P.F. Fortunati a Brixia Ord. min. ref. prov. Brixiae ... Elementa mathematica in quatuor tomos digesta. .. Tomus primus algebrae synopsim, generalem proportionum doctrinam, ac utriusque progressionis theoriam, & praxim continens

51쪽

so rem patet, tur messissentes terminorum multiplieari inter se mutuo debeant, ut diximus, lupra M. M., & factum numericum producto Algebrico adjungi , nimirum productum, quod nascitur ex ter no ab multiplicato per 3de, esse I bde. Enimvero cum ab idem sit ac ab--ab--ab is ab ,&sde idem ac de prodiatum autum ex multiplicatione quadrinomi ab-ab------ per tri--- .e-δε duodecies ccintineat productum partiale abde , perspicuum remanea, productu ex εώ per ide necessario esse raM . ANIMA ova RSIO Iosi Si termini magnitudinum complexarum, quarum una in alteram ducenda est, coefficientitus, aut exponentibur numeris snt affecti, ea in illorum mustiplicatione observentur,quae 6. M. & sequentius tradidimus. Ut si multiplicare oporteat binomi- 3ὼ--d 3 per binomium qB--d , cum sit rabκ ab

deranda sunt signa, quibus singuli ipsarum termini sunt as-fecti. Hinc enita dependet determinatio signi, quo fingula producta sartialia astici debeant, simulque propterea in pr ducto istat conjungi. Sequentes itaque leges sum observata

52쪽

Plas per plus reddit pluι. 33 Videlicet si omnes termini magnitudinum complex rum, quarum una in alteram ducenda est, signo postium snt affecti, singula quoque partialia producta eodem signo assici debent. Ut si multiplicare oporteat magnitudinem a Per magnitudinem ς-- productum totale eriI α --ώ---- d.

Demonstratio.

Factum ex multiplicatione toties continet, vel continetur in termino multiplicato, quinius terminus multiplicans continet, vel continetur in unitate sa). Quod autem aliquoties continet magnitudinem positivam, vel in illa continetur, est magnitudo itidem positiva. Emo factum ex multiplicationet magnitudinis positivae per pofitivam necessario est magnitudo positiva. I I Plus per misas reddit minas. 16 Factum stillera ex ductu termini affecti signo positivo -- in terminum astedium signo negativo - , assiciendum quis. que est signo negati νο- . Sie productum ex multiplieatione magnitudinis a d per magnitudinem με erit ab ac- ώ.

Demonstratio.

Curi enim b e residuum exprimat, quod remanet, detracta magoixudine e ex magnitudine b in , magnitudo a-dmul iplicanda non est per totam b,1ed per illud residuum dum rarat, Productum igitur ab in. D est majus j sto, tota nimbD 2 rum

53쪽

2 8 Algebr. .

rum ea quantitate,quq emcitur multiplicando utrumque terminum magnitudinis a - d per partem negatam c . Quamobrem a producto ab -- ct removenda sunt producta ac , ct , atque adeo scribendum ab is db - ac - dc.

III.

Minus per plas reddit minus.ss Si nempe terminus affectus signo negativo - multiplicetur per terminum, qui signo positivo -- donetur, ut a -bPerc. d, productum fgno negativo assici debet, videlicet hujusmodi productum erit ac-ad-ῶ- .

Demonstratio.

incidit cum praecedenti. Perinde enim est sive a b pere insed, sive e --d per a b multiplicetur. 1 U. Minus per minus reddit plus.16 Videlicet factum ex multiplicatione magnitudinis negativae per negativam erit magnitudo positiva . Ut si multiplicanda sit magnitudo a b per magnitudinem c -d, pro

Demonstratio.

Enimvero, cum multiplicanda non sit tota magnitudo aper totam magnitudinem c , sed tantum pars unius per partem alterius, nempe residuum per residuum , productum ae majus erit justo . Illi ergo subtrahendum est productum eb factum ex ductu totius c in partem negatam b , nec non pro ductum da, quod emergit ex parte negata d multiplicata per

totam Disiligod by Cooste

54쪽

totam a. Verum subtrahendo productum eb, plus justo su trahitur. Quandoquidem, si ponatur c -d m x , ac proindea --d me a), erit x--dκbmcκb, sive M- iam eb, adeoque subtrahendo productum cb producto ac, subtrahitur ipsi binomium bx--M . Constat autem, subtrahendum dumtaxat esse productum bx, cum hujusmodi productum debeat esse factum non ex toto termino e multiplicato per b, sed extermino e imminuto magnitudine d per i pium , multiplicato. Ergo ne plus justo auferatur , sublatis productis eb. da, addendum est productum ac proinde scribendum ae -cb- ώ- bd.c OROLLARIUM.17 Igitur perspicuum remanet, eadem signa in multiplicatione esticere diversa vero reddere - .s C H O L I O N. 18 Licet exempla superius posita exhibeant multiplicationem binomia per binomium, propterea quod , ut notat Cl. Volfius, magnitudo negativa per negativam, proprie loque do, multiplicari nequeat, sed tantum prout privativa positi-υis junguntur attamen singuli termini complexae magnitudinis considerari possunt sine ulla ratione ad alios, quibus copulati sunt , videlicet perinde omnino ac si essent magnitudines incomplexae. Si ergo termini, quorum alter per alterum multiplicari debet,iisdem signis affecti sint, productum assiciendum est signo positivo contra vero signo negat, vo- , si illorum alter signum alter signum sibi prae

55쪽

3o Adebrae

PROBLEMA III.

19 Ducatur monomiam in singulos terminos polynomu, qua que inde fiunt producta, debitis signis simul copulentur.

Exemplum.

Multiplicare oporteat magnitudinem a -- b. e per magnitudinem d. Sinsuli termini magnitudinis a. b--e multiplicentur per magnitudinem d. Productum totale erit ad--b M.

Demonstrario.

Non enim tota magnitudo multiplicatur per magnitudinem d, nisi singulae illius partes in ipsam d ducantur,

ANIMADVERSI .

si Si monomium, per quod magnitudo mi omis multipli. eanda est, nullo signo sit affectum, producta partialia iisdem signis affici debent, quibus respective affecti sunt termini mulistiplicati. Ut si multiplicare oporteat magnitudinem a-- e per magnitudinem d, productum erit ad-M - ed. Est enim d idem ac--d a . Est autem --b κ--dm--M b ,& -eκ--dm-cd c . Ergo erit quoque a-b-e Ndm ad M. M cd. Si autem magnitudo multiplicans praefixum habeat signum - , producta partialia illis signis assiciantur, quae juxta leges superius traditas do ipsis singulis conveniunt.

56쪽

sc HOLION 61 Hinc ostenditur, quod superiori loeci traditum est de eosciente producti ex multiplicatione magnitudinum simplicium, quarum altera nullo eae*kiente sit assecta, videlicet hujusmodi producto rorifcrentem illum praefigi debere, quo illarum altera donatur sa ut si maltiplicare oporteat magnit incines per M, stribendum esse subd. Eit enim 3a idem ac a --a- a b . Ergo erit μκiam abGHild.

nitum.

Utile lamen plerumque est, multiplicationem imple. xarum magnitudinum nequaquam i niti tuere, sed ope signi κeam tantummodo indicare. Ut si magnitudo a --b - e multiplicand a sit per magnitudinem d - e loco producti ad- GTΑ - Ρ-ec, quod inde efficitur , iusticit seribere

De divisione magnitudinum algebricarum. DEFINITIO L

63 magnitudiuis pei aliam est inυentio magnitudinis, qua toties continear unitatem, Mel quoad H, - , aut ali as sui partu is unitate toram contineatar,qu tus magni do dividetas e tinet divisarem, vel in divisere quoad aliquam , vae aliquas fui paries rumprehevdιtur. Sic divid re I per ψ. idem est ac invenire Nameeum, qui ter con- tiarat unitatem,queinadmodum numerus divisus in . Iti C-prehendit divisarem 4. Similiter dividere ε. per Ita est invenire

57쪽

nire numerum, quae sit tertia pars unitatis , sicuti divisus sest tertia pars diyisoris ILDEFINITIO. II. 64 Quantitas per divisionem inventa dicitur quotus, si vequotiens divisionis. Quamobrem quotus dissionis es, quantitas ,

qua eodem modo continet unitatem, vel in unitate continetur quo

terminus dissus continet divisorem, vel in ipso divisore eo rebenditur . Nimirum numerus est quotus numeri 6. divisi per 2.,& fractio - est quotus numeri ejusdem 3. divisi per Iz. Quandoquidem sicuti 6. ter continet divisorem 2., & numerus 3 est quarta pars divisbris Iz., ita quotus I. ter comprehendi cunitatem , & fractio - unam quartam unitatis partem d signata COROLLARIUM L6s In omni diυi e se diυMor per quotientem multiplicetur . productum esscitur termino disso aequale Ut, si quotus magnitu dinis a di vitae pεr magnitudinem b sit quantitas a , erit bκπ sive productum is aequale termino a diviso. Productum nam que toties continet terminum b multiplicatum , quoties terminus x multiplicans continet unitatem , vel productu is est hujusmodi pars, vel partes termini b, cujusmodi pars, aut partes unitatis est quantitas x sa). Terminus autem a divi ius per b toties continet divisorem b, quoties quotuS X con tinet unitatem, vel terminus a est hujusmodi pars, vel partes divisoris b , cujusmodi pars, aut partes unitatis est quin tus x b . Ergo productum is eodem penitus modo conti net divisorem b, vel in illo continetur, quo terminus a d, visus eundem b itidem continet, vel in illo comprehenditur. Evidenter autem ex terminis constat, magnitudines illas est aequales inter se , quae toties ex aequo eandem quantitatem

58쪽

eontinent, vel in eadem continentur . Ergo factum bx aequale erit termino a ; ac proinde' c. COROLLARIUM II. 66 Hinc divisio optime peracta est, si divisere per quotientem multiplicato, productum fiat termino diviso aquale . Ut si Dotus magnitudinis a divisi per magnitudinem b fuerit x, optima erit divisio, si factum M suerit aequale magnitudini a diviste.

c OROLLAR IUM III. 67 Quemadmodum per multiplicationem bonitas divisi,nis ostenditur, ita per divisionem legitimane facta sit multiplicatio demonstratur. Optime nimirum peracta erit muli pluatis , si divise producto per unam magnitudinum, ex quarum multiplicatione productum ipsum efficitur , altera earundem pro quotiente erumpat. Sic factum ex a in h est ab , si diviso ab per a , quotus sit b, diviso autem per b, quotus sit et /COROLLARIUM IV M suotus unius magnitudinis per alteram sibi aequalem divi a es unitas. Ut si dividatur magnitudo a per seipsam quotus erit I. Eodem namque modoι unitas seipsam, sicuti magnitudo diu Isa tunc divisorem GT.nprehendit.

c OROLLARIUM U. . 69 Quotus magnitudinis per unitatem dissae diversum aliquid non es ab ipsi LUD m nitarine. Ut si magnitudo a per unitatem dividatur, quotus erit ipsa eadem magnitudo a divisa.

59쪽

Magnitudinem ineomplexam per alteram inempseram dividere.

o Ducta lineola , divisor iusta dividendum scribatur Fractio hinc emergens erit quotus divisionis quaesitus.

Exemplum.

Ut si dividere oporteat magnitudinem a per magnitu dinem b , scribendum est

Dem ratio.

Enimvero quemadmodum in Arithmetica vulgari stactior exprimit divisionem numeri I 8. per numerum es, atqu ipsius divisonis quoueatem x adaequat, ita in Algebra fractio divisonem designat magnitudinis a per magnitudinem Mipsaque fractio pro divisonis quotiente jure potest assumi. 3 c Η O L 1 O N. I Loco fractionis divisionem indicantis magniIudo alia qua smplex , vel complexa pro divisionis quotiente Plerumque assumitur, & tunc dicitur una magnitudo alteri in calculo substitui. Ut si loco fractionis ,qua indicatur divisio

termini a per c assumatur quantitas m simplex, vel complexa p-r , aut alia hujusmodis quantitas m, vel-dicitursu,

60쪽

substitui quantitati - . Qua titas autem vocatur valor ipsius quantitatis assumtae m, aut p--r unde stribitur

ANIMADv BRs Io Lo Si magnitudo Algebrica dividenda omnes divisoris luteras contineat, hisce omnibus in illa deletis, quod superest, erit quotus divisionis. Sic divisa magnitudine de per b, quotus erit ae; divisa per M, qaatus Erit enim bκae abc, mcuti etiam MNa bca a). Igitur erit etiam mae ,

73 Si quae tantum literae di visoris in magnitudine dividenda habeantur, ipsis in utraque magnitudine deletis, quod in divisore lanerest, illi subscribatur, quod relinquitur in ma-guitudine divisa. Hec enim fractio erit quotusquςsitus. Sie quο- ut termini abia divisi per adae erit - . Si namque fractioni

substituatur quantitas m , erit xminia cc), atque adeo admx abia; cum posita aequalitate terminorum se, is , Pe rinde sit omnino , sive per xm, sive per be magnitudo ad multipliretur. Est autem mmcd . Ergo erit quoque m ms ac proinde, si quotienti m illius valor Crit substituatur