장음표시 사용
181쪽
o Divisio rationis tunc fieri dicitur, cum excessus, quo antecedens consequentem superat, cum ipso consecuente comparatur. Sic facta hypothesi, ut sit A. ata B . b , arguitur dividendo, si ostendatur, esse A .a B . b.
II Conversio rationis dividendo tunc fit, cum excessus ante cedentis supra consequentem ad ipsum antecedentem resertur. Nimiram si fuerit A. a B. b, arguitur dividendo per conversonem rationis, cum ostenditur A . A B - b. B. v I. 72 converso rationis componendo est , cum antecedens, consequens simul uniti, unius instar, ad antecedentem re feruntur. Si nimirum fuerit A. a B. b, arguitur componendo per conversionem rationis, cum ostenditur , esse a. A TB-b. B.
3 Ratio ex aequalitate est sumptio extremorum per subductionem mediorum . Videlicet si fuerint ex una parte tres magnitudines A, B , C, & ex alia totidem aliae a, b, e , arguitur ex aqualitate rationis , cum demonstratur , prima in uno ordine esse ad ultimam in eodem ordine, ut est prima in altero ordine ad ultimam Husdem . Verum cum magnitudines istae debeant esse proportionales, idque dupliciter contingere possit, nimirum orinate, & perturbate , duo casus distinguendi sunt, in quibus ex rationis aequalitate potest argui, videlicet cum illarum ratio est ordinata, & cum ratio ipsa est perturbata.
182쪽
Ordinata proportio inter plures magnitudines diversum ordinem constituentes tunc haberi dicitur, cum prima est ad secundam in uno ordine, ut est prima ad secundam in altero ordine; & secunda ad tertiam in priori, ut est secunda ad tertiam in posteriori, & sic deinceps. Erit nimirum ordia nata proportio in duplici hac magnitudinum serie A, B, C, Da , b , c , dsi fuerit A. B b, B. cmb. e , C . D Te. d. Itaque
arguitur ex aquaistate rationis in proportione ordinata . cum ci stenditur, este A. D 'T a. d. Secundus casus.7s Ratio perturbata plurium magnitudinum diversum ordinem constituentium tunc habetur, cum penultima est ad ultimam in uno ordine, ut est prima ad secundain in altero ordine ; antepenultima ad penultimam in uno, ut est secunda ad tertiam in altero, & sic deinceps , donec prima in posteriori ordine sit ad secundam , ut in priori est penultima ad ultimam. Sic perturbata est proportio magnitudinum in
hac duplici serie A, B, C , Da, b , c , d
Si habeatur A. B e. d, B. C 'b. c , C. D b. Αrguitur ergo ex μκalitate rationis in proportione perturbata, cum demonstratur, esse A. D a. d.
times, qua eidem , vel aequalibus sunt aquatis , inter se quoque sunt aquales.
76 Ut si rationes - , - aequales suerint eidem rationi
183쪽
, vel rationibus aequalibus - , - , inter se quoque aequa-
tes erunt. Si namque spectentur harum rationum exponentes,ac eerunt exponentes rationum- , -aequales exponenti rationis
tiones autem illae sunt aequales inter se , quae aequales expγ
nentes habent te . Ergo rationes - , - erunt a quales.
M. cui una duarum rationum ἀqualium aquatia est, altera quoque eMundem es qualis .
dem 'aequalia. Etenim stante hypothesi, exponentes mamn m eduarum - , - erunt aequales.
184쪽
datis, qua uni duarum rarimum aequalium aequalis est, alteri qmque earundem es aqualis.
8 Posita nempe aequalitate duarum rationum - , - , si . m a b e dratio aequalis fuerit rationi -, rationi quoque - aequa-
lis erit. Sunt enim ipsarum exponentes inter se aequales. IV. Rationes, qua rationibus imequalibus sunt aquales, irare se sunt is quales.
ratio major erit ratione in . Sicuti namque exponens rationis
185쪽
r 3 6 Llementorum Reguia fundamentales
Si eadem magnitudo dueatur seorsim in aquales , aut aquales per eandem, vel per aquales multiplicentur, producta, quae bine fiunt, erunt aqualia. 8o Eadem magnitudo a seorsm multiplicetur per aequales' ν, & fiant producta ab , M. AEquales itidem magnitudines d, d ducantur in eandem e , aut in aequales m, m, ocnant producta in priori casu de, de , in posteriori em , dm . Dico mnia hujusviodi producta esse respectiis inter se Hualia, videlicet esse ab m is, de de , - dm.
Patet quoad omnes casus ex ipsis terminis,ut jure proin de inter axiomata recenseri possit.
Si eadem magnitudo per aequales seorsim, vel aequales per eandem, aut per aequales disidantur, quoti erunt aquales.
si Magnitudo a dividatur seorsim per aequales b,b, sitque m. - . AEquales quoque magnitudines d , d divi-
186쪽
Haec itidem, ut praecedens, ex terminis manifesta est.
Si fuerint quatuor magnitudines geometrice proportionales, productum extremarum erit aquale producto mediarum. 8x Sit a. b d. Dim, productum ad extremarum a , d aequale esse producto be mediarum b, c.
Ergo erit bmκdra aκd, sicuti etiam dm bta eκb , sive bvi ad , dis taci= e . Manifestum porro est, esse b 'd- M. Ergo erit quoque ad Ieb e . Itaque si fuerint quatuor magnitudines &c. quod erat ostendendum. c OROLLARIUM.
Si fuerint tres magnitudines continuo geometrice proportionales , roductum extremarum erit aquale quadrato media.
83 Si nimirum fuerit a. b. e, erit ae zz M. Si namque
187쪽
que magnitudo media b bis sumatur, erit a. b ' b. e, atque adeo ac ' bb a .
Si fuerint quatuor magnitudines , ex quisus productum extremarum sit aequale producto mediarum, illa erunt geometrice proportionales. 84 sint quatuor magnitudines a, b, O, d, ex quibus productum ad extremarum M d sit aequale producto k mediatu mb, c. Dico, esse a. b π e. d.
Esto namque Aa m, - α ar, adeoque ista a, 4n Tae M. Multiplicatis ergo membris quationis bis ta a per eandem quantitatem d, ficuti etiam membris aequationis Oza e per eandem quantitatem b, erit buxttaad, tabri eb R . Est autem per hypothesim ad tabe. Ergo erit similiter brad
est, esse et - - π n ci . Ergo erit meta n fg . Quotus autem m est ex hypothesi exponens rationis &
quotus u exponens rationis . Ergo erit a. b zz e. d ch . Igitur si fuerint quatuor magni tugines M. quod erat osten
188쪽
c OROLLARIUM.. Si fuerint tres magnitudines , ea quibus productum extremarum sit aquale quactato media, erunt illa continuo inter se geometrice proportionales.
8s Erit nempe Hi a. b. si fuerit ae ' bb. Quandoquidem hae titia hypothesi, erit ke 9 ; ac proinde H a. b. e. S c Η ct L I O N. 86 Hisce propositionibus innititur regula trium tam directa, quam inversa, quae ob usum amplissimum merito optimoque
jure aurea nuncupatur. In eo igitur regula trium directa potita est, ut tribus datis mamiud ἀπι, quota triveniatur ad Pamita se habeat tertia ise habet illarum pinna ad secundam. Regula vero trium inversa in eo consistit, ut datis tribus magni disibus , quarta inveniatur, cujus ratis ad secundam is ea uis sit diversa, quam habet eoundem prima au tertiam.
Datis troas magκ- Φηι , euartam directe 'νω- tu alem inuenire. 87 Datae sint tres munitudia a a, b, e. Quartam invenire oporteat, ad quam ita se habeat tertia e , ut se habet primaa ad secundam b.
Multiplicetur secunda b per tertiam K & factum is per primam a dividatur. Erit - quarta propcirci alia quaesita.
189쪽
i co Elementorum Demonstratio.
Etenim si ponatur d, erit ad ' ω ' . Ergo a. b e. d M. COROLLARIUM.88 Positis igitur quatuor magnitudinoas Geometrice proportionalibus , quarta aequabit quotum facti ex fecunda in tertiam per illarum primam dras; prima vero. aqualu erit quoto factι ex secunda in tertiam per quanam Drusi. sc MOLIO N.
89 Hine ostenditur artificium alibi traditum δὲ conve tendi fractionem in aliam dati nominis. Id enim per inventionem magnitudinis , ad quam ita se habeat dsnominator fractionis quaesitae, ut se habet denominator fractionis datae
Datis tribus magnitudinibus, quartam reciproce proportionalem invenire.
so Datis tribus magnitudinibus a, b, e, quartam invenire oporteat, quae sit ad secundam h ut est prima a ad tertiam c.
Factum as ex ductu primae a in secundam b dividatur per tertiam c. Quotus - erit quarta quaesita.
190쪽
Datis duabus magnitudinibres mediam Geometrice proportionalem invenire. 9I Inter duas a, b mediam Geometrice proportionalem invenire Oporteat.
Facto ab ex ipsis magnitudinibus extrahatur radix quadrata cc . Erit 3 ab media quaesita.
Datis duabus magnitudinibus, tertiam Geometrice proportionalem invenire.
91 Datis duabus magnitudinibus a, b, invenire oporteat tertiam Geometrice proportionalem. x Min