장음표시 사용
61쪽
es Epist. IV. De Commensurabilibus
Dico lineas DB et D A, esse incommensiti rabiles. Demonstratio. Per theor. q. cap. 3. partis F. ideae Logisticae, DB, DAL AB a : sed
quia ex hypothesi DA ad AB π: Iada, adeoque DA 1 ad AB r ad 4 : patet ABxpetet qDAx : ergo DBΣ 3DAχ: ergo DA a m DB L per 1: sed quoniam numerus 3 integer est, et satis patet quod non habeat radicem primam exprimibilem per numerum vulgarem integrum , etiam perprop. 9.mumerus 1 non habet radicem primam exprimibGlem per ullum vulgarem numerum: ergo per prop. II. impossibile est dari duos numeros vulgares E et F, ita ut E ad F DB ad D A tergo DBet DA sunt lineae incommensurabiles . Quod erat demonstrandum.
SIt triangulum rectangulum D AB, atque D A ad AB
m 1 ad 2 : praeterea DB - DA AC: sitque punctum C in recta AB. Dico , AB ad AC AC ad CB, adeoque rectam A Bextrema et media ratione sectam esse in C. Constructio. Centro D, interuallo DB, descriptus sit semi-
62쪽
Et incommensurabilibus quantitatib'
semicircuius,cm recta DA Vtrinque occurrat, nimirum in punctis E F: denique ductae cnt rectae E B & F B. Demonstratio. Ex constructione M theor. s. panis 3 ideae Logisticae, patet angulum EB F rectum esse, o per theor. Io. partis 3. ideae, E A ad A B Ee A B ad A F: er
REcta linea AB extrema & media ratione se
in C. Dico lineas A B M A C, Selacommensu iles .ia Com
63쪽
o Epist IV De commensiarabilibus is
ii claustructio Factum sit triangulum rectangulum D A B. ita vi D A ad A B m 1 a. i. Demonstratio. Quoniami, AB secta est in C extrema& media ratione, exprop. I satis patet, si
pro' I3. etiam D B dc D A sunt lineae incommensurabile patet quod D B ,-D A sit incommenstrabilisipsi D A r ergo AC est incommostrabilis ipsi D Migoetiam A C & 1 D A sunt incommensuMiles: sed quia per hypothesini P A ad A B-a ad a, patet A B aD A rogo A C B sunt lineae incommensurabiles .
DAtus sit quiuis numerus vulgaris AB. Dico numerum AB, diuidi non posse extrema media ratione. Sive impossibile esse dari duos numeros vulgares A CNC B, ita ut ACJ CBra AB, &printerea AB ad AC u AC ad CB. Demonstratio per hypothesim AB ad AC iE AC ad CB, Ninsuper AC CBm AB a ergo per prop. 1 quantitates AB Se AC sunt incommensurabiles : ergo numeris vulgaribus exprimi non potest proportio A Bad AC r ergo impossibile est dari auimeros vulgares A C&CB, ita vi AB M A C ra A C ad CB , de insuperAC'CBAAB. Quod erat demoustrandis . .
64쪽
Et incontinensurabilibus quantitatib'
SP φ quHibet fractio vulgaris simplex constans min,
mis terminis. Dico singulos numeros integros X & Z habere radicem n, si possibilis sit aliqua fiamo aequivalens fractioni F, quae habeat radicem n. Nota. Littera n significat indeterminate quemlibet denominatorem numeri radicalis; praeterea littera significat denominatorem numeri denominati qui unitate maior sit denominatore n. . Demonstratur prima pars. Per hypothesim possibilis est aliqua fractio habens radicem n , atque aequivalens fractioni I . itaque talis fractio situ ue quo posito, vel A S: Bnon habent communem menstram diuersam ab unitate, vel A B habent communem mensitam diuersam ab unitate. In primo casa quoniam A&B non habent menseram communem diuersam ab unitate per prop. 7. etiam A m & B m non habent mensuram communem diuersarii ab unitate: ergo per prop. etiam est fractio minimis terminis exprin: etiam per hypothesim ς est stactio minimis terminis expressa, & insuper ' P: ergo A mm X, Netiam Bm diu Zr sed Rn Am e A, de etiam Rn 'Bmm B: ergo Rn' X ra A, i de etiam Ria 'Ludi B: ergo singuli numeri X & Z habent radicem n . In secundo casii. Per hypothesim numeri A&B habent communem mensuram , igit*r maxima talis mensura sit Pr
65쪽
6o Epist.IU.De commensurabilibus l
Κ-L est expres a minimis terminis, & praeterea K ad L m A ad B: ergo per pro'3 .humeri Κ de L non habent mens ram diuersam ab unitate, adeoque per prop. 7. numeri Κ m& L m, non habent communem mensuram diuersam ab Vnitate et ergo per prop. 3. proportio Κm ad Lm, est proportio minimis terminis expressa rogo fractio est fiamo minimis terminis expresta: sed quoniam A ad B die X ad L, singulos harum proportionum terminos, toties ducendo in seipses, quot unitates continentur nummo n, patet A mad B m diu Κ m ad L m, adeoque H α-: ci PT tam& insuper Bactio D est expresia minimis terminis: sed etia &insuper fractio est expressa minimis ter minis:crgo Ira edi et, de singularistars actiones sunt expiresse minimis terminis: igitur Κ m m X, & etiam L in i Zrsed Rn m dies Κ,&etiain Ria η Lm 22 Lr ergo Ria' X diu Κ, & etiam R ia Z in L 2 crgo singuli numeri Noe Z habent radicemn. Constat igitur qucd singuli numeri X & Z habeant radicem n , si possibilis est aliquas actio atquivalens fiactioni j quae babeaz rodiccmn. od erat demonstrandum.
SIngulae litterae A, B, C, D. Vulgares integros num
ros repraesentent,ita tamen ut A ad B diu C ad D; pr terea proportio A ad B si expressa minimisterminis. De .nique numerus A vel numerus B non habeat radicem n. Dico Rn CleRnl D. esse numeros radicales inter
66쪽
Et incommerisurabilibus quantitati, si
Demonstratio. Per hypothesim A ad B ad D, Se praeterea proportio A ad B est expressa minimis terminis: ergo fractio 2 ra , et insuper fractio J- est expressa minimis terminis:sed quia per hypothesim singuli numeri L et Anon habent radicem n, per propositionem prae edentem , non est possibilis vlla fractio vulgaris siniplex, aerimatem
sermoni-- , cuius tam numerator quam denominator habeat radicem n diei non est possibilis vlla fractio vulgatis simplex atque aequivalens fractioni B cuius tam numerator quam denominator habeat radicem n diergo non est possibulis vlla fractio vulgaris simplex aequivalens fractioni radicati: ergo non sunt possibiles duo numeri vulgares integri habentes eamdem proportionem quam Ria C habet R n D : sed per prop. t o. non suntpossibiles duo vulgares numeri non integri, habentes proportionem aliquam quae exprimi non possit integris vulgaribus numeris: ergo non sunt possibiles vlli duo numeri vulgares habentes ' portionem quam R n C habet ad R n D: ergo per definitionem cecimam, numeri radicales Rn'C&Rn' D, sunt incommensurabiles inter se. mol erat demonsti amdum a
67쪽
Audo ingenium tuum , laudo discendi M. dorem: Verum quod tibi tantum labores plane non laudo; etenim ex Logisticae meae studio, satis magnam facilitatem tibicomparasti in enodiadis dissicultat, bus Mathematicis: atque efformandis demonstrationibus, quibus aut problematum selutiones ostenduntur legitimae, aut theorematum veritares probantur intillibiles; qua igitur ex causa tibi tan-vum vacas, et nihil componis quod aliorum etiam bono utile sit latinquis, ut aliis , sc et mihi prescribe materiam parem viribus meis , quaeque a me elaborata , pluribus pos suprodesse: bo a te res msum iam saepius retuli; quamobrem mitto tibi probi emata aliqua demonstrationibus de stituta, ut quod in ipsis desideratur suppleas . Quam utiliatatem habeant haec problemata , facito aduertes; scis enim quanti momenti sit in mea Logistica , vnsuenalium Oper
tionum produm longiora , atque adeo minus commoda , reuocare ad breuiora, quae sint magis commoda atque pri ribus aequivaleant; id quomodo fiat, quando producta uniuersalia , orta sint ex numeris vulgaribus, vel numeris denominatis non differentibus quo ad dignitatem : paucis suff-
68쪽
sussicienter exposui , immediatὸ post ipsas operationes uni uersales traditas in primo libro meae Logisticae: plura enim de hac materia non videbantur conuenire accedentibus ad studium meae Logisticae, ad quos liber ille scriptus est. Uerum in Idea eiusdem Logisticae quam scripsi ad magis prouectos, post expositam ab ipsis fundamentis doctrinam de proportionibus, in fine partis quartae , doceo , quomodo ad simpliciora sed prioribus aequivalentia , reuocentur producta uniuersalia , geuita ex proportionibus; quodque libro
primo Logisticae docui circa numeros vulgares aut denominatos: et in citato loco ideae Logisticae trado circa proportiones rhaec subsequentia problemata docent circa numeros radi cales.
DAtus sit quiuis vulgaris numerus X.
Oporteat inuenire virum datus numerus X , habeat datam radicem n: atque illam radicem n exhibere,fupposito quod exprimi possit numero vulgari . Solutio. Per A meticam vulgarem inueniatur numerus q-, qui simplexst , atque constet minimis terminis, ita tamen ut η--X: Deinde per Appendicem libe i. Logisticae quanatur radix n , numeri , si haec radix inueniri non possis , etiam verum erit quod radix n , numeri X , e primi non possit numero vulgari; si vero haec radix inueniatur, atque R αἴ,etiam Rn'X- ὁ . l. Exempli Gratia datus numerus vulgaris si, quaer turque an habeat radicem secundam. Numerus isto reductus
69쪽
redis ius adsinaplicem atque constantem minimis terminis, erit. 8 per a7 , deinde Ra 27, est igitur Rr. erit m . Rursus datus numerus sit , quaeraturque an habeat radicem secundam.Numerus sq, reductus ad simplicem constantem minimis terminis, erit 16 per arriam vero R Σ , inueniri non potest: quia licet radix secundar. ,sit 3 , tamen radix secunda numeri-inueniri non potest iuxta dicta in Appendice lib. I. Logisticae; adeoque R x ' non potest exprim; numeris vulgaribus . Demonstratio patetex prop. II de incommensurabilia
DAti sint duo numeri vulgares maior X, minor Z .
Oporteat inter numeros X et Z, inuenire tot medios proportionales , quot unitates indicantur a dato vulgi
ri integro numero n, supposito quod tales medij propor tionales sint possibiles, siue exprimibiles numeris vulga
Solutio: Per Arithmeticam vulgarem , fractio X per Ζreuocata ad minimos terminos , sit A per B. Deinde per appendicem lib. i. Logicae , inueniatur radix,n ramonis Aper B: tq;haec radix sit C μγ D;numerus Z ductus in num . ru C p r D abit unu ex medijs proportionalibus quaesitis enitam illii, qui numero Z proxime maior est:atq; inuentus hic numerus , item ductus in C per D, dabit alium proximE: maiorem: qui iterum ductus in C per D dabit denuo alliumst proxime maiorem ; atque ita deinceps.
70쪽
Exempli Gratia, supposito quod dati numeri sint 8 des actio 3 pὸr et reuocata ad minimos terminos, erit per I , huius fractionis radix prim4 est a per I. Quoniam Veroz in 6 22 q , etiam numerus q erit medius proportionalis quaestus:eritque verum quod L ad q- a I 8 . Rursus dati numeri sint Se 6, atque inter illos , quinque medij proportionales inueniri debeant ;fractio q37 3 per si reuocata ad minimos terminos , erit 729 per i ; huius fractionis radix quinta crit numerus 3 per quoniam Vero in P I, numerus I 8 erit minor ex quaesitis medijs proportionalibus; item quia I 8 in - - 22 sq, erit numerus 3q alter ex quaesitis medijs proportionalibus; similiter quia 4 in l- ra i 62 hic erit tertius ex qu. esitis medi, proportionalibus ; rursus quia I 62 in q36, hic erit quartus ex quaestis medijs proportionalibus: deniaque quia 486 in I3 8, hic erit quintus ex quaesitis mediis proportionalibus ; eritque verum, quod numeri, 6, 28, sq, 162, 48C, Iq18, q374. sint continuo proportionales.
DAius si quiuis numerus Vulgaris X. .
Oporteat inuenire numerum radicalem, qui ha beat datum denominatorem, n, atque aequivaleat dato ni mero X. Solutio. Datus vulgaris numerus X, toties in se ducatur, quin Vnitates continentur dato denominatore ii, quaesiti
numeri radicatis. Dcinde per facto multiplicationes profi I ductus