장음표시 사용
151쪽
hypoti Di vulgari integro et ergo vulgari integro: ergo A metitur B in C:atqui pariter per hy proportioAa B constat minimis integris terminis diuersis ab unitate, adeoq; per prOp.3 de commensurabilibus,& incommensurabili quantitatibus , Anon metitur B: ergo per secundam partem propos cibid. A metitur C: Sed quoniam A ad B m Cis D, permutando AtardC BadD:ergo etiam B metitur DNonstat igitur in utroque casu proposito A metiri C,et insuper B metiri D. od erat demonstrandum.
SI sint tres numeri a ipsis multitudine aequales , qui bini fumantur im in eadem p portione, siu autem 'cr--
turbata eorum analogia : etiam ex iniualitate is eadem proportione erunt.
Sint numeri vulgares integri A, B, C, D, E, F : ita ut A ad B. E ad F : N: insuper B ad C ad E .4 Vci uni-
Qualescunque eiusdem generis sint quantitates A, B, C, D,E, F , ita tamen ut A ad B α: E ad F a Se insuper B ad Cm D ad E . Dico, exaequalitate, vel ex aequo A ad C-E ad F. Demonstratio. Per hypot. A ad B E ad F : ergo pura loma 3. partis ideae Logist. Biu E A in F : sed etiarn per hypot. B ad C et et D ad E, adeoque B in F α Cin D:ergo A in F m C ibi D:ergo per idem 3 axioma,A ad C.D ad F. Quod erat demonstrandum . TheC
152쪽
Rimi inter se numeri hunt omnium Hi proportionalium minimi. Et numeri omnium Issi proponionalium misimi sunt inter se primi. Sint numeri vulgares integri A & B. Dico primo, proportionem Acilla esse expressam minimis terminis, si A & B non habent communem mensuram diuersam ab unitate. Dico secundb, AN B non habere communem mensuram diuersam ab unitate , si proportio A ad B est expressa
minimis terminis. Demonstratio primae partis patet ex assertione 1.propos3 de commensurabilibus, S: incommensurabilibus quantitatibus in Demonstratur secunda pars. Per asser. t. propos. 3. de
commensiirabilibus, & incommensurabilibus qua9titatibus, proportio A ad B est cxpressa minimis integris terminis, si A 5e B non habent communem mensuram diuersam ab unitate: sed per hypot. proportio A ad B est expressa minimis terminis integris r ergo A se B non habent communem mensuram diuersam ab unitate. od eratsecundum .
Theorema XXIII. Propositio XXV.
153쪽
1 8 Epist. VII. Liber septimus
Sint numeri vulgares integri A, B, C; quorum A & Bnon habeant communem mensuram diuersam ab unitate, tamen C metiatur A . Dico, B & C non habere communem mensuram diuersam ab unitate. Constructio. Littera X significet quamcunque menseram communem numerorum B 5e C. Demonstratio. Per eonsb. X metitur C: sed per hypot. C metitur Ar ergo per axioma I. etiam X metitur A:ergo X est communis mensura numerorum A & B: sed per hypota A 5c B non habent communem mensuram diuersam ab unitate : ergo X i: sed per constr. X est quaelibet menstra numerorum B & C: ergo B & C non habent communem mensuram diuersam ab unitate. Quod erat demonstrandina.
Theorema XXIV. Propositio XXVI.
SI duo numeri ad suempiam tertium primi fuerint, etiam simul multiplicari ad eumdem tertium primi erunt . Sint numeri vulgares integri A, C,praeterea neq; Ade C, neq; N .habeant comunem mensura diuersam ab unitate. Dico, A in B & C non habere communem mensuram diuersam ab unitate . Demonstratio patet ex assertione x.propos .de commen surabilibus , de incommensurabilibus quantitatibus .
. Theorema XXV Propositio XXViI.
Si duo numeri fuerint inter se primi: etiam quadratum unius ad relusium primus erit .
154쪽
Numeri vulgares integri A , N B non habeant communem mensuram diuersam ab unitate. Dico Am A, & B non habere comminem. mensuram diuersam ab unitate. Demonstratio. Per hypoti A, & B; item A,& B non habent communem mensuram diuersam ab unitate: ergo per primedentem A in A, B non habent communem me duram diuersam ab unitate.Quod erat demonstrandum .
Theorema XXVI Propositio XXVIII
SI dus numeri ad duos alis numeros uterque ad utrumque primi fuerint: etiam ex ipsis gεniti inter se primi erunt . Numeri vulgares integri A, B, C, D sint tales, ut A de mitem A&D; ac praeterea B &C, item Ble non habeant communem mensuram diuersam ab unitate. Dico, A in B, & C in D non habere mensuram communem diuersam ab unitate. Demonstratio. Per hypot. C & A : item D M A non hi bent communem mensuram diuersam ab unitate et ergo per propos a C. etiam C in D & A non habent talem mensuram.
Similiter per hypot. C B ; item D B non habent communem mensuram diuersam ab unitate et ergo per eamdem propos. χα C in D, B non habent talem mensuram: ergo
C in D & A r item C UD & B non habent communem mensuram diuersam ab unitate: ergo iterum per propos A in B, & C inga non habent talem mensuram . God erat
155쪽
iso Epist. VII. Liber septimus - Theorema XXVII Propossitio XXIX.
Si duo numeri inter se primi fuerintl: etiam utarum cluas drati , cubi , γ' sic deinceps , primi erunt. Duo numeri vulgares integri A & B non habeant communem mensuram diuersana ab unitate. Dico , etiam A n & B n non habere talem mensuram EN Ota litteram n repraeculare quemvis numerum vulga mintegrum, qui potect esse denominator dignitatum B. Demonstratio. Per hypot. A&B non habent communem mensuram diuersam ab unitate: emo per praecedentem
Bis B, & A in A non habent talem mensuram, de praetercaper propos 26. A & B in laitem B de A in A,hoc est A S: B L: item B & A L non habent talem mensuram: ergo A et cum B Σ , vel B : item B a cum A x , vel A non habent talem mensuram et ergo per praecedentem B in Ba, de A in Aia, hoc est B 3 te A 3 non habent talem mensuram, et praeterea
per propos. χο . A et B 3 : item Bel A 3 non habent talem me uram: ergo A 3 cum B 3, vel B : item B 3 cum A 3 ,
n habent talem communem mensuram et ergoPer praecedentem B in B 3 , et A in A 3,hoc B et Aiss non habent tuem mensuram:atque ita de reliquis in infinitum, adesque B et A n too habent communem mensuram diuersiain ab .via /te .: Quod erat demonstrandum.
156쪽
Theorema XXXIII.Propositio XXX.
SIdua num ni inter se primi fuerint :etiam iterquε' sima ad quemlibet illorum primus erit. Euod si terque simus id unum aliquem Q serum fit primus , numeri a principio p siti
Numeri A B sint vii aresintegri . ' a
Dico primo, A t B se A, item A l B N B, non habere
mensuram diuersam ab unitate, si A & B non habeant talem
Dico secundo, A B non habere mensuram diuersam ab unitate, si At B&A, vel At BS: B non habeant talem
Constructio. Littera X significet quamlibet communem mcnsuram numerorum A B et A .
Demonstratur pri a pars. Pifr consti .X metitur A: item X metitur A 'B:ergo X metitur A et B: sed per hypot. A et B non habent communem mensuram diuersam ab unitate: ergo X mi: sed per consita X est quaecunque mei . iura communis A l B et A: ergo A B et A non habent communem: mensuram diuersam ab unitate idem similiter patet de A Ret B,sii X sit communis mensura numerorum' At B et Ezergo A B et A, item A B & B non haberat communem mensuram diuersam ab unitate. Quod erat demonstrandum .. Eadem posita constructione aliter idem demonstratur. Per desin. 7. X est pars aliqliora numerr A B, ergo dat ut integer E, ita ut X tu E A B: item X est pars aliquo miti:
157쪽
1ς α spist. VII. Liber septimus
meri A: ergo datur integer F , ita ut X in F A; itaque nim nisestum est, integrum E esse maiorem integro Fr ergo E F-alicui integro Κ: sed quoniam X in E A l B , et etiam X in F A,patet X in Ere ,-X in F τα At B -- AB : ergo X in E et -X in F m B : sed X in Ere -Xm Fm X in E- Fae, X in Κ , quoniam, ut diximus. E F m K: ergo X in Κ αα B: ergo Κ F: sed ostensum est Κ eo inte-srum et ergo, τα int gro . ergo X metitur B : sed per constri X metitur A: ergo X metitur A et B : sed per hypoti A et B non habent communem mensuram diuersam ab unitate et ergo X I: ergo sequitur,ut prius, A l B et A, item A BN B non habere communem mcnseram diuersam. ab unit te. Quod erat primum Constructio pro secunda parte ; X repraesentet quamlibet mensuram communem numerorum A B Demonstratur secunda pars . Per constructionem X in titur A N B:ergo per h. axioma X metitur A t B:ergo num
rorum A ' B N A, item At B Se B communis mensura est N:sed per hypoti vel A l B & A, vel A B S: B, non habent
communem mensuram diuersam ab unitate: ergo X cst Hibias : sed per constructionem X est quaelibet mensuraecommunis numerorum A&B : ergo numeri Aet B non habent naenseram coni unem diuersam ab unitate. Quod erat
Theorema XXIX. Propositio XXXI
Omniinprimus numerus ad omnem, quem non memur primus est .
158쪽
Numerus vulgaris integer A non habeat mensuram diuercsem ab unitate, ac praeterea non metiatur integrum vulgia rem B. Dico, numeros A et B non habere communem mensuram diuersam ab unitate. Demonstratio. Per hypoti A non habet mensuram diuersam ab unitate, nisi ipsum A : ergo A et B non habent communem mensuram diuersam ab unitate, nisi ipsum At sed per hypot. A non metitur B: ergo A et B nullam habent communem mensuram diuersam ab unitate. Quod erat demonstiandum
Theorema XXX. Propositio XXXII.
SI planum numerum aliquis primus metitur; is etiam e t&ni lateribuι Aterutrum metitur. Sint numeri vulgares integri A et B, atque aliquis vulga ris integer C non habens mensuram diuersam ab unitate meatiatur A in B. . . l. Dico, C metiri A, vel B. Constructio D. Demonstratio. Per hypoti C metitur A in B:ergo malicui integro: sed per constr. --D: ergo D est vulgaris integer, adeoque singuli numeri A, B, C, D sunt vulgares integri: praeterea quoniam D, per probi. si p. s- lib. I. Logist. A in B C in D: ergo per axioma 3. partis Idear Logist. A ad Cira Dad B: sed per hypot. Cnubiam habet mensuram diuersam ab unitate risi istim C rergo vel C metitur A, vel C et A nullam habent mensuram communem diuersam ab 'nitate. Iam vero si C metitur A ,
159쪽
patet, quod ei probandum, nimirum C metui A, vel B: si vero C & A nullamhabentcommunem mensuram diuersam ab unitate; igitur per propos. 23. proportio A ad C est expresia minimis integris terminis : sed etiam ut demonstratum ess) A ad C pGD ad Be ergo per propos a I. A metiturm et inluper Cmetitur B: ergo utroque casu C metitur A, ves B. Quod erat demonstiandum .
Theorema XXXI. Propositio XXXIII.
O- m compositum numerum aliquis primus metitur Sit numerus vulgaris integer A, qui habeat mens ram diuersam ab unitate, atque talis mensura minima st B. Dico, B nullam habere mensuram ab unitate diuersim . Demonstratio. Per hypot. B metitur At ergo per ario, ma I. quilibet numerus, qui metitur B , metitur Ar ergo si daretur aliquis numerus diuersus ab unitate,qui metiretur B, etiam ille idem numerus metiretur A: sed per hypoti nullus datur numerus ab unitate diuersus minor B, qui metiatur Aetergo nullus datur numerus diuersiis ab unitate, qui laeti tur B: ergo B nullam habet mensuram diuersam ab unitate . od erat demonstrandum
Theorema XXXII Propositio XXXIV:
Oadnis ηumerus aut primus auu ab aliquo primo men
Sit qualiscunque numerus vulgaris integer A. Dico, A non habere mensuram diuersam ab unitate; vel dari
160쪽
dari alium numerum vulgarem. integrum B non habentem mentam cliuersam ab unitate; ita ut B metiatur A .
Demonstatio patet ex praecedenti; etenim si A habet mensuramdiuersam abunitate, atque omnium minima sit B, per praecedentem B non habet mensiuam diuersam ab
portionales a Dati sint quotcimvenumera Irares: integri A, B, C. Oporteat inuenire alios totidem numeros D, E, F datis. proportionales, atque integros Semininios omnium. eamdem proportionem habentium. Solutio . Per propos s. numerorum A, B, C inueniatiar maxima eommunis menstra Eratque : itemq. B: denique Ἐ- F Dico,inuentos numeros D E, F datiis A, B, C aer pro Portionales, atque minimos. omnium eamdem proporti nem habentium,