장음표시 사용
101쪽
- Haec secup44 Demonstratio est Caniram. Sed, ve ipse su rituit, excanon constar Cons starium. Quod nos quum iami probauerimus ad quadragesimamsextam primis Me ipsum ,
Theorema sic iacile ostendemus. Ex ipsa A Baiuisa in A C & c B ut prici,constit tur Quadi tum A a P a , cuius Diamerer B D : ducatur Parallelu c 3 secans 1 ita Diametrum in puncto Grite i altera H-, M- rallelus H Κ per idem punctum rum, ex I Demonstrationenostia r it x E dex. BQ-x- ndrata, cri, ipserum AC & CB : visam constat ex constructione. Praeterea duo A G & G E: . λ Supplementa, stat quae fiunt ex A C in B c. Quare, quum haec quatuor perficiant totum D E Ruati tum et mandesta est Propositio. H. itit . - i celliam proponi potest in haec verba, rii : lex majori insestsem, Δοιών, qua fiunt ex exesa in maiorem σ ex.eodem in minorem , Parallelogrammis.
-ῖ Sessiem , a linea excedat A c lineamq; Distione ove Comstarat' dratum maioris μου madra ominori A ccum eo quoὸ fit ex C a in a B ψ est in posteriore Fgura Parallelmgr iuni/AM K tero q-dfit ex eodem ea in minorem A C, quod est o E Parallelograminum. Irim,rerum imaginem suevi,dε contemplari sebit Ne-pὸ quod deest lineae A e , ducetur in ips-: hoc est, Cn in a cr
sed de quod perest ipsi ἀ B ita ipsem vero est e M ducetur ini
102쪽
qualiaRectangulum comprehensum sub inaequalibus segmentis totius una cum Quadrato quod a medio se .grruentorum, aequale est ei quod a dimidia fit Qua
Sit recta linea A 8 aequaliter dicia i inincto C , & inaequalia ter in puncto D. Dico Quadratum cs, esse aequale ei quod fit
ex A D in D B cum Quadrato C D. . s -- I
x a r Deseribam ex ch Quadratsi C EF, cum Diametro h Et& ducam o u ipfi a sparallelum i sce intem Diametrum in puncto H,& E ih puncto G. Et per pun-
stantem AB, per trigesimamprimam Primi , secantem BF in puncto M,&CE in puncto L Et connectam AK aequidistantem C E. Erunth per Consectarium antecedintis, seu pen quae probauimus ad quadi agesimamsex am riimi, L c & 6 M Q Hratat L o quidem lineae c or &-lineae D a.Eequia ' H est aequalis DB: Erit AH id quod fit ex ductu A fi in D A.' E quia, per quadragesimam tertiam Primi , duo' Supplememia' e M &H F sunt aequalia: addito Parallelogrammo h M utriqι erit C si aequale D F. Quum itaque A L sit aequale c M , per trigesimvn- sextam Primi:erit &ipium aequale D r. Gnomon lisur CB C aequalis est A H Parallelogrammo.SeδGnomon ipse eum Qua drato L a , constituit Q adratum dimidiae AB. Quare A H P. rallelogrammum & Quadratum LG , sunt aequalia. Quadrato dimidiae Aa: Quod fuit demonstrandum. THEO REMA PROPOsITIO. VI. 'χααμ τατθη-δέ me nΘεέους, ορλsuium is δετο ἡ θόλους σ- νῆ- Σ--ἔκ m is ά -- -
nea addatur in continuum: quod ex tota iam compo-- sita
103쪽
sis in eam quae addita est, cum Quadrato quod fit adimidia,aequum est ei quod i dimidia cum addita tanquam ab una,fit drato. ' .
Sit linea A B aequaliter diuisa in puncto C: eiqi addita B D. Dico id quod fit ex composita, A D in additam a D cum Quadrato dimidiae C a , esse aequale Quadrato C D. Describam ex C D, Quadratum C D E F, cujus sit Diameter A ta ducam B c aequalem & aequidistante D F quae fccet Di mptrum in puneo H. Et per ipcim H punctum , ducam ΚMMia et mi aequalem & aequid istantem 4 D, secantem D F in puncto M , & C E in punct L: Et connectam a x aequidistantem C L. s Iam per Consectarium quartae huius, utrumque Parallelogrammum L C & B M st qu drarum: hoc quidem ex B D , illud vero ex C B : & propterea D M aequalis ' ': totum. A M Parallelogrammum , est quod fir e 4 v in AER. ia exg q,per trigcstinamsextam Primi, A L est qu lo c.M: ες, per vadragesimamrelliam ejusdem,Suinplementum C H aequa Supplemento H F: erit & A L eidem H ε quale, Quare Gnomon C R G H , toti A M Parallelogrammo aequalis. . Sed Gnomon C D G ticum quadrato L G, constituit quas trii u η ae s ' Quare A MParallelogrammum cum qua ibaro Gi,aessu te est qyadrato lineae cD quod fuit demo λndum. D m
- Si recta linea secetur iri ditas quantastum s partes: Quadratum quod a tota cuni Quadrato quod ab una partium, aequale est ei quod bis producitur ex tota in ipsam putia, Rectangulo num eb quod exi altera par
104쪽
L I B iE R II. DSit linea A n, sortiiesto divisa in puncto C.Dico quadratum totius A B cum quadrato B C, aequale esse ei quod bis fit ex A B in B C cum qua
Describatur quadratum totius A B , quod sit A B D E , cuius Diameter BD: ducaturq; CF ae- A qualis aequidistans B a , secans Diametrum in puncto G : & per c punctum, H κ aequalis & aequidistans A B. Qitia igitur Quadratum A E cum Quadraro C H , est aequale Quadrato x p cum duobus Parallelogrammis A H & C E : patet
si quis manifestius perspicere velit, ficiat H M Parallelogrammum aequale H A Parallelogramino, ut E M sit Quadratum B C. Ac tum omnes apparebunt Propositionis particu .
Si recta linea secetur utcunque Rectangulari comprehensem quales sub tota rimentorum cum eo quod ex altero stameffossic adrato , aequale est ei quod a tota cum prio, istam qnto xδnquam una
Recta linea A B secetur utcunque in puncto C. Dico id quod quater sub A n& e , eontinetur Rectinguium una cum .. draro quod ex A c. aequale esse ei quod ex .c C tanquam ex unida linea , Quadrato. Producatur Aa in Drpunctum, ερ sit an aequalis e B: Et ex A D descrIbatur quadratum A D E p. Tum ducta Diametro D E, lineisq; ca& an parallelis de aequalibus
ctis x de Lmper ipsi x N L puncta, ductis Moec 2 R parallelis N aequitibus ipsi Dar, n Exit,.
105쪽
ELEMENT. Eu CLIDIS. Erit, per Consectarium quartae hujus,vnaquaeq; Superficierum R G,N MB M , & C P, quadrata. inuinq; B D & B L latera Quadrati B M , sint aequalia C E & B L lateribus Quadratum: similiq; ratione L P Quadra.' tum : ob idq; quatuor Qii adrata Com-A n δ' ponentia C p Quadratum, inter se mu Ila. Et quia totus Gnomon A D G Κ , circumstans Q υadratum R G,est,pet trigestinam sextam, & quadragesimamrettiam Prumi, quadruplus ei quod ex A B in B D fit Rectangulo, quia quadruplus ad Superficiem A L: constat fropositio : Scilicet A L sumptum quater cum Quadrato R G , esse QPdrato A v E F ae
De Gnomone autem euidentius perspiciemus, si aduert rimus Superficien mutilam A b κ R , esse duplam ad superficient Acr. Lmo enim Ttiangula KNL & LBD , sunt aequalia Ou dratcic'e. Idemq; de altera parte D p G x sit judicium. Sod nos prolixius exponeremus , ingenium midiosorum obrueremus potius quam instrueremus. Eae enim figurationes Gnomonuin ejusitandi iunt, ut sese ob concinni incum spontς
set,aauale erit lys qua ex ducta prioris linea Mi --sitam εα ισ,-ei ex ulterost emolis sadrato .rad emiti Mem rccidit cini, priore. . Est enim BD ipsi cypestatuo aequaIin Sed tamen ouimodi varietates inutiles non ibnt: quippe q ingentium ad mm Theorematum praxin&miani instruuius reddanto Neque iocommode secerit qui se Mi Propositionibus Geometricis, huius praesertim Secundi libri variandis .immo &nouis excogitandis exercuerit. Cmuc modi satis multas adsiaibicrepou mus.Sed eae priuatim a Geometra sint ex tinaruiae, non ip ter reliquas collocandae. Tae ditissim est enim tax Theoxemata congerere quae cum Numeris conmunicam Eam, ob causim,nec sine judicio paucis fisit
106쪽
Si recta linea in duo aequalia duo inaequalia diui daturi quae ab inaequalibus totius segmentis fiunt Quadrata , dupla sunt eius quod a dimidia cum eo quod a medio segmentorum fit Quadrato.
Sit linea AB dii ita aequaliter in puncto e , & inaequaliter in D. Dico duo Quadrara quae ex A D N D a , dupla esse duorum
quae ex A C & C D , Quadratorum. Super punctum c erigo perpendiculamn C 1, aequalem trique A e & c a: Et connecto S A & E B. Erunt . per quintam& trigesimamsecundam Primi , duo anguli a & a semitecti: Ee uterque qui ad E , semiremis: scq; totus E rectus. Erigo itaque DF perpendicularem super I .secantem EB in puncto v. Et erit, per eandem trigesimamsecundam , angulus h FB seml- rectus : quapropter D B & D F latera, per sextam Primi, aequalia. Iam a puncto F duco F a aquidistantem, ob idque aequalem C D. Et erit, per secundam partem vigesimaenon ,&-r trigesimamsecundam Primi , urerque a angulus qui ado, rectus, & angulus , ae v c semirectus: est enim ν E G semirectus. Quapropter ε c &ν G,latera, per sextam Primi, aequalia. Tandem connecto A p. Et quoniam Quadratum E P, per quadragesimamsi ptimam Primi, aequale est Quadraris duarum E G dc G F : ipsum erit duplum ad Quadratum G F rob idq; ad Quadratum e D. Eadem ratione erit Quadratum E A duplum ad Quadraru Α C. umque Quadratum A E sit aequale Quadratis A E & ε ν, . ean dem : ipsum erit duplum ad Quadrata a C Ac c D. Sed Ee idem adratum A F aequale est Qu dratis A D dc D p. Et Gadrata igi tur AD N DF dupla sunt ad Quadrata AC&CD, Et quia . Quadratum n B est aequin Quadrato D ν : erum duo quadra
107쪽
Si recta linea secetur in duo aequalia,apponatur autem ei alia incontihuum: quod ex tota iam composita, quod ςx. Apposita ambo fiunt Q radrata, dupla, sunt amborqna, ieius scilicet quod ex dimidia, eiusq; quod ex dimicha cum apposita', Quadratorum.
Sit recta linea A B aequaliter diuisa in puncto C : eiq; Incontinuum apposita a D. Dico id quod fit ex AD Quadratum cum . Quadrato quod ex a D , duplum esse ejus quod ex A C Cum eo quod ex C D Quadrato. Erigo C E perpendicularem super A B , & aequalem utrique. linearum A C & C B : Et connecto A E dc E B. Eritq;, per quin ram & trigesimamsecund m Primi, uterque angulus A& B: item Vterque qui ad E , semirectus: totusq; E rectus. A puncto itaque S , duCo E F aequ/lam & atquidistantem c D: &connecto F D, quam protraho donec concurrat cum linea E s protracta d punctum G:
Et quia angulus E C D est rectus. erit, per ultimam parte vigesimaenonae Primi, angulus C E F rectus. Quum igitur angulus C E B sit semirectus: erit & F E G semirectus. Q inq; F D, per trigesimam tertiam Primi. sit aequi di- . stans E C : eriti per trigesimamquartam ejusdem , angulus qui ad F, tectus: sicq; angqlus E G F, Per trigcsim msecundam, semirect
108쪽
LIBER I L rectus: quia F E G semirectus. Et per eandem angulus DBG semirectus: quum angulus BD G,perdecimamtertiam eiusdem, sit rectus. Duo igitur latera E F & F G , per sextam ejusdem, stat aequalia: itidemq; duo a D & D C aequalia. QVapropter Quadratum E G, per quadragesiin septunam Primi. duplum est ad Quadratum E F : ob id , & ad Quadratum C D. Quadratum item A E , per eandem, duplum est ad Quadratum A C. Quumq; Quadratum A G , per eandem , sit aequale duobus Quadratis A E & EG , similiter& duobus Quadratis AD&Dc: sitq; Quadratum D G aequale quadrato B D : crunt duo quadrata a D & D G ea sunt A D & B Dὶ dupla duobus QMdratis A c &c D : Quod fuit demonstrandum. Α LI T E R. Sit linea A B. bifariam diuisa in C , eiq; in continuum adjuncta a D. Dico Quadratum quod ex A D cum Qiae. drato quod ex B D , duplum esse ad utrumque, & quod ex A c& quod ex c D fit Quadratum. h. Ex tota A D desci ibo Quadratum A D E F. Et super dimidia A c describo Quadratum A C G H : protractisq; C H & C H ad sectiones duorum laterum E E N D F, describo H L x F : quod erit Quadratum ipsius C D r ve constat ducta Diametro Λ H F , ex Consectario quartae hujus & ex trigesimaquarta Primi: est e- nim x p aequale C D. Factis etiam H M & H N utrique A C & c Baequalibus, protraho M o de N p, sese scindentes ad rectos angulos in puncto QDrum utraque secet latera QMdrati A p E F in o & p punctis. Iam vero nihil attinet probare H Qtasse Quadrarum Ipsius A c, quum sit QMdratum C a : sicut iup Quadratum ipsius B D:
neque Hs Parallelogrammum, aequale esse utrique Supplementorum ΕΗ & H D: quum Ho sit eis communiter aequale: π α ν Denique N o &. Supplementa esle α-
'' 'l' ' 'μ' ς i m manifesta sunt haec
ex ipsa Figurae specie: propterea quod Omnes anguli qui circa Diametrum , sunt semirecti & latera aequalia. Diligenter itaque aduertentes quibus partibus componatur Quadratum H F, quod est ex CD:ς ' sic ratiocinabimur. Quum totum D a
Quadratum integretur duobus A H N H F Quadratis & duobus
109쪽
ro1 ELEMENT. EVCLIDIS Supplementis E Η & H D : probandu nobis est.haec ipsi suppi menta cum quadrato RGquod est ex B D in esse aequalia duobus ipsis A H & H F Quadratis. Tum enim probauerimus haec duo, Quadrata Α Η & Hr bis sumpta toti Qua, drato D E cum Quadrato Messe aequiua,t quod initio suscepimus. Sic autem erit
Supplementum g H aequale est Parali logrammo Hν : Et Quadratum ΑΗ cum Supplemenro minori N o , aequum est alteri Supplemento H D , per primam animi Notionem, toties sumptam quoties opus fuerit. Duo igitur Supplementa E Η-H o, sunt aequalia Quadrato A H & Gn moni K H L Si ergo ad utrumque accedat Quadratum: νr erunt duo Supplementa a H & H D cum Quadrato M,
qualia quadraro A H, Gnomoni x.H L & Quadrato Q. Sed naec tria constituunt duo Quadrata AH&HF.Sunt igitur duo Supplementa E H &Η D cum Quadrato D, aequalia duobus, Quadratis A H & H F : Quod erat secundarium. Quare duo Quadrara Α Η & Η F bis sumpta, toti Quadrato D E cum Qua .drato ur sint aequalia: Quod erat probandum. H AE c Demonstratio longiorem quidem habet deductim nem , sed nihilominus acutam: Quo nos ex Figura Gno montea venati sumus: Ex qua hujusce libri Secundiumnint eius fere Geometriae Demonstrationes insigniores haurituse
Datam rectam lineam sic secare , ut qu od 'ex tota de altero segmentorum sit Rectangulum, aequale sit ei quod ex altero segmento sit Quadrato.
Sit inea a a sic diuidenda,ut ex tota in unum segmentorum fiet I ctangulum, aequale fit ei quod ex altero segmento fiet
110쪽
Quadrato. Describo ex A B , Quadratum A B c D.Cujus latus a D diuidsper aequalia in E : & connecto A E : Et protraho E B ad F pun- euim. ut sit E F aequalis A E : Et ex B F , portione exteriori, describo Quadratum B F G H: ut B H latus rescctum sit ex A a. Diaco A n sic sectam esse in puncto H, ut quod fit ex ΛBin A H quale sit quadrato quod ex H B. Protraho G H ad x, punctum lateris C D, aequalm & aequia distantem A c:Eritq; H C Rectangulum ex ε H m Λ Nquod pro
babitur aequale B F G H Quadrato. - i
Quoniam enim linea s o diuisa est per aequalia in E , atque eidem addita linea BF: erit, per sextam hujus, quod fit ex D F in B r cum Quadrato E B aequale qua drato B F : quapropter & Quadrato ε Ad ob idq, , per quadragesimamseptimam Primi quadratis A B & E B. Ablato igitur utrimque quadrato E B, erit quod fit ex D Fin B p quod est Parallelogrammum FK aequale quadrato lineae AB. Dempto igitur utrimque Parallelo. grammo BK supererit quadratum B C aequale Paraliclogrammo H C : Quod fuit demonstrandum. Oas a Ru ABIMus, hoc Problema nequ*quam, Ut caeteras hin Secundi Libri Piopositiones, ad Numeros reduci posse s Q in enim posuerimus latus D B id est AB in atque in duo aequalia diui sesimus ut in x puncto: linea A E superumniens rationem conturbat: hoc est; millam habet rationem ad larus AB nominitam:ob idq; per Numeros minime exssica
Cere 'non possunti: itru nec duo qbadiati Numeri sit 3draeum Numerum efficient quorum alter sit 'qli enum vilaiidiae t
Id nos exemplo norum iaciemuse, dra 8 , fiunx. si haec minata munquam quadratum: