장음표시 사용
141쪽
diuisor , nisi sorte Z X: ergo per a. propos 'χ metitur X iquod iderniatet si Z X,
TRibur numeris datis non primus inter se maximam eorumcθmmunem mensuram inuenire
Dati sint tres numeri vulgares integri A, B, C.
Oporteat eorurn maximam communem mensuram imuenire is Solutio, Per propc G inueniatur X maxima mensura communis numerorum A; N B: deinde iterum per eamdem propositionem inueniatur Z maxima communis mensura numerorum X, S: C. l . Dico, Z elis maximam communem mensuram numer rum B, C.
Nota, quod si X metiaturC, tunc Z m X; si vero X non metiatur C, tunc Z non m X. Vtroque tamen casu X erit maxima communis mensura numerorum A, B, GDemonstratio. Per corollar. propc L. Omnis numerus, qui metitur A, te B, etiam metitur X maximam mensuram numerorum A,VB: ergo maximus numerus, qui metitur X est maxima communis mensura A, & B: ergo etiam maxumus numerus, qui metitur X, de . est maxima commu uis mensura numerorum A, B, C: sed per hypoti numerus Z est maximus numerus, qui metitur X, N C: ergo numerus Z est maxima communis mensura numerorum A, B, C. Quod
142쪽
Elementoriam Euclidis r 3 Theorema II. Propositio IV.
O unis 'us innis numeri, nituor misrisi vel parts, vel partes . Sint duo numeri vulgares integri. A, & quorum minor sit A; maior vero sit Bi Uel uniuersaliter . Qualescunque. eiusdem generis quantitates sint A, Mita tamen , ut A sit minor quam B. Dico , A esse partem aliquotant , vel aliquantam ipsius B.
Propositio patet ex terminis , cum quaelibet minor quantitas aliquoties sumpta praecise adaequet, vel non adaequet quamlibet maiorem ei dem Seneris quantitatem. . :
Theorema III. & IV. Propositio U. α VL
SI mm rus numeri pars fuerit, vel partes, cy ester alterius
eadem Iars , vel partes: et iam uterque viri lue eatim Fars , vel partes erit, quae etnus unius .
Sint numeri vulgares integri A, B, C, D, atque A ad Am C ad D: siue A metiatur B, & insuper C , metiatur D, siuὶ non . Vel uniuersaliter. inalescunq; eiusdem generis sint quantitates A,B, C D: ita tamen, ut A ad B C ad D. SDico
143쪽
138 Epist. VII. Liber septimus
I numerus numeri pars fuerit, velparte , quae allatus aua . ti , cr reliquus reluui eadem parsis vel partes erit , quo
Sint numeri vulgares integri A, B, C, Dp ita ut A ad Bra C ad D, siue in metiatur B, Sc . C metiatur .D, siue non;dummodost maior quam C,& B. sit maior quam D. Vel iuniueuatit . . Qualescunq; . eiusdem generis sint quantitates A, C, inita tamen , ut A ad B m C ad D. Dico, A.-C.HB- D m AMB.i tDemonstratio. Per hypoti A ad B Cia D: ergo perassen. a. theor. r. partis . . Idear LogiZA ad C : m B ad D:erso per asser. 4. Mai. ibidem A C ad B D m C ad D: sed A ad B C ad D: ergo Α - Cad B - D A ad Ba. Quod erat demonstrandum.
144쪽
SI numerus numeripars fuerit .vupartu auer alteriusi eadem par vel partes Detiam permutando, quae I ri st, mel paries primus tertj , ωdem pars, vel partes erit secundus quarti sint numeri vulgares integit A, C, D, ' atque A ad B C-D ; sues A metiatur N C metiatur D siue non VeIuniuersalitcr. Qualescunq; eiusdem generis sint quantitatem,B,CM : ita tamen , ut A ad Βαα C ad α' Dico , permutando A ad B ad D. Demonstritio patet ex theoremate G partis iidex LO-nsticae.
SI serris ut totus ait tuis, ista ablatur ad ablatum et in
reliquus ad reliquum erit, ut totus ad totum
Sint numen vulgares integri A, B, C, D; ita ut A ad B C ad D, atque A sit maior quam C; item B sit maior quam D. Uel uniuersiliter. Qualescunq; eiusdem generis quantitates sitit Assi, Dita tamen, ut A ad B C ad D. s 2 Dico
145쪽
Dico, A ,-D AMB. Demonstratio patet expropositionibus 7. de 3 uniuers ter propositis.
SI qu icunque numeri proportisniles fuerint, ut unus an
tue lentium ad unum confluentium,ita eruntomnes anze cedentes ad omnes confluentes .
Sint quotuis numeri vulgares integri A, B,6D, E, F y atque A ad B m C ad D E d F. Vel uniuersaliter. Qualescunque eiusdem generis, quantitates sint A, B, D, E, F ; ita tamen v ad BhC a D G E adF..
Demonstratio Per hypothesim C aio rer go per incorςma quintum partis quartae Ideae Logisticae,permutando atque componendo patet, A B l D Aud B: sed per hypothesin A ad B π: E ad F: ergo At Cad B t D ad F :.erso iterum, per theor. quintum, partis quartae Ideae Logisticae, permutando atque componia mani
ra A ad B. QEoderat demonstranduin .
146쪽
Elamentorum Euclidis. Theorema XI. Propositio XIII
Sint quatuor numeri vulgares integri A, B, D, atque: A-B C-D . Dilao, permutando A-C B ad D. Demonstratio patet ex theoremate si partis q. Ideae Lingisticae .
SI se rini Psit inque numeri , stat ii ipse multitudine, aquales, qui bini sumastur im eadem proportione ratiam ex aquatit ate in eadem proportione erurit .
Sint quotuis numeri vulgares integri A, B, C, D, E, F; ita ut A ad B ποῦ Dad E, de insuper B ad C Vel uniuersaliter. Qualescunque eliisdem generis quantitates sint A, B, CyD, E, F : ita tamen ut A ad B D ME , atque insiper Dico, exaequalitate; vel ex aequo A ad C mo ad F. Demonstratio patet ex theor. 6. partis q. Ideae Logisticae .
147쪽
i a. Epist. VII Liber septimus Theorema XIIL Propositio XV.
SI ' nitas numerum aliquem metiatur. Liter autem numerus aequaliter metiatur alium aliquem 2o' permutando unitas rertium nuwerum aequaliter metietur atque secundus quartum .
Sint tres numeri vulgareSintegri A, B, C, atque1 ad x B ad CDico permutando I αἶB A ad C. Demonstratio patet ex theoremate partis - Ideaeo gisticae.
S i δερ nuru rise muli licantes fecerint aliquos , facti si
ipsis inter se aequales erunt. Sint duo numeri vulgares integri A se B, atque Ai RC . Vel uniuersaliter. Qualescunque eiusdem generis sint quantitates A Batque A in B C . Dico , B in A α: C . Demonstratio. Per hypoti A in B C: sed per axiomai. partis q. Ideae Logist. A in B ta: B in A: ergo B in A C. Juod erat demonstrandum.
148쪽
Elementorum Euclidis. 143 Theorema XV. Propositio XVII
SI numerus duos ηumeros multiplicans fecerit aliquos; facti ex V se ea dem proportionem ha tant,quam multiplicatu Sininumeri vulgares integri Abi Q atque A in C D: item Bin.C E. Vel uniuersaliter. Qualescunque .eiusdem generis sintquantitates A, B, Q. atque A in C D: item es in C, E . Diso, D ME A ad B. Demonstratio. 'Per corollar. theor. .partis Uldeae Lo gist. A in C-B in C m A-B: sed per hypot. A in C.D: item B in C m E: ergo D adi m A ad B. i Quodaerat de-
Theorema XVI. PropositioXVIII.
SI dua numrei numerum aliquem multiplicantes fecerint ali quoi, faciti ex ipsis eamdem rationem habebunt, quam intub
Sint numeri vulgares integri A, B, C. Vel uniuersaliter. Qualescunque eiusdem geueris ni quantitates A, B, C. . Dico, C in A ad Cin B-A-B. Memonstratio patet ex praecedenti propositione. Theom
149쪽
i Epist. VII. Liber septimus Theorema XVII. Propositio XIX.
SI quatuor num eri proportionales fuerint , qui ex primo, σquarto fit numerus aequalis est ei, qui fit ex secundo, si tertio. Et si numerus, qui fit ex primo, o quarto aequalis es, qui fit ex secundo, o sertis 3 quatuor numeri proportiona
Sint numeri vulgares integri A, B, C, D. . Vel uniuersa
Qualescunque eiusdem generis sint quantitates ASG,D. Dico, A in D m B in C , si A-B C-D . Et vicis-sm A ad B D, si Ain D m B in C. Haec propositio aequivalet axiomati 3. partis q. Ideae Lo-
Theorema XVIII. Propositio XX.
SI tres numeri proportionales fuerint: qui as extremis sit numerus aequalis erit ei, qui fit a medio. Si autem qui dextremissi aequalis fuerit ri , qui fit a medio a tres numeri pro
Sint numeri vulgares integri A, B, C Vel uniuersaliter. QiPlesi unque eiusdem generis sint quantitates A, B, C . Dico, A m C B in B, si A ad B B-C. Et vicissim A B αα B-C, si A m C m B in B .
150쪽
N rei omnium ΝΠ proportionalium minimi numeros
Hi proportisnales aeque metiuntur .
Sint numeri vulgares integri C,D: atque Aa B Cad D: de insuper proportio A-B eonstet minimis te minis. Dico, A metiri C: & inseper B metiri D.
Quandoquidem iuxta definitiones Logicticae, quibus vlimur , etiam unitas est vere , mproprie semerus I propositis , ut AE me proponitur paulo uniuersalior est; quam Euclidea , atque duplicem admittit easum: primus casus est , quando ex numeris A, deri aliquis est unitas; secundus casus est, quando ex suimeris ΑΒ nullus est unitas. De fecundo tantum casuvit propositio Euclidea , quia iuxta eius desinitiones unitas nous numerus. Utrum fecundus iste casus in Euchisapropositione Iropositus apud eius interpretes legitime demonstratus inueni iur suo Deo considerasimus.
Demonstratio in primo casu. Per Impothesim A ad Br C ad Dr ergo permutando A ad C B ad D: sed quoniam per hypothesim A, vel B est unitas, & insuper numeri B, & D singuli sent integri vulgares:patet A metiri C,vel B metiri D: ergo A metitur i, de etiam C metitur D: Utas,rit ur in propositione . Demonstratio in secundo casu. Per hypot. A ad B ad D : sed per theor. 3. partis Ideae Logist. A ad Biam: ergo Cad D α Ciam: ergo D : sed perae .