장음표시 사용
101쪽
tiplicetur per secundam partem -e, factoque producto -aae - H-bbe 9 , sumatur illius triplum -3aac abc-3bis . Ducto similiter qdadrato ince partis secundae -c in patiem Irimam a b, sumatur triplum producti --ace Me hinc fa-i b , videlicet Ac demum fiat cubus 3 secundae partis- . Horum omnium collectio a 3-3Mb-3bba Φήν - 3aac - ωM- 3bbc -- 3acc--3iae 3 erit tertia potestas quaesita trinomiae magnitudinis a--μ-
Hujus resolutionis demonstratio manifesta est ex prepositione II. fundamentali. I c Fr o L I G NCubi singularum partium magnitudinis complexae ad tertiam potestatem evectae, iisdem signis assiciuntur , quibus affectae sunt ipsae partes. Enimvero cum earundem partium quadrata assecta 1emper. sint signo positivo- c), eaque multiplicanda sint per ipsas partes, ut fiant cubi d , & signa diversa in multiplicatione reddant - se , cubus partis affectae signo , eodem quoque signo affici debet L sice: illius quadratum signum in praesi xum habeat.
Elevare magnitudinem complexam ad ' quartam potestatem -
D6 I. Fiat quadrato quadratum primae partis. II. Sumtatur quadruplum producti, quod oritur multiplicando cubum ejusdem partis primφ pen secundam. III. Tum sextuplum prin
102쪽
ducti ex multiplicatione quadrati prioris partis per quadratum polieriolis. IV. Postea qua Aruplum iacti ex ductu cubi secundae partis in primam V. Demum quadrato-quadratum ejusdem partis lacundae. VI. Hisce omnibus elementis in unum collectis, quin signa mutentur , quae ex legibus multiplicationis illis conveniunt, aggregatum inde consurgens erit quarta potestas datae magnitudinis binomiae. Quod si pol omiaxpia fuerit, omnes partes ad sinistram positae, excepta nimirum ultima ad dexteram, pro una habeantaria
Esto magnitudo binomia a-b ad quartam potestatem elevanda. Primo igitur fiat quadrato uadratum a' partis primae altum multiplicato cubo a3 ejusdem par is per secundam sumatur quadruplum facti in a b, nempe is in a 3 b ', de . inde sextuplum iacti a ba ex ductu quadrati -- ah partis prioris in quadratum b partis posterioris, videlicet --6au γpostea quadruplum producti bia, quod nastitur ex multiplicatione cubi --b partis secundae ---b per Primam in a, nimirum postremo quadrato-quadratum ejusdem partis secundae in b. Aggregatum ex hisce Omnibus elementis, nempe a-va b- ω b -- Αωa-b' , erit quarta potestas magnitudinis bmomia a - b.
Deducitur maniseste ex propositione III. fundamentat; -s c H O L IO . I6s omnia elementa Oadrato uadrata , quae in quarta potestate magnitudinis complexae reperiuntur, assccta sunt signo positivo - - . piunt enim ex ductu quadrati, quod eo
103쪽
Fractiones ad determinatam Potestatem elevare
si Tam numerator, quam denominator datae fram ius elevetur ad propositam potestatem , atque ex hiice Productis respessive stat stactio, quae erit potestas quassita-
Elevare oporteat seactionem - ad quadratum .. Sumt digitur quadrato M---bbnumeratoris a b pro numeratore, de quadrato G denominatoris d pro denominatore, fiat
fractio ' :Haec erit quaitiatum fractionis datae diu d
adsis potestatum Alebricarum ,
10 Anai sis data potestatis est ipsius resistis in
104쪽
eem, videlicet inventio Mugmtudinis, ex qua aliquoties in seipsa ducta potestas ipsa escitur . Sic inventio magnitudinis . ex qua semel per seipsam multiplicata fit quadratum --δ-4b, dicitur ania sis, & extractio radicis quadratae ex ipsa magnitudine μ-2ab b.
t 68 Exponens radicis est numerus designaris gradum potestaris , ad qtiam radix ipsa refertur . Nimirum sicuti exponens secundae potestatis est 2, exponeos tertiae potestatis est 3 &e. a , ita ex nens radicis quadratae est 2 , radicis cubicae in I , atque ita deinceps.
169 Radices magnitudinum indicantur unos ' , quod ridieale idcirco dicitur . Gradus vero radicis per exponori- rem potestatis, ad quam ipsa radix refertur, radicati signo,
exponentis instar, appictum designatur. sic μ ', vel smplieiter exprimit radicem quadratam, M radicem Φeubiem, radicem quadrato quadratam , universaliter
radicem illius gradus, quem designat .exponens in . Indicatur itaque radicis extractio praefigendo signum radicale suo exponente affectum illi . magnitudini, cui radix extrahenda est. Ut si extrahere oporteat radicem quadratavi ex magnitudine a, scribitur QT ; si radicem cubicam, lati-hitur Que , & sc deinc ra. DEFINITIO XIV.
17o Radix cujusvis gradus dicitur movmia, si uno in
105쪽
tum termino constet, ut a, vel bd &e. : binomia, si duobus, ut aut dis, trinomia , si tribus , ut a b - , universaliter polynomia, si plures terminos contineat.
Ex magnitudine Algebrica incomplexa radicem cuj bis gradus extrahere.
7I Exponens incomplexae magnitudinis, cujus radix inquiritur, dividatur per exponentem radicis quaesitae , & qu tus eidem magnitudini pro exponente appingatur . Haec erit radix quaesita.
Ut si extrahere oporteat radicem cubitam ex magnitudine , cum exponens radicis cubicae sit 3 U , divisoque exmoente 6 per exponentem 3 , quotus sit a. , erit g radix cubica magnitudinis a .
Cum enim extractio radicis si operatio contraria Brmutioni potestatum c b), quemadmodum magnitudo incomplexa ad datam potestatem evehitur, multiplicando ipsius em nentem Per exponentem propositae potestatis cc , ita econtrario radix extrahitur ex ipsa eadem magnitudine, si illius exponens per exponentem radicis quaesitae, qui ab exponente potestatis, ad quam radix ipsa resertur , diversus non est do, dividatur. Ergo &c.
106쪽
I72 Cum exponens radicis quadratae sitae, radicis cubicae it 3 a) Sc., radix quadrata data magnitudinis incomplexa erit ipsa eadem magnitudo affecta semisse sui exponentis , radix cubica erit ipsa magηιtudo assecta triente sui exponentis, universaliter radix data e uisis magnitudinis incomplexa erit magnitudo ipsa ,eHus exponens sit fractio habens pro numera re exponentem imsus magnitudinis ,pro denominatore vero exponentem ipsius radicis
Radix nimirum quadrata magnitudinis a crit a , radix c
bica a3 , & universaliter radix , cujus exponens sit quantitas
in , magnitudinis a erit a . Quamobrem extrahere radicem quadratam ex data magnitudine, puta a , perinde est Om
nino ac ipsam elevare ad potestatem, cujus ex ηens sit - :
extrahere radicem cubicam idem est ac magnitudinem ipsam
a elevare ad potestatem, cujus exponens sit - , atque ita deinceps . 3s c Η ο L I O V I.
i73 Loco formulae μοῦ , qua exprimitur radix quadrata
magnitudinis a, haec alia a assumi potest. Similiter loco so mulae P, qua radix cubica ejusdem magnitudinis a indicatur, potest haec alia a 3 assumi,& sic de ceteris. Est enim
107쪽
scΗOLION II. 17 si quotus exponentis dan magnitudinis per exponentem
quaesitae radicis divisi , suerit numerus integer, radix ipia ex data magnitudine exacte elici potest. Si fuerit mixtus ex integro & stacto, radix nequit extrahi nisi ex parte. Si vero fuerit numerus fractus fractione proprie sumta , data magnitudo est huiusmodi, ut radix ex ipla nullatenus extrahi queat. Sic ex magnitudine in elici potest radix quadrata exacte; quia quotus expo/.entis divisi per exponentem 2 e11 2. Ex magnitudine vero ipia a' nequit extrahi radix cubica , nisi ex parte;
I . . cum sit - ΣΣ Ι ---. At vero ex magnitudine a cubica radix
elici nullo modo potest, ex eo nimirum, quod diviso expo-
nente A per exponentem 3, quotus sit fractio naturalis - .
17s si data magnitudo incomplexa , ex qua radix e trahenda est, suerit productum ex dissimilibus literis inter se multiplicatis, singularum literarum exponentes per ev nentem radicis quaesitae sunt dividendi. Ut si quaeratur radix quadrata magnitudinis aQβ, diviso exponente utriusque literae per 2, radix quaesita erit a b3.
Radicem quadratam ex maxnitudine complexa extrahere
I 76 I. Ex uno , vel altero elemeatorum quadraticorum datqmagnitudinis eliciatur quadrata radix μ). II. Per duplum dicis inventae ea omnia ejusdem magnitudinis elementa diu,
108쪽
dantur, in quibus radix ipsa reperitur. IIL Quotientes ad liciantur eidem radici ope signorum , quae singulis ex ipso opere divisionis convenire dignoscimus. IV. Hujusmodi aggregatum elevetur ad suum quadratum anilludque datae magnitudini subducatur. si nihil hinc residuum fuerit, data magnitudo erit quadratum persectum, ejusque radix erit magnitudo illa complexa ad quadratum evecta. Si vero aliquod remaneat , data magnitudo toto illo residuo mulctanda est, ut fiat quadratum persectum.
Extrahenda sit radix quadrata ex magnitudine -- θι-- bb. Sumta igitur radice quadrata a ex elemento quadrato aa, per illius duplum, scilicet per-- , dividatur et cmentum 2ab, cui illa includitur, di quotas , radicia adiiciatur, fiat nempe a-b; cumque nullum aliud elemem tum extet in ipsa magnitudine, in quo sit radix a, aggre gatum a-b elevetur ad quadratum , illudque datae magnitudini subducatur. Constat autem, hinc nihil relinqui. Igitur magnitudo M - Σῶ - u erit quadratum perladium , ejusque radix erit magnitudo hino ma ἀ- b. .
Patet ex ipsa genesi seeundae potestatis.
ad rem eisiem ex magnitu e camptera extra T.
177 L Eliciatur radix cubica ex uno elementorum cum hi rum datae magnitudinis h . IL Radix inuenta ad qu L α dratum
109쪽
dratum elevetur a . III. Per triplum hujus quadrati di via dantur omnia ipsius magnitudinis elementa, in quibus reperitur. IV. Quoti cum suis signis apponantur radici jam in-Ventae. V. Aggregatum hu)ulinodi elevetur ad cubum b , iique datae magnitudini subducatur. Si nihil hinc superstes fuerit, data magnitudo erit cubus perfectus, ejusque radixerit aggregatum illud ad cubum evectum . Si vero aliquid remanserit, toto illo residuo magnitudo ipsa mulctanda eii,
Extrahere oporteat radicem cubicam ex magnitudine sy - 3aub abba -b3 . Igitur sumta radice cubica a ex elemento cubico a , eaque ad quadratum aa evecta , per klius triplum--3aa dividatur elementum - Iaab, cui includitur, de gnotiss - b radici a ad uesatur. Nullum autem alius in ipsa magnitudine occurrit elementum, cui illa inexistit. . Igitur aggregatum a -b ex radice a, & oto - b elevetur ad cubum, isque datae magnitudini subtrahatur , cumque hinc nihil remaneat est enim cubias binomia b iactum a Raab -- 3bba M. b3, ut patet , data magnitudo erit cubus persectus , ejusquo radix cubita erit magnitudo a - b.
Manifesta est ex ipsa genesi tertiae PotestatiS- ... PROBLEMA s I XL
.magnitiarae complexa raduem quadratoriuadruam extrahere. m
IN I. sumatur radia . quadrat quadratὶ ex uno elemen
110쪽
to quadrato uadrato datae magnitudinis ta) . II. Radix ista elevetur ad cubum b). III. Per quadruplum hujus cinbi ea oinnia ejusdem magnitudinis elementa dividantur, quibus cubus ipse inextitit. iv. Quoti ope signorum , quae ilIis conveniunt , adiiciantur radici quadrato quadrata jam Havcntae. V. Hujusmodi aggregatum elevetur ad quartam potestatem c), eaque datae magnitudini subducatur. Si nihil hine residuum fuerit, data magnitudo erit quadrato-quadratum Persectum , ejusque radix erit illud aggregatum ex radice , quatis. Si vero aliquid ex hac subductione remanserit, magnitudo ipsa toto illo residuo mulctari debet, ut sit quadrat
Esto magnitudo a' a tb 5 a 4- , ex qua r dicem quadrato quadratam extrahere oporteat. Sumta igitur ex elemento quadrato-quadrato a- radice quadrato quadrata a , eaque ad cubuin -- a 3 evecta , per ipsius quadruplum .is a dividatur elementum -- 3b, in quo reperitur , atque hujusce divisionis quotiens --b radici a adiiciatur. Binomium a- bclevetur ad quartam potestatem , eaque subducatur magnitudini datae. Cum igitur hinc nihil remaneat, data ipsa magnitudo erit quadrato-quadratum perfectum, ejusque radix erit
Manilis ste colligitur ex ipsa genesi quartae potestMis.. co ROLLARIUM UNIVERS ALE.r79 Si, quae hactenus dicta sunt, attento animo expendantur, perspecta habebitur generalis methodus extrahendi quamcumque radicem ex complexa magnitudine . Con- . . stabit