장음표시 사용
81쪽
sint radij aeqvalium circulorum, ut patet ex selutione allata: ergo eiusdem trianguli. A CB singula latera sitiat inter se aequalia; adeoque faciendo, quae in solutione praescripta sunt,
habetur triangulum ABC, atque illud' triangulum est aequilaterum . Quod erat demonstrandum ..
VT propositum problema demonstrarem assumena.
dum mihi fuit axioma o. partis a. Idear, quod axi ma non inuenio apud Euclivis commentatorem, ex quo sumpsi propositionum titulos. Qua ex causa praetermissum sit, non satis percipio ; etenim certissimum est, non quasiliabet duas curuas lineas semel tantum sibi occurrentes sese i
tersezare in unico puncto, cum manifestum sit, duas curuas lineas habere posse partem communem. Quare, licet circuli arcus sint curuar lineat, tamen duos circulorum arcus semel sese intersecantes tantum in unico puncto sese interse care, vel immediate manifestum est ex terminis, quemadmodum ex rerminis manifestum est Euclidis axioma asserens, duas rectas lineas semel sese intersecantes, tantum in unico puncto sese intersecare: vel non est manifestum ex terminis . Si primum supponatur, & tamen de rectis lineis agens axi inma expresse ponendum erat inter axiomata , ut deinde in de monstrationibus assumi posset, non video, cur alterum axioma de arcubus agens pone udum non fuerit, cum ipsi innitatur iamoitabatio primipi silematis, adeo ut haec demonstratio plane erronea sit, atque nullo modo iubsistat ipse problematis solutio, eo ipso quod ponatur, duos arcus semel se-
82쪽
se intersecantes non in unico tantum punisto sese intersecare , sed plura punctii habere communia. Si veris supponatur, de arcubus agens Logisticae axioma ex terminis manistitum non esse : prosectb non assequor,Domodo rigorose demonstrari possit primum Euclidis problema, nisi prius demonstretur, verum esse, quod asierit Logisticat axioma agens de arcubus. Insinuata dissicultas ino impulit, ut circa primum problema varios Euclideae doctrinae kriptores consulerem, nimirum Christophorum Clausum, Federicum Commandinum, Christophorum Grimbergerum, Ioannem Alphomsum Borellum, Andream Taquet. Apud nullum ex his
authoribus inueni, aut axioma Logisticae agens de arcubus sese intersecantibus, aut insinuatum, ex definitionibus comstare, quod in dicto axiomate asseritur. Hinc intuli primos praedictos authores non ita scrupulosos esse in suis demonstrationibus, et non libere assumant axiomata minus clara , quam sint illa, quae expresse proponunt tanquam axiomata et secundo, Logisticae axioma agens de arcubus sese intersecantibus admittendum inter rigorosa axiomata ab ijs omnibus, qui nolunt concedere, quod nequidem prima Luci, deorum elementorum propositio rigorose demonstrata sit ab ivllo ex citatis authoribus . .
AD durum punctum data rectae lineae aequalem ponere.. Data sit recta linea A B, punctum aliquod Coporteat ex puncto C ducere rectamC Ε, aequalem da tae rectae A B. Solu-
83쪽
Solutio. Ponatur quaevis indefinita recta linea C D . atque centro C interuallo A B describatur arcus secans re mC D in puncta E ; erit recta C E illa , quae petitur . Demonstratio. Ex solutione patet A B, C E : sed etiam C E est recta linea posita ad punctum C : ergo ad pum C posita est recta linea. C E aequalis datae re A B. Quod erat demonstrandum c
DUM- datis νια lineis minorem eae maiori auferre.-Data sit recta C U& altera mitior A B, Oporteat ex maiori C D,minorem A B auferre,atque inuenire residuum E Da. Solutio. Interuallo AB, centro C describatur arcus se cans rerum C D in puncto E : eritrecta E D. illa, quae re . manet post ablationem , sue quae petitur . . Demonstratio Ex solutione patet, C D -C E π: E D: sed etiam patet AB CE : erso. CD AB E D. . Quod erat demonstrandum
SI δερ triausti duo tu eradmbus lateribus aequalia habeant,
utrumque utrique et habeant vera angulum angulo aequalem sub aequalibus lauribus ranuntum , . basim basi aequalem habdunt, eritque totum triangulum aquale triangulo , γ' a guti correspondentes qualibus lateribus aequatis erunt .i' sint duo triangula ABC,NDER atque C A - E Ditem
84쪽
'Dico tertio uiangulum A B C metriangulo D E F Demonstratur prima de secunda pars. Per hypothesim C A ra E D: item B A FDr ergo C A ad ED B Aad F D: atqui etiam per hypothesim angulus C A B ra angulo EDF: ergo per. theor. I. partis a.ddeae, triangulum C A B est simile triangulo E D F: ergo C B ad E F ra C A ad E D, de insuper angulus C m angulo E , item angulus, B angulo F:sed per hypothesim C A ED: ergo etiam C B m EF , & insuper angulus Cis angulo E, item angulus B ποῦ angulo F. Vt in prima, secunda parte asseritur Constructio pro tertia parte. Ductae snt rectae A X&D Z perpendiculares ad rectas . C B, M E F, .atque: ipsis productis si opussierit )Dccurrentes in punctis X de Z . Demonstratur tertia. pars-Per secundam partem angulus Fig C A ra E Dergo A X 'D Z: sed per primam partem etiam C B EF:ergo CB in X A. ductu a. dies E F in Z Dductu 3 : atqui C B in X Ac ductu a dies triangulo A C B :ilem EF in Zi ductu 3.-triangulo D EF: ergo rriangulum ACBra triangulo DEF. Vt asseritur in tertia
Parte. C m angulo E: sed etiam angulus. B X .m angulo E Z D, cum uterque per constriactionem rectus sitiergo per theor. F.
85쪽
I Saselium triangulorum , qui ad basiis sunt augustinterfesunt aequales, oe productis qualibus lateribus, basi sunt anguli inter se uni AEquales .
In triangulo A B C latus A B ra lateri A C , sitque latus A B productum in Z, de similiter latus A C productum
sit in X. Dico primo, angulum A B C di: angulo A C B. - Dico secundo, angulum Z BC mangulo XCB. Constructio. Duba sit recta A D occurrens basi in D, ita ut BD DC.Demonstratur prima pars. Per hypothesim, vel constructionem in triangulis B D A, & C D A, latus B A-lateri A C, item latus B D m lateri D C, denique latus D Am lateri D A, est enim idem latus commune utrique triangulo: ergo per theor. partis Ideae triangulum BD A. est simile triangulo C D A: ergo angulus A B D-angulo A C D, sue quod idem est angulus A B C π: angulo
A C B. Vt asseritur in prima parte . ii Demonstratur secunda pars. Per theor. 2. partis 3. Ideae angulus ABC ZBC duobus rectis angulis, Se etiam angulus ACB, XC Bra duobus rectis angulis: ergo angulus ABC ZBC:α angulo A C B XC B: sed per primam partem angulus ABC- angulo A C B: ergo etiam angulus L B C angulo X C L . Vt asseritur in se.
86쪽
Elementorum Euclidis. 8 rTheorema III. Propositio VI.
SI tria guli duo auuli AEquales inter se fuerint oe ab
ualibus angulis subtensa latera inter feaei ualia erunt In triangulo. ABC angulas AZ C sit aequalis angulo ACB. Dico latus B A aequari lateri A C . Constructio. Recta AD perpendicularis ad BC illi occurrat in D . Demonstratio. Per hypothesim angulus A B D m angulo A C sed . etiam ex constructione patet angulum BD A-angulo CD A: ergo per theor. I. partis 3. Ideae triangulum ΒΙ A est simile triangulo C D A: ergo B Aia AC m AD ad AD : se L patet AD AD : eQq etiam B A A C. Quod erat demonstrandum ..
SI ιν earim recta linea duatas eisdem rectis lineis alia duae recta linea aequales , alterariteri,non constituetur ad aliud atque aliud punctum area dem partes , eosdem, quos Erima re
cta linea , terminos halentes..
Ex punctis B , de C rectae B C ductae sint duae rectae B i&C A concurrentes in puncto A, praeterea ad eamdem partem re, B C duae rectae B X, S: CX concurrant in puncto X ; denique B A de B X sint inter se aequales , & etiam C A & C X inter se aequales sint. Dico punctum A non esse diuersum a puncto X .L De.
87쪽
Demonstratio. Per hypothesim in triangulis BAC,&BXC, recta B A mBX, item C A CX, denique BC BC: ergo BA ad B Xm C A ad CXHi BC ad B C: ergo per theor. s. partis Ideae triangulum B AC est simile triangulo B X C et ergo angulus C d A M: angulo C B X: sed etiam per hypothesim lineae B A B X sunt ad eamdem partem rectae B C: ergo per theor. r. partis 3. Ideae puncta B, A, X sunt in eadem recta linea: atqui per hypothesim B A B X: ergo puncta A, de X non sunt diuersa . Quod erat demonstrandum.
SI duo triangula duo latera habuerint Lubus Ialιribus aqua lia utrumque utrique, habuerint vero oe basim basiaequa lem: angulum quoque sub aequuibus rectis lineis contentum angulo aequalem habebunt .
Sint duo triangula A C B, & D E F, atque C A-E D, item A B F D, denique C B, E F. Dico angulum C A B m angulo E D F, item angulum A C B m angulo D E F, ac denique Engulum C B A angulo E F D . Demonstratio. Per hypythesim C A ra E D , item A B-F D, denique C B ra E F : ergo CA MED AB ad FD CB ad EFr ergo per thlior. s. partis 3-Id triangulum A C B est simile triangulo D E F, ergo angulus C A B ra angulo E D F,item angulus A C B m angulo D E F, ac denique angulus C B A m angulo E F Qtag
88쪽
Elementorum Euclidis. Problema IV. Propositio IX.
Datum angulum rectilineum bifaria ecare . Datus sit angulus rectilineus B A C. Opporteat ducere rectam A F, ita ut angulus B A F mangulo CA F. Solutio. Centro A, atque eodem interuallo describam Fig. tur duo arcus, quorum unus rectam AB secet in puncto D, alter rectam A C secet in puncto E. Rursus centro Ddes.cribatur aliquis arcus, quem eodem interuallo, atque centro B descriptus arcus intersecet in puncto F. Denique ducatur: recta A F; sic enim habebitur quaesitum . Constructio. Ductae sint rectae D F ,& E F. Demonstratio. Ex solutione patet A D m A E, item D F αα E F, ac denique A F-A F: ergo A D ad A f αα DF ad EF isti AF ad AF: ergo per theor. I. pari. 3. Ideae triangulum D AF est simile triangulo E A Fr ergo angulus D A F αα angulo E A F, adeoque angulus B A Fangulo CA F. Quod erat demonsti andum.
Data sit recta A B. Opporteat inuenire eius punctum D, ita ut A D aduetur DB. I
Solutio. Centro A describatur arcus , quem centro B, atque eodem interuallo descriptus arcus secet in puncto C. L 1 Rur-
89쪽
Rursus centro A cescribatur arcus, quem eodem interuallo descriptus arcus secet in puncto F diuerse a puncto C. De nique per inuenta puncta C & F ducatur recta linea ; haec occurret rectae AB in puncto D quaesito, eritque AD
aequalis ipsi DConstructio. Ductae sint rectae E A, C B, A F, B F.
Demonstratio. Ex selutione patet C A m C B , item . AF BF, ac deniq; C F-C Fr ergo CA ad CB α AF ad BF. ni CF ad CF: ergo per theor. 3- partis 3 . Ideae triangulum F C A est simile triangulo F C B : ergo angu- Ius F C A angulo F C B, hoc est angulus D C A. a gulo D C Be sed etiam C A ad CB CD ad CD, cum per solutionem C A C B : ergo per theor. F. partis 3. Ideae triangulum A C D est simile triangulo B C D: ergo AD ad DB-D C-D C : sed D C αα D CG ergo A Dm DB. oderat demonstrandum.
Data redia linea, a puncto in ea dato ad rectos angulos M
ἡ Datast recta linea AB , atque in illa datum sit pun
istum C . Opporteat ex puncto C, ducere rectanarineam CF perpendicularem ad rectam AB. Solutio. . Centro C eodem interuallo describantur duo arcus, quorum unus in puncto D, alter in puncto Esecet lineam AB. Rursus centro D describatur arcus intersecans arcum centro E, atq, eodem inici uallo descriptum in puncto
90쪽
puncto F. Denique ducatur recta FC ; erit FC perpendieularis quaesita. Demonstratio . Ductis rectis F D, & F E. Ex solutione patet FD FE, item DCV ECr atqui CF CF ergo FD ad FE DC ad CES: CF ad CF r ergo pertiaeor. F. partis 3. Ideae triangulum DCF est simile triana gulo E C F : ergo angulus D C F-angulo E C F: sed per theor. 3. partis 3. Ideae angussus DCF ECFra duobus rectis angulis: ergo angulus D C F est rectus,adeoque linea
CF est perpendiculatis ad lineam DE, siue AB. Quod
SVper datavr rectam lineam a dato puncto , quod in ea non est perpendicularem rectam ducere. Data sit rccta linea AB, extra quam datum si punctum C non indirectum cum recta AB..Opporteat ex puncto C ducere rectam C D perpendicii- larem ad rectam A v . Solutio. Cum per hypothesm punctum C non si in directum cum linea A B patet punctum C esse ad unam partem rectae AB. Itaque in opposta parte rectae A B centro A interuallo A C describatur arcus, quem alius arcus centro B interuallo BC intersecet in puncto F. Denique ducatur recta linea CF, haec erit perpendicularis ad rectam AB. Constructio. Cum puncta C, & F snt ad oppustas par-
tes rectae A B patet re Lm A B productam i opus fuerit) intersecari in aliquo puncto a recta C F ; itaque punctum D