Arithmetica

51쪽

At si contra minor majori comparetur Tub)utrique speciali nomini praeponendum: ut ratio; est subdupla,subsesquialtera, ratio ' est subdupla,subsesquitertia,&c.

a o. Multiplex Juperpartiens est,qua do majorsepius diri litura minore

Duplasiuperbipar.

quint.

Duplasuperbipari.

- undec. Quoti rationum.

Cap. . deprimis differentiis proportionis. Ratio adhuc fuit,sequitur proportio.

at Pontio est militudo rationum, Da partes Jversent.

tert. Is

52쪽

Ejusque perinde valet inversio & alternatio

22, Proportionis inreso, es assumptio consequentis, velut antecedentis ad

antecedentem velut Consequerem. I3 .d. s. Ut si dixeris, ut sunt 2 ad 4, sic 3 ad 6: Ergo, inquam,ut 3 ad 6, sic et ad 4: item ut 6 ad 3, sic ad a. Denique ut 4 ad a. sic ε ad 3,id ανασπο- cst Euclidi.

23. Proportions alternatio est assiumptio antecedentis ad antecedentem, S co-stequentis ad consequentem.Π. I 2. l. s.

Ut si dixeris ut 1 ad io, sic ad 8: ergo,inquam,ut 3 ad 4,sic Io ad 8. Id ἐναλ αἱ est Eqclidi. Proportio est disjuncta vel continua.

24 Proportio disjuncta, est proportio

terminorum dis lun Arum.

Ut 6 ad Ir, sic I ad I . hic termini quatuor sunt diversi.

2s. Proportio continu est proportio e

jusdem termini fecundi m tertii.

Ut 2 ad 4, sic ad 8; hic duae rationes uno

termino continuantur.

Cap. . de proportione arithmetica disjuncta. Proportio est arithmetica aut geometrica. Proppr

53쪽

Proportio arithmetic est militudo disserentiarum,

Ut in 8, 6, 72, Io , utrobique enim est 2, pro differentia etiam inverso modo: ut enim Io ad H,sic 6 ad 8,vcl ut Ia ad Io,sic 8 ad 6: una enim differentia a est. Item alterno modo, ut 8adς, sic Ia ad Io. Ergo ut 8 ad Ia, sic ς ad Io. Propo tionis arithmeticae inventio varia est, prima est additionis.

α7. Si quatuor numerisint arithmeti ce proportionales, extremus simul uterque erit aequalis medio simul utrique.

Utin 2, 3, A,I: utrobique enim est T. Sic in 12, IO, 6, : utrobique enim est Is. Secunda est multiplicationis.

a8. Si sint quatuor numeri arithmetice proportionales jactus a mediissuper

bit factium ab extremis festo a disseremtia maximi a medio ,per disserentiam Gjusdem medii a minimo.

Ut in Ir, Io, 8, 6 , faetiis ab extremis est i, quem 8o factus a medio,super i 8, facto a 2,di ferentia primi supra medium,per disserentiam . eiusdem medii a minimo. Sic in Ia, Io, 4, 2, s ctus ab extremis est 24, quem 4 o, Maus a me-

54쪽

diis superat 16, facto a et differentia primi a m dio , per 8 differetiam eiusdem medii a minimo, Termini tamen recte constituedi, ut medii sint medii quantitate. Neque hic dices ut ia ad 8,sicis ad Ia,sed ut 8 ad Ia cic ia ad I6. Cap. 6. de proportione arithmetica con tinua,ejusque progressione. E disjuncta proportione Arithmetica, assi chio continue deducitur.

18. Sisint tres numeri arithmetice proportionales medius erit dimidius extremis ututriusque.

Ut in 3,J, 7. Nam 3 &7 sunt io,quorum dimidius est 1. Hinc patet inventio medii arithm

3o. Si sint tres numeri arithmetice proportionales, factus a medio, superabi sectum ab extremi acto a disserentiis.

Ut in 3, 6,', factus ab extremis est 27, quem 36 factus a medio, superat ' facto a differentiis

3I. Proportionis arithmeticae continuae termini quantumlibet continuariposunt, 'progressio arithmetica vulgo dicitur:

n ea quaeri solet terminorum difflarentia,numerus.

55쪽

merus,primus,ultimus δc summa, quae datis triabus inveniuntur.

3α . Si primus fuerit Abductus ab ultimo , reliquu ue dirisus in numeru tem

minorum unitate minutum, quotus erit

diserentia.

Ut progressionis quinque terminos habentis sunto primus & ultimus terminus 2 & Io,numerus autem terminorum 3,tolle igitur a primum a Io ultimo,restant 8,quibus in quatuor numerum terminorum unitate minutum divisis, quotus rit a pro differentia, perquam a 2 primo termino invenies reliquos terminos Α, 6, 8, usque ad Io ultimum,totaque progressio erit 2, , 6, 8,lo.

limo eliquasique diri in in differentiam,

quotus unitate auctus, erit numerus ter minorum.

Ut in eodem exemplo,tolle 2 a Io,manent 8, quibus divisis in a differentiam,quotus est 4,cui adde I,habes 1 numerum terminorum.

3 Si unitas fuerit subducta a num m terminorum , factusique a reliquo per differetia ubductus ab ultimo reliquus

erit primus.

56쪽

46 ARITHMETICAE

Ut in eodem exemplo, tolle I as numero ter 'minorum, & 4 reliquum multiplica pera diffstentiam,& factum 8 tolle a Io ultimo,reliquus t

est primu - . -

M. Si unitas fueritμbdueta a numero terminorum ,' linitie a reliquo per diffferentia additusprimo,totas erit ultimus:

Iut in progressione, 2, 4, 8.IO, numeruS terminorum est y, a quo tollati ir i, & per A numeruterminorum unitate minutum, multiplica per Edifferentiam,& 8 facto adde a primum terminii, totus erit Io ultimus terminus progressionis.

et 6. Si numerus fuerit factus ex addi

tis extremis per dimidium numeri ter minorum , mel a nμmem te minorum per dimidium additorum extremorum, erit

summa progressionis.

J Ut in z, 4, 6, 8, Io, o, extremis additis et de Ia, totus 74 per 3 dimidium multiplicatus, facit Σ' summam quaesitam. Fac numerum terminorum imparem,ut in a, A, O, Io, extremis addi.tis totus est i2,cujus dimidius 6 per s numerum terminorum multiplicatus,facit 3o summam. Cap. .de proportione geometrica,deque invetione proportionalium & inaequaliu. AD

57쪽

Adhuc proportio arithmetica fuit geometrica sequitur.

3 7. Proportio geometrica est L .

litudo rationum. q. l. S. Hic proprie proportio dicitur.

38. Proportionales sunt, qui halent e

andem rationem. 7. l. DVeluti ' ad 3 sicutiri ad 4, ratio utrobique

est tripla,ideoque ',3, 12, 4 iunt proportionales.

39. Si numeri fuerint aequales, erunt proportionales ad eundem , m idem erit proportionalis ad aquales. 7l. I.

o. Et si numeri fuerint proportionales ad eundem, erunt aequales, oe ad quos idem sterit proportionalis, illi erunt

proportionales ad 3: ut enim et ad 3, sic et ad 3. itemque 3 ad 2, & et est: propo tionalis: ut enim 3 ad a, sic 3 ad 2,contraque a Ma cum sint proportionales ad 3,siunt aequales. Itea & a aequales, ad quos 3 est proportionalis.

r. Si duo numeri fuerint inaequales, major habebit ad eundem majorem ratio nem, quam minor, idem ad minorem quales.'p-s

58쪽

8 AR1THMETICAE. habebit majorem rationem quam ad mo

i. Et si duo numeri habuerint ad emdem rationem inaequalem, qui habuerit

majorem,erit major, ad que autem idem habuerit majorem rationem, erit minor.

zo l. S. Vt, & sunt in aequales, & ad 2 majorem rationem habet,nempe duplam,quam 3 ad eundem,nempe sesquialteram: item et ad 3 majorem habet rationem,nempe sesquialseram, quam ad subduplam . Conuersum patet in eodem e emplo, Cap. 8. de inventione proportionalium permultiplicationem, deq; reductione pat-tium ad cognomines & pro

portionales.

η 3. Minores aeque majoribus μηt

proportionales. Ι Ut 1 ad 4,sic 3 ad 6. Antecedentes enim di

midii sunt consequentium: datis autem minoriabus, majores proportionales inveniuntur multiplicatione.

. Si nremerus numeros multiplicet facti

59쪽

farili erunt proportionales multiplicanti

tiplicent 1, facti iidem 6 dc 8 erunt itidem proportionales multiplicantibus,3 dc Α, quia utrobique aeque majores sunt minoribus, Reductio partium ad cognomines δc proportionales e proximo multiplicationis theoremate deducitur, atq; ut proportionales ipsi addantur, subducantur,dividantur necessaria. Proportionales enim partes sunt eaedem quatumlibet terminis dissimiles,ut et , i , l.

6. Partium reductio ad cognomineso proportionales partes , αξ multiplica

tio nominis oe numeri per altem nomen. Ut in τ, 4, multiplica a & 3 per Α, item 3 dc

per 3,facies cognomines Sc proportionales pattes etet, et proportionales quidem,quia numerus idem duos multiplicavit: cognomines vero& aequalium nominum, quia sunt e duobus numeris inter se multiplicatis.

4 . Nomina reductione eadems L, ad dirisionem nihil attinent.

Nam cum reduxeris partes τ, i ad , dicere τet toties e vi siubduci nihilo plus ostquam dicere 3 toties a Itaque nominum inter

60쪽

o ARITHMETICAE

se multiplicatio hic in divisione omittitur. At si series reducendam partium longior fuerit,binae reducedae sunt, ut in prima reductione atque hinc additione facta ,habebis ψ2: deinde

cum ἴ reductae sunt ii, M. 48. Eadem Oia re δε honis, cognoscetur e binis partibus utrae sint majores.

Ut i sent majores quam d. quia facta reductione habebis 44 pro l: At habebis tantum li

Eli ad integros proportionales redeunt, si

numeri multiplicetur per nomen unarum partium. Sic , t multiplicatae per Α, redeunt ad l,

P, id est ad a & a integros, & eadem rationem habentes quam habent ἰ ad i. Si majores terminos proportionales requiras,multiplica rursiis & κ per nomen Α, facies ἡ & id est, s& 8,vel multiplica per ue, facies H, id est ia& Ia integros proportionales datis fractis Idem erit, si cum integris fracti misteantur, ut si pro 3 τ & quaerantur integri propo tionales,multiplicabis 3 per et, facies 7: deinde multiplicabis per idem nomen, facies 8 ἰ, neque dum habes ambos integros, sed alterum tantum Gadem itaque via quaeratur alter: igitur per