장음표시 사용
131쪽
116 Epist. VI. Liber secundus Problema I. Propositio XI.
Datam rectam linea ecare,ita ut quod tota,m altera parte continetur rectauulum qualesit ei, quod a reliqua paWi fit, quadrato . Sit data recta AB.
Oporteat illam secare in puncto Q ita ut AB ad AAC ad CB.
Solutio. Per prop. II. lib. r. hic, ducatur recta AD, quae sit perpendicularis ad AB, ita ut AD st dimidia BA. Deinde ducta recta B D per prop. a. lib. r. hic, ex recta A B abscindatur recta A C aequalis disserentiae recta- . rtim DB, & DA.Erit AB ad AC AC ad C B. Demonstratio habetur prop. Iq. de incommensurabilibus epist. q.
IN . t angulis triangulis , quod a latere oti uin angulum subtende ite fit quadratum maius es quam quadrata , quastaut a lateri;us ouetusum angulum continentitas , rectangulo contento bis uno laterum , quae sunt circa obtusum angulum , in quod scilicet productum, perpendicularis cadit, o linea assumpta exterius a perpendiculari ad angulum oltu m.
In triangulo A DC angulus D rectus sit, atque recta A' B occurrat rectae D C in puncto B. Dico ACEDemonstratio. Per prop. q. hic, CB BDq; BDr.
132쪽
Si placeret hoc theorema uniuersalius proponere, ac demonstrare, posset dici. Qualescunque sint quantitates A GA B, A D, C B, B D, ita tamen ut AC a ADLet 'CB B D 1 ; item AB r AD 2 DBi, verum erit , quod AC a AB L fBCLei CBiu ΣBD. In hunc modum propositi theorematis demonstratio habetur si in allata demonstratione citetur hypothesis, ubi modo citatur Prop. 67. libri praecedentis .
IN Muta gulis triangum; quod a litere acutum angusum fiat ud ut si quia tum , minus est quam quadrata quae
sunt alateribus acutum angulum continentius, recta gulo co tento bis etno laterum , qua sunt circa acutum angulum, tu quod perpendicularis cadit , . linea a perpendiculari intur as praad angulum acutum.
133쪽
C Da:sed per prop. 7.lib.praecedentis etiam AC et D Aal CDα et ergo AC 2 BAα CBια-CLinet DB Qiod erat demonstrandum. si placeret ,hoc theorema uniuersalius proponere/d monstrare, dici posset . Qualescunque sint quantitates A C - A B, A D, CD, B ita tamen ut AC a m CD 27 DA 1ει insuper B Azm BD et D A r, ac denique C B m C D B . Verum erit, quod AC zm CBal BAaet -- CD in x BD . Pro cuius demoniliatione sussicit in praeceden-.ti discursu citare hypothesin, ubi citatur propositio ε'libriii 'cedentis ..
Daia rectilineo aquale quadratum constituere'.-Data sit figura X rectis lineis terminata. Oporteat describere quadratum Z aequale fgurae X. . solutio . Primo per prop. ψα. libri praecedentis describa turrectangulum AB CD aequale figurae X.-Deinde producatur recta BC usque in F, ut C D CE, &perprop. Io. libri praecedentis recta BΕ secetur bifulam in F . Tertio centio F radio FB describatur seinicirculus, cui P
134쪽
- ducta oce rat in puncto H. Denique perprop. c. libri praecedentis supra rectam CH describatur quadratum Z. Erit Z quadratum, quod petitur. Demonstratio. Per theor. I o. partis 3. Ideat BC ad C Hα CH ad CB : sed CE CD: ergo BCadcH αα CH ad C D:ergo per axioma 3 .partis 3 .Ideae,BC in C D αCHL: sed B C in C D ra rectangulo ABC; item C H h m qu drato facto supra C H, hoc est quadrato Z a ergo rectangulum ABC- quadrato Z:sed etiam figura X rectangulo ABC: ergo sigura X uadrato Z.. Quod erat demouistrandum.
FRANCISCVS ZECCADOR va'RI. EGIDIO FRANCISCO DE GOTTIGMEs
etatis S. ON omnino sterilis, aut otio tantum silet ictando condiae nia clara in me sitim incendit animaduertendi, quo pacto materiem de quantitatibus expertibus communi mensura pertractet Logistica tua,Ariadnae, videlicet stamen , cuius ductu Matheseos tuto labyrinthum ingredimur. Quoniam vero tua meth do, compendiaria videlicet via, huiusce scientiae fines ingressus, iniquo prorsus animo conquiescebam in iis demonstrationibus, quas grauissimi caeteroqui, ac nostrae pene faculta
135쪽
13 o Epist. VII. Liber septimus
tis Antistites, Euclidis interpretes Merunt in libris ad Arithmeticam pertinentibus: ausus fueram .ex his libris aliquos . nisi praesuntioribus, mihi certe magis arridentibus demonstrationibus illustrare. Arduam, secus ac vinabar, prouinciam expertus sum; in animum enim iud eram , elementares veritates multo faciliori negotio demonstrari posse, quam sublimiora Apollony Pergaei cogitata, ex quibus plura Se- legeram exercitationis gratia inserenda ex iis, quae aradis in ture Logisticae Idea . An igitur magis pronus est,inquiebam, adytus ad arcana, Sc quasi Sacrarium , quam ad ipsum M theseos limen φ Cum ita fluctuarem animo, illa suborta est
cogitatio, non ex ipsa rei natura Conicas Persari Sectiones
obuias mihi, ει quasi expositas visas fuisse, sed ex tramite, ut ita dicam, acclivi, & nihil salebrose ad huiusmodi doctrinae paenetralia, strato in tuae Logisticae Ideae huiusmodi vero semitam minime recludi ducentem ad inuestiganda illa, quae vulgarium numerorum propria quodamodo sunt, aut illis a' tantur, ita ut ad alias quantitates non aeque pertineant, aut demum ius tantummodb nunquam conueniant, 'licet in alijs siue continuis, siue discretis quai titatibus inueniripossint Ad haec autem proprietatum g sera spectare videbantur illa, quae hi molestaprae caeteris in Euclidis elementis accidebant a Quamobrem studium me caeperat, aliquam ex his, ac praesertim celebritate clariorem propositionem videndi expuGnatam , t ex ea docerer artificium, quo reliquas superarem - lileque me sesellit consilium meum;postquam enim avidissimis, ut omnia tua,surpanda oculis exhibuisti theo- romata quaedam de quantitatibus communi mensura carentibus, videor mihi satis feliciter in i)s, quae demonstrare insti
136쪽
tuerant, elaborasse . Verum an fausta mihi cesserit alea , ecte nosse ambio 3 ideo tue ex pluribus septimumEuclideorum elamentorum librum, aliorum, quos perindedemonstraui , iudicio tuo specimen subiici , ut si albo hie a te calaulo donetur, spem lucis reliquis faciat , si nigram illi noIaminur cum caeteris delitescat
Logistidis discursibus demoestiri
minor de malaxfalternas quadam, detractione 3; neq- reli suus, unquam metiatum praetredentem,quod Memums ad riniamtatem: primi inter se erunt dati numerria R. T. Sihi
137쪽
Sint duo numerivulgares integri A 5c B : atque numerus A sit maior numero B. Deinde diuidendo Aper B producatur integer F, atque pro residuo remaneat integer C. Rumius priorem diuisorem B diuidendo per inuentum residuum Cproducatur integer G, atque pro residuo remaneat integer D. Denique, hoc ordine, in diuisione adhibitum diuisorem diuidendo per residuum, eiusdem diuisionis, continuando
diuisiones ,randinia pro residuo remaneat unitas Dico numeros. A N B. non habere communem: mens ram diuersam ab unitate.
Constructio. γ-F ' C: item G ' D stem δ
Κ ' E : item --Pla .Praeterea quiuisnumerus,qui metitur AN B, sit X. Demonstratio . Per constr. ρ F ' C ': ergo - C .m F: ergo A C B in F : sed per constr. X metitur B , adeoque per .axiomari metitu BisF : ergo X.metitiar A. C: sed etiam per constr. X metitur A: ergo per 2. axioma X metitur C. Rursus, quoniam per construci ἴ
in K: sed prius ostensum est X metiri madeoque per axa iOma X metiri Diu Κ : erg9 X metitur C . E : atqui etiam ostensum est X metiri Ce ergo per x. axioma X metitur E. Rursus per constri I Ρ' ν ι ergo P I P : ergo D -- r-: sed quoniam ostensum est X metiri B , etiam per 3 .axioma X metitur B in Paergo X metitur D -- rased
138쪽
sed iamdemonstratum est X metiri D 2 ergo X metitur 1 vergo X, vel est unitas, vel minor unitate: ergo X non est numerus integer diuersus ab unitate: sed per constr.X est quiuis numerus, qui est mensura A & B : ergo nullus numerus, integer ab unitate diuersus metitur AN D: ergo A de Rnon habent communem mensuram diuersam ab unitate , Quod erat demonstrandum..
HInc sic ilo patet,. quod si numeri A&B habeant ali
quam communem mensuram diuersam ab unitate; tandem ad illam deuenietur continuando diuisiones ordine praescripto in propositione . Etenim si ad nullum talem numerum perueniatur, etiam nullam talem mensiiram habent: ea , si aliquametalemmenseram, habent, ad illam peruenie tur, atque tandem pro residuo habebitur ille numerus.
Obu umeris Zatis non primis inter se, maxumam ---' pum communem mensuram inuenire..
Dati sint duo numeri vulgares integri A & B, , qui ha beant communem mensuram diuersam ab unitate . . Oporteat inuenire maximun4- Vulgarem integrumi nu-merum, qui metiatur A N B . Solutio. Maiorem A diuidendo per minorem B produ-cat ut integer F, atque pro residuo remaneat integer C. Rusesus priorem diuisorem B diuidendo per residuum C produca
139쪽
tur integer a atque pro residuo remaneat integer D. Denique , hoc ordine, in diuisione adhibitum diuisorem dilaide do per residuum eiusdem diuisioniis,continuentur diiuisiones, donec nullum remaneat residuum: atque diuiser husus vitia mae diuisionis, exqua nullam remanet residuum, sit vulgaris integer Eia Dico, numerorum maxi-m coin munem menseram esse E-
Demonstrati o - Per hypod numeri A & R habent communem nrenseram diuersam ab unitate tergo, percorollaria proposi r. praestripto ordine continuando diuisiones , ta diem deuenietur ad aliqueindi uiserem, E, qui mittat: maioτst, & nussum relinquat residuunt. Itaque P FfQ itemm GJ D; stem 2 Κ' E;denique a L,Se nullum re
140쪽
ixioria E metitur Cin G ; hoc est B- D: sed etiam ostensum est E metiri Detergo per L. axioma E metitur B, adeoque per 3. axioma E metitur B inF όhoc est A - Cised ostensum est E metiri Cet ergo per a. axioma Emetitur Arigitur constat E metiri Α Β , adeoque esse communem
mensuram A & B: sed quoniam ostensum est Z qui per
constr. est maxima communis mensura A&BJ metiri E, patet Ε non esse minorem maxima communi mensura Ascra aergo E est maximacommunis mensura numerorum A B Quod erat demonstrandum
HIncpatet, quod si numerus Z sit maxima communis mcnsura numerorum in te B, quilibet numerus X, qui metitur A & B, etiam metitur Z. Etenim .cumler hyrol. X metiatur A N B , , ordine praescripto in proositione αontinuando diuisones, per Corollari propoc a .tandem de uenieturia diuisionem , in qua X est diuisor, Be nudium remanet residuum: sed etiamPer .hypoti deuenitur ad diuisi mem, in qua diuisorestZ , de nullum remanet diuisionis res duum a ergo ordine praedicto continuando diuisiones; peruenitur, tum ad diuisonem , in qua Z est diuisor, nullum remanet resduum tum etiam ad diuisionem; in qua X est diuisor nullumqueremanet residuum: sed GrdinePraescrip to continuandodiuisones , prius inccurrit diuisio, in qua Z est diuisor, cum sit prima,in qua nullum remaneat residuum et ergo ordine praescripto continuando diuisiones, ex diuisone, in qua Z est diuisor , perueniturad diuisionem , in qua X est