장음표시 사용
91쪽
sit illud, in quo rei ta C F intersecat rectam A B , sintquς ductae rectae A C , C B, A F, B F. Demonstratio. Ex solutione patet AC ae AF, item BC BF, ac denique AB AB: ergo AC ad Albm BC ad BFiat AB ad AB: ergo per theor. s. partis Ideae,triangulum ABC est simile triangulo ABF: ergo angulus A B C π: angulo A B F , hoc est angulus D B Cm angulo D B F; sed etiam B C B F, item B D B in ergo per theor. s. partis s.Ideae uiangulum B D C est sim se triangulo B D F.: ergo angulus B D C m angulo B D Frsed etiam per theor. 3 .partis 3 .Ideae angulus B D C ' B DFm: duobus rectis angulis: ergo angulus B D C rectus est, adeoque linea CD, siue C F est pei pendicularis ad lineam D B , siue A B. Quod erat demonstrandum.
Theorema VI. Propositio XIII. i
CTm recta lineasuper rectam in D ess limam angulosfacit, aut duos rector, aut duobus rectis aequales faciet. Est prima pars theorematis a. partis 3. Ideae.
SI ad aliquam r/ctam lineam; atque ad eius punctum duae rectae lineae non ad easdem partes positae, angulos,qui dei ceps sunt, duobus rectis quales fecerint ; ipse recta lineae in diarcium Fbi inuicem erunt. Est secunda pars theorematis a. Partis 3. Ideae . Theo
92쪽
Elementorum Euclidis. 8 Theorema VIII Propositio XU.
SI dua recta linea sese inuicem fetuerint . a gulos , quiadis
uerticem sunt, interse aequam est cient.. Est theorema 3. partis 3. Ideae .
CViusumque trianguli uno latere produm externus an gulus rutrolibet interno, em opposito maior est. Trianguli AB C unum latus A C productum sit usiue sit. Ain D. Dico, angulum externum B C D esie maiorem quolibet ex duobus angulis vel B. Demonstratio . Per theor. 23. partis 3. Ideae angulus Α' Β' ACBm duobus rectis: sed per theor. a. partis 3. Ideae angulus BCD 'ACB:α duobus rectis angulis: ergo
i imque auferendo eundem angulum ACB, etiam angulus A l B angulo B C D : ergo angulus B C D est maior quolibet ex angulis A , vel B. Quod erat demon- mandum .
Viustumque tria guli diis auias simul smpti sunt m
Ex theor. 13. panis 3. Ideae coestir , quod cuiuscumque trianguli
93쪽
trianguli tres anguli simul aequentur duobus rectis angulis: ergo duo simul sunt minores duobus rectis .
Theorema XI. Propositio XVIII.
O Mnis trianguli maius titus maiorem angulum sustenssit In triangulo ABC latus A C sit maius quolibet ex rig.to duobus lateribus AB ,& B C. Dico, angulum ABC elli maiorem quolibet exduobus angulis A, & C. Construcilio . In recta A G notatum si punctium D ita ut AC ad BC - BC ad CD, sitque ducia recta BD. Demonstratio. Per hypothesim AC est maior, quam B C :. sed per constructionem AC ad BC BC ad CD: ergo etiam A C est maior, quam C D: ergo punctum D cadit intra puncta A& C et ergo recta B D cadit intra rectasA B, MC B t ergo angulus A B C est maior angulo D B C: sed quoniam per constructionem AC ad CB CB ad CD M angulua C est. communis per theor. 3, partis 3.Idea triangulum ABC est simile triangulo BDC, adeoque angulus A τα angulo DBC: ergo angulus ABC est maior angulo A.. similiter pater, angulum ABG esse maiorem angulo C, si per constructionem. ponatur AC ad AB AB ad AD.
94쪽
Et entorum Euclidis. 8'Theorema XII. Propositio XIX.
ostiis trianguli maior angulus a maiori latere subtodi
In triangulo ABC angulus ABC sit maior quolibet Tia ex angatis A, Se C. Dico latus AC esse maius quolibet ex reliquis lateribus AB, Se BC. Constructio. Ex puncto B dii,sta sit recta linea B D o currens rectae A C in plincto D, ita ut angulus D B C-angulo B A C Demonstratio. Per hypotliesim angusus A B C est maior angulo B A C: sed per constructionem angulus D B Cm angulo B AC: ergo angulus ABC est maior angulo D B C: ergo recta B D cadit intra rectas A B, & B adeoque recta A C est maior, quam recta D C: sed quoniamPer constructionem angulus D B C m angulo A, & inseper an gulus C est communis per theor. 3. partis 3- Ideae triangulum ABC est smile triangulo BDC, adeoqtie AC ad CB BC ad DC: ergo ex tribus lineis proportionalibus A C, C B, D C, prima A C maior est ultima D C, adeoque etiam prima A C est maior media C B . Simili plane discursu euincitur lineam AC esse malo rem linea A B, si per constructionem angulus DBA Ponatur aequalisangulo α
95쪽
Epist. VI. Liber primus Theorema XIIL Propositio XX
OMnit trianguli sitielibet duas latera simul sumpta ria
Dico lineas. C B, 5e A B. simul sumptas. esse maiores linea AC.. si prudenter dubitari potest de veritate theorematis, pro ut ab Euclide proponitur , cene dubitari non potest. , nisi de duobus minoribus .lateribus ,.an simul, . reliquo , .atque maiori latere maiora snt 3. Qua de causa, ad hunc casum volui restringere theorema, quod' in alijs. casibus ex ipsis terminis. plataeuidens demonstrabile. non videtur.
Constructio. Centro C radio A C descriptus sit arcus, qui rectae C B productae occurrat in puncto D, sitque ducta recta DA . Demonstratio- Per constructionem AC m C D : sed per hypothesim A C est maior B C : ergo C D est maior,quam BC: ergo AB cadit inter rectas A D& AC: em' angulus D A C est maior anghlo D A B: sed per consti uctionem, bc propositionem s.hic tiam angulus D A C mangulo A DC: ergo angulus A D C est maior angulo D A B: ergo per propositionem piaecedemem linea AB est maior, quam linea D B et ergo C B A B est maior . quam C B D B : sed CBl DBra CD ala A C, ut patet ex constructione: ergo CB, AB est maior, quam AC. Quod erat demon-sbandum .
96쪽
SI supre trisuuli una utere ab extremitatitardua recta I nea ducta fuerint , qua interius iungamur ; Lelinea rei
quis trianguli duobus lateribus minores erunt, minorem vero mingulum continebunt.
In triangulo ABC du sint duae linea rectae B D C D.intra triangulum concurrentes in punctoD.
Dico primo, rectas C D, & D B simul .sumptas esse minores rectis C A, de A B simul sumptis . Dico secundo, .angulum B D C esse maiorem angulo B AC. Contaictio pro prima parte. Recta BD producta oc- currat rectae C A in puncto E. Demonstratur prima pars . Quoniam per hypothesim punctum D cadit intra triangulum A B C, patet D B esse minorem, quam E B: sed per propositionem Lo. hic, C Dest minor, quam C E J .E D: ergo C D D B est minor , quam C EJ ED ' DB hoc est CE iEB: Rursus ex hypothesi, di constructione satis constat C E esse minorem quam C A et sed per propositionem ao. hic etiam E B est minor, quam E A J A B: ergo C E l B B est minor,quam CE -EA A B, hoc est C A J- A B . 'Quoitiam igitur ostensum est C D ' D B esse minorem,quam E l E B, Minsuper etiam C Ε E B tesse minorem, quam C A A Rimanifestum est C D 4- D B esse minorem C A f A B. Vt asseritur in prima parte. Constructio pro secunda parte. Per puncta A MD du-Fig I M 1 M
97쪽
6ta recta occurrat rectae B C in puncto F.
Demonstratur secunda pars. Quoniam per hypothesim punctum D caait intra triangulum ABC, manifestum est, rectam A F cadere intra rectas A C Sc A B, adeoque angulum BD F F D C ra angulo BDC, item angulana B AF - FAC angulo B A C: sed quoniam perprop. 16. hic, angulus B D F est maior angulo B A F, & etiam angulus FDC est maior angulo FAC, etiam angulus B D Γ F DC est maior angulo B A F F AC:ergo angulus B D C est maior angulo B A C. Vt alseritur in secunda parte.
TRibus datis lineis., quarum duae simul tertia sint maiores
Datae sint tres nectae lineae R, X, Z, quarum quaelibet duaei siues snt maiores reliqua. Opporteat construere triangulum A B C ita ut A B-R, item A C X,denique B C Z. Solutio . Posita recta A B, quae si aequaris rectae R,centro A interuallo X describatur arcus, qui in puncto C intemsecet alium arcum centro B interuallo Z descriptum, ducanturque rectae A C, & B C, triangulum ABC erit illud, quod petitur. Constructio. Sit R illa ex datis tribus lineis', 'ua inter reliquas duas nulla maior. Deinde centro A interuallo X descriptus arcus occurrat rectae A B productae s opus fuerit) in puncto F, & centro B interuallo Z descriptus arcus occurrat rectae A Bi in puncto E.
98쪽
Demonstratio . Per hypothesim R non est minor quam X, vel Z : sed etiam per hypothesim R,A B, item X mAF, item Z-BE: ergo puncta E, F, non cadunt extra
rectam AB: sed quoniam per hypothesim R est minor quam X l Z, etiam A B est minor, quam A F ' B E, Mconsequenter B F est minor, quam B E: ergo puncta A & Esunt intra arcum centro A interuallo AF descriptum:atqui etiam puncta F&B sunt intra arcum centro B interuallo B E descriptum et igitur arcus centro A interuallo A F d scriptus, atque productus alicubi extra rectam AB occurrit arcui centro B interuallo B E destripto atque producto, Qui concursus vocatur C, Vt patet ex solutione: sed per axiomas. partis Idear talis arcuum concursus fit in unico puncto: ergo C est punctum extra lineam A B constitutum : ergo
lineae A B,B C, C A constituum, siuel terminant trians tum A B C: sed etiam ex solutione patet A B.-R , item A C X , item B C-Z : ergo triangulum ABC terminatur a tribus lineis aequalibus datis tribus lineis R, Z. od erat demonstrandum.
Problema IX. Propositio XXIII.
AD datam rectam lin am, datumque in ea punctum dato .grivis rectilineo aequalem constitu . . Vise τε Sit datus angulus M G H , dc recta aliqua linea A B , in qua notatum sit punctum C. Opporteat ex puncto C ducere rectam CD, ita nans lus D C B aequetur angulo M G H. Solutio. Centro G liueruallo G I ad libitum assumpto desin
99쪽
describatur arcus IK, rectae G M occurrens in puncto I, reis ctae vero GH occurrens in puncto Κ. Deinde eodem inisteruallo, atque centro C describatur alius arcus E L occurarens rectae AB in puncto E, praeterea interuallo X I eemtro E describatur arcus , qui arcum E L intersecet in F. Denique per puncta C N F ducatur recta C D, erit angulus DC B ille, qui petitur. Etenim ex solutione, de axiomate rI. partis a. Logisticae satis patet arcum KI : arcui EF, adeoque mensuras an gulorum DC B,&MGH inter se aequales esse, de cons quenter angulum D CB angulo M G H. Vt petebatur
rint alterum alteri, angulum autem angulo maiorem alui
aequaldus lineis cominuur ,-basim basi maiorem habebunt. Fig. Is In triangulis ABC,&DE F latus AB-lateri DE, item latus AC, lateri DF, denique angulus 'B AC . sit maior angulo E DF. Dico B C esse maiorem, quam E P.
Constructio.Angulus E D G-B A C , ita ut D F αD G ; atque ductae sint rectς EG, &FG. Demonstratio. Per constructionem D F-D G: ergo per prop. I. hic, etiam angulus DFG angulo D GFesed totus angulus D G F est maior partiali angulo E G Frergo angulus D F G est maior angulo E G F: atqui etiam totus angulus E F G est maior partiali angulo D F G: ergo angulus EFG est maior angulo EGF: ergo perprop. 19.
100쪽
hic, etiam latus E G est maius latere E F :sed quoniam per hypothesim, vel constructionem DG ra D F-A C, item D E m A B , & praeterea angulus E D Gm angulo B A Cperprop. q. hic,latus B C τα lateri EG: ergo latus BC est maius latere E F. Quod erat demonstrandii ..
, alterum aueri , basim vero maiorem ; 27' angvium angulo , qui aequalibus lateribus continetur , maiorem habebunt .
In triangulis ABC,S DEF, latus . A B lateri DE, si item latus AC,lateri. D F, denique latus, B C sit maius
Dico angulum B A C esse maiorem angula E D. Constructio. . Centro D interuallo D FI desinptui sit adicus H F occurrens rectae D E sproductis, si opus fuerit in puncto H. Praeterea postae sit rem. E G, aequalis rectae B C M atque arcui per. puncta H & F iam destripto occur- rem in puncto G .. Denique ducta sit recta D G. . Demonstratio Per hypothesin B C est maior, quam E F: sed. E G B C: ergo E G est maior quam E F: crgo centro E radio EF descriptus circulus, totus cadit intra circulum, centro Eradio E G descriptume ergo punctum G cadit extra. circulum, centro, E radio. E F descriptum: ergo arcus Id G est maior arcu H F : ergo angulus E D G est maior angulo E D Fr sed quoniam per hypost sm AC DF a D G, Se praeterea A B D Ε, ac denique per constructionem B E G per theor. s. partis a Meae