장음표시 사용
101쪽
3. Idear patet angulum E D G ta: angulo B A C: ergo ai gulus B A C est , maior angulo B D F. Quod erat d
Theorema XVII. Propositio XXH.
SI dua tris Dia duos angulos duobus angulis aequalis habeant ue alterum alteri, utrumIue latus uni lateri aequale , vel quod aequalibus adiacet angulis , vel quod uni aqualium an-Fig. 3.DDrum subtenitur,'reliqua latera reliquis lateribus aequalia alterum alteri . reliquuna angulum. reliquo angulo aequatim habebunt ..
In triangulis ABC,&DEF angulus ABC angulo D F E, Se insuper angulus B C A, angulo F E D, denique latus B C m lateri F E: vel latus AB-lateri D F:: vel denique latus A C lateri DE. . Dico angulum i B A C. angulo, FD E, Se praeterea B Cra. FE: item A B D F: item A C D E. . Demonstratio. Per hypothesim angulus ABC:z: angulo DF E, Se insuper angulus, AC B angulo D E Fe go per theor. s. pari. 3. Idcae triangulum ABC est simile triangulo D E F, adeoque angulus B AC, angulo F DE,&insuper BC ad F E AB ad DFH, A C ad DE : sederum per hypothesim. B C m F E, vel A B-D F, vel A Cm D E: ergo angulus B A C m angulo F D E , & praeterea B C E c item, A B m D F: item A C m D E. Quod
102쪽
Elementoriun Euclidis. DTheorem XVIII. Propositio XXVII.
SI in duas rectas ear recta nura incidens adternos angulis inter se aruales fecerit, paralleiaerunt recta linea. secunda pars assertionis a.theorematis4 partis 3.Ideae.
Theorema XIX. Propositio XXVIII.
SI in duas rectas lineas recta incidens externum angulum in terna, o opposito ad eamdem partem'aequalem iecerit, aut . internos ad eamdem partem duatas rectis quatis,parallela erunt ista rectae linea Est prima, & tertia pars assertionis secundae theor. 4.put. s. laeae.
IPἰ parali in rectas linearrecta tinea inridenhoe alternos an gulos inter 1e quatis, exteriorem interiori, m opposito; ad easdem partes aequalemam interiores ad easdem parus duobus rectis quadra Ociet . Estassertio priura theor. q. partis 3 adeae,
Recta linea AB sit parallelare, CD, de insuper resti C D sit parallela re E F . NDico
103쪽
Dico lineam A B esse parallelam lineae E F. Constructio. Ducta si XZ loccurrens rectae AB in puncto G, rectae vero C D in puncto H, Se rectae E Finpuncto Κ. Demonstratio. Per hypothesim recti A B, & C D sunt parallelae et ergo per theor. q. partis Meae augulus A G X angulo C H X:sed etiam angulus C H X m angulo E K X; quandoquidem per hypothesim etiam C D N E F sint inter se parallelae: ergo angulus A G X αα angulo E K X rigitur per theor. q. partis 3. Ideae lineae A B & E F sint inter se par elae. od erat demonstrandu m .
Indata rectalinea AB, datum sit punctiim C. Opporteat per punctum C ducere rectam E D , quae sit parallela datae rectae lineae FG. Solutio. Supposito, quod punctium id sit illud, in quo recta F G intest ecat rectam AB, per prop. 23. hic ex punecto C ducatur recta CD, ut angulus DC B Magulo F H B, recta D C, sue D E erit illa, quae petitur . Demonstratio. Exsilutione angulus DC B tra angulo F H B t ergo per theor. q. partis 3. Ideae lineae D C, de F H, hoc est lineae D E , de F G sint inter se parallelae . Quod
104쪽
Theorema XXII. Propositio XXXII.
Osuis trianguli uno titere prodiso exterior angulus Ao-bus interioribus,moppositis est quatis , cy' trianguli irris interiores anguli duobus restis aequuta sum.
Sit quodvis triangulum ABC, cuius unum latus A CproduAm sit usque in D. Dico primo angulum A C D m angulo C B A ' C A B Dico secundo angulum C BA 'CAB ACBra duobus rectis angulis. Prima assertio in terminis infertur in demonstrarione prop. 36. hic. iacunda assertio est theorema I 3. partis 3.Ideae..
Theorema XXIII. Propositio XXXIII
O malo, o parauelas ad eassem Drtes coniungunι recta linea, s irae apuuales minasteia sunt . Linea recta A B sit aequalis, & parallelii recta C D, praeterea ductae sint rectae A C,-B D - Fig. is Dico primo rectam AC aequari rectae BD. Dico secundo rectam AC esse parallelam rectae B D Constaictio. Ducta si recta C B . Demonstratur prima pars. Qv oniam per hypothesim rectae AB est parallela rectae Co per theor. η. partis 3.. Idet angulus A B C m angulo D C B: sed quia per hyp thesim A B C D, etiam A C D m BC ad B C: isi. rur angulus ABCra angulo BCD, &insiper AB ad NE D
105쪽
CD BC ad BC : ergo per theota s. panis 3. Ideae tria gulum ABC es simile triangulo DC B: ergo AC ad Bom BCai BC: sed BC BC: ergo AC BD. Quod
Ast is Dςmonititur secunda pars . Ex demonstratione primae Spartis consultriangillum AB Cesse simile triangulo D CB ergo angulus. A CB ποῦ angulo DBC: ergo per theor. q. panis 3. Idear Acta A C est parallelae recti: BD- Quod .
Paralle 'inmurum spatiorum istera , quae ex opposito γ' anguli , inter se aequalia sum; cor' diameter ea ιfariam fec-- . Fit 3 Parallelogrammum, A D. habeat di ametrum C BDico primo latus, AR-lateri CD : item latus, Alateri BD-Dico secundo anguIunu C A B angula B D Cest angulum; A C D mangulo, A B D .. Dico tertio triangulum. C B A m triangulb C B D . i i Demonstratur prima pars. Per hypothesim figura Aest parallelogrammum et igitur recta AB est parallela rectae C D, N praeterea rectae A si est parallelae rectae B Ja: ergo per theo A. panni3-M angulus ABCr angulo D CR &insuperangulius ACB angula DBC: sopentheor. .partis 3. Idear triangu 1C B Aestsimile triagulo B C D:
106쪽
primum. Demonstratur secunda pars L Ex demonstratione primae
Demonstratur tertia pars ia Per Tharaim. partem triλngulrFig. 18. CRA basi C A ad trianguli C B Ia basim BD zzz I-L:. Deinde quiχtriangula istae per hypothesim sint inter easdem parallelas, etiam altitudo trianguli C B A ad altitudinem trianguli CBD I ad x et Tertio ductus ex quo oritur triangulum C B A ad duellam, primum. 1 ad 2 et Quarto densque ductus primus ad ductum ex quo oritur triangulum C B D m x ad I: fghur per theon. 3 partis F. Ideae triangulam CBA ad triangulumi CBD habet rationem compinsitamexquatuorrationibus, quanam unal sit T ad x , secunda sit x ad a, tertia sit x ad x, quarta sit 2 ad 1: sedex probi A. cap. 2..partis, ε. Ideae patet, quod haec ratio, compostataequetur rationi I ad x :. ergo triangulum CB Aadtriangulum CBD π a ad x: sed i m x: ergo, triangulumi CBA triangulo C B D: Quyd tertio loco asserebaturia
107쪽
IN praecedentibus propositionibus allatae variae pro-ptietates conuenientes triangulorum angulis, aut latem
bus; praecipuus fructius, quem Euclides colligit ex his proprietatibus non apparet in hoc primo libro, meo enim iu- cicio consissit in triangulorum similium doctrina ab ipso proposita in sexto suorum Elementorum libro , quamqueam, ectitur theorema s. partis 3. Idear Logisticae, adeo ut in methodo Euclidea per praedictas propositiones , aliasque
quam plurima paulatim properando,post multas ambages. tandem peruen atur ad doctrinam triangulorum similium contentam praedicto theoremate. Verum in methodo adhibita in Logistica, propemedam immediate ex ipsis principijs
insertur haec triangulorum similium doctrina, ex qua veluti totidemi corollaria facile deducuntur fere singulae proprietates,triangulorum angulis, atque lateribus conueniente; ,quae in Elementorum primo libro afferuntur ab Euclide , quod an veruin sit obseruare licet ex hactenus propositisdemonitiationibus: et si verum est, nemo, ut opinor, negare poterit, Logisticae methodum non vulgare compendium et Q rre pro inuestigandis proprietatibus, quae conue niunt trianguloram angulis, aut lateribus , Altera via, qua Euclidea methodo insertur proportio, quam inter se habent diuersa triangula, aut ex triangulis constantes superficies, supers uis imbagibus multo amplius superat viam, qua LO gisticae methodus non tantum idem, verum etiam amplius aliquid assequitur, ut notatur in cap. 2. partis F. Ideae. Etenim
108쪽
nim ex notis huius capitis satis constat, in theoremate 3 .cap. I. partis 1- Idear, demonstrari uniuersaliter , quod qualescumque sint superficies, aut aliae duae quantitates X & Z,
ita tamen, ut singulae ex unico duetia nominatoIroducantur semper verum esse , quod Xad Z habeat rationem compositam ex quatuor rationibus, quarum unast ratio basium, suὸ unius genitoris quantitatis X ad basim,sive unum genitorem quantitatis Z,altera sit ratio altitudinum,siue alterius senito.
ris quantitatis X ad altitudinem, siue alterum genitorem quantitatis Z, tertia sit ratio ductus ex quo producitur X adductum primum, quarta sit ratio ductus primi ad ductum ex quo oritur Z; In demonstratione huius theorematis praeter
ipsa Logisticae principia nihil assumitur nis proportionum
doctrina tradita in parte Ideae Logisticae, de tamen licet, tam immediate connexum se cum ipss Logisticae prinosis huic Logisticae theoremati coniungendo problema 3.cap. 2, partis q. Ideae quod docet inuenire rationem ex alijs pluribus rationibus compositam habetur quidquid requiritur ad demonstrationem singularum propositionum Euclidis , in quibus asseritur, vel aequalitas, vel alia proportio inter duas superficies, dummodo cognitae sint proportiones, quas hvbent istarum superficierum genitores, qui neeesumo lineae sunt, & plerumque ex triangulorum smilium doctrina i ferri possunt, si ex ipsa hypothesi non cognoscantur3 Vt hoc secundum, atque non vulgare compendium methodi Logisticae melius appareat, si non eodem, certe plane simili semper discursu demonstro singulas propositione , in quibus inter se comparantur diuersae superscies, prius ostendendo, quam proportionem habeant genitores, deinde per theor.3. Partis
109쪽
partis F. Idcae atque prob. 3. cap. a. partis . Ideae inserendo proportionem affertam in propositione.
Theorema XXV. Propositio XXXV.
Parallelis ammai is eadem basi,min eisdem pastinuis rea stituta mer se aequalia sunt. Videtur planὸ superfluum demonsti are hoc theorema, quandoquidem immediate subsequens theorema asserat de paralles'grammis aequales bases habentibus, quodpnesens theorema dicit de parallelograminis eamdem basim habemtibus, manisestum autem est, quod aequales bases habeant parallelogramma, quae eamdem basem habent.
Theorema XXVI Propositio XXXVI.
, y 8626allelogramma super quiadus ἶagdus, tu' in eisdem pa-IL Ubiis constituta inter se sunt aequalia is Parallelogramma A C & E G habeant bases A D,& E Hinter si aequites, atque insuper altitudines sint aequales inter
mo parallelogrammum AC parsiologrammo EG. Demonstratio. Per hypothesim base AD ad basim .E H a ad Ir item altitudo parallelogrammi A C Malli. tudinem parallelqgrammi EG mxi ad Ir praeterea ductus ex quoproducitur parallelogrammum AC ad ductum pri- miihi a ad 1: Denique duetiis primus ad ductum ex quo producitur parallelogrammum E G I ad Ir ergo per. deor. 3. cap. I. partis 1. Ideae parallelogrammum AC ad
110쪽
parallelograminum E G habet rationem compostasai eae quatuor rationibus, quarum una est Iad a, altera est Lai i, tertia I ad I , quarta est i ad I : scd per probi. 3. cap. 3. partis Ideae rati , composita ex illistris quatuor rationibus est ratio rad I:ergo parallelogramnium AC ad parallelogram naum E G et ad 1: sed i m I,: ergo parallelograminum AC parallelogrammo E G. Qim erat demonstrandum.
Theorema XXVII. Propositio XXXVIL
TRlanguia in ea rim LUC, in in eisdem parallelis consitura inter se fum aequatia . Hoc theorema continetur theorena ite , quemadmo dumetheorema as continet ut theoremate ati, adeoquepla, ne super Aua ire: eiusdemonstrat lo
Theorema XXVIII. Propositio XXXVIII.
T R iuvisti in L Tus mali us,in is eisdem parallelis cou stituta , sunt inter se aequalia . Triangula AB C,&DE F habeant bases AB , DE inter se aequales , te praeterea altitudines tint aequales intcr.
Dicottiangulum: AB C pta triangulo DE P. . Demonstratio. Per hypothesim basis AB ad basimDEm Pa 1 : item altitudo trianguli A BC adi altitudinem trianguli D F F Pad i: praeterea ductus ex quo producitur triangulum A BC ad ductum primum item ductus primus, eri ductum ex quo producitur triangulum. O, DE F