장음표시 사용
171쪽
s α Elementorum . DEFINITIO XV.
37 Partes tam aliquota, quam aliquanta dicantur similes, qua eandem ad suum totum rationem balent. Ut si ratio partis a ad suum totum aequalis suerit rationi pastis , ad suum totum B, partes a, b vocantur sibi mutuo umiles.
. 38 Duarum rationum illa meatur major , enius Utecedens magis suum consequentem continet, vel minus in suo consequente comtinetur, quam alterius antecedens Dum eansequentem contineat .veι in illo contineatur. Sic ratio numeri Io ad numerum 3 major est ratione numeri s ad numerum 2, quia antecedens Iopluries continet eonsequentem 3, quam antecedens s suum coosequentem 2 comprehendat. Etenim numerus Io treeontinet totum 3, & unum insuper illius trientem. At vero numerus 3 bis dumtaxat complettitur nnmerum 2 cum una illius parte dimidia. Vicissim vero ratio numeri 2 ad numerum s Major est ratione numeri 3 ad numerum Io, quia mi-Bus antecedens Z in consequentem quam antecedens s in consequente IO comprehenditur.
39 Ratio mayr majorem exponentem balet, oe quae majore exponentem habet, μὴν est. Cum cnim antemens rationis majoris magis consequentem contineat, vel minus in illo eontineatur, quam alterius rationis antece4ens suum cons quentem complectitur, vel in illo eontinetur , major itidem quantitas requiritur, ut major ipsa ratio exprimatur. Et vicissim si hujusmodi quantitas rationem denominans major fuerit, antecedens rationis suum consequentem magis comprehendet, vel minus in illo continebitur; atque adeo ratio ipsa major erit. Id porro magis adhuc perspicuum fiet, si confiderare vellanus, exponentem rationis majoris inaqualitatis
172쪽
esse numerum unitate majorem Q . exponentem vero rationis minoris inaequalitatis esse numerum unitate minorem , fracticinem scilicet proprie sumtam tb , eamque majorem esse, quominus illius numerator ab ejusdem denominatore deficit te . Hinc enim aperte constabiι, antecedentem terminum rati nis majoris inaqualitatis magis continere non posse suum consequentem, quin magnitudo, quae majorem hanc continentiam definit, magis ac magis unitatem superet, ac proinde quin magnitudo ipsa continuo major fiat; & vicissim quantitatem hanc augeri non posse , quin antecedens suum consequentem magis contineat. Constabit quoque, antecedentem non posse in suo consequente minus comprehendi, quin fractio rationem ipsam denominans minus ab unitate demciat, atque adeo quin continuo major evadat. Similiter huiusmodi staftionem non posse esse majorem, quin antec e rationis ab illa denominatae minus in suo consequente comprehendatur, ac propterea quin ipsa ratio major fiat.
c OROLLA .R IUM II. . ' . o Omnis ratio majoris inaequalitaris est major , ct omnis ratio minoris inaequalitatis est minor ratione aequalitatis . Et vicissim om. nis ratio major ratione aqualitatis est ratio majoris inequalitatis , ct amnis ratio minor ratione aqualitatis est ratio minoris inaequali tuis. Etenim exponens rationis maioris inaequalitatis est major,& exponens rationis minoris inaequalitatis est minor unitate, quς rationem aequalitatιs denominat d . Et vicissim exponens rationis, quae ratione aqualitatis major est, unitatem superat, & exponens rationis, quae ratione aqualitatis est minor, ab unitate deficit ; cum ille major, hic vero minor sit exponente rationis Hualitatis sto. Ergo &c. COROLLARIUM III.
ψI Proportis majoris inaequalitatis eo mns, o vicissim proporetio minoris inaequalitatis eo major evadit , quo magis ad rationem aqualitatis accedunt. Enimvero, quo magis proportio majaris
173쪽
is aqualitatis accedit ad,ationem aequalitatis, eo magis illius exponens minuitur, quatenus continuo sui decremento proximior fit unitati , quam tamen semper superat. Contra vero exponens rationis minoris inaequalitatis co major emcitur, 'uo magis ipsa proportio fit proportioni aequalitatis propinquior, quatenus scilicet in hujusmodi accessu illius exponens continuolui augmento proximior fit unitati, a qua tamen semper de ficit. Ratio autem illa major est, quae majorem exponentem
habet ca . Ergo dic. . HYPOTHESIS III.
2 In lualitas rationum iisdem plane signis, quibus inmqualitas magnitudinum, indicatur. Videlicet sicuti a b designat, magnitudinem a majorem esse magnitudine b , Sa b indicat, magnitudinem a a magnitudine b deficere U ,
ita - - , sive a. e. d significat, rationem magnitudi-
nisa ad magnitudinem b majorem esse ratione termini e as
d, & - - , seu a. A me .d designat, rationem primae a
ad secutidam b minorem esse ratione tertiae e ad quartam d.
3 Proportionalitas Geometrisa, quam Graxi analogiam appellant, est rationum similitudo, seu aequalitas. Videlicet quatuor magnitudines dicuntur geometrice proportionales, cum ratio prima ad secundam similis est, sis aqualis rationi tertiae ad quartam. Ut si fuerit a. brae. d, quatuor magnitudines a, b, c, d erunt geometrice inter se proportionales. Porro prima quatuor magnitudinum proportionalium dicitur primus antecedens, secunda primus consequens, tertia secundus antecedens , & quarta secundus consequens. Quoniam vero una eademque magnitudo obire
174쪽
obire simul potest munus primi consequentis, & feeundi antee dentis , ut cum dicitur , magnitudo a esse ad magnitud, nem b, quemadmodum est magnitudo b ad magnitudinem Gnat,proportionalitatem in tribus tantum terminis posse subsist
c OROLLARIUM L. Si fuerint quatuor magni dines geometrice proportionales, exponens rationis , quam habet prima ad secundam , aequatis erit exponenti rationis, quam babet tertia ad quartam. Et vicissim, se exponens rati is , qvam hahet prima ad fecundam , aqualis fuerit exponenti rationis , quam habet tertia ad quartam , qu tuor illa magnitudines erunt geometrice proportionales . Etenim rationes aequales habent exponentes ariuales , & quae habent exponentes aequales, sunt inter se aequales is .c OROLLARIUM II. I Si prima quatuor magnitudinum geometrice proportionalium fuerit aequalis, veι mallor, aut minor heunda, etiam tertia erit aqualis, vel major, aut minor quarta . Et se tertia fuerit aqualis , vel major , aut minor quarta , . etiam prima erit aqualis , vel major, aut minor secunda. Est enim prima ad secundam , ut tertia ad quartam , sicuti etiam tertia ad quartam , ut prima ad secundam.
6 Proportionalitas geometrica quatuor magnitudinum a, b, c, d hoc modo exprimitur a. λας. d. Hoc enim modo rationum aequalitas, ut superiori loco notavimus, designatur.
Proportionalitas vel discreta est, vel eontinua. Proporti nautas continua est , eum ratio secunda munitudinis ad tertiam
175쪽
diversa ia ea non est, quam habet prima ad secundam. Docmista vero cum ratis secundi termini ad tertium diisma est a ratione primi ad sec-Δ- . Conti a nimirum est propcirtio nume-rum 16.8. . Σ. Αt Fero discreta proportio numerorum 63. 2. In primo enim casu dumtaxat Rcundus terminus est ad tertium ut primus ad Mundum. Trium itaque magnitudinum continuo proportionalium secunda dicitur media proportionalis. Quatuor vero magnitudinum ean inuo itidem propci tionalium secunda , de tertia duae media proportionales nunc
8 Proportionalitas continua geometrica indicatur praeis gendo signum π terminis ipsis conti auo inter se proporti natibus. Ut si proportionales ταntiam inter se tuerint magnis tudines a, b, c, d &c. scribitur - a. b. e. d. &c.
Monitum. 49 Ceterum ubicumque fit mentio de terminis proporι nalibus, discreta semper proportionalitas indelligitur , aut
so Magnitudines bomisga, sive ratione semiles , d eun ilia, qxa eandem ad alias, quibus comparantur, rationem habent. Ut si ratio magnitudinis a ad magnitudinem b similia suerit rationi magnitudinis e ad magnitudinem d, magnitudines a,e erunt molossae. COROLLARIUM. I In omni proportionalitate geometrica termini antecedentes sunt homologi. Habent enim eandem rationem ad suos conisquentes.
ra Razis ex aliis rationibuι composita vocatis illa, cujus expin
176쪽
nens est factam ex Hiarum νatianum exponentibus inter se multi μ
catis .. Ut si exponens rationis - fuerit m,& exponens rationis
s c H. O L I O Lyr Ut igitur determinetur ratio ex datis quibuscumque rationibus composita, quFendi sunt illarum exponentes, iique inter se mutuo sunt. multiplicandi. Quod enim hinc fit productum, erit exponena rationis quaesitae, ejusque indolem palam. efficiet. 2 c H o L. L O Quemadmodum rationum, multiplicatio exponentiam multiplicatione peragitur,. ita ipsarum additio ,. subtractio , dc divisio additione subtractione , & divisione exponentium
absolvuntur. Ut si exponos. rationis - fuerit m,. & exponens c. b, rationis - fuerit u , ratio ex illarum. additisne consurgen1
ea erit, cujus exponens est m in n. ina: autem. ex. subtractione
177쪽
qua ex tribuy : quadruplicata , qua ex quatarer rationibus fimilisus inter se multiplicatis consurgit, atque ιta deinceps. Sic magnitudo a erit ad magnitudinem , in ratione duplicata ma-
gnitudinis in ad magnitudinem n , si ratio - fuerit compinni bsta ex ratione - ducta in seipsam. Erit vero a ad b in r
tione triplicata magnitudinis m ad magnitudinem n , si ratio.
- fuerit composita ex tribus rationibus rationi - similibuLb uin se invicem ductis, & sic deinceps c OROLLARIUM T.
36 Dua magnitudines erunt inter se in ratione aliqua duplica ta , si ea fuerit ipsarum ratis, ut illius exponens sit factum ex da-3a rationis exponente multiplicato per seipsum Erunt in ratione aliqua triplicata, se fuerint in ea ratione , cujus exponens sit pro- isum ex data rationιs exponente per exponentem ejusdem duplica
ta multiplicato. Sc. Ut si exponens rationis ponatur O , ra-
tio - erit dupluata rationis , si merit -ma perit triplicata b m an bejusdem - , si fuerit - Σαώd,&. sic de ceteri&. Rationumn bdamqtae compositio exponentium multiplicatione absolvitur a .c O R γ E L-R IU M II. 7 Hinc exponens rationis duplicatae est quadratum; ratisis triplicatae est cubus, ratiovis quadruplicatae est quadratoriua
178쪽
s C II O L I O N. 8 Si notus idcirco suerit valor illius quantitatis, quae datam rationem denominat, valor quoque ejusdem rationis duplicata, triplicata &c. facili negotio determinabitur. Id enim multiplicatione cogniti valoris obtinetur. Ut si exponens datae rationis ponatur d ' 3, exponens illius rationis, scilicet irripta duplica,taerit se, eiusdem triplicata erit M,& sic deinceps.
9 Ratio subduplicata datae rationis vocatur illa , ex qua ducta in seipsam data rviis meitur: subtriplicata, ex qua multi neata per seipsam duplicatam ratio data consurgit, atque ita deinceps.
Ut si ex ratione - multiplicata per seipsam fiat ratio -; si ab v rex eadem - ducta in seipiam duplicatam consurgat ratio -οῦ b a s . in si ex ipsa - multiplicata per seipsam triplicatam oriatur x bratio se, magnitudo a erit ad magnitudinem b in ratione Isubduplicata magnitudinis m ad magnitudinem n; in ratione subtriplicata magnitudinis r ad magnitudinem a ; in ratione subquadruplicata magnitudinis x ad magnitudinem I , &c. COROLLARIUM L ω Dua magnitudines erunt inter se in ratione subduplicata aliaevus rationis data, si quantitas, qua illarum rationem denominat mcta m sei am exponentε data rationis escias: erunt in tione aliqua subtriplicata se illa eadem quantitas mastiplicata per suum quadro tum data rati onis exponentem producat, o sic deincem . Ut si
exponens rationis - suerit m , ratio - erit subduplicata ratio-.
179쪽
ORO L L A RIUM m 6I Hine exponens rationis subduplicatae est radix quadrata arationis subtriplicata: eδ' radix. cubica, rationu subquadruplicatae est radix quadratoequadrata M. exponeatis. illius rationis ia θ.s illa est suboeplicata, subtriplicata. &c.. S c N. ' L. I O, V L. ' 61 Si notus propterea, suerit. valor quantitatis, quae da tam rationem exprimit, per extractionem radicis quadrata ex. illa quantitate innotescet valor exponentιs ejusdem rationis. subdupli ta per extractionem radicis cubica palam fiet valor ea notis eruidem rationis subtriplicata &α.
s c H. O. L. I Ob N R. 63 Cavendumi quammaxime est ,. ne ratio duplicata cumiratione dupi , ratio πιplicata cum ratione tripla &e , seu titetiam ratio subduplicata eum. ratione subdupos, ratio subtriplicata. eum ratione falari a Sc. confundatur. Etenim ratio. opia in eo posita est,. ut antecedens suum consequentem his. 'tontineat. At. vero ratio duplicata rationem. compositam ex . data ratione in seipsam ducta designat, quae sunt. toto, coelo. diveria. idipsum de aliis dicito. .
AD almus nomine inreuiguntur, dua quantitates Algebrica, .sivosmplices ilia sint, sive eomplexae, inter quas signum aqualita-- ' reperitur. Videlicet aquationes uncantur a ' b , a inde .
180쪽
Es Membra a uationis sunt ilia quanti rex, quas mire hinnupygnim qualitatis ' . sic quantitates , --- membra aquaraonu is inde Primem quidem , quod B. gnum ta pracesit, kukut a, de , senumdum vero , quod is, agnum ipsum consequitur, nempe --ux.
66 ratis diversa est, eum sumitur consequens p intimnis, veluti antecedens& ad suum antecedentem , ut ad consequentem refertur. Nimirum si fuerit . a 'B . barguitur invertendo, cum demonstratur esse a. Azb. B.
67 Ex eo, quod habeatur A. a R. b, armurae Num ulli, esse b. B a. e, idque permutando appellant . Verum cum, facta terminorum inversione, mutetur tantum locus rationum aequalium, specialis arguendi modus is haudquaquam videtur.
vi Alterna raris est, eum anteeedens ad antecedentem , & consequens ad consequentem resertur . Ut fi Berit A. a B. b, arguitur astern m , cum Probatur esse A. BV a. b.
Θ compositis maximis fit, eum summa ex interestente, demissequente ad consequentem refertur. Ut fi ponatur A. κ B. b, arguitur componendo, cum ostenditur, esse a. a d b. b. PO