장음표시 사용
111쪽
D EF Lada: ergo per theor. 3. cap. r. partis s. Ideae triangulum ABC ad triangulum D EF habet rationem compositam ex quatuor rationibus, quarum una est I ad 1, altera est i ad x, tertia est x ad 2, quarta est 2 ad 1: sed ex probi. 3. cap. 3. partis q. Idear,haec ratio composita raratio, ni I ad I: ergo triangulum, ABC ad triangulum DEPza I ad I: atqui I I: ergo trangulum ABC triangulo DEF. Quod erat demonstrantum .
Theorema XXIX. Propositio XXXIX
TRiangula qualia in eadem ad easdem partesconstituta , io eisdem quo pιe sunt pari altilis Hoc theorema est pars immediate subsequentis theore malis,quemadmodum theorema rus est pars theorematis
TR ianguti . Iualia aequalibus inad ea eis partes constituta, in eisdem quoque funt parallelis . Triangulum ABC sit aequale triangulo DEF,. praeterea bases AB M D E sint in directum, siue positae in eadem recta linea AE , atque triangula ABC, et D EF cadant ad eamdem partem rectae A si , denique ducta sit recta C F. Dico rectam C F esse parallelam rectae AB. Constructio Altitudo trianguli ABC sit C X: item altitudo trianguli D E F sit F L.
Demonstratio. Per theor. 3. cap. a. partis F.Ideae triaἡ-gulum A B C ad triangulum D E F habct rationem compositam
112쪽
positam ex quatuor rationibus quaru una AB ad D E,altera C X-F Z,tertia ductus ex quo producitur triangulu ABC ad ductum primum, quarta ductus primi ad ductum ex quo producitur triangulu D E F:sed per hypothesim ratio AB ad D E m 1 ad 1:ite ratio ductus ex quo producitur triangulum A B C-ductum primum ad 2 : item ratio ductus priami ad ductum ex quo producitur triangulum D E F Σad i: ergo triangulum ABC ad triangulum D E F habet rationem compositam ex quatuor rationibus , quarum una est 1 ad a, altera C X ad F Z , tertia est rad x, quarta est Σad i : sed etiam per hypothesim ratio trianguli ABC ad triangulum DE F αα a ad i : ergo ratio composita ex rationibus i ad a, item 1 ad 2 , item E ad a, item C X ad F Zeta rationi r ad et: atqui per probi, 3- cap. 3. partis q. Ideae, ratio composita ex rationibus 1 ad 1 , item et ada , item Σad i, item C X ad F Z rationi C X ad F Z : ergo C X ad F Z αα i ad i: sed i i: ergo C X F Z : atqui per constructionem C X est distantia puncti C a recta A E,item F Z est distantia puncti F ab eadem recta A E : ergo puncta C & F aequaliter distant ab eadem recta A E : igitur rectae C F se A E sunt parallelae inter se . Quod erat demonstrandum.
Theorema XXXI. Propositio XLI.
SI parallelograminum , Or triangulum eamdemia ha leant , in eisdemque sint parallelis ; parallelogramnium trianguli duplum erit . Parallelograminum X, de triangulum Z habeant bases O 1 AB,
113쪽
A B , S E F inter se aequales , &praeterea altitudo parallelo
si amnii X sit aequalis altitudini trianguli Z. Dico parallelogrammum Xese duplum trianguli Z. Demonstratio . Per hypothesim basis A B ad basim E F1 ad 1: item altitudo parallelogramini X ad altitudinem . trianguli E I ad 1: praeterea ductus ex quo producitur parallelograminum X ad ductuna primum m I ada et denique ductus primus adductum ex quo producitur triangulum L m x ad I : ergo per theor. 3. cap. I. partis s. ideae parallelograminum X ad triangulum Z habet rationem compos tam ex quatuor rationibus quaruna una est i ad a, estera et adi , tertia et ad 1 , quarta a ad 1; sed per probi. 3 cap. 3. partis q. Ideae haec ratio composita τα rationi 2 ad 1: ergo parallelogrammum X ad triangulum Z m 1 ad 14 sed a in duplum I: ergo parallelograminum X est duplum trianguli L. Quod erat demonstrandum,
Problema XI. Propositio XLILD Zisi iri inguis quale parallelogrammum constituere in
- Sit datum triangulum ABC, & praeterea ductus sic a gulus Κ: denique datae sint duae lectae lineae X, de L. Opporteat construere parallelograminum E F GH, ita ut angulus H E F angulo Κ, & praeterea parallelogrammuni E F G H adtriangulum A B C-X ad Z. Solutio. In uno latere anguli Κ per probi. 2. hic, notentur puncta L,&M, ita ut KL X, & ΚMma Z. In altero vero latero anguli K notatur punctum P , ita ut ΚPm AB,
114쪽
AB; atque ducta recta Lo per probi. Io. hic, ducatur recta M P parallela rectae Lo occurrens lateri K P in puncto O. Deinde in recta A B producta abscindatur Ε Faequalis K O, &per probi. hic, iat angulus H E F aequatis angulo K. Denique per probi. io. hi ponatur recta b G parallela rectae E H;&altera recta ipsi AF parallelae tra C occurrat recta E H in puncto H, & retiae FG in puncto G. Erit figura EFGH parallelograminum, quod petebatur. QPlacuit hoc problema uniae fanus proponere, quam ab Euclidae proponatur , mi aluuo modo increatur locum , quem obtianet 3 praesertim cum solutis nultam a praecedentitus diue sum problema retuirat,atque demonstratis haleatur ex Lον sticae theorematisus tu praecedentium propositionum
Demonstratio . Per solutionem recta M Ρ inparalles Tectae L O: ergo per theor. q. partis 3.Ideae angulus Κ M P αα angulo Κ L O: item angulus Κ P M m angulo Κ O L: ergo per th r. s. partis 3. Ideae triangulum Κ M P est simiale triangulo ΚLO: ergo KL ad Κ M :πΚO ad K P: sed Usolutionem patet KLa KΜmXαἰαZ, item Koad K P EF ad AB: ergo EF ad AB Xada Z: Iam vero per tueor. 3. partis r. ideae, parallelograminum EG. v S i, bet rationem compositam ex basi ad basim AB, item ex altitudine parallelogrammi EGad altitudinem trianguli ABC, item ex ductu ex quo producitur parallelogranaum E G aiaductum primum, οῦ deniq; ex ducto primo adductum ex quo producitur triangulum ABC:
115쪽
AB C : sed iam ostensum est EF ad AB a Xa a Z: item, quia inter casdem parallelas sunt, patet altitudinem parallet grammi ad altitudinem trianguli item diustus ex quo parallelograminum E G producitur adductum primum ada : ac denique ductus primus adductum, ex quo producitur triangulum A B C Σ 1:ergoparallelograminum FG ad triangulum ABC habet rationem compositam ex rationibus Xa EZ, item radet, item I ada , item Ladia sed per probi. cap. 3. partis . Idear haec ratio composita rationi X ad La ergo parallelo grammum E G ad triangulum AB C m N il Z. Quod
Theorema XXXII. Propositio XLIII
OA uis pareallelogrammi eorum , quae circa diametrum sunt, parauelogram' rum funismenia inter se
Parallelogrammi A BCD diameter A C, quam in eodem puncto E secent duae rectae F G, HI, quarum prior sit parallela rectae AB occurrens rectis A D&BC in pumctis F, S: G, altera vero HI sit parallela rectae B C,atque o currat rectis A B, se DC in punctis H, 5e I. Dico parallelograminum E D m parallelogrammo E B Demonstratio. Per prop. 34. hic, triangulum AC Dm triangulo AC Britem triangulum A BF triangulo A E H : ac denique triangulum L CI triangulo L C Grergo triangulum A CD, AE F - ECI triangulo ACB-AEH- ECGr atqui triangulum ACD-
116쪽
A E F -- E CI α parallelogramnio E D: item triangulum. A C B A L H - E C G parallelogrammo E B : ergo parallelograminum E D parallelogramino E B . Quoiuerat demonstrandum
A Pii tam riatim lineam data triangulo aequale parallelograwmum applicare- P et Sit datum triangulum AB C, & recta E F, praeterea datus sit angulas Κ , &rectae lineae Opporteat supra rectam. EF describere parallelogram-mum F H, ita ut parallelograminum F His triangulumi A B C habeat proportionem, quam recta. X habed ad re
Solutio. Per probi. i v. sipra rectam E F productam, si opus fuerit, sat parallelograminum E MN O , ita ut angulus OE M M angulo Κ, A praeterea parallelograminum, EN ad triangulum A B C Z : Deinde ducatur recta. O F, quae producta s opus suerit occurrat rectae N M similiter productae in puncto D . Denique per probi. Io, hic, lucatur recta F G parallela rectae EO. Item per punctum D, ducatur recta H G parallela rectae EF, atque rectae OEproductae si opus fuerit, occurrens in puncto H. Denique rectae F G, S: O N productae, si opus fuerit, sibi occurrant in puncto EiitH GRO parallelograminum, quodpe
Demonstratio. Uel punctum F cadit intra puncta E, de M: vel punctum E cadit extra punctaE,&M . Si primum
117쪽
Fig.a per propositionem praecedentem F H F N : ergo utrinque& a 3. addendo idem parallelograminum E R, etiam F Η ' E Rm BR F Nised FH ER HGRO: item ER FNm B M N O: ergo parallelogrammum H G R O m parallelogrammo, E M N o: sed per solutionem parallelogramnium E M N O ad triangulum ABC m X ad Z : ergo etiam parallelograminum H GRO triangulum A B.C αα X-L: sed etiam ex selutione satis patet angulum Ε H G ra angulo K: item rectam H G A rectae E Ft igitur sepra rectam datam E F, vs quod idem est supra rectam H G datae rectae E F aequalem, constructum parallelogrammum H G RO habet angulam o H G aequalem angulo dato Κ,&praeterea parallelograminum illud H G R O ad triangulum ABC X ad L. Si autem punctum M cadat interr , puncta E N F: Rursus ex propositione praecedenti D R αD E H N ' D R m D E H N : sed. H N D I HGRO : item D E H N E M ergo parallelogrammum H G R O parallelogrammo E M N O atqui per solutionem parallelogrammum B M N O ad triangulum ABC XL: ergo parallelogrammum H G R Oad trians Iuni R IIC N ad L ; S iturum satis.mani filium. est angulum O H angulo Κ , atque etiam sectam H G m datae recta: E F. Quod erat demonstrandum
REIblinio dato in uase Igarallelogram ιm conshuere in data anguis rectis isso Fig. a 3 Data sit quaevis sagura planae, atque rectis lineis undique
118쪽
terminata exempli gratia figura A B C D: praeterea datus sieangulus K. Opporteat ficere parallelogrammum EFGH aequale datae figurae rectilineae, ita ut angulus EF G aequeturam Fig.27Solutio . Primo ex vertice anguli A ad singulos alios vertices angulorum,qui in data figura rectilinea inueniuntur, ducantur rectar lineae: atque ita data figura rectilinea diuid tur in triangula. Quo facto in exemplo proposito habentur duo triangula D A C, & C AB. Deinde assumendo pro libitu quamlibet rectam E F,per probi. I a. hic,supra rectam E F fiat parallelogrammum E FI L squale triangulo D C A, ita ut angulus E FI aequetur angulo K. Rursus per probi. I a. hic,supra rectam LI fiat parallelograminum LI G Haequale triangulo C A B, ita ut angulus L IC aequetur angulo Κ. Erit figura EFGH parallelosrammum, quod
Demonstratio. Ex selutio patet rectam Ε Fesse parallelam rectae LI: ergo per theor. 4. partis Ideae angulus
Ε FI f LIF ra duobus rectis angulis: sed angulus B FI mangulo LIG; quandoquidem singuli aequentur eidem amgulo Κ: ergo angulus LIGlLIF duobus rectis: ergo per theor. a. partis Ideae punera F, I, G, sint in directum , sue quod idem est lineae FI, & IG, constituunt unam rect lineam: similiter patet puncia E, L, H esse in directum: igitur c persilutionem FI &E L sint parallelae inter se
patet etiam F G, & E H esse rectas parallelas inter se: sed etiam rectae E F, & H G sunt parallelae inter se, quia per salutionem sunt parallelae eidem tertiae lineae LI: ergo figi
119쪽
ra B F G H est parallelograminum i ed quia persolutionem EFIL DCA, de insuper LI G H A CB, patet EFGH ABCD : ergo parallelogrammum EFGHm figurae ABCD: atqui per silutionem angulus E F Gm angulo K: ergo parallelogrammum E F G H aequatur figurae ABCD, & insuper habet angulum EFG aequalem anguloX . Quod erat demonstiandum.
Ata recta linea quadratum d scri re Sit data recta linea AB. Fie. a 8 Opporteat describere quadratum, cuius imum latus sit
AB Solutioia Expunctis A, et B per probi. 6. hic, ducantur rectae A Det BC, quae singulae sint perpendiculares ad rectam A B, atque ipsi aequales : Denique, ducatur recta D QErit figura AB C D qu atum; quod petitura Demonstratio. Cum per i conlauctionem singuli anguli A, et B recti sint patet angulum A B duobus rectis: ergo per aheor. 4. partis 3. Ideae lineae AD , et B C sunt parallelae inter se et sed quoniam per solutionem re A D, et BC sunt aequales inter se, et siligulae sunt per Visulare ad eamdem rectam AB, etiam AB est parallela ipsi DCrergo figura ABCD in paratalogrammum: ersoperprop. et 4 hic, angulus A ra angulo C et item angui us B angulo D: item recta AB rectat D C: atqui per solutionem anguli , A et B recti sunt, et insuper lineae D A,N C B ungulae aequentur rectae AB: ergo in parallelogrammo ABC
120쪽
singuli anguli recti sunt, et insuper singula latera sum intose aequaliae ergo figura. A B C J in quadratuiti, cuius unum. latus est AB. Quod erat demonstrandum .
Theorema XXIIL. Propositio XLVII.
rectangulis tria gulis , quod δει tendente describitur quadratum aequale est quadratis , q- , Iateribus retium angulum cantinenti defcribuntur. In triangulo AB C, angulus.ABC rectus sit. Fio. α. Dico quadratum AB simul. cum quadrato BC aequari
quadrato A C. -...constructO4. . Ducta sit recta perpendicularis ad
EVelidispropria litus est, quod 'ab aliis inuentas math maticas veritates colligendo, ordinando, augendo, composuerit elementorum libros suo inscriptos, nomine . . Thales Milesius praeter alias libri primi propositiones 3, I P 1 in-