장음표시 사용
81쪽
' ELEMENT. EUCLIDIsransi am-οῦ canctitarere,h-m angulum dato aquabm. Vbi animaduertendum, inter duas parallelos datas Parallelogrammum Constituere, non esse difficilius, quam super data tecta linea. Nam ubicumque datur linea re . dantur duae paralleli interminatae: intelligo, ad Parallelogrammum constituendum.
Hoc volui alicere. vlt Geometriae candidati, Propositiones variὰ inuentas & enunciatas Conciliare,de ad vim accom- modare discant. HANC nostram poteramus in locum sequentis substituere, quum esset locupletior. Datur enim linea: praeter id quod sequens ipsa vacare videtur, ut quae ex antecedente satis patcret : nisi forte quod Rectilinea in Triangula re luere monet. Ob id, a nonnullis omissa est,ut a Campano. Eam tamen e loco non mouimus. Nihil enim in praesens de nostro in ordinem redigere constituimus.
Dato Rectilineo aequale Parallelogrammum constituere , habens angulum angulo dato aequalem.
Sit datum Rectilineum A B C D, datus vero angulus E. Volo ipsi A 8 c D Rectilineo aequale Parallelogrammum construeta, habens angulum aequalem angulo E. Resoluo A B C D, quum sit Quadrilarerum,in duo Triangula A A D & B c D: Ipsiq; A B D, per quadragesimam secundam,
constituo aequale Parallelogrammum FG. ΗΚ, habens angu- tum F κ H ,.angulo E aequalem. Et continuata κ H in ptinctum M , ut sit angulus G H M, per vigesimamnonam aequalis angulo κ : constituo super G H , Per antecedente,Parallelogramum G H L M, aequale Triangulo B C D, habens angulum GHM jam creatum. Et quoniam Ii
82쪽
LIBERI. II gulus M H C aequalis angulo F G H alterno , per primam partem vigesimaenonae : ipse M H G cum L G H duobus rectis aequalis , per ultimam partem eiusdem: erit F G H angulus cum ipse L G H duobus rectis aequalis. itaque, per decimam quartam , F Lest linea una. Quumq; F G & k H sint,per trigesimam tertiam, aequales: itemq, G L & H M,per eandem aequales: eri r tota F L, toti κ M aequalis: & per trigesimanitertiam, F x & L M aequales. igitur totum Quadrilaterum p κ L M , Parallelogrammum. Quare quum angulus Κ sit aequalis angulo E e constat Proposi
Ex jam demonstratis emerget hoc Problema, Prusiis duabus Superficiebus remmeis inaequalibus, excessum
maiorisIupra minorem cognoscere.
Sint duae Superficies rectilineae A & a , quarum maior sit , Volo scire quantus si excessus ipsitis A supra B. Constituo , per quadragesimamquartam, Parallelogram-mum c D E F, aequale ipsi A Recti lineo,habens angulum C D E F, verbi gratia, rectum. Et protracta C D in o punctum, factat D G aequali ipsi c R: constituo , pes quadragesimamquartam, super D G, Parallelogrammum D G HK,equale ipsi B Rectilineo, habens angulum D G Κ rectum. Et protraho x H, donec secet CE in puncto L. Dico MLEveL
' Ac primum c G κ I. umim esse parallelogrammum, clarius est qtiam quod demonstrari debeat. Quoniam igitur c D & D G, ex positu ,iunt aequales: & utraque ipsi K L Parallelus: erunt,pex trigesimamsext-, duo. Parallel Rramma CH Sc DR aequalia.
Et quoniam D κ yositum est aegii de ipi; a Rectilineo: eiit Me H ipsi a Rectilineo, aequate. Qiare, Mum rotum c Pgrati
logrammum, sit aequale ipsi A Rectilineo: sitq; i. F excessiis ipsius e F supra D κ : erit, per communem Notionem,L F exces.sM A Rectilinei supra a Rectilineum : i Quod erat manifestan
A L I T E R incilius. Maneat c D E F Parallelogrammum ae-.k a. quale
83쪽
g ELEMENT. EUCLIDI squale ipsi A Rectilineo. Et protracta C D ad G punctum, constituatur super D a , Parallelogrammum D G H x ipsi a Re stilineo aequale : productisq, E C.& H Κ , ut Concurrant ad L punctum, ducatur per D punctum, Dimetiens L D M,Q-cans H G protractam, in puncto M. Et duc
rcto M : ut sit H L M M Parallelogrammum. Dico N F esse excessum Rectilinei A supra a Rectilineum.
Quum enim H D sit aequale B Rectilineo, sintq; H D & DN Supplementa, perquadragesimam tertiam , aequalia: erit quoque D N ipsi a Rectilineo aequale. Quo ablato a C F Parallelogrammo quod positum fuit ipsi A aequale) remanebit N F excessus A supra Η : Quod erat fa
' .,data recta linea Quadratum describcre.
Sit data linea A B, ex qua sit describendum Quadratum A punctis A & B; excito, per undecimam, duas perpendiculares A C-B D: quarum utramque, per tertiam,facio aequalem ipsi A B Eruntq;, per ultimam partem vigesimaeoctauae, A C & - Paralleli. Et connecto C D: quae, per rrigesia mam tertiam , erit aequalis & parallelus ipsi A B. Quiimq; duo anguli A & B sint recti: erunt &duo oppόsiti D N c recti, per ultimam partem v esimae nonae: vel, si mauis , per trigesimam- quartam. Quare, ex definitione Quadrati,erie Aac D Quadratum. , ALITER. Erigarur A te perpetidicu rixad A n : eidemq; ponatur aequalis. Eel' puncto c ducatur 'c D parallelus Beaequalis eidem A B :-connectitur u B et quae, per trigesimam tertiam, erit aequalis & paralleius ipsi A c. Quumq;, per ultimam partem vigesimaenonae, omnes anguli sitit recti: erit ABCD 'Quadratum : Quod faciendum fuit. A NIM A D V E R T E N D v M, veram Quadrati constructio-
84쪽
LIBER r. 77tvm ἡ Centro, atqi ob id, e Circulo pendere. In iis enim quae persecta sunt, punctum ubique primum est ad quod omnia re--untur. Sic igitur producemus Quadratum non data linea. h Ex centro A , Circuli B C D E , educatur duae lineae A B & A cad periphetiam, ficientes angulum qui ad A rectum: & em umutraque protrahaturi in puncta D S a peri pheriae. λc tum connectantur B C, C D , D Ε,&E B.i Quum igitur quatuor anguli qui ad Asine recti, per declimam quintam: & omnes lineae aequales quae illos Comprehendunt, Vtpote a Centro ad peripheriam et erunt, per quintam & trigesimam secundam, in quatuor Nangulis integrum Parallelogrammum componentibus, bivi quique anguli, qui ad B, C, D, E, scini recti: unde quatuor in regri recti:& per quartam,quatuor bases aequales. Quare B C DQuadratum. Α T M E eam ob causam praecipuam , tam mystica semper habita est Decussatio : ea praesertim quae ad recios fit angulos,& undique aequalitatem ostendit: qualis in Quadrato 6c Ci culo conspicua est. Nam quod Quadratum facimus ex ductu lineae rectae in seipsam , id sensus iudicio facimus, Artis ductu. Per centrum enim lineas duci , atque in ambitum, non in latum incedere par est. Punctum quippe illud foecundissimum, lineas infinitas circumquaque procreat. Neq, quisquam mihi obiiciat: Quadratos Numeros , qui ex ductu lateris in seipsum Producuntur, Piuersη est enim Discretorum,&Continuorum . Consideratio, quam hic explicandi non est locus. PIoc tamen non nego , Artem nobis omni ratione amplcctendam esse: quae Naturam sibi soli cognitam,patefacit: similitudine de imL. ratione. Haec enim quae facit, affabrc quidem ficit: scd quis,
persectius, eo occultius. Ο Μ. ΑΑNIMADvERTE etiam, in drato quatuor inesse Semi,.; diametros, Hexagono sex, octagono octo, Trigono tres, m. ragono quinque,Heptagono septem, Ennagono nouem: sicq; Figuris continenter, pro angulorum numero. De Persectis 'semper intelligo: scilicet de aequilateris & aequiangulis Atque i in patibus , Diametri terminantur ab angulo per svntrum , ad . angulum oppositum: in imparibus autem,impersecta quadam h 3 rat
85쪽
ratione, ab angulo per centrum, ad lares oppositum. In Cir culo utrumque incit. Diametri enim & ad latera &ad angulos educi intelliguntur: iuum sit ipse, si huc cogitatio pertingere potest, infinitorum angulorum, & infinitorum laterum. Quato igitur plures in Figura fuerint Semidiametri, ea tanto propius ad Circulum accedit , tantoq; perseetior. Et tamen quanto pauciores habet tanto maiorem usum habere videtur.Tria-guli enim usas quam Quadrati frequentior: Quadrati rursus quiun Pentagoni r Vt in his rerum humanarum imaginem Cernamus. Minorum enim obsequio majores utuntur. Sed de
his ab M plura. circa Diametrum diuadrati Para Uamma,sua Meradi uadrati uterom aluidistantia habuerint, diuadrata esse Fo
Sit Quadratu A n c D cujus Diameter B G sintq; duo Parallelogramma BEFG&BHKL sic posita, ut latus E B sit quidistans lateri A c: & latus E F lateric Dr itidem latus Η κ eidem A c ςquid istans,& x L ipsi A B: & Diameter C B protracta, diuidat haec duo Pa allelogramma per mediu. Dico B Epo&BHKL esse Quadrata. Quoniam enim angulus A est rectus, duint, anguli A B c & A C B , per quintam, aequales : erit horum uterque , per trigesimam secundam , semirectus. Quapropterti angulus E B p,per vigesimamnonam,semirectus:quum C F-dae in duas Parallelos A c & E B : ob idq; per eandem, angulus p G semiremis. Et quia latus EB , Trianguli E B F , per trige ει mam quartam, est aequale lateri P G Triaguli B p C:& B p utrique comunererit, per quarta,basis E F aequalis basi B G. Quumq; recta A G connectat duas parallelos A C & F G,& angulus A sit re- sterit & alternus a tectus, per vigesirriano nam. itaq;,per trigesimamsecundam erit angulus F B G semirectus: N, per sexta, duo latera F si di 8 o aequalia. Erit igitur totus angulus A B G r ictus: ac propterea, per trigesimam quartam, totus P & totus Eremas:& quatuor latera Parallelogrammi E B F C qualia. Quare ipsiam erit Quadratum. Eadem erit probatio de B H κ I. Parallelogrammo: Quod fuit constitutum. Huic
86쪽
Hule propositoni hunc locum assignaulinus: quam tamen poteramus 1atim post trigesimamquartam subhcere: Sed ad Qindrati mentionem reponere placuit, non ultra: quamuis Euclides ad quartam Secundi distulerit. THEOREM A n, PROPOSITIO XLVII. campano G.
In rectangulis Triangulis, Quadratum quod ex latere angulum rectum subtendente fit, Quadratis,quae ex duobus angulum rectum continentibus lateribus
fiunt,est aequale. in . t to Sit Triangulum A B c, cujus angulus A rectus. Ἀ- Qv dratum lateris a C , Quadratis duorum laterum A B & A c ect
Describam ex a C latere . secundita doctrinam antecedentis , Quadratum a c D a: simul ex Aa & ac, duo Quadrata ABFG&ACKH. Eritq, B H, ex decimaquarta Propositione, linea una, & C a itidem Vna.: quum omnes anguli qui ad A sint recti. Tum ab angulo A recto demittam ad latus D a maxinu Quadrati, lineam AL parallelum lateri at , secantem ac m. Puncto M. . Et ab eodem angulo A ducam duas A D Ec A Erilemq; a duobira reliquis' angulis Aso & A CE, duas BK& CF. Quoniam itaque super basin B P.& inter dui, parallatos C a & BF, constituutur A B F G Parallelogram-mum&BEC triangulum:erit ABFG, per quadragesimaprimam, duplum ipsius B p C. At idem B F C, per quartam quale est A B D Ti iangulo:quusint B p S: B C latera unius, aequalia A B&B D lateribus alterius: N angulus B hrius ,aequalis angulon illius: constat enim terque ex angulo recto de angulo A B C
87쪽
M ELEMENT. EVCLIDIS communi. Est igitur Quadratum A avo, duplum Trianguli
ABD. Sed & Parallelogrammum. B D L M duplum est, per quadragesimamprimam, ejusdem A B D Trianguli sunt enim super eandem basin B D, & inter duas parallelos B D& A L. Quare per Communem Notionem, Quadratum A B F G aequato est Parallelogrammo B D L M. Atque, eadem argumentatione,
Inductis duobus BCκ & AEc Triangulis, probabimus Quadrarum A C RH esse aequale Parallelogrammo L mare, quum Quadratum B C DE compleatur duobus Parallelogrammis ADLM&LME Eripium erit aequale duobus Quadratis ABFG &ACKH: Quod erat demonstrandum.
H AE c est illa tam celebris Demonstratio a Pythagora Philosopho pervestigata: quam prae gaudio bouem DaemonDbus immolauit, si Heroni Proclo,Lycio, & Vitruvio credimus Quod tamen apud multos fidem non habet. Summa enim religione vir ille a caede animantium abstinuit. Vtut est, prosecto mirabile inuentum est, & vere Dei cujusdam donum. In cujus ratiocinatione,plane Philosophica libet paulum expatiari: ut intueamur unde hoc Theorema desumptum sit: quoque cons dio, ad hujus inuestigationem sese docti homines exercuerint.: i. Imprimis totius meditationis occaso a Recto & AEquali profecta est: Ex quibus omnes fere Geometricas probationes originem sumere diximus. Quod ex Triangulo tuo sceli R . ctangulo, quod dimidium est Quadrati, manifestum faciemus.
Sit enim I sceles Rectangulum A B C, cujus angulus A r - ctus.Dic. Quadratum lateris B c, aequum esse Quadratis du . Lumdarerum. A a & A C., Describo ex B C Quadratum B c D E:ι Cuius duco duas Diametros B E εἰ C D, secantes inter se in puncto F. Quumq; duo latera B C & B D Trianguli BD C. sint aequalia: erunt, per quintam, duo anguli B D C & B C D aeqMales: ob. idq; ambo semirecti , per trigesimamsecundam: quum sit angulus C B Drectus. Eadem ratione erunt duo anguli C Ba &Q B B, Trianguli Ba C , semirem: Quapropoer duo latera a r &: , os
88쪽
LIBER I: Me r Triaguli BC F, per sexta,aequalia.Riarsiis,quum duo anui. lia a C & A c B Trianguli A B C. sint semirecti, per quintam de trigesimam secundam : oc basis BC utrique Triangulorum A B C& B C F communis : erum duo latera A a & A caequalia duobus lateribus FB & PC per
e mam sextam. Est igitur a B F C quatuor latcrima aequalium,& quatuor angulorum rectoru : quapropter, a Definitione, adratum. lam aro, quum duo anguli F C E & F E C Trianguli e ε p' sint aequales duobus angulis P a C & F C B ipsius Trianguli C B p, utpote omnos semirebi: & basis a C aequalis
basi E c: erunt duo Triangula B C E & F E C aequalia. . Ex communi itaque Notione , crit totum Triangulum B E C, aequale Quadrato A B p C. Atqui Triangulum BE C, per trigesimam-
quartam,dimidium est Quadrati BCDE. Et uti adratum igiturA A p c dimidium est ejusdem B c D E. Si itaque bis sumatus a B P C, ratione duorum laterum a B & Α C: duo Quadrata aequabuntur Quadrato B C D E : od erat demonstrandum i HAEC Demonstratio amplior quidem : Sed ramen tota Figurae specie facilis : adeo Rectum & AEquale sese, ubicunque
sint, manifesta ostendunt /At in Scalenis Rectangulis excogitanda fuit alia Demonstrationis ratio. Nam deficiente laterum aequalitate , deficiun equae ab hac pendent aequalitates Quadratorum & Triangulo-xum. Erat quidem in promptu haec ratiocinatio, Cuius liber Trianguli Rectanguli, duo reliqui anguli a recto sunt aequa-las duobus semirectis per trigesimam iucundam. Conuenit igitur ve Quadrata duorum laterum ipsos siubtendentium, quamuis inaequalium , tantum essiciane, quantum s esset uter semirectus: quum sint bases aequales. Quod enim uni laterum inaequalium decrestit, alteri accrescit : ut aequalitas potentiae compensetur Potentia lineae tanta est, quantum est ipsius Quadratum in. Ac rationi consentanoum cst,ut potentia lateris rectum angulum subtendentis,aequalis sit duabus laterum,que duos semirectos subtendunt, potentiis. Magnitudo enim angulorum, magnitudinem Iaterum oppositorum metitur :&Contra.
H rius exponamus. In duobus Triangulis Rectan-
89쪽
81 ELEMENT. EUCLIDIsgulis A B C & A D E , quorum A B c sit I sceles, sed A D E Scalenum: notum cst , ex vulgata illa trigesimas unda, duos angu- A los semitectos A a C & A c a , Trianguli A B C, aequales esse duobus A D E & A E DTrianguli A E D, simul sumptis. Sed non propterea notum est, si Quadratum ba-
- prc-sis a C sit aequale Quadratis duorum lateriam AB M AC, Continuo Quadratum basis D E aequale esse Quadratis duorum laterum A D & A E : etiam si duae bases B c &E D sint aequales. Id vero Pythagoras probauit generali D monstratione. Quae certe difficillima fuit inuentu sicut in dis quirendo experti sumus. Nam quum simili studio incenderemur, multa quidem in hanc rem meditati sumus : scopum ramen alia ratione attingere non potuimus quam per propo tiones : idq; ex Figura Gnomonica. Sed nos hvsus fontis uber- .rimi riuulos aliquot consectemur. , REPETIT A igitur prima constructione, jucundum est intueri quonam pacto Rectum & AEqualitas hic suum justueantur. Nam tametsi A B & A C larem sint inaequalia, ob idq, anguli A n C & A C a inaequales: officio tamen perpendicularis A M pulchra fit permutatio: ut intelligantur omnia in integro remanere. Angulus enim C A M. angulo AB C : angulusq; B A Mangulo ACM perpetuo est aequalis : Quod sic demonstratur: Angulus B Ac Trianguli ABC, ponitur iectus : angulusq; A M C Trianguli A C M, rectus: & angulus C utrique Triangulo communis. Itaque, per trigesimam secundam,& communem sententiam , reliquus C A M angulus, reliquo A B C est aequalis. Rursus, quum uterque angulus qui ad M sit rectus, &angulus B probatus sit aequalis angulo C A M : consequitur ut reliquus B A M. reliquo A c M sit aequalis: Quod erat demonstrandum. Vides ut perpendicularis aequalitatem testetur,non laterum singulorum, sed potentiae ipsbrum. Hoc est, si Quadratum lineae a cad duo Qii adrata aequalia reducatur: haec crunt aequalia Quadratis duorum laterum A a & A C. Vbi etiam animaduertendum, eae lineae bl praestent mutuas operas, officii permutatione. Nam ex subtenu B C fiunt duo latera Triangulorum
90쪽
: L I B E R . I. . 'rum aduenturorum A B M & A C M: Et ex duobus lateribus m- mi Trianguli A B c , rei turn angulum continentibus, fiunt duae
subtensae. Sed quonam modo fiat ea reduehio madiatorum ad aequalitatem, placet his demonstrare. Duo euadra a inaqualia ad duo die drata 'maria re rec
Sint Q drata duarum linearum A B & A C, inaequalia. Volo haec duo reducere ad duo Quadrata aequalmi 'Ambas isneas 'constituo ad angulum rectum B A c : dc connecto B c Tum super duobus terminis a & c ficio duos angulox semirectos sidvero fiet erectis perpendicularibus, ac diuiso utroque angulorum rectorum per aequalia : ut docer nona hujus : sintq; angu- ' linc D & c a D semirecti r& concurrant duae 'Eneae B D & c D ad punctum D. Dico duo AH quadrata laterum BD & c D, esse aequalia duobus Quadratis laterum a B & A C. Sunt enim, per sextam, duo latera D B &DC aequalia: Sc angulus P, per rrigefimamsecundam, rectus: Quapropter Quadratum lateris a C , aequale est Quadratis duorum laterum D& D c,per hanc quadragesimamseprimam.Sed & aequale -- dratis duorum a B & A C, per eandem. Quare, per animiRo- . tionem Quadrata duorum D B & D c sunt aequalia duorum A n& λ c Quadratis: Quod erat ficiendum. Ex hoc habetur & hoc Theorema, Si iis Triangulis rectangula aquales subtensas halurimi Aua
drat duorum Μώquarum ut metolus oum diae iurauis, divorum reliquorum alterisu Quod satis patet ex postrema Constructione. . ,
sia & indidem hoc exibit Problema, Pro iis ἀώabin Meis is qualiam, potentiam in oris Arin
Potentiam lineae tantam ect diximus, quantum est ipsius Quadratum. Sint itaque duae lineae inaequales AB&BE, quarum major A B. Vulo scire quantum possit A a supra a C. Hoc est, volo re-