P.F. Fortunati a Brixia Ord. min. ref. prov. Brixiae ... Elementa mathematica in quatuor tomos digesta. .. Tomus primus algebrae synopsim, generalem proportionum doctrinam, ac utriusque progressionis theoriam, & praxim continens

191쪽

Elementorum

Quadratum is secundae b dividatur per primam a. Quo

tus - erit tertia proportionalis quaesita.

Si duae inaequales magnitudines per eandem, vel aquales multipluentur, producia erunt directe inter se, ut visa magnitaevines.

93 Duae inaequales magnitudines a, b multiplicentur per eandem d, vel per aequales , d, d, duoque fiant producta ad , bd. Dido, esse ad. bd a. b.

Demonstratis.

Est enim adbzr bda ier. Ergo erit ad . M a. b O . Itaque si duae &c. quod erat olimclandum.

PROPOSITIO UL

Si duae in aequales magnitudines per eamdem, vel per aquales dividantar , quoti erunt directe , ut iΠa magnitudines divisa.s Duae inaequales magnitudines a , b dividantur per

192쪽

a beandem 4, vel per aequales c d, sitque - Σπ m, - π nia

dendum. c OROLLARIU M. Si duae inaequales magnitκdines per eandem , aut per aequa lex misis licentur, vel diυidantur , facta in primo casu, oti in secundo erum inaquatis.

9s Suru enim tam facta , quam quoti, ut ipis magnitudines a

Si eadem magnitudo per duas i quales dividatur , quotierant suis di foribus reciproce proportionales.s6 Magnitudo a dividatur primo per b, deinde Per c,

193쪽

i 6 4 Elementorum

productum extremarum m , b, & en est productum mediarum n, c. Ergo erit m. n' e. b a . Itaque si eadem magnitudo Sc. quod erat ostendendusnωc OROLLARIU M. Quotus magnitudinis dissa per ma Jorem terminum est mi. nor quotiente ejusdem magnitudinis per minorem divisae. ε

Ut si fuerit b , e, erit m V n. Ostensum est eo

Si Deetist q.ιatuor magnitudines , quarum prima majorem rationem habeat ad secundam, quam tertia ad quartam, p. saucium eX- tremarum majus e it prodino mediarum. Si vero ratio - prima ad secundam minor fuerit ratione tertia ad quartam, moIuctum extremarum erit minus

98 Esto a. b , e. d. Dico, productum ad extremaruma, d majus esse producto M mediarum b, e.

Demonstratio.

Quoniam est a. b e. d, exponens rationis major erite a b eexponente rationis - έ. Ponatur ergo - α m - n, - '

194쪽

Liber L . I 6 s

I I. 99 Modo autem sit a. b α e. d. Dico, esse ad Q be , productum scilicet extremarum a producto mediarum deficere .

Demon tratio.

incidit eum praecedenti, si nimirum ponatur m , e b- m n. Erit enim dm--dn 'e, & bm ' a ; ac proinde dad be; cum jam sit bmd αd -- b, ut patet. Itaque si fuerint quatuor magnitudines Sc. quod erat ostendendum .

Si fuerint quatuor magnitudines, ex quibus productum extrema ram sit majus producto mediarum, prima habebit majorem rationem ad secundam, quam tertia ad quartam . Si vero productum extremarum fuerit minus producto mediarum , ratis prima ad secundam erit minor ratione tertia ad quartam. ν I.

Ioo Sint quatuor magnitudines a, b, e, d, ex quibus productum ad extremarum a , d sit majus producto is in diarum b, e. Dico, esse a. c. d.

195쪽

166 Elemento mDemonstratio.

uitur multiplicatis membris Muationis bm ' a per eandern quaritiintem di, & mcmbris aequationis e per quanti ta-temib, eri. landi vis, Δ, eb b . Est aurem per hypoth sim ad M. Ergo eritduoque bM b ic . Constat autem, esse-- - m, -- 'n d). Igitur erit m n se). bd bd a Quotus autem m denominat rationem - , quotus m rae brionem - per hypor sim. Ergo erit a. , r. d R. dII. Io I Vicissim vero productum ad extremarum a , d sit minus producto se inediarum b, c. Dico , edi s. b c. d.

Coincidis v a me denti . Quacidoquidem dicta eadem

hypothes, ve sis aris ,- α . , quemad-

R. a modum tunc est ad 4-be. Ergo erit quoque m ς , ae proinde a. b e. d. Itaque si fiterint quatuor magnitudines&c. quod erat ostendendum.

196쪽

Liber L

Proportionis, oe proportionalitatis Geometrica .

34gnitudines aquales eandem ri eundem, vel aequine term gratistes habent; ct vicissim qua eandem ad eundem, veι aqvides termi s νationem habent,funt aquales. Iox Sint duae magnitudines ariuales a , b . Dico, ean- EaelἰLdem esse utriusque rationem ad eundem, vel aequales ter. Vt qauincis x, x, nimirum T sse a. amb. κ.

Demonstratis.

Enimvero cum sti per hypo hefim amb, 'fi ponatura b

at x

197쪽

Elementorum I 68 Demonoratio.

xm zz b b). Ergo erit a ta b c . Magnitudines igitur aequales dici quod erat ostendendum. c O R O L L IUM I. Fractiones illa sunt inter se aequales , qua eandem ad suum

denominatorem rationem babent.

Io Fractiones nimirum - , - aequales erunt inter se ,

si ratio numeratoris a ad denominatorem b di versa ab ea non fuerit, quam habet numerator e ad denominatorem d. Cum enim fractio quaecunque sit ad unitatem, ut ipsius numeram

a etor ad suum denominatorem, erit - . Ima. bs . I.

e . d d . Est autem per hypothesim a. b m e. d. Ergo erit

ae a e

s C H O L I O N. Ios Hinc manifestum efficitur, quod diximus in Algeb SInopsi M. Io7 , videlicet fractiones esse e sidem valoris , fere

aquales ιnter se, cum earum numeratores sunt eadem pars , vel eadem partes suorum denomιnatorum. Quandoquidem numeratores fractionum elle eandem partem, vel ealdem partes suo

198쪽

rum denominatorum idem est omnino, ac ipsinim numeratores eandem ad suos denominatores rationem habere a .co ROLLARIUM IT Illa fractiones sunt aequales ister se , quarum numeratores in mutuos denominatores dκcti, producta ἄquelia esciunt.

Io I AEquales nempe erunt inter se duae fractiones -- , x b- , si factum ex multiplicatione numeratoris a fracti

da cnis - per denominatorem d fractionis - , scilicet ad, fuerit

aequale producto is, quod oritur ex ductu numeratoris e fra

ctionis in denominatorem b fractionis - . Etenim, si lae-

ao7 Hinc patet methodus dignoscendi , an duae fractiones fiat aequales inter se, num vero inaequales.c OROLLARIUM III.

Si duo etibusvis fractionis termini per eandem quantitatem multiplicentur, fractis ex bisee productis facta das m eum illa valoris eris.

io8 Ut si termini a, b Dactionis multiplicentur perbeandem quantitatem d , 5 ex productis ad , bd fiat fractio Y ad

199쪽

ad a- ,h erit ejusdem valoris cum fractione - . Constat enim, bd ad a besse ad. bd zz a. b a . Ergo erit - α - 43 .

Ios Ex hoc patet generalis demonstratio reductionis fractionum dissimilium ad idem nomen. in hujusmodi namque reductione termini fractionis per candem quantitatem multiplicantur sc).DOROLLARIUM IV. si das e uisis fractinis termini per eradam qMntitatemdmisantur , fractio ex quotientibus facta ejusdem eum illa valoris erit.

io Videlicet si terminia, b fractionis-dividantur pera beandem quantitatem e , ita ut sit - 'd, - tae, & exd dea equotis d, e fiat fractio - , erit ' V - . Perspicuum namine e bque cum sit, ei se d. e V a. . id , res quoque perspecta erit,d a

. b S C H O L Ι O N. III Huic propositioni innititur artificium alibi traditum f)reducendi fractionem quamcumque ad minimos terminos. Constat enim, illud in eo totum positum elis, ut termini d is fractionis per maximam communem mensuram dividantur.

200쪽

Eadem magnitudo eandem ad aquales terminos rationem baset. Et sicissim ilιa magnitudines sunt aquales inter se, ad quas eadem magnitudo eandem habet rationem.

H2 Eadem magnitudo a reseratur ad binas aequales b, Dico, esse a. b a.

Demonstratis.

I I. ara Vicissim magnitudo a eandem habeat rationem ad Euel . magnitudines b. c. Dico, esse b me.

Enimvero eum sit per hypothesim , si ponatura a b ι