장음표시 사용
161쪽
nis, quam habet magnitudo a ad magnitudinem b. Etenim quotas m unitati comparatus modum determinat, quo terminus a divisus continet divitorem b, vel in ipso b comprehem
COROLLARIUM II. 9 Antecedens proportionis terminus se habet ad tonsequentem, ut exponens ipsius proportionis ad initatem. Divisa namque magnitudo toties continet divitorem, quoties quotus divisionis unitatem complectitur; vel quae pars, vel partes uni talis est quotus, eadem pars , vel eaedem partes divisoris est magnitudo ipsa divisa M. Exponens autem rationis idem est cum quota termini antecedentis per consequentem divisi c). Ergo, ut exponens proportionis est ad unitatem , ita se habet antecedens ad conlequentem. COROLLARIUM III.
IO Si eonsequens proportionis fuerit unitas , antecedens e usdem terminus erit exponens rationis, quam habet antecedens ad Onsequentem. Quantitas nempe a est exponens rationis ipsiusa ad unitatem. Est enim α a d . COROLLARIUM IRII In omni proportione si tonsequens per exponentem mastipi cetum, productum esscitur graecedenti termino aequale. Ut si exponens rationis - suerit m, erit bm rar a. Etenim multiplica-
162쪽
I 2 Proportio vel rationalis est , vel irrationalis. Proportionem rationalem magnitudines illa inter se habere dicuntur, quibus datur communis mensura, seu quarum valor vulgaribus numeris exprimi potest. Irrationalem vero illa , qua sunt hujus modi , ut nulla communis quantitas eas metiri queat. Dari magnitudines commensurabiles, neminem latet. Extare vero incommensurabiles , suo loco demoniiraoitur. Dividitur porro proportio rationalis in proportionem squalitatis, & in equalitatis.
I 3 Proportio aqualitatis est habitudo duarum magnitudinum , quarum una alteram semel exacte contiuet. Hujusmodi est ratio magnitudinis a ad magnitudinem b, si ponatur magnitudo a semel exacte magnitudinem b comprehendere. c OROLLARIUM.I4 Exponens proportionis aqualitatis est unitas , & vicissim magnitudines illa sunt aquales, quarum ratio habet pro exponente unitatem. Omnis enim magnitudo semel dumtaxat seipsam continet ; & quae tantum semel exacte alteram continet, est illi aequalis.
I s Proportio inaequa litatis est habitudo duarum magnitudinum, quarum una alteram superat. Haec autem duplex est , majoris nempe, & minoris inaqualitatis.
I 6 Proportio ma oris inaequalitatis est habitudo majoris main, taedinis ad minorem , seve totius ad partem. Contra vero pro noriιο minoris i qualitatis est habitudo minoris magnitudinis au
163쪽
majorem , seu partis ad totaem. Ut si fuerit a b, ratio
erit majoris, & ratio - erit minoris inaequalitatiι.c OROLLARIUM LIT Exponeas ναtionis majoris inaequalitatis est numerus m re
initate, er ideo exponentem rationis aequalitatis emeris. Exponens vero ratianis minoris inaequalitatis est numerus minor unitate, o-que adeo minor exponente rationis aqualitatis. Expanens namque
rationis cujuscumque se habet ad unitatem , ut antecedens ipsius proportionis ad consequentem η, & evonens rationis aequalitatis ab unitate haudquaquam distinguitur. η. OROLLARIUM ILI 8 Omnis ratio, ruius ex Mens vultatem superio , est ratio majoris inaequalitatis. Illa inro, cujus exponens ab unitate deficit , est rario mi ris ina ualuaris. Hoe enim ipso illius antecedens consequentem excedit a hujus vero antecedens Rconsequente superatur. 1 c Η o L I OI9 Proportionis majoris inaequalitatis quinque numerantur species, videlicet multiplex, supeκparticiuaris, superpartiens, mul-ri exsuperparticularis, & multi exsuperpartiens. Tot similiter recensentur species proportionis minaris inaequalitatis, iisdemque nominibus designantur, adiecta tamen illis particula sub . Sunt enim salmultiplex , subsuperpamentiris , subsuperpartiens , submultiplexsuperparticularis , submulti exsuperpartiens.
164쪽
quale es equentem continet. Submult*lex vero, eum Mircedens aliquoties adaquale is consequente comprehenditur. Multiplex eit
proportio, quam habet o ad I ismaeliplex ea, quam habet I ad 6. Etenim unitas sentes in numero 6 continentur. Dividitur itaque proportio musti ex in duum , triplam , quadruplam, atque ita deinceps in infinitum. Skbmultiplex vero in skbdupiam, subtriplam, subqaadruplam Sc. Proportio dupla est, cum antecedens bis coni uentein comprehendit, ut ratio 2 ad I, & sic deinceps. Vicissim ratis stadupla est, cum antecedens bis in suo consequente continetur, qualis est proportio I ad 2; subtripla, cum antecedens ter in suo consequente comprehenditur, ut ratio I ad 3, atque ita de ceteris.co ROLLARIUM.1I Exponens rationis multiplicis est numerus vulgaris integor. Exponens rationis submultiplicis est fractio , cujus numerator est unitas , denominator vero numeras ab unitaIe d,ssas. Sic exponens rationis dupla est 2, rationis tripla est 3, rationis quadruplae est &c. Exponens vero rationis subdupla est - , fiso tripla - &α
Lae Proportio summaristularis est , eum ant cedens semel con. sequentem cantinet, oe unam i ver siticis partem aliquotam . Vitism proportis subsummare iamris est , eam antecedens semel cum cina sui parte aliquota in co sequente e tinetur. Hujusin Odi est ratio. quam habet I ad 2, ω vicissitu 2 ad 3. Etenim et semel continct 1, ω insuper unam illius partem dimidiam. Piυ diversa idcirco habitudine hu)usce partis aliquotae exce11us majoris termini supra mincrem in plures spectra hoc proportionis genus distinguitur. Etenim si pars illa bis in minori contineatur, proportio ma; is ad minorem dicitur fes Daltera, ut ratio 3 ad a, ratio vero minoris ad majorem , uta ad 3, vocatur subseseu te . Si pars illa sit una tertia minoris Disilired by Corale
165쪽
noris termini, proportio dicitur sesquitertia, si major ad minorem , ut ad 3, vel subsesquitertia, si minor ad majorem , ut 3 ad 4 reseratur, di sic deinceps.c OROLLARIUM.23 Exponens rationis superpartisularis est unitas eum fraλο- ne, cujus numerator semper es unitas . Exponens vero rationis D uperpartisularis est fractis , cujus numerator una tantum unitate suo denominatore minor est. Sic exponens rationis sesquialterae est I rationis sesquitertia est I , rationis sesquiquartae est I S &c. Exponens vero rationis subsesquialtera est - , subsesquitertiae est &c.
2 Proportio supcrpartiens est, eum antecedens semel consequentem continet cum aliquot illius partibus aliquotis, gna tamen simul sumta unam ejusdem aliquotam partem non constituunt. Proportio vero sub verpartiens est , eum antecedens semel cum aliquot partιbus suis aliquotis in consequente contimetur. Talis est proportio, quam habet s ad 3, & 3 ad s. Etenim ssemel complectitur 3 cum duobus ejusdem trientibus, qui unam aliquotam ejusdem partem constituere nequeunt. in divisione propterea proportionis superpartientis ratio habenda est tum numeri partium aliquotarum excessus majoris termini supra minorem, tum illarum partium indolis. Itaque si antecedens semel cum duobus trientibus consequentem continea quemadmodum numerus 3 continet 3, proportio dicitur superbipartiens tertias. Si semel cum duabus quintis , dicitur fu- perbipartiens quintas, qualis est ratio numeri 7 ad numerum s. Si semel cum trahas septimis, vocatur supertripartiens septimas, cujusmodi est habitudo numeri Io ad numerum 7, &sc deinceps. Vicissim vero ratio numeri I ad 3 dicitur fu
166쪽
superbipartiens tertias; ratio numeri s ad 7 subfuperbipartiens qδιntas, ratio numeri T ad Io subsupertripartiens septimas Sc. coROLLARIUM.23 Exponens ratisnis superpartientis . est unitas eum fractione , euius numerator numerum partium aliquot arum excessus majoris termini supra minorem indicat, denominator vero illarum qualitatem designat. Exponens autem rationis subsuperpartientis est fractio , cujus nknerator tot miratibus a denominatore deficit, quot partistis aliquot is minoris termini major ipsum superat . . Nimirum exponens
rationis superbipartientis tertias est I - , rationis superbipartientis quintas est I , rationis supertripartientis septimas est 1 Exponens vero rationis subsuperbipartientis tertias est rationis subsuperbipartientis quintas est - , rationis obfupertripartientis septimas cst Sc.
26 Proportio multiplex superparticularis est, eum antecedens aliquoties consequentem eum una fui parte aliquot a comprehendit. Pr portio vero submultiplex fumrporticularis est, cum antecedens aliquoties cum una sui parte aliquota in consequente continetur. Talis
est proportio, quam inter se habent numeri 7, 3 multiplex
superparticularis nimirum est ratio numeri 7 ad numerum 3, submultiplex superparticularis autem ratio numeri 3 ad numerum 7 Quandoquidem 7 bis continet 3. cum una tertia ipsius parte. In hoc idcirco genere proportionis consideranda est tum multiplex continentia minoris termini in majori tum habitudo partis aliquotae excessus ad terminum minorem. Si ergo major terminus bis minorem contineat & unam illius partem dimidiam, quemadmodum numerus scontinet S 2, pro
167쪽
2, proportio majoris ad minorem dicitur daplasesquiabera; r,tio vero minoris ad majorem subduplasesquitatera. Si major tercompsectatur minorem cum uno illius quadrante , ratio majoris ad minorem vocatur triplasesquiquWta , qualis est ratio numeri Ii ad numerum , ratio vero minoris ad majorem, ut numeri ad numerum II, subtriplasesquiquarta nuncupatur. Eodem modo ratiocinare de aliis.c O R O L L A R I U M. 27 Exponens rationis multiplicis superparticalaris est numerus integer eum stactione, eujus numerator semper est unitas. Exponens vero rationis submultiplicis superpartieularis est fractio, cujus denο-
minator exhabet partes aliquotus majoris termini, numerator aRtem , quot ex bis in minori termino contineantur, designar. Sic exmnens
rationis dupla sesquialtera est 2 , tripla sesquiquarta est 3
- ς rationis vero subdupla fesquialterae est - , subtripla sesquiquarta est
28 Proportio multiplex superpartiens est, cum antecedens aliquoties consequentem continet eum aliquot ipsius partibus aliquot is, quae tamen semul sumta unam aliquotam illius partem minime eonst tuunt. Proportio vero submultiplex superpartiens est , cum antece- . dens aliquoties eum aliquot suis partibus viiquot is, unam aliquotam ejusdem panem haudquaquam coaequantibus, in consequente comprehenditur. Sic multiplex superpartiens est ratio numeri II ad numerum 3, submultiplex superpartiens ratio numeri 3 ad numerum II. Quandoquidem numerus II ter cum duobus trientibus
numerum 3 comprehendit. In discernendis idcirco speciebus hujus generis proportionis habenda est ratio primo multiplicis continentiae minoris termini in majori. Secundo numeri partium aliquotarum excessus majoris termini supra minorem aliquoties contentum. Tertio harum partium indolis.
168쪽
dolis. Hinc proportio numeri H ad numerum 3 vocatur Dipla superbipartaeas tertias. Dicitur enim tripla, quia num , rus I I ter continet numerum 3. Dicitur superbipartiens tertias . quia excessus majoris numeri supra minorem est 2, qui continet duas tertias partes misioris numeri 3. Ulcissimvero eandem ob causam ratio numeri 3 ad numerum II rotis salari afuperbipartiens tertias nuncupatur. Hac eadem me thodo ceterae species hujus proportionis determinari tacite poterunt. OROLLARIUM.29 Exponens rationis multiplicis superpartientis est numerus integer c- fractione, cuius numerator exhibet numerum partium aliquotarum excessus antecedentis supra consequentem, denominator ve ro illarum partium indolem designat. Exponens vero rationis furumulti uis superpartientis est fractio , cujus denominator eontinet omnes partes aliquotas consequentis; numeraton vero eas numerat , qua in antecedente. continentur. Sic exponens Lationis tripla super
bipartientis tertias est 3 7 ; rationis vero subtripla superbipar
3o Si exponentes rationum , quas hactenus explicavimus, attento animo expendantur, perspicuum fiet, proportionem tam majoris , quam minoris inaequalitatis nonnisi in quinque species modo traditas dividi posse.
3I Dua rationes dicuntur aquales, seu similes, eum antecedentes raram termini eodem modo suos consequentes cantinent, vel millis eοntιnentur. Sic ratio numeri ad numerum s aequalis est rationi, quam habet numerum 8 ad numerus I. Ut enim antecadens 2 bis cum duobus trientibus continet cons quentem y, ita antecedens 8 bis cum duobus trientabus suum S 1 e se.
169쪽
consequentem et comprehendit. Similiter ratio numeri 2 adnumerum 6 adaequat rationem numeri ad numerum I 2, Quandoquidem antecedentes termini 2, ψ, ter in suis conle-quentibus G is, continentur. c OROLLARIUM L32 Ratio fractionis evuscunque ad unitatem eadem est cum ea, quam ipsius fractioms numerator ad ejusdem denominatorem habet. Nimirum fractio τ- se habet ad unitatem , ut numerator '
a ad denominatorem b. Eodem namque modo fractio reontinet unitatem, vel in unitate continetur , quo numera tor a complectitur denominatorem b, vel in illo comprehen,
COROLLARIUM II. 33 In omni multiplicatione ratis producti ad terminum multipli tum diυersa ab ea non est, quam habri terminus multiplicans ad unitatem. Similiter in ometi diissione ratio quotientis ad unitatem similis est rationi termini disisi ad diυiforem. Patet quoad utram que partem ex ipsa natura multiplicationis , & divisionis ;nec non ex notione identitatis rationum modo exposita . Cumque exminens rationis cujusque non differat a quoto antecedentis termini per consequentem divisi O, ratio exponentis ad unitatem diversa ab ea non erit , quam habet antecedens ad
con sequentem, prout superiori etiam loco notavimus co .c O R OLLARIUM III
3ψ Rationes aequales eundem , sive aquales exponentes habent Et vicissim rationes, qua eundem, seu aequales exponenter babem, sunt aequales. Ut si ratio - aequalis suerit rationi - σρ Gens rationis aequalis erit exponenti rationis Et si ex
170쪽
ponens rationis - aequalis fuerit exponenti rationis ratio quoque 2 rationi - aequalis erit . S: namque rationes sunt aequales, antecedentes earum termini eodem modo suos consequentes continent, aut in illis continentur se . Eu nens autem rationis est quantitas modum definiens, quo antecedens continet suu in consequentem , vel in illo continetur b). Ergo si rationes sunt aequales , earum quoque exponentes erunt aequales, Sc vicissim , ii exponentes rationum sunt aequales, ipse itidem rationes sibi mutuo aequales erunt. S c Η O L I O V. Cavendum quam maxime est, ne rationum aequalitas, cum ratione aequali tatis confundatur. Quandoquidem ratio aequalitatis exigit, ut termini sint aequales sco; at vero aequalitas rationum in eo tantum posita est, ut termini antecedentes eodem modo suos consequentes respiciant: quod quidem habetur, quamvis termini, qui inter se mutuo comparantur, sint inaequales.
HYPOTHESIS II. 36 Equalitas rationum signo aequalitatis zz dest natur
videlicet sicuti a ta b significat, magnitudinem a aequalem esse magnitudini b, ita -- α - , vel e. d indicat, rationem magnitudinis a as magnitudinem b aequalem esse rationi magnitudinis e ad magnitudinem d. Nonnulli ad rotionum riualitatem indicandam utuntur signo ita nimirum uda. b :: c. d exprimat aequalitatem rationum - , L. U rum, ut advertit Cl. Folfius od), signum scientificum die signo non scientifico :: praeserri debet.