Christiani Wolfii ... Elementa matheseos uniuersae : Tomus tertius, qui opticam, perspectiuam, catoptricam, dioptricam, sphaerica & trigonometriam sphaericam, atque astronomiam, tam sphaericam quam theoricam complectitur

401쪽

E L E ME NT A SPHAERICORUM.

Tab II. ut Sinus totus ad Sinum CD, ita Sinus I g et 8, partis lateralis sejunctae alterius ad Co- sinum mediae ( S. Ioo . Ergo Sinus partis lateralis sejunctae alterius ad Cosinum mediae in triangulo ACD, ut Sinus partis lateralis seiunctae alterius ad Co- sinum mediar in Triangulo altero BCD(S. 16 H; consequenter Cosunus mediarum sunt ut Sinus lateralium

erat unum.

Similiter in Triangulis ACD &BCD,

est ut Sinus totus ad Cotangentem CD, ita Colangens partis lateralis conjune alterius ad Cosines m mediae ( S. 1OS . Ergo Cotangens partis lateralis conjunctae alterius est ad Cosinum partis mindiar in Triangulo ACD, ut Cotangens partis lateralis conjunche alterius in Triangulo ECD ad Cosanum partis su ae mediae ( S roy Arithm.), consequGater Cosinus partium mediarum in iisdem

sunt Ut L Otangentes lateralium conjun

auerum.

C o R o L L A R I U M LI:38. Est igitur rectangulum ex sinu partis testinctae vel Cotanstente conjunctae in Triangulo ACD in Cosinum mediae in altero CDB , aequale rectangulo ex Sinu partis sejunctae vel Cotangente conjunctae in Triangulo CDB in Cosinum mediae in altero AUD ( s. 3 8 Geom. .. COROLLARIUM II. Iap. Q iare si Sinus fuerint artificiales Sinus partis sejunctae vel Cotangens conjunctae in Triangulo ACD cum Cosinu mediae in altero CDB, aequalis est Sinui partis sejunctae vel Cotangenti conjunctae in triangulo CDB & Cosinui mediae in alte-ao ACD ,32 Arithm. I, THEO REM A LXII. igo. . In Triangulo Sphaerico olliquan- r.

gulo ACB, demisso ex angulo C perpen-

dietilo CD in basin AB; Tangentes an igulorum ad basim A ct B sunt reciproce ut Sinus arcuum DB AD.

DEMONSTRATIO.

Est enim in Triangulo rectangulo ADC, ut Sinus totus ad Sinum AD, ita Tangens A ad Tangentem DC: & in altero, ut Sinus totus ad Sinum DB ita Tangens B ad Tangentem DC (S.Ios . Quare cum etiam sit ut Sinus DB ad Sinum totum, ita TangenS DC ad Tangentem B ( S. I s Arithm. ; erit ut Sinus DB ad Sinum AD, ita reciproce Tangens A ad Tangentem B ( S. asi 8 Arithm. . LEMMA VI.r i. Sinus summae duorum It is BC di CE , quorum unussu que qua-Biblisante minor , est ad semmam Sinuum eorundem arcuum BC di CE , ut diserentia eorundem Sinuum ad Sinum disserem

tiae arcummis

EN, ducanturque chordae BA, A BO & diametri CD atque EF s erunt eaedem ad illas perpendiculares, ipsassque bisecabunt ( S. 1s, i Geom. s adeoque BP Sinus arcus BE seu summae ar

402쪽

c v. IV DE RESOLUTIONE TRIANGUL. OBLIQUANGULORUM. fas

AM. BP EU, nempe pars quarta parti quartae (S. 3Tq. om Demittantur perpendiculares AL & BQ ad

O A M. DP. Quare ut BP sinus summae arcuum BC & CE ad Emummam Sinuum GB & EI eorundem arcuum, ita EL disserentia eorundem Sinuum ad AM Sinum differentiae arcuum AE S. avs Arithm.). e. d.

COROLLARIUM. 2. Ergo rectangulurn ex Sinu summae in Sinum differentiae duorum arcuum aequatur rectangulo ex summa Sinuum indifferentiam Sinuum, eorundem s. s. 3 8- . .

LEMMA VI I.

DEMONSTRATIO.

Ducatur LG Tangens arcum DB in Tab.ILE s S. 3 ii Geom. de Radiis CD atqueCB productis in L & G occurrens serunt LE & EG Fangentes arcuum DE& EB S Tri plan. . Fiat EF DE de demittantur perpendiculares DN & FI, quae erunt Sinus summae arcuum DE &EB, ac differentiae eorundem FB (S. a Trigora. pian.), atque inter se paralle

gentes EL & EM aequales, adeoque I GTangentium summa, MG differentia. Est vero ob parallelismum rectarum LG & DH per demonstrata I G : MG ,

rallelismum rectarum FI & DΚ , per demonstr. DIT: FH DΚ : FJ S. 1 fg om. ). Ergo LG : MG DΚ : FI S. 16T Aritim. ). e. d. THEO REM A LXIII. I g, Triangulo Sphaerico ob liquan- Tab. II. gulo, demisso perpendiculo CD , est m. 8.ut Sinis summae angulorum ad basin A 'O B ad Sinum disserentiae eorundem A-B, ita Tangens hastae dimidiae AB ad Taugentem semidisserentiae figmentorum AD

rab.T I 3. Sinussemmae duorum arcuum 'in f .si.&ED quorum unussu que quadrante minor, est ad Sinum disserentiae eorundem ut Amma: Tangentium ad disserentiam

Quoniam Sinus DB ad binum AD, ut Tangens A ad Tangentem B S. 1 o) &basis AB semicirculo minor (,.61 ; construatur Triangulum rectilineum HIΚ, cujus crura IH & HΚ sint aequalia Tania 3 gent,

403쪽

ELEMENTA SPHAERICORUM.

Tab.II. gentibus B & A , angulus ad verticem Id vero complemento basis AB ad semi Circulum : erunt anguli I & Κ junctim sumti basi AB aeqtiales (S. ago S. I Scumque sit ut Sinus I ad Sinum

angulus I segmento ED, angulus Κ segmento DA aequalis, vi demo ratorum.

Trig. plan.): ergo flamma Tangentium

Angulorum A & B est ad differentiam

Tangentium eorundem angulorum , consequenter Sinus Summae angulorum

A & B est ad Sinum disserentiae eorundem S. I s), ut Tangens basis dimidiae AB ad Tangentem Semidifferentiae arcuum AD & DB. e. d. LEMMA VII LI s. Si fuerint quatuor quantitates proportionales A : B C: D; erit Summa

terminorum primae rationis ad di fferentiam eorundem A-B, uti Summa

terminorum secundae C D ad disseren

tiam eorundem C-D. DEMONSTRATIO.

Fig. 3 . continuatis , donec flant quadranti aequa-Ies di ex Polo C descripto arcu FD, donec bas BA continuatae in D occurrat, differentia Cosnuum cruram AC ese BC est ad dammam eorundem Cosmum ut Tm-gonae basis dimidiae AB ad Tangentem ariscus dimidii compos ii ex BD O AD.

DEMON STRATI O.

Cum enim anguli ad E & F sint recti S. 28 ), ac ideo ut Sinus totus ad Sinum DB , ita Sinus anguli D ad Sinum BF:& ut Sinus totus ad Sinum AD, ita Sinus ejusdem anguli D ad Sinum AE S.I36 ; erit etiam Sinus BD ad Sinum AD, ut Sinus BF ad Sinum AE S. issArithm. , hoc est, ut Cosinus cruris BC ad Cosinum cruris AC S. II. Trigon. , consequenter Cosinuum BC & AC sum. ma ad disterentiam eorundem, ut summa Sinuum BD & AD ad disserentiam eorundem (,. I s). Q iodsi in Trian- Ii, gulo rectilineo HIΚ anguli Κ & I habue- Ili rint mensuras arcubus BD & AD aequa- fg id les; erunt latera ΚH & HI ut Sinus arcuum BD & AD (S. 33 Trigon. ); consequenter summa Sinuum BD &AD additarentiam eorundem , ut Tangens summae dimidiae arcuum BD & AD ad Tangentem semidifferentiae eorundem

seu basis dimidiat AB (S. o Trigono.

Est itaque summa Cosinuum crurum BC& AC ad differentiam eorundem , ut Tangens iummae dimidiae arcuum BD& AD ad Tangentem basis dimidiae(S. i5T Arithm ); adeoque differentia Cosinuum crurum BC & AC ad summam eorundem , ut Tangens basis dimidiae AB ad Tangentem summae dimidiae arcuum BD & AD (s. IdyArithm. . Re eL E M M A I X. I T. .se in Triangulo aequiarur pha

rico ABC ducatur chorda Dasu AC es

404쪽

co. IV DE RESOLUTIONE TRIANGUL. OBLIQUANGULORUM. 31

eidem per verticem B paral la DP: haec

tangit.

II. Circulum S Sphaeram in B tangit.

DEMONSTRATIO.

odsi neges BD tangere Sphaeram ct Circulum ABC in C, tangat eam in

eodem recta quaeciliaque alia BE. Ducantur arcuum AB&BC, per sepoth. aequalium Chordae; erunt hae inter se aequales s S. 28s Geom. , adeoque anguli

ad basilia A & C itidem aequales sunt(S. i 8 om d. Est vero angulus EBC aequalis ipsi A (S. sas omo , consequenter etiam ipsi C S. 8 Arithm. .

Ergo BE parallela ipsi AC (S ass

Geom. . quod cum sit absurdum (S.acio Geom. , BD Sphaeram & Circulum maximum Sphaerae ABC in Puncto BZ e. d. THEO REM A L X U. lib. I S. Si in Triangulo Sphaerico quo-III. cunque ABC crus minus C continueturi , in D , donec arcus CD sat cruri majori BC aequalis, S ex crure majore CB resecetur arcus CE minori CA aequalis, per Punecta vero AcrE, itemque per De B

ducantur arcus Circulorum maximorum;

erit rectangu Ob Sinibus arcuum dimidiorum AGE DI B aequale rectangulo sub linibus disserentiarum crurum a

semisumma omniam laterum. DEMONSTRATIO In arcum CD continuatum transfe

differentia cruris majoris BC a semi- summa omnium laterum. Quodsi ad D L

prodit AL , hoc est, AL est differentia cruris minoris AC a Semisumma omnium laterum AC, CB& BA. Quoniam arcus AD OF per demoniar. ex Centro Sphaerae,quod idem cum Centro arcus AF (S. Is , ducatur

recta in Punctum L, quae bisecabit Chordas AF & DO in N & M , atque

ad angulos rectos sS. asi Geom o, eritque AN Sinus arcus I A seu differentiae cruris minoris a semisumma laterum , & DM Sinus arcus DL seu disse rentia cruris majoris a semisumma omnium laterum. Quoniam arcus ADmEB, per cons r. & D OF , per demoni r.etunt Chordae AE&DB, itemque Do& AF parallelae S. 3DGeomo , COI sequenter de plana Triangulorum D OB& AFE parallela (S . soci Om. de an

guli BDO & EAF aequatus S. Iss om.). Qina AO- B, per eo r. si1 PA ducatur Chordae OB parallela, Sphaeram in Puncto A tangit (, 1 6 Setconsequenter & Circulum FAE per Punctum A transeuntem & in Superficie Sphaerae descriptum. Est itaque& angulus PAF aequalis angulo AEF s. 328 Geom. . Porro quia PA parallela ipsi OB, per coniar. & AF ipsi DO, per demonstr. erit angulus DAF aequalis angulo D OB (S. oci om.) ; consequenter angulus AEF

Quare

405쪽

ELEMENTA SPHAERI COR U M.

Arithm. t, consequenter reci . ex I AE

Geom.). Sunt VerO AE, DB, 2DO, SAF Sinus arcuum dimidiorum AE,

DB, DO , AF, seu arcuum GE, HB, DL & AL, adeoque Rectangulum CXSinibus arcuum dimidiorum AGE &DHB aequale Rectangulo ex Sinibus

differentiarum crurum a semisumma omnium laterum. d.

THEO REM A LXVI. omni Triangulo Sphaerico ABC, O Rectangulum sub Sinibus crurum AC CB ad quadratum Sinus totius , ut R. eciangulum sub Sinibus disserentiarum

crurum a semisumma omnium' laterum

ad quadratum Sinus dimidii anguli verticalis C, qui scilicet basi AB opponitur.

DEMONSTRATIO.

Fiat CE AC, &CA continuetur in D, donec CD CB. Per Puncta A&E, itemque D & B ducantur arcus Circulorum maximorum AE & DB, nec non per verticem Trianguli C arcus Circuli maximi CΚ bisecans angui verticalem ACB. Erit AG GES DI BH atque anguli contigui ad G&H aequales s. i , adeoqUC Utrobique recti Est vero in 'ACG ad G Rectangulo per demoniar. ut Sinus totus ad Sinum cruris AC, ita Sinus dimidii anguli verticalis ACG ad Sinum arcus AG, & in ADCH ad HRectangulo, per demo b. ut Sinus totus ad Sinum cruris CD vel CB ita Sinus dimidii anguli verticalis DCΚ ad Sinum arcus DI (S. 135 . Quare, ut illi quadratum Sinus totius ad Rectangu hilum sub Sinibus crurum AC & CB ita quadratum Sinus dimidii anguli verti calis C ad Rectangulum sub Sinibus arcuum AG & DI S. ars Arithm. .

Enimvero Rectangulum sub Sinibus arcuum AG & DH aequale est Rectangulo sub Sinibus disterentiarum crurum a semisi imma omnium laterum (S. 1 p). Itaque ut Rectangulum sub Sinibus crucrum ad quadratum Sinus totius, ita rectangulum sub Sinibus differentiarum

crurum a semisumma omnium laterum ad quadratum Sinus dimidii An guli verticalis (,. 168 Arithm . . s. e. d.

COROLLARIUM.1so. Quoniam differentia cruris unius a semisumma omnium laterum . a bra semidifferentiae ejusdem cruris a summa basis & cruris alterius ob lc- a; rectangulum sub Sinibus differentiarum crurum a Semi summa omnium laterum est aequale rectangulo sub Sinibus semidifferentiarum cruris uniuscujuslibet a summa basis & cruris alterius. Est igitur ut rectangulum sub Sinibus crurum ad quadratum Sinus totius, ita rectangulum sub Sinibus Semidifferentiarum cruris uniuscujusque a basi & crure altero ad quadratum

dimidii anguli verticalis (s. 168 Arithm.).LEMMA X.

Is I. Si Coni Scaleni ACB Sectio T, Triangularis ACB fuerit ad hasin per- li pendicularis , O Conus secetur plano

FIG, ad Sectionem Triangularem perpendiculari, ea lege, ut Diameter Sectionis FG cum lateribus Coni AC es

406쪽

DE RESOLUTIONE TRIANGUL. OBLIQUANGULORUM. gro

b. OB eosdem Ociat angulos quos cum ii FAm escit Diameter DE Sectionis pa- Elelae DIE, sed contraria ratione postos,flcilicet ut angulus DFG si aequalis anculo DEG; erit Sectio FIG Circulus.

Quoniam angulus DFH HEG per poth. & vertical ad H aequales ( S.

1 36Geom.)t, erit FFI DI HE: HG g. 26 Geom. , consequenter rectangulum ex DH in I E aequale rectangulo ex FH

in HG ( S. 3 8 Geom. sam Sectio Triangularis ad basin AB perpendicularis, & Sectio DIE basi parallela, idippi Ergo & Sectio parallela DIE ad Triangularem CAB perpendicularis(s. do Geom. . Qtiare cum etiam sit Sectio subcontraria FIG ad Triangularem ACB perpendicularis, per sepoth. communis parallelae & subcontrariae

Sectio IH erit ad rectas DE & FG perpendicularis ( S. io 8 Geom. . Est vero Sectio parallela DIE Circulus ( S. 68

Geom.), adeoque HU rect. ex DHin HE S. 3 Anal sin. , Quamobrem cum sit reet. ex FH in HG rech. ex D H in HE, per demon Frat. erit etiam Sectio subcontraria FIG Circulus. he. d. LEMMA II. ita. Si Axis Sphaerae fuerit perpendicularis ad aliquod Planum di ex Polo in idem proseiciatur Circulus maximus per Polum transem; Pro' lio in Myo P

no erit Linea recta, quae curculum tangit. Omnis vero Circulus alius, qui per Polum Sphaerae non transit, repraesentam tar in Plano Projectionis per Circulum.

instet Oper. Mathem. Tom. I II.

DEMONSTRATIO.

Sit in A Polus Sphaerae & Axis AB ad Tab.

rectam BG in Plano Projectionis perpendicularis (S. 82l Geom. . Sit porro ACB Semicirculus maximus per Polum transiens & recta BG in Plano Circuli maximi. Quod si jam oculus fuerit in Polo & in Punctum C dirigatur ; crit cum Puncto C in eodem Plano; adeo- sitie in Plano Semicirculi ACB, consequenter recta, juxta quam dirigitur visus, AC rcctam BG in Puncto E attingit. Cum eodem modo ostendatur,

Punctum D repriuentari in F & B in B; evidens est Semicirculi ACB arcum DCrepraesentari per rectam FE & arcum BC per rectam EE. Circulus adeo maximus per Polum transiens in Plano Projectionis repraesentatur per rectam , ad Diametrum perpendicularem; conseia cauenter quae Circulum tangit. Moderat primum.

In casibus ceteris Radii ex Polo per singula Circuli in Sphaera descripti Puncta ducti Conum producunt, cujus SC-ctio est hic ipse Circulus & Planum PrC-jectionis eundem Conum secat S. syGeom. . Quodsi ergo Circulo projSciendo parallelum fuerit Planum Projectionis; erit Sectio communis hujus Plani & basi Coni parallela, consequenter Circulus ( S. 68 Geom. ). Quamobrim cum haec ipsa Sectio sit repraesentatio Circuli in Sphaera descripti in hoc ipso Plano; idem in Plano Projectionis per Circulum repraesentam tur. Emod erat secundum. Sit Circulus in Sphaera descriptus ad Tab Planum Projectionis inclinatus,adeoque IV. Ti

407쪽

ELEMENTA SPHAERICORUM.

Diameter Circuli projiciendi CG, Linea in quam projicitur, EI , & Oculus seu Polus Sphaerae in B. Cum BCA sit re-etus (S. 31 Geom. & Axis Sphaerae AB ad Lineam in Plano Projectionis DHin F perpendicularis, per hpoth. & S. 8 Geom. ); erit etiam EFB rectus ( S.

8 Geom. ), consequenter BCA-EFB ( S. 1 3 Geom. . daare cum porro angulus I BE utrique Triangulo FBE &ABC communis sit; erit etiam angulus

cum angulus CBG utrique Triangulo EBI communis sit: erit etiamRHE2GCB(S. assci Geom.); consequenter cum CGrepi cessentet Circulum projiciendum ;EH repraesentabit Circulum in Plano Projectionis, adeoque Circulus inclinatus repraesentatur per Circulum ( S. 1 1 ). suod erat tertium. Sit denique Circulus projiciendus ad Planum Projectionis perpendicularis, adeoque eius Diameter GI. Quoniam

Arithm. . Quamobrem cum angulus

communis sit, erit angulus BGI :BΚH( S. agis Geom.) ; consequenter cum GIrepraesentet Circulum projiciendum, cujus nempe Di ameter est, etiam ΚHCirculum in Plano Projectionis repraesentat , cujus itidem Diameter est S. iii). Circulus itaque ad Planum Projectionis perpendicularis, sed non transiens per Polos, per Circulum projicitur; suod erat quartum,

S c si o L I O N. Is . Ne in concipienda Demonstratiunt Imaginatio negotium facesiat, tenendum es, CB O BH esse latera Sectionis Triaraulati, Coni, cujus basis es circulus habens Dialae.trum Diametro CG Circuli projiciendi para legam di EH esse communem Sectionem ibi jTrianguli di Plani Projectionis atque aieblineam, in quam projicitur Diameter Cirta

li in Sphaera descript similiter IB O BResse latera Sectionis vriangularis coni, cujus Bum es Circulus habens Diametrum Dia metro circuli projiciendi II parallelam, TE vero esse communem Sectionem istius Trian guli di Plani Projectionis, atque adeo Lial neam, in quam projicitur Diameter Circuli in Sphaera descripti IG.

THEO REM A LXVII. Is . Iuniangulo Sphaerico obliquangulo ABC , demisso ex vertice B perpen- i diculo BD , My ut Tangens basis dim, dia AC ad Tangentem semisummae crurum AB O BC; ita Tangens semidi f

ferentiae eorundem crurum ad Tangentem

semidisserentia figmentaram baseos ADO DC.

DEMONSTRATIO.

dum & basis AC (S.i . Describatur ex B tanquam Polo in Superficie Sphaerae Circulus CFGE : crit BE BF

BC, adeoque AE summa crurum, AG differentia crurum &, quia ex Demonistrat time Theorematis 56. S. I s),

constat perpendiculum BD basin FCTrianguli aequicruri FBC secare in duas partes aequales FD & DC, erit porro AF differentia segmentorum basis AD

408쪽

o IV DE RESOLUTIONE TRIANGUL. OBLIQUANGULORUM. Isi

s,. Concipiassus Sphaeram in Puncto Aq. tangere Planum Projectionis. Quoniam si G & E sunt in eodem Circulo maximo per Polos Sphaerae A & H transeuntis, si per ea ducantur rectar HM & HN, erunt Puncta M & N, in quibus Planum Projectionis attingunt, cum Puncto A. in eadem recta AM,Isa). Et ex eadem ratione si per C & F ducanturre, HΚ & HL, erunt Puncta L de T cum Puncto A in eadem recta AΚ. Iam cum recta HA sit ad Planum Projectionis perpendicularis ; per hypoth. erit eadem perpendicularis ad rectasAΚ & AM (S. 8 Geom. . Quare si AH sumatur pro Sinu toto , erit AΚTangens anguli AHΚ, AL Tangens anguli AHL, AM Tangens anguli AHM& denique AN Tangens anguli AI N.

Jam anguli AHΚ melisura est arcus dimidius AC seu basis dimidia, an guli AH mensura est arcus dimidius AF seu semidifferentia segmentorum basis, anguli AHM mensura est arcus dbmidius AE seu semisumma crurum, &denique anguli AHN mensura est arcus dimidius AG seu semidifferentia crurum (S. 3 id Geom. , consequenter AΚTangens basis dimidis, AL Tangens semidifferentiae segmentorum basis, AMTangens semisummae crurum B denique ANest Tangens semidisserentiae crurum.

Quoniam Puncta E, C, F, G, quae projiciuntur in M, Κ, L, N, sunt in Peripheria Circuli Sphaerae inscripti, sed non transeuntis per Polos H & A percon . erunt Puncta M , Κ, L, N, in Peripheria Circuli (S. Isr). Quamobrem cum sit ut AΚ ad AM ita mad AL (S 33s Gem.); evidens est esse Tab ut Tangentem dimidiae basis ad Tangentem semisummae crurum , ita Tangentem semidifferent, crurum ad Tangentem semidifferentiae segmentorum basis. st e. d.

S C Η o L i o N. Is s. Demonstratio continet Artificium Analyticum , quo NapERus (a hoc Theorema inoenit, modo notes ipsum imitatum esse so-hitionem Trianguli rectilinei, qua ex tribus lateribus intimeantur anguli s. qi Trig.).

THEO REM A LXVIII. Is 6. Triangulum Sphaericum ABC Tib.II potin transformari in aliud MLΚ, in Fig. 33 quo latera sngula ML, LΚ, ΚM angulis singulis A , C, B alteriuae s. aut eorum complementis ad duos rectos, si qui fue

lateribus singulis CC BA, AC alterius

(aut eorum complementis ad semicircu

lum, si qua fuerint quadrante majora aqualia sunt.

Latus unum AB continuetur in Circulum AEPA, reliqua duo BC & AC producantur, donec Circulo isti occurrant. Ex A, B & C tanquam Polis describantur, quadrantis AE , BG&CI intervallo, arcus EP, GO & IN, qui

erunt partes Circulorum maximorum in

Sphaera ( b. aci . Quoniam Circulus ABGPA per Polos A & B Circulorum EP & GO transit per con uet hi Vicissim per illius Polos transeunt (S. et T). Est ergo Circuli AEPA Polus in L , ubi EP & GO se mutuo intersecant.T t a Simili

409쪽

33 et ELEMENTA

Tab.II. Simili modo patet in Κ esse Polum Cinculi AF, quia is transit per Polos A & :C Circulorum EP & NI se mutuo ge- scantium in Κ, & in M esse Polum Circuli BH , quia is transit per Polos B &C Circulorum GO & NI se mutuo in M secantium. Sunt adeo LE & GL,

nempe a quadrantibus aequalibus in casu primo arcu DL, in secundo I F, in tertio I Κ, in quarto BE, in quinto CD, in sexto Cm S. si Sed ED mensura anguli BAC, G ipsius EBC, HI ipsius IC (S. 33 , consequenter

aequatur. e. d.

tiuntur omnes Casus Trigonometria Sphierica circa Triangula obliquangula. Aut enim da n-tur sola latera, aut soli anguli, aut duo latera cum uno angulo , aut duo anguli cum uno

Iatere. Duobus casibus prioribus satisfit per Theor. 6q. 66O 6T. I s. Isi ;duobus posterioribus per Theor. 6o I 36 , si partes in quasionem venientes sibi mutuo ponuntur , sed per Theor. I. s s. a 3T , si oppositioni locus non est. Enimvero e re asse judicamus, ut hac expressius doceant Q.

PROBLEMA XX. IS8. Datis in Triangulo Spharuo

SPH ERI CORUM.

obliquamulo ABC duobus lateribus BCA

O AB , cum angulo uni eorum e suo A ; invenire alterum C.

Inferatur (S. I 36 :. Ut Sinus lateris BC ad Sinum anguli oppositi A, ita Sinus lateris BAad Sinum anguli oppositi C.

PROBLEMA XXI IS P. Datis in Triangulo Sploth IahIobliquangulo ABC duobus angulis C 8ay is / di A 3P 2O una cum latere ABoo A i una eorum C opposito, invenire latus BC alteri A positum.

Inferatur (S.I 6): Ut Sinus anguli Cad Sinum lateris oppositi AB; ita Sinus anguli Aad Sinum lateris oppositi BC.

Exemplum Casus praecedentis facile mutatur in Casum praesentem.

PROBLEMA XXII Ido. Datis in Triangulo Sphaerico olli, quamulo ABC Asbus lateribus AB ει' qce BC 3O' IO , una cum angulo uni eorum opposito A qq' 2O ; invenire angulum comprehensum B.

410쪽

c t. IV DE RESOLUTIONE TRIANGUL. OBLIQUANGULORUM. ass

REsoLUTIO. Ponamus angulum C esse acutum:

i s quia alter A etiam acutus, perpendiculum CD intra Triangulum cadit ( S. 8 a ).1. In Triangulo itaque rectangulo ABE, ex datis angulo A & latere AB, invenitur angulus ABE(S. igo . a. Q aoniam re pro parte laterati as sumta in Triangulo AEB,pars media est angulus ABE, conjuncta vero latus AB & in Triangulo EBC pars media est angulus EB C, conjuncta latus BC (S si ); reperietur Cosinus anguli EBC, si a summa ex Cosinu anguli ABE & Cotangente BC subtrahatur Cotangens ipsius AB ( S

tur , aut perpendiculo extra Diangulum cadente a se invicem subtrahantur; prodibit quaesitus ABC.

I 6 I. Datis duobus angulis A q3 3 Ioloe B Ty' s/ s y, una cum latere adjacente AB 66' sis it invenire latus BC uni

eorum oppositum. REsoLUTIO.

I. Ex angulo uno datorum B demissis perpendiculo EB in latus ignotum AC; in Triangulo rectangulo ABE,

ex datis angulo A & Hypotheniis a AB, inveniatur angulus ABE (S.I3o : quia. Ex angulo ABC subductus relinquit angulum EBC. Quodsi perpendiculum extra triangulum caderet, angulus ABC subtrahi deberet ex ABE. 3. Quoniam perpendiculo BE pro una partium lateralium assumto,inTriangulo ABE pars inedia est angulus ABE, conjuncta vero AB ; in Triangulo EBC media angulus EBC , conjuncta BC (S. y ; Cotangens lateris BC invenitur, si e summa Co- tangentisAB & Cotinus EB C subtrahatur Cosinus EBA (S. 13s .

Exemplum Problematis praecedentis facile mutatur in Casum praesentis.

PROBLEMA XXI V. I 62. Datis in Triangulo obliquam gulo ACB duobus lateribus AB 66- si di BC goo as una cum angulo A uni

eorum opposito q3o ao s invenire latus tertium AC. R EsoLUTIO.

in Triangulo rectangulo ABE ex datis angulo A & Hypothenusia AB,