장음표시 사용
41쪽
major terminus Ial affectus sit signo - , scribendum estae 3 ia, loco nimirum aggregati . 7Δ- ε . Si vero e contrario habeantur termini-- Tab,-- is, scribendum cst - Ρb. Constat enim, eontrarios terminos, ἐuatenus aequales, sese perimere.
21 In omnibus calculis Algebricis id ante inunia praesta dum est, ut termini similes ad suas simpliciores expressiones reducantur, deleantur nempe, qui contrarii sunt, & aequules ; simul vero colligantur in unum, qui tum sibi mutuo similes, & minimα Opponuntur.
De subtractione magnitudinum Algebricarum. DEFINITIO L
M Cubtractio est unias magnitudinis ex altera subductis, seu O inventio magnitudinis, qua, si mavisuriri fabdacta adiicia. tur , totum constituit, uti aequale , eui fit ipsa subtractis. Hujusmodi est illa Operatio in Arithmetisa communi, qua d tracto numero ex numero 7. , relinquitur 3. Si namque numerus residuus 3. numero Φ, qui suiurabitur, adiiciatur, numerus ipse 7. pincitur,
42쪽
c OROLLARIUM.1s Hinc subtractio per additionem, & vicissim additio per subtractionem ostenditur. Optime nimirum facta est subtrahi si differentia simul cum eo, quod subtractum est, totum illud constituat, cui facta suit subductio . Uicissim legitime additis peracta est, si altera magnitudinum , quae inul collectae su rant, ex tota semina sublata, quod superest , earundem alteram adaequet.
Magnitudinem incomplexa=n alteri incomplexa subtrabere.
26 Magnitudines, quarum una alteri subducenda est, simul jungantur mediante signo negativo - , ea quidem lege, ut magnitudo, cui altera subtrahi debes, signum immediate Praecedat; ea vero , quae debet subtrahi, signum ipsum immediate consequatur.
Ut si magnitudinem b magnitudinia subtrahere oporteat, scribendum est a b. Complexa enim magnitudo a -b duarum a, b differentiam designat.
Unam magnitudinem alteri subtrahere est unam minus altera sumere c. Cum igitur signum significet minus si, a b perinde erit ac magnitudo a minus magnitudine b , nempe differentia, quae remanet, facta subductione termini, a terminia a. C ANI-
43쪽
Q si magnitudines incomwexae, quarum una alteri su ducenda est , similes fuerint inter se, & omnino aequales, per subtractionem evanescunt , ac proinde deleri debent. Cum enim sint inter se aequales, nihil, facta subtractione, rellinquitur. ANIMADv ARs Io II. 18 Si magnitudines suerint quidem similes, sed inaequalibus eoiicientibus affectae, observandum est, an minor magnitudo a majori, num vero major a minori auferri debeat. Etenim si primum: facta subductione minoris eoesseientis 'a majori, residuus numerus eidem termino praefigendus est cum nota positiva-. Ut si magnitudini Iab subtrahere oporteat magnitudinem qab, disserentia erit 3ab . Sin alterum: residuus nu rus eidem termino praefigendus est cum nota negativa - . Ut si magnitudo ab subducenda siti m gnitudini Aab, differentia erit - 3Mi. Ratio est evidens. Quan, doquidem si ab eo , qui possidet septem nummos , quatuor auferantur, tres illi adhuc remanent; ac proinde illius valor adhuc est citra nihilum. Si vem ab eo, qui quatuor tantum habet nummos, septem nummi auferendi sint propter debitum, sublatis quatuor, quos possidet, debitor manet trium nummorum , quo fit propterea, ut illius valor sit minor nihilo.
Magnitudinem eamplexam alteri complexa subtrahere.
ast Iungantur magnitudines ipsae mediante signo negativo - , perinde ac si essent simplices . Signa vero positiva magnitudinis subtrahendae mutentur in negativa , & vicissim negativa in positiva. Quatuor idcirco casus distinguς
44쪽
di sunt. Uel enim auferri debet magnitudo positiva a positiva; vel positiva a negativa ; vel negativa a positiva ; vel negativa a negativa.
3o Si magnitudo positiva e d subtrahenda sit magnitudini itidem positivae a --b, residuum erit a b -e-d
Cum enim tota summa eremovenda sit a magnitudine a - b, singulae partes ipsius e-d subtrahi debent magnitudini a-- b. Quamobrem mutandum est signum. in , adeoque scribendum a-- d. Hoc enim enim ipso tam pars c, quam pars d ipsi a-b subtrahitur. . 'casus II. 3r In subtractione magnitudinis positivae eis d a negativa a-b, scribendum est pro residuo a - b-e - d.
Eadem est cum praecedenti. Casus III. 31 Si magnitudo negativa e d subduci debeat munitudini positivae a - b, residuum hoc modo exprimendum est
. Eminuero cum e - d exprimat differentiam magnitudinis e iupra magnitudinem d a ,hF tantum subtrahi debet magnitudini a-b. Si autem scriberetur pro residuo magnitudini a. b subducta esset tota magnitudo c, secus ac
45쪽
fieri debeat ; subtrahi enim debet excessus dumtaxat ipsius e supra d. Ne igitur plus justo auferatur , facta subductione
termini e , adiiciendus est residuo a --b - e terminus d s a que adeo 1cribendum a b - c- d. Cafas IV.
33 Si magnitudo negativa c-d subtrahenda sit magnit dies itidem negativae a - b, residuum erit a - b -c .
Patet ex praecedenti. Etenim perinde omnino est, sivet magnitudini positivae a--b , si ve negativae a - b magnitudo
3 Si m magnitudinibus complexis, quarum una alteri subtrahi debet, occurrant termini similes aequalibus , vehinaequalibus cocleientibus numeris affecti , ea in illorum iu ductione observentur, quae luperiori loco S. MI., & 28.
De multiplicatione magnitudinum Algebricarum. DEFINITIO L
IVL magnitudinis, qua toties contineat magnitudinem multiplicatam , quoties magnitudo multiplicans continet unitatem, vel quae sit hv modi pars , vel partes magnitudinis multiplicata , cujusmodi pars, vel partes unitatis es magnitudo multiplicans o Tar
46쪽
Talis est in vulgari Arithmetica operatio illa, qua ex nu mero . multiplicato per numerum s. fit numerus 2O., Nex numero fracto - multiplicato per fractum - nume
rus - emcitur. Constat enim, numerum 2o. toties conti-
nere numerum A. multiplicatum, quoties numerus y. multiplicans unitatem comprehendit. Similiter quae partes unitatis est fractio - , easdem partes stactionis Σ esse fra-
ctionem - , quae ex multiplicatione fractionis - per fia-
ctionem - producitur . . Fractio namque - ter continet sta
ctionem -.quae est quarta pars fractionis -,cui fractio - est
36 Magnitudo, quae nascitur ex multiplicatione unius maynitudinis per aliam, factum, seu prodιιctum nuncupatur ἱ Sic numerus χα dicitur factum, sive productum ex ductu numeri φ. in numerum s. COROLLARIUM.37 Produditam, quia fit ex multiplicatione eUnmis magnitudinιs per unitatem, diversum aliquid non est ab istis maPitud ne multiplicata. Ut si magnitudo a multiplicetur per unitatem, productum erit iplamet magnitudo a. Quandoquidem sicuti unitas non nisi semel seipsam continet, ita satium ex hac multiplicatione non nisi semci debet magnitudinem a comtinere. Igitur hujusmodi productum erit magnitudini a aequale, quemadmodum unitas seipsam adaequat.PR
47쪽
M nitarinem momplexam per alteram incomplexam multiplicare.
38 Magnitudines incomplexae , quarum una in alteram ducenda est, copulcntur sibi mutuo, nullo plane signo i terjecto. Aggregatum hujusmodi erit factum quaesitum.
Ut si multiplicare oporteat magnitudinem a per magnitudinem, b, & magnitudinem dae per magnitudinem st , scribendum est ab , d g. Est enim ab factum ex ductu a in b se
39 Mu tiplicatio unius magnitudinis per aliam indicatur signo X, magnitudines nempe ,.quarum una in aliam ducenis da est, eo interiecto copulando. Sic aκb designat, magnitudinem a multiplicandam esse per masnitudinem b, atque adeo productum ab , quod ex hac multiplicatione essicitur.' ANIMA VRRSI Ι.6o Perinde omnino est, quocunque ordine literae in producto Algebrico sibi mutuo apponantur. Ut, si multiplicare oporteat magnitudines a, b inter se mutuo, perinde est omnino, si ve a per b, sive b per a multiplicetur , atque adeo sive ab , sive ba pro facto habeatur. Esto namque a 3. Multiplicando s. per 2., sive a per b, bis quinarius, ac Pr inde decies unitas sumitur . Multiplicando vero χ. per F., sive b per a , quinquies .iumitur binarius, & ideo decies unitaesia Ergo
48쪽
Ergo idem emergit productum, si ve L per λ. , si ve a. per se multiplicetur ; eritque propterea ab m ba, & eadem ratione
qa oties eadem litera pluries, quam bis, in eodem prinducto occurrit, semel tantum in illo scribenda est. Tum vero paulo altius post ipsam character arishmeticus illi appingi debet, qui exprimat, quoties ipsa litera in tali producto coim tineatur . Sic loco produsti aaa scribitur a 3 , loco productibbbb scribitur bs & s c H ο L I O 'N I.
2 Character Arithmeticus paulo altius post literam pomtus, exponens nuncupatur, quatenus nempe designat factum exi a litera tot vicibus una minus in sei am ducta , quot unitates ipse numerat. Sid exponens 2. magnitudinis a exprimit productum ex magnitudine a semel ducta in seipsam I exponens 3.
magnitudinis b3 designat productum, quod duplici multiplicatione emcitur, nimirum exb per seipsam , & ex bb iterum per b, i atque ita de ceteris.s c Η O L I O V II.
εῖ. Dponens literae, quae semel tantum scribenda est, ab unitate non distinguitur. Et licet unitas tunc I iterae non ap-Pingatur , attamen veluti illi appicta supponitur, ita nimirum ut a idem sit ae &b idem b &c ANIMADvERSIO III, - Si uterque multiplicationis terminus eo ciente numero affectus sit, facta literalium terminorum multiplicatione, ipsi quoque numeri inter se mutuo multiplicari debent, & num rus hinc emergens illi producto praefigi, utpote illius coe*
49쪽
eiens. Sic productum ex multiplicatione termini ab per terminum 3 erit Izalde. Ratio ex infra dicendis patebit. ANIMADvERs Io IV. s Si vero alter dumtaxat terminorum, qui inter se mutuo multiplicandi sunt, eoeseiente numero sit affectus , multiplicatis terminis, producto hinc facto idem eos ens praefigi debet. Ut si multiplitare oporteat magnitudinem 3a per M, productum erit 3avd. Hujus quoque ratio ex dicendis perspecta habebitur . t
6 Numeri exponentes terminorum similium, qui eadem litera expressi sunt, debent in ipsorum terminorum multiplicatione simul colligi, & summa eidem literae appingi. Ut si
multiplicanda sit magnitudo a per magnitudinem a ', prinductum erit a . Est enim a idem ac aa, 6ca 3 idem acaaa, sicuti etiam a s idem ac aaaaa a). Ergo erit a N a 3 m a s . ANIMADVERs Io VI.
7 Si autem magnitudines multiplicandae eadem litera exprestae non fuerint, facta literarum unione, unicuique suus exponens appingendus est, perinde ac si nulla facta sumet multiplicatio . Sic productum ex a in b3 erit a b 3 . Constat enim, ex multiplicatione termini aa per terminum tab oriri
productum aabbb, adeoque a b b .s c Η O L I O N. 8 Si idem fuerit exponens literarum dissimilium, quae Inter se mutuo multiplicandae sunt, ut si multiplicare oporteat magnitudinem a 3 per magnitudinem b3, loco producti a b scribi solet ab . PRG
50쪽
Magnitudinem complexam per alteram complexam multiplicare.
' singuli termini unius ducantur in singulos terminos alterius, quaeque inde fiunt producta partialia, ope signorum, quae illis debentur juxta regulas infra tradendas simul colligantur. Hujusmodi namque aggregatum erit productum t tale qumitum. Exemplum. ' Multiplicare oporteat trinomium a--b -- per binomiam Primo itaque multiplicentur singuli termini magnitudinis per terminum d; deinde omnes iidem termini Per terminum e. Ex prima multiplicatione oritur productum ad--M--ed; ex secunda vero productum ae be -- ce, quae simul collecta dant productum ad-M-d-ae be --ce Hoc ergo erit productuin totale ex multiplicatione tris ub--e per binomiam d-- e.
Unum totum non potest per alterum totum multiplicari , nisi singulae partes unius in singulas partes alterius ducantur, totque proinde in producto totali habeantur partialia producta, suot unitates numerat factum ex numero partium, quae sunt in uno, multiplicato per numerum partium, quae in altero reperiuntur. Non enim totum a suis partibus simul unitis distinguitur. Ergo &c.