P.F. Fortunati a Brixia Ord. min. ref. prov. Brixiae ... Elementa mathematica in quatuor tomos digesta. .. Tomus primus algebrae synopsim, generalem proportionum doctrinam, ac utriusque progressionis theoriam, & praxim continens

211쪽

Si prima quatuor magnitudinum majorem rationem habuerit ad se. cundam , quam tertia ad quartam, etiam dividemia , habebit W-a majorem rarioaem ad secundam , quam tertia ad quartam. Similiter sit ratio prima ad seeundam minor fuerit ratione tertia ad q-mam, etiam dia videndo , ratio prima ad secundam minor erit ratione tertia ad quar M.

L monstratis.

Demonstratis.

212쪽

quod erat ostendendum.

THEO REM A XII L

Si quatuor magnitudines proportionales Derint . etiam composita per conversionem rari ais pr. Itollatis erint. I 38 Esto A. ata B. b. Dico, Utiam componendo per conversionem rationis, esse Am a. AT B - b. B.

Demonstratis.

Cum enim propter hypotlaesim sit Ab π aB c , erit etiam Ab-ABzz aB--AR id). Est autem Ab -- 3 productum mediarum A, B- aB-AB est productum extremarum A- a, B se . Ergo erit A. in a. Am B -- b. B is . Itaque si quatuor magnitudInes M. quod erat ostendendum.

THEO REM A XIV.

Si prima qua vir magnitudinum ma arem habuerit ratisinem ad secundam , quam tertia ad quartam, componendo per eonversonemra .rus, Prima cam secanda minaxem rationem basebit ad primam, quam tentia cuin arta ad tertiam. Si veTo ratio prima ad secundam minor fuerit ratione tertia ad quartam, componendo per conversumem rationis, ratio prima eum secunda ad primam majsr erit ragione tertia eam quarta ad tertiam. I.

IN Sit .a B. b. Dico, componendo per conversionem rationis, esse A-a. A B.

213쪽

i 84 Elementorum. Demonstratio.

I o Sit vero A. a B. b. Dico, componendo per conversionem rationis, esse A-a. Α B -- b. B.

Demonstratis.

Coincidit cum praecedenti. Quandoquidem cum propter hypothesim habeatur Ab aB eo; ac proinde aB -- ΑΒ Ab AB I , productum extremarum Α- B majus erit producto mediarum Α, Β b. Quamobrem erit Α--a. Α Β --b. B in . Itaque si prima &c. quod erat ostendendum.

THEO REM A XU.

Si quatuor maInitudines proportionales fuerint, etiam avisa per conversionem rationis proportionales erunt. I I Esto A. a B. b. Dico, etiam dividendo per conversi nem rationis sesse Α - a. A B- b. B.

Demonseratio.

Cum enim sit A. ata B. erit Ab T aB th); ac propterea

214쪽

Liber L i 8 s

atque adeo productum extremarum Α - a, B aequale producto mediarum A, B - b. Ergo erit quoque Α - a. Απ B b. B c . Itaque si quatuor magnitudines Sc. quod erat instendendum.

THEO REM A XVI.

Si prima quatuor magnitudinum majorem rationem habuerit ad secundam, quam tertia ad quartam, dividendo per conversionem rationis,exressus prima supra secundam habebit majorem rationem ad primam , quam excessus tertia supra quartam ad tertiam. Si vero ratis prima ad secundam minor fuerit ratione tertiae ad quartam, excessus primae supra fecundam habebunt-norem ratιonem ad primam , quam excessus tertia

supra quartam ad tertiam . . I.

Demoninatio.

215쪽

18s Elementorum Demonstratio.

stendendum.

Si fuerint quotcunque magnitudines proportionales , summa omnium antecedentium erit ad summam omnium eans quentium , ut ana ex antecedentibus ad unam ex e sequentibus. vis iid Iaa Sint quotcunque magnitudines proportionales , vide-

216쪽

Liber L. I 8 P

ro, eue per hypothesim m Ergo erit --. A a a --b -- d- - sive A - B - D. a -- b --dta a sa). Itaque si suerint quotcunque magnitudines &c. quod erat Ostenden- dum ac OROLLARIUM. Si duabus mapnitudinistis duae similes magnitudines a dantur , summa , qua hinc emergunt, erunt, ut data magnitudiues.

i s Ut si magnitudines a, b similes fuerint duabus B,

ΤΗ EO REM A XVIII.

Si prima quatuor magnitudinum maJorem rationem habuerit ad secundam , quam tertia ad quartam, sumna antecedentium minorem rationem habebit ad summam consequentium , quam prima ad secundam . Si vero ratio prima ad secundam minor fuerit ratione tertia ad quartam dumma antece dentium majorem rationem habebit ad summam tan- sequentrum, quam habeat illarum prima ad secundam. I. i 6 Esto A. a B. b. Dico, esse A B. a -b in a. raps

Demonstratio.

Enimvero, cum sit A. a B. b, erit aB id ; ac proinde si utrumque productum adiiciatur eidem Aa, erit

217쪽

18 8 Elementorum

A. a

Demonstratio.

Coincidit cum praecedenti. Quandoquidem stante hypothesi, erit aB d); atque adeo Aa- aB Aa -- Ab e). Igitur erit quoque B. a-b A. a cD. Itaque si prima quatuor magnitudinum &c. quod erat ostendendum.

Si fuerit, ut tota ad totam , ita ablata ad allatam erit etiam reliqua ad reliquam, ut est tota ad totam. Euerid. I 48 Magnitudinibus A, B demantur partes a, b, sitque

. Demonstratio.

Etenim ob hypothesim erit Abra Ba g p ae proptereatas agra aB-M h). Est autem AB ad productum ex- tremarum Ama, B , & AB-bA productum mediarum BA, ut patet. Ergo erit A-a . B-bααλ . B i Itaque si suerit &c. quod erat ostendendum.

218쪽

c OROLLARIUM Tartes similes a suis totis sublata relinquunt partes similes. Io Partes enim similes duarum magnitudinum sunt directe inter se, ut ipsae magnitudines,quarum sunt partes a

THEO REM A XX.

Si tota ad totam mallorem habuerit rationem , quam ablata ad ablatam, etiam reliqua ad reliquam mastorem rationem binbebit , quam tota ad totam . Si vero ratio totius ad totam minor fuerit ratime ablata ad illatam, . reliqua da reliquam minorem ratwnem b . . . sebit, quam tota ad totam.

iso Magnitudinibus A, B demantur partes a, b, sitque πνου, A. B a. b. Dico, esse A-a. B-b A. B. ι- m.

Demonstratio.

219쪽

iso Elementorum Demonstratis.

Namque ob hypothesim erit As mira a , adeoque Ass- aB ΑΒ ,-bA b ). Igitur , cum sit AB - aB productum extremarum , & ΑΒ - bΑ productum mediarum , erit Α- a . B - b αΑ . B te . Itaque si tota &α quod

erat ostendendum.

THEO REM A XXI.

Si fuerint quatuor magnitudines geometrice proportionales , disserentia anteeedentium erit ad differentiam eonsequemtium, ut quavis antecedens ad suam consequentem. r32 Sit A. a B. b. Dico, esse Α - B. a - b A. a B. b.

Demonstratis.

THEO REM A XXII.

Si fuerint tres magnitudines tribus aliis proportionales , disserentia priorum erunt proportionales differentiis posteriorum.

Is3 Tres magnitudines Α , B , C proportionales sint

220쪽

Liber L.

Demonstratio.

Cum enim sit A. B- , &B. C b. e erit quoque A. a B. b, &B. b C. e a . Est autem Α - Β . a b ta A. a, ficuti etiam B - C. e -B. bib). Ergo erit Α - B. a - , 'B-C. e cl; & alternando erit Α - B. B C' a- b. b - e d) . Itaque si fuerint tres magnitudines &c. quod erat ostendendum. COROLLARIUM I. Si tres inaquales magPitudines per eandem multi l centur , disserentia productorum erunt inter se , ut disseremia ipsarum magnitudinum. is Ut si tres inaequales magnitudines a , a , c multiplicatae fuerint per eandem quantitatem r,& fiant productam, is, cr, erit ar -br. ω - er a - b. b e. Est enim m. is zza. b, Sebr. erz b. e e . Igitur erit quoque ar se. D- a - b. b- e D. c OROLLARIUM II. Si tres inaquales magnitudines per eandem dividantur . quotientium disserentia reunt inter se, ut disserentia ipsarum magnitudinum. Iss Divisis nempe tribus inaequalibus magnitudinibus a. abo, e per eandem quantitatem d, ita ut sit - u