장음표시 사용
111쪽
o ELEMENT. EUCLIDIs non possunt: siciunt enim go. Hoc vero esset necessirium, vi hoc Problema in Numeris locum haberet. At vero per Numeros Irrationales figurabitur in hunc modum. Sint 8 sic diuidenda, ut quod ex toto in alteram fiet partiu, aequato sit ei quod ex reliqua parte fiet quadrato. Duco 8 in se,fiunt ε ηαoc est, quadratum A a C D.Diuido gin duo aequalia, fiunt 4, ut o Raur ε Blinea.Duco 4 in se, fiunt Ιε : haec addo ad 6 4,proueniunt 8o: quorum radix est a s8o. Ea est linea A E seu h p, per quadragesimamseptimam Piimi. Quum itaque E p sit Vs 8o, di E B sit 4: erit B p,νs 8o m 4. Ac
tanta crit 3 H Sed A H ei it 8 Q-8 o m 4: hoc est, I 2 thgo. Iam i 1 HYsso. ducta in s , tantumdem efficiunt qua tum-8o m 4 in se ducta. sicut vuli haec undecima Haec vero in secundo nostrae Algebrae vovimine abunde explicauimus: quam nos propediem, Deo juvante latinam finiemus. Atque has omnes Secundi Libri Propositiones Campanus Numeris accommodat, sub Decimam sextam Noni. hanc ramen undecimam omnino a Numeris excludit. Neque interim de Irrationalibus verbum ullum facit. THEOREM A n, PROPOSITIO XII. . D τοις αφιγυγωνίοις γ δ ἀαζλῶπι - ratam τε - ναν, M- ον- -ν δ αι γε ν-αρῆν, τε ψώνων , -υπά τε η mi σχῆι δ
sum angulum subtendente fit Quadratum, tanto na ius est duorum resiquorum Quadratis, quantum est id quod continetur bis si, uno horrem', & eo quod
ipsi attagitu iri quod perpendicularis cadit.au
Sit Triangulam Alle, cuius amgulus Aobtusiis. Et prona - ΔΟ latere B A interminaia ducavir, per duodecimam Primia puncto C ad protractam , perpendicularis e De ut sit AD a sinemusn lateris a MDico inadratum lateias a D, Ianto ma-
112쪽
sus esse Quadratis duorum B A & A C laterum I quantum est id quod bis continetur sub BA 8e A D , Rectangulum : scilicet, is quadratum B C aequale esse quadratis a A de ,' , A c cum eo quod bis fit ex B A in A D. Est enim , per quartam huius, quadra- aequale Quadratis duorum BA& Α D & ei quod bis sΓb ipsis B A A A D continetur , Rectangulo. Et quia quadratum B C , per quadragesi- .mam septimam Primi, est aequale duobus B D & C D : erit idem B C Quadratum aequale tribus quadratis BA, AD,& DC&ei quod bis sub A A & A D continetur Rectangulo. At per candem, Quadrarum Ac, acquale est quadratis A D & D c. Est igitur qua dratum B c aequale Quadratis a A & A c & ei, quod bis sub Α Α& A D comprehenditur, Rectangulo: Quod fuit demonstrandum.
THEOREM A in, PROPOSITIO XIII.
In Triangulis,quod ex latere alterum acutorum angulorum subtendente sit Quadratum, tanto minus est duorum reliquorum laterum Quadratis, quantum est
id quod bis continetur sub illo in quod perpendicularis introrsum cadit & ea ipsius parie quae perpendi
culari angulos acuto interjacet. Quod Euclides de Triangulis Oxygoniis proposuit, nos
cum Campano ad omnia Triangula ampliauimus. Titangula enim omnia duos, minimum,habent acutos angulos. Si itaque fuerit oxygonium , a quolibet angulorum demittatur perpendicularis : Si vero Orthogonium aut Amblygonium, demittenda erit ab angulo recto aut ab obtuso: in id latus scilicet quod duobus acutis angulis interjacet: quae o-
113쪽
mnino intra Triangulum cadet, ut demonstrauimus ad vIgesimam Primi. Ac tum hujus Theorematis Demonstratio tres Triangulorum species generatim complectetur. Sit igitur Triangulum A B C, cujus duo anguli B & c acuti, quantu umque sit angulus A. Ab angulo A, demitto perpendicularem A D in latus a C. Dico inadratum lateris A B, tanto minus esse Quadratis duorum laterum a C & B C, quantum est duplum ejus quod fit ex toto B C in partem D C. Vel etiam qu dratum AC, tanto minus esse quadratis duorum A B & B C, quantum est duplum ejus quod fit ex C B in B D. .adratum enim A C, per quadragesima ptimam Primi aequale est duobus Quadratis A D & D c : Et Quadratum a C , per septimam hujus, cum quadrato D C , aequale est quadrato B D cum eo quod bis fit ex B C in D C. Tria igitur quadrata Ac, BC,& D C , aequalia sunt tribus quadratis AD, D C Sc B D cum eo quod bis fit ex B C in D c. Commune auferatur quadratum D C : Erunt duo quadrata A c& a C , aequalia duobus quadratis A D & a D cum eo quod bis fit ex B c in D C . At Quadratum A B aequale est duobus quadratis A D & B D. Quare id ipsum A B quadratum tanto minus erit dum bus A C & B c, quantum est duplum erus quod fit ex B c in D c: Quod erat probandum. Haec Demonstratio, quam ab illa communi aliquantum v riauimus, directa est. 2Estimatio enim utraque ponitur: ut a
Simili argumentandi ratione,probabitur Quadratum lateris A c, tanto minus esse quadratis duorum A B N B C, quantum
est duplum ejus,quod fit ex c B in DB,RectangulL PROBLEMA 1. PROPOSITIO XIII L
Dato Rectilineo aequale Quadratum describere.
m Rectilineum A a C D , cui aequale Quadratum d ii sit. Constituo Parallelogrammum Rectangulum
114쪽
LIBER I I. ' : io E F G H, aequale ipsi A 8 c D Rectilineo , per quadragesimam' '-- quintam Primi. Cujus si latera
, . . .. postmodum totam HK bifariam,
in puncto L. Atque in ipso L posito Centro , describam super lineam H x , Semicirculatu H M K : Et protraham F c lacus do nec secet Semicirculum in puncto M. Dico Raradratum Lianeae G M esse aequale Rectilineo A BC D. Conne m L M. Et quia linea H x diuisa est aequaliter in i, & inaequaliter in G : erit, per quintam' hujus, quod fit ex ti cin G κ cum quadrato G L , aequale Quadrato L κὰ ob id , quadrato L M: quapropter & duobus Quadratis a. G & C M , per quadragesimamseptimam Primi Dempto ergo Vtrimque quadrato L C erit quod fit ex HG in G κ id vero est Parallelo grammum E a )aequale Quadrato G M. Quare & Quadratum G M aequale Rectilineo AB c D: Quod ficiendum suit: Hoc etiam loco addere placuit eX Campano, Compendium inuentendi lateris Tetragonici: ad eas Figuras,quas v cant irregulares,aequandas. 6Sit Figura quaepiam anormis, AB C D , quatuor laterum: Quae in terna Triangula re liuetur ABC, AEC&ΕCD. ἡ m. HAEc tria, secundum do ,' ctrinam bujus,reduco ad tria
quorum latera i ','ςrbi gratia FG, FH,&
,l Tum statuor c& suangulum rectum F:& connecto G H : super quam erigo H K , itidem ad angulum rectum c H κ: Et connecto G Κ.Et erit G R latus Tetragoni quaestii ve uis manisestum est ex Propositione illa quadragesimaseptuma Primi. YIn Figuris autem Regularibus , quae in Triangula aequalia resoluuntur, compendium multo promptius est. Expedite e nim ad unum Parallelogrammum Rectangulum reducuntur,&o x inde
115쪽
ALITER. Conuertantur singulatim Triangula in Parallelogramma Reetiingula, quae unum Parallelogranimum efficiant. ,Verbi gratia, reducatur Triangulum A B C ad Parallelogrammum F α rex Rectangulum, per quadragesimamsecun-L - dam Primi. Tum stipet linea. ' Hx constituatur Parallelogrammum itidem Rectan-d ' α - , gulum HKLM aequale Tria-gulo ACE, per quadragesimamquartam ejusdem. Demum, per eande, super linea L M constituatur Parallelogramum L M N O, aequale Triangulo CD E. ν i. Eritq; p G N o unum Parallelogrammum, per quadragei simamquintam Primi: atque aequale toti Figu- rae Rectilineae ABC DE. Quod, per hanc, Vltimam, conuertes in Qua
116쪽
AEquales Circuli, sunt quotita Diametri sunt aequales: vel quorum quae ex Centro lineae, sunt aequales.
Quum Circuli periphetia Infinitatem prae se ferat, Circuli dimensio a Peripheria non petitur, sed a linea recta, nempe a
Haec vero Definitio ex se clara est. Nam quum Diametri .er Circulorum Centra educantur, & dimidium orbium semper subtendant: si sint ipse aequales , ab iisdem quoque dimia dia aequalia subtendi par est. morum vero dimidia sunt aequalia,ea inter se sunt aequalia. ', Vt, AEquales quidem simi A
I P i Diametrorum: majores autem c Circulo: quum minor sit hujus Dimetiens. Sed & aeque significans est & manifesta altera pars Definitionis, vel ex ea,quam in Principii, Libri Primi posuimus, Circuli Definitione. Εἰθεια κύψου ἐφ PQ H ομνη τῶ
117쪽
sta in eam quae addita est, cum Quadrato quod fit adimidia,aequum est ei quod a dimidia cum addita tan
Sit linea A B aequaliter diuisa in puncto C: eiq; addita B D. Diiuo id quod fit ex composita An in additam a D cum Quadrato dimidiae C a , esse aequale Quadrato C D. iDescribam ex C D , Q draxum C D E F, cujus sit Diameter Ei Et ducam B c aequalem & aequidistante D p quae secet Di mntrum in puncto H. Et per ipsum H punctum , ducam K Mni et 2 ν i aequalcm&aequid istantem AD, secantem D F in puncto M , & C E in puncto L: Et connectam A K aequidistantum C L. .l lam per Consectarium quartae huius, utrumque Parallelogrammum L a & B Mest quadrarum: hoic quidem ex BD , illud vero ex CB: &pr prerea v - aequalis ' D: rotymi A M Parallelogrammum, est quod Me 4 v inae P. ia ei Da,per triges mamsextam A L est qui lς c B: , per vadragesimamrertiam eiusdem,Suin pleri nium c H aeqUale Supplemento H F: erit & A L eidem H ε quale, in re Gnomon c R G H , toti A M Parallelogrammo aequalis. . Sed Gnomon C D G H cum quadrato L G , constituit quaή Iugi. Encae s D. Quare A M Parallelogrammum cum qu vi in G, aequaqecst quadrato lineae cD r Fod fuit demo, ,hdu . : I
- Si recta linea secetur in duas quantastum I partes: adratum quod a tota cum adrato quod ab una partium, aequale est ei quod bis producitur ex rota in
partem Rectangulosum e. quod exstiter, par
118쪽
co quadratum totius A B cum quadrato B C, X-
quale esse ei quod bis fit ex A B in s C cum qua
Describatur quadratum totius A B , quod sit A s D E , cuius Diameter BD: ducaturq; C F ae A qualis se aequidistans B a , secans Diametrum in puncto G : N per c punctum, H K aequalis & aequidistans Α B. Qitia igitur Quadratum A E cum Quadrato C H est aequale Quadrato x p cum duobus Parallelogrammis A H & C E et patet
Si recta linea secetur utcunque Rectangulam comprehensem quateri sub tota ta v in rimentorum cuni eo quod ex altero stamen 'qfit Quadrato, aequale est ei quod a tota cum priori segm nto xδnquam ab una
describitur,cU MO 'ε . Recta linea A B secetur utcunque in puncto e. Dico id qἡod quater sub A R& c eontinetur Rectangulum una cum si, draro quod ex A c, aequale esse es quod ex ui a re s C tanquam ex unica tmea , Quadrato si Producatur A a m upunctum, de sit a naequalis e B: Et ex a D describatur quadratum A D E p. Tum ducta Diametro D Ε,
lineisq; C G & a ri parallelis de aequalibus Mo& p R paratalis N aequalibus ipsi D Arx n Exit,
119쪽
Erit,per Consectarium quartae hujus,vnaquaeq; Superficierum K G,N MB M ,-C P, quadrata. umq; B D & B L latera Quadrati B M , sat aequalia c a & B L lateribus Quadratum: similiq; ratione L p Quadratum : ob idq; quatuor Qtiadrata Componentia C P Quadratum, inter se aequa- Ila. Et quia totus Gnomon A D G K, Circumstans Quadratum R G,est,per trigesimam sextam, & quadragesimamtertiam Primi, quadruplus ei quod ex A B in B D fit Rectangulo, quia quadruplus ad Superficsem AL: constat fropositio : Scilicet ALsimplum quater cum Quadrato R G, esse Quadrato A v E P ae
De Gnomone aurem euidentius perspiciemus, si aduerterimus Superficiem mutilam Ab k R , esse duplam ad superficieta AC. Duo enim Tria hyla KNL & LBD , sunt aequalia O uadrata C e. Idemq; de altera parte D p a x sit judicium. Sod nos se prolixius exponeremus, ἱngenium studiosorum obrucremus potius quam instrueremus. Eae enim figurationes Gnomonum Rusi disint , ut sese ob concinni intam sponis
set,aequale erit νs qua ex ductu prioris liaea is ipse addatam rer, em eι quod ex altero siegmento sit Madrato.
.. Id emini imitecidit cum priore.. Est enim sti ipsi cymppeuo aequalia sed rame' ou riodi varietates, inutiles non sunt: quippe g r ingenium ad horum Theorematum praxin&π-Linstructius reddaiud Neque iocommode secerit qui se in Propositionibus Geometricis, huius praesertim Secundi libri variandis ζimmo & nouis excogitandis exercuerit. Cusus modi satis multas adsi Fibere possumus.Sedeae priuatim a Geometra sint examinandae, non ipter reliquas collocandae a cytisum est enim tax Theoremata congerere quae cum Numeris communicam.Eamq; ob causuomec sine judicio paucis fuit
120쪽
Si recta linea in duo aequalia duo. inaequalia diui
datur: quae ab inaequalibus totius segmentis fiunt Quadrata, dupla sunt eius quod a dimidia cum eo quod a medio segmentorum fit Quadrato.
Sit linea AB diuia aequaliter in puncto c, & inaequaliter in v. Dico duo Quadrata quae ex A D & DB, dupla esse duorum quae ex A C & C o, Quadratorum. Super punctum C erigo perpendiculamn C ll, aequalem trique Ae&ca: Et connesio EAM EB. Erunt . per quintam ει trigesimamsecundam Primi , duo avguli a & a semitecti: tivterque qui ad E , semirectus et sicq, totus E rectus. Erigo itaque DF perpendicularem speram secantem EB in puncto v. Et erit, per eandem trigesimamsecundam, angulus a Tn femi rectuse quapropter D Bdc D F latera, Per sextam Primi, aequalia. lam a puncto F duco F G aequidistantem, ob idq; aequalem C D. Et erit, per secundam partem vigesimae no& per trigesimamsecundam Primi , urerque angulus qui ado, rectus, & angulus, ου ν si semire si est enim ν E G semirectus. Quapropter ε c Ecν G,latera, per sextam Primi, aequalia. Tandem connecto A p.
Et quoniam Quadratum E F, per quadragesimam septimam Primi, aequale est Quadratis duarum E G dc G F: ipsum erit duplum ad Quadratum G F : ob idq; ad Quadratum c D. Eadem ratione erit Quadratum E A duplum ad Quadraru a C. Quum--e Quadratum A g sit aequale Quadratis A E dc Ε F , per ea : ipsum erit duphim ad Quadrata A C εἰ c D. Sed de idem. Quadratum A ν aequale est Quia ratis A D dc D p. ri Quadrata Igi tur A D hc D F dupla sunt ad Quadrata AC&CIA Et quIa. adratum DB est aequin Quadrato D r: erunt duo Quadi