P.F. Fortunati a Brixia Ord. min. ref. prov. Brixiae ... Elementa mathematica in quatuor tomos digesta. .. Tomus primus algebrae synopsim, generalem proportionum doctrinam, ac utriusque progressionis theoriam, & praxim continens

201쪽

i , Esementorum

gnitudo Sc. quod erat Ostendendum

. Mallor magnitudo madorem, quam minor , ad eundem termιnumin. rationem habet; σ qua mallorem ad eundem terrainum ratιonem habet, major est. 2. ueud. D4 Magnitudo a sit major magnitudine b . Utraque 1.v p. . autem ad magnitudinem d reseratur. Dico, esse H b. dA.

Demonstrati a b

per hypothesim. Ergo erit etiam m n. s . Quotus a. bporro m est exponens rationis & quotus n rationis

iis Vicissim vero sit a. 4 b. d. Dico, esse

202쪽

Y Liber 373

Demonstratio .

. a b Cum erum sit a. d b. d, si ponatur--- T M

em m n D; atque adeo md nd tb . Est autem M Ta, Occ . Ergo erit quoque a b d . Major itaque mognitudo Sc. quod erat O1tendendum. c OROLLARIUM I.

via fractis est major , cujus numerator majorem ad suum

Fractio illa est major , numerator ductas in alterius fra ct is denominatorem majus productum incit. G Fractici nimirum I major erit fractione - , si factum.

203쪽

i 4 Elementorum

ad ex multiplicatione numeratoris a per denominatorem dmajus fuerit producta G, quod ex multiplicatione numeratoris e per denominatorem b emcitur. Quandoquidem, si fuerit cb, it a. e. d sM . Non potest autem esea e

s c Η O L I O N. II 8 Datis idcirco duabus stactionibus dissimilibus, fac te erit dignoscere, an aequales sint inter se, num vera inq- quales, & si inaequales, quaruam illarum si major

THEO REMA IV.

Eadem magnitudo mivω- ad majorem, quam ad miriorem terminum νακωνι hahet . Et vicissim tremisus in major est, ad quem eadem magnitudo minorem rationem bahet.

Mend. D9 Eadem magnitudo a ad inaequales b, c referatur , i V P. . sitque e. Dico, in a. b α a. c.

i b c cin. Est autem per hypothesim e m b. Ergo erit etiam m Vnc d oti autem m, n sunt exponentes rationum

204쪽

taber L ITI

Demonstratio.

Quoniam est per hypothesim a. b Va . e , si ponatura a T in , - n, erit m V n se . Est autem m. ntae. b

gnitudo &e. quod erat Ostendendum .

Si quatuor magnitudines proporrIonales fuerint , etiam inυertendo, pr Fortionales erunt. I 2I Esto ise. a ' B. b. Dico, etiam invertendo esse a. e

Demonstratis.

Enimvero cum B. b. erit Asita aB s . Est autem ad productum extremarum a , B,& Ab est productum mediarum b. Ergo erit a. A 'b. B gὶ . Itaque si quatuor magnitudines &c. quod erat ostendendum.

205쪽

a 7 6 Elementorum

COROLLARIUM. In omni proportionalitate Geometrica termini conse. quenιes sunt immologii Eadem enim est ipsorum ratio ad suos antecedem

Si prima quatuor m nitudinum majorem ratibnem habuerit ad secandam, quam tertia ad quartam, facta inversione, habebit secunda minorem rationem ad primam, quam babeat quarta ad tertiam. Et vicism se prima habuerit ad Beundam minorem rationem, quam tertia ad quanam , ratio secundae ad primam major erit ratione quarta ad tertiam. I. I 23 Esto A. a . B. b. Dico, invertendo esse a. b. B.

11 Vicissim vero sit A. a MB. b. Dico, inveniendo esse a. A b. B.

206쪽

. Liber LDemonstratis.

Est enim hoc ipso Ab M aB a). Ergo erit a. b. B b . Itaque si prima quatuor magnitudinum &c. quod erat

ostendendum.

Si quatuor magnitudines proportionales fuerint, etiam alternatim sumta proportionales erunt. 32s Esto A. a ' B. b. Dico, etiam a ternando, esse A. Euelid. b. IV p id

Demonstratio. 'Quandoquidem cum si A. azzB. b, erit Ab 'ra c. Facta autem alternatione, M est adhuc productum extremarum , di ad , si ve Ea est productum mediarum . Ergo erit A. B a. b cd . Itaque si quatuor magnitudines &c. quod erat ostendendum. COROLLARIUM I. rtes similes duarum magnitudinum sunt directe inter se, ut ipsa magnitudines. 126 Nimirum si magnitudines a, b suerint partes simules aliquotae, vel aliquantae duarum magnitudinum A, B, eam partes ipsae rationem habebunt inter se, quam habent ipsae magnitudines. Cum enim per hypothesim sit a . Atab. BR) , erit etiam a. b ' A. B f .

207쪽

1 3 Elementorum

Si prima quatuor met taedisum pro Nionalium fuerit aqualis, vel major, aut minor tertia, etiam secunda erit aequalis, vel major , ant mmor quarta. Fimiliter fi sexunda semis aqkalis, vel major, aut minor quarta, etiam prima reis aqualis vel majἄν , ἄωε minor tertia.

8 Posita nempe analogia a. bamcd. si fuerit a me, vela c, aut a erit etiam brac vel b d, aut b α d. Similiter erit az: c, si fuerit fuerit , d ;aut demum a Me, si fuerit b d. Etenim eum sit a. . e. d, erit quoque a. ς π b. d tal; ac proinde M. h .

Si prima quature magnitudinum majorem rationem habuerit ad fecundam, quam tertia ad guarram, erit alternando ratio prima ad tertiam major ratione seeunda ad quartam. Smiliter si ratio prima ad secundam mmor fuerit rarime te eis ad eummam , eris quoque vatis prima adtentam mmor ratione secunda ad quartam. - LPappus I Sit A. a , B. b. Dico, etiam alternando, esse Aa im

208쪽

Liber LDemonstratis.

IIo Sit vero a ME.b. Dico, itidem altem do, esse M. B.

V a. b.

Demon ratio.

Demonstratur eodem modo. Habetur enim hoc ipso Abad sci, ac proinde A. B M a. . d Itaque si prima occiquod erat ostendendum. COROLLARIUM. Si prima quatuor magnisadinaem habuerit majorem rationem ad fecundam , quam tertia ad quartam; fuerit autem secunda aqualis quarta , prima erit major tertia . erit vero minor,s ratio 'ina ad secundam minor fuerit ratione ter-ria ad quartam , Derisque itidem secunda ἀ- qualis qua M. I3r Uidelicet si fuerit A. a B. b, & a n b, erit A B. Si vero fuerit A. a MB. b, fila' b, erit A in B. Facta namque hypothesi, ut sit Aa R. erit etiam M. B a. b te . Ratio autem termini a ad terminum , est ratio aequalitatis per hypothesim. Ergo ratio termini A ad terminum B erit ratio majoris inaequalitatis a ac proinde erit Ap, B. Simi

209쪽

Si quatuor magnitudioes proportionales fuerint, etiam compositae proportionales erunt. i. I 32 Esto iacata B. b. Dico, etiam eomponendo, esse a

Demonstratio.

Cum enim sit .a B. b, erit Ab T a B a), ac propterea crit etiam aB-ab b). Est autem Ab -- ab prinductum extremarum A -- a, b, 6c ad ab est productum mediarum a , B-b d. Ergo erit A -- a. a ' B-b. b M. Si quatuor itaque magnitudines &c. quod erat ostendendum.

THEO REM A X.

Si prima quatuor magnitudinum majorem rationem habuerit ad secundam , quam tertia ad quartam, etiam componendo , prima cum feeunda majorem rationem habebit adsecundam, quam tertia simul eum quinta ad quartam. Similiter si ratio primae ad secundam minor fuerit ratione tertia ad quartam, ratio itidem prima eum secunda ad seeundam minor eris ratione temtia eum quarta ad quanam . . LPappus I et 7 Esto A. a B. b. Dico, etiam componendo, esse, - a. a vi p. B. b. b.

210쪽

Liber 1. I 8 I

Demonstratio.

incidit cum praecedenti. Erit enim με b in a B d , ac proinde Ab- ab inaB-- ab id . Igitur erit quoque Α- a. a B--λb ce . itaque si prima &c. quod erat ostendendum.

Si quatuor munitudines proportionales fuerint, etiam diu, se proportionales erunt. IIs Esto iacata: B. b. Dico, esse ca-αata B b. b.

- Demon tratis.

Etenim cum sit per hypothesim A. a ' B. b, erit Ab aB H; ac proinde ab a B ab fg . Constat autem ,Euclid. Ab ab esse productum extremarum a, b, dc aB ab esse ν'y' ΤIroductum mediarum a, B-b thl. Ergo erit A a. ata B - b i . Itaque si quatuor magnitudines &c. quog erat Osten

dendum . . - .