per species nomerationis est etia quaedam specialis

63쪽

LIBER II.

1 s. In additione σμbductione mini. mus a nominibus diriseu αἱ flumendis

pro communi nomine S numeri multiplicandi alterne per partes cognomines.

Ut hic vides,

men alterius reducuntur. Qiija sunt multiplicatores, idemque est multiplicare τ per l, per T. Itaque tanquam et rediges ad V, & pro ἰ , facies

37. Si numerus nomini alterno fuerit aequali reliquus numerus reliquo nomini

seperpositus multiplicationem ab olrit.

Ut in D omissis 3 & 3,habes et, id est, ἰ. Quin si longa hic series fuerit, aequalibus omnibus omissis, reliquus numerus cum reliquo nomine multiplicationem abselvet,ut hic, I Z 38 1 A I A A L

ue 8. In divisione numeri interscivein mina inter se, vel utraque separatim re D iij

64쪽

s4 ARITHMETICAE

ducuntur. Ut sit dividantur per l, pro et & , sumes I& 2,ec quota pars erit et , vel I r. Item si dividas 2 per sanaes a & 3 pro ' & 6, & facies Wvel 1ῆ. Item si per sumes & a pro Α, & prodi & a , I & 3,dc quota pars erit T.

Cap.Io. de regula aurea proportionis disjunct*,5 inde quarti proportio natis inventione. Proportio est prima aut conjuncta.

39. Proportio prima, est proportio dis

jundia tantum,aut continua tantum.

6o. Proportio duundia est, quando quae ratio est primi termini adsecundum, eadem est tertii ad quantum.

Ad proportionem dis unctam prima erit imventio quarti proportionalis per multiplicationem simul & divisionem, quae inventio propter singularem excellentiam vulgo aurea regula no

minatur.

61. Si quatuor numeri sint proportionales ,facilus ab extremis erit aequalis fa Eio a mediis: Dadius ab extremis sit aequalis facis a mediis,quatuor numeri e

runt

65쪽

LIBER ΙΙ, runtproportionales I9p.7.

Ut in q, 2, 6, 3, factu Ia ab extremis &aequalis Ir facto a mediis 2 & 6. Ideoque etiamnumori quatuor positi sunt proportionales. Hinc sequitur.

61. Si datis tribus numeris primus d

Ut in a, 4, 6, quartus proportionalis ostia.

63. In hujus regulae quaestionibus 'rincipue sterilandus e Fordo terminorum.

Ut nempe primus primo loco sit, &cceteristo. Itaque si confusius, ut solet, quaeratur, red, gantur tamen in ordinem termini: Utiquot horae sunt inc diebus,cum in 3 sint 72ξ Hic quaestio est tertii termini,quaestionisque proportio sic expedietur 3, 72, si, I 46

6 . Si confundantur res heterogeneae, reducendae sunt prius ad id genuου.

Ut si quaeratur hebdomada horas habet I68. dies quot horas h bent 3 Pro hobdomada ponantur 7 dies,& tum dic,7 dies dant horas i , 8, dies quot horas dabunt reperies 'g.

61. Si termini rationis comprehendam tur dato nomine rationis , ante flunt ex

plicandi.

D iiij

66쪽

Ut ad quem numerum Ia est quintuplus ZP ne pro primo & secundo termino terminos minina os quaesitae rationis 1 & i, & dicito,ut 1 ad si sic Iaada . Atque hoc modo cuilibet termino terminus rationalis, qua voles rationis specie reperietur. Sic enim idem Ia sesquiquartus erit ad 9 superbipartiens tertias, ad 7 τ duplus sesquiquartus, ad 1 .id est, τ, duplus stupertripartiens quintas ad 4πε. Exempla sunt cum specie r Ilonum terminos includente: sic, F, J,

I 2, F v, id est j

Si quid

anteceserit quaestionem,

ante explicandum est

Centum libras emi io aureis,vendidi i quatum lucri fuisset ex aureis ioci Z Primo videbis lucrum Io aureorum esse aureos 2.Tum igitur per auream regulam dicito: Io dant et, ergo Ioo dabunt 2 o. Item si libra 3 aureis empta, Venderetur tantum et, quanta essetjactura ex aureis Ioo Hic cum videris j aetiiram in s esse I, tum dices 3 perdunt i: ergo Ioo perdunt 33- . Sic saepe multarum rerum additio facienda, priusquam proportio concludatur : ut, piperis pondo Io oo in Lusitania empta sunt nummis Io OOO, proque . his

67쪽

his vectigal pensitatu nummis Io oo,naulum per Rhotomagum usque fuerit 3oo. ibi deinde vectigal Joo, vectura roo: accesserit ministrorum impensa et o oo, vis in singulas libras lucrari , id est, pro tota summa gooo ξ Adde illa omnia, summa erit 18o oo. Iam dicito,Ioco pondo dant impensas I 8ooci : ergo I dat 18. Putearius quidam puteum brachiorum 3 redemit effodiendum libris 6o cum victu geminarum operarum. Effossis autem brachiis 2o, a grorare coepit, patremque familias mercede debitam rogavit, quanta igitur ea est Θ Hic victus nihil variat, sed arithmeticae progressionis usus hic est ante proportionis geometricae conclusionem. Nam secundum brachium aborem primi continet & tertium utriusque, & sic deinceps rithmetica gradatione labor crescit. Itaque siumma integrae progressionis brachiorum est 1's. At summa progressionis 3 ,2 o brachioru est a Io.

Cap. II. de reductione quadruplici exinventione quarti proportionalis. Ex aureae regulae consectario quadruplex re, ductio oritur partium ad datum nome, integrOIum ad partes, partium ad intesros, particula' rium ad partes.

68쪽

18 ARITHMETICAE 67. Reducilio partium ad datum nomen , e F multiplicatio reducendi numeri

per datum nomen, adii dirisio per re

ducendum nomen.

Atque hic integra proportio est: ut si quae ratur quot sunt ππ-λ Hic enim terminos tres habes 4, 3, Ia, unde quarto proportionali inve-to,respondebis i esse vi. Idem vero est dicere, A reductae ad , sunt τl, item quaerere, quot sunt, in lὶ Reliquae reductiones compedium proportionis habent. In his enim proportioni terminis aliquis deest. Itaque multiplicatio vel divisio omittitur.

68. Reductio integrorum adpartes,smultiplicatio integrorum per nomen tam rium unius integri,

Ut si reducere velista signa ad gradus,scis gradum esse tricesimam partem signi multiplicabis igi ur Ia per 3 o,& facies 3 6 o. Multiplicatio hic tantum est,quia primus terminus est i,quo nihil dividitur. Qiuestio autem sic esset e suis termianis: I signum continet 3o gradus, Ia signa,quot gradus continenti totaque proportio sic esset I,

G. Reductio partium ad integros, essili risis partium perii arum nomen,

69쪽

habebis 1 α. Quaestio etiam sic esset: 3o gradus valent I signum, 36o quot Valent ὶ tumque proportio concluderetur: so gradus valent Isignu, ergo 36o gradus valent Ia signa. Atque hic quia secundus terminus est I,quo nihil multiplicatur, divisio tantum est necessaria. Proportio tota sic est 3 o, I, 3 6 o, I 2. Hac igitur utraque reductione, Via patet reducedi aureos ad asses,asses ad uncias:contraque uncias ad asses,& asses ad aureos,& monetae cujustunque genui in partes frange-di, partesque ad totum reducςndi.

o. Reduritio particularum ad partes, f multiplicatio numerorum interse,

nominum inter se.

- Sic t : redeunt ad i , id est & divisio

hic ut in reductione integrorum ad partes negli gitur,quia I est primus terminus proportionis, M pportio hic duplex est, altera in numeris, altera in nominibus. Tota proportio sic est, ii :ut enim I ad 3, sic et ad 6, item ut et ad 4, sic 3 ad Ia . Constitutis autem proportionalibus, conquat factum ab extremis aequalem esse facto a m diis , atque ob eandem proportionis caussam videri possit multiplicatio partium & rationunomen & comitem simul cum nomine & duce c5

plecti: Si series longior fuerit, binae partes fiunt

expedienda ut in l, primo facies et ,id est

70쪽

numeri inter se multiplicati creant eosdem , &per hanc particularem reductionem, cognostis quid sint particulae, cum vides quales sint partes totius. Eodem compendio partes integrorum cognoscentur, ut F trigintaquinque aureorum sunt , id est Io aurei, tanquam quaereretur; 'i.

Cap. I a. de variis quaestionibus proportionis. Instructis & paratis fractorum numerorum praeceptis,proportionis usus multo expeditior Grit qualem compluribus & clarioribus exemplis Iubet illustrarC. Persolveris aeris alieni ἱ: deinde , & restetro aurei,quantum erat totum aes alienum λ ad diatae partes fiunt πτ. reliquum igitur est unde quaestionis proportio concluditur.3 valent I o aureos et ergo Ia Valent 24. Turris τ in terra latet, et demergitur sub aqua, reliqua pars 6 o cubitis supra aquam eminet, quot igitur cubiti in terraὶ quot in aqua Partes additae sunt i , reliquum igitur, valet εο : unde concludes,

s valent co: Ergo