장음표시 사용
121쪽
ioo ELEMENT. VCLIDIsta A D & D a, dupla ad duo A c & c D: Quod erat demonstranctim. δI N H A c contueri licet quantam vim habeant Remim MAEquale. Quatuor enim Triangulis Iasicelibus Rectangulis,id est, quatuor Semiquadratis, tota nititur probatio. ΤHEOREM A io, PROPOSITIO X.
Si res a lineascetur in duo aequalia,apponatur autem ei alia incomihuum: quod ex tota iam composita , quo dis Apposita ambo fiunt Quadrata, dupla, sunt amborqna,ierus scilicet quod ex dimidia, eius aluod ex dimidia cum apposita', Quadratorum.
. 3 Sic recta linea A B aequaliter diuisa in punctoc : eiq; in continuum apposita a D. Dico id quod fit ex A D Quadratum cum . aadrato quod ex a D , duplum esse ejus quod ex Λ C Cum eo quod ex ς D Quadrato.
. Erigo et E perpendicularem super A a , & aequalem utrique linearum Ac & CB: Et connecto A E de EB. Eritq;, per quintam & trigesimamsecund m Primi, uterque angulus A & B: item terque qui ad E , semirectus: totusq; E rectus. A puncto itaque E , duCO E F aequa lam & aequidistantem C D: & connecto F D, quam protraho donec concurrat cum linea E B protracta,ad punctum G:
Et quia angulus E C D est rectus: erix, per ultimam parte vigesimaenonae Primi , angulus C E F rectus. Quum igitur angulus C E B sit semirectus: erit & p E G semirectus. Q mq; F D , per trigesimamtertiam Primi. sit aequissistans E C : eriti per trigesimamquartam ejusdem , angulus qui ad F, rectus: sici angidus E G F, Per trig*simamsecundam , semirect
122쪽
LIBER I L .i Ioa rectus: quia F E G semirectus. Et per eandem angulus DBG semirectus: quum angulus BD G per decimam tertiani eJusdem, sit rectus. Duo ig tur latera E F & F G , per sextam ejusdem,
sunt aequalia: itidemq; duo a D & D C aequalia. QVapropter Quadratum E G, perquadragesi inamseptimam Primi. duplum est ad Quadratum E F : ob id , & ad Quadratum C D. Quadratum item A E , per eandem , duplum est ad Quadratum A C. Quumq; Quadrarum A G , per eandem , sit aequale duobus Quadratis A E & E G , similiter & duobus Quadratis A D & D c: sitq; Quadratum D G aequale quadrato B D : Crunt duo quadrata a D&Dc ea sunt A D & B Dὶ dupla duobus Quadratis A c &c D : Quod fuit demonstrandum. ALITER. Sit linea A B. bifariam diuisa in C , eiq; in continuum adjuncta a D. Dico Quadratum quod ex A D cum QMdrato quod ex B D , duplum este ad utrumque, & quod ex A c& quod ex c D fit Quadratum. h. Ex tota A D desciibo Quadratum A D E F. Et super dimidia
A C describo Quadratum A C a H : protractisq; G H & C H ad sectiones duorum laterum E p & D F, describo H L K F : quod erit Quadratum ipsius C D r ve constat ducta Diametro A H F , ex Consectario quartae hujus & ex trigesimaquarta Primi: est enim K p aequale C D. Factis etiam H M & H hi utrique A C & c a aequalibus, protraho M o & N p, sese scindentes ad rectos angulos in puncto R. rum utraque secet latera QMdrati A p E F in O & p punctis. Iam vero nihil attinet probare H Qtasse Quadrarum Ipsus A c, quum sit QMdratum c B : sicut Quadratum ipsius a D:
neque H p Parallelogrammum, aequale esse utrique Supplementorum E Η & H D: quum H o sit eis communiter aequalerru α o ου Denique N O &. Supplementa este aequalia. Atque etiam manifesta sunt haec --- ex ipsa Figurae specie: propterea quod mnes anguli qui circa Diametrum , sunt
. . --- -ις semirecti oc latera aequalia. Diligenter itaque aduertentes quibus partibus compo-κ natur Quadratum H F , quod est ex C D: - ς η sic ratiocinabimur. Quum totum D a
123쪽
LIBER I LQuadrato. Describo ex A B, Quadratum A B c o Cuius latus a D diuidsper aequalia in E : & connecto A E : Et pro ratio E B ad F pun- 'inim, ut sit E F aequalis A E : Et ex B F , portione exterioxi, describo Quadratum B F G H: ut B H latus resectum sit cx A a. Diaco A n sic sectam esse in puncto H, ut quod fit ex ΛBina H quale sit quadrato quod ex H B. . iProtraho G H ad K, punctum lateris C D , aequalem & requia distantem A C:Eritq; H c Rectangulum ex o H in Λ Nquod pro babitur aequale BFGH Quadrato. ia i '
Quoniam enim linea s o diuisa est per aequalia in E , atque eidem adiuta linea BF: erit, per sextam hujus, quod fit ex D p in B r cum Quadrato E B aequale quadrato B F: quapropter εἰ Quadrato F A. ob idq, , per quadragesimamseptimam Primi quadratis A B & E B. Ablato igitur utrimquς quadrato E B, erit quod fit ex D Fin B r quod est Paraliclogrammum F K aequale quadrato lineae AB. Dempto igitur utrimque Parallelose grammo BK supererit quadratum B C aequale Parallelogrammo H c : Quod fuit demonstrandum. - O a s E R v A B I M v s, hoc Problema nequ*quam, Ut caeteras huius Secundi Libri Propositiones, ad Numeros reduci meos Quum enimposuerimus latus D n id est Aa atque in duo aequalia diuiserimusve in x puncto: linea a B superue niens rationem conturbat: hoc est; mill m habet rationem ad larus AB nominitam:ob idq; per Numeros minime explicabilem ' Nam quum quadratum ipsius A E lir aequa e duobus quadratis A ai&E B, pel .uadragesimani aptimam Primi. t &x n sit dinucliuip. Ra : erit ipsum A turpe nate. Vt enim duo re non possunt : ita nec duo qυadrati Numeri ni,draeum
Numerum efiicient ,' quorum alter nilqί talum vitaidiae dicis alterius. ii a Id nos exemplo notum emis. , in dra 8 , sunIA: haec mminata munqu- quadraeum Ita, dividantur 3 in duo aequalia fient in . seri qui 4 9 dus' rum 8-4, quae sint. 64 dc .1 6, quadratum
124쪽
- LIBER II. Iossus esse Quadratis duorum B A & A c laterum I quantum est id quod bis continetur sub BA dc A D , Rectangulum : scilicet, quadratum B C aequale esse quadratis B A de AC cum eo quod bis fit ex B A in A D. Est enim , per quartam huius, quadratum BD aequile Quadratis duorum EA& Α n & ei quod bis suό ipsis B A & A D continetur , Rectangulo. Et quia quadratum B C , per quadragesimam septimam Primi, est aequale duobus B D & C D r erit idem B C Quadratum aequale tribus quadratis BA, AD,& DC& ei quod bis sub H A & A D continetur Restangulo. A t per Candem, Quadrarum A C , aequale est quadratis Λ D & D c. Est igitur qua dratum B c aeqnale Quadratis 3 A & Ac &ei, quod bis sub κἀ& A D comprehenditur, Rectangulo: Quod fuit demonstran
In Trianguli quod ex latere alterum acutorum angulorum subtendente fit Quadratum, tanto minus est duorum reliquorum laterum Quadratis, quantum est
id quod bis continetur sub illo in quod perpendicularis introrsum cadit & ea ipsius parte quae perpendi
culari angulos acuto interjacet. Quod Euclides de Triangulis Oxygoniis proposuit, nos
cum Campano ad omnia Triangula ampliauimus. Titangula enim Omnia duos, minimumaaabent acutos angulos. Si itaque fuerit oxygonium, a quolibet angulorum demitratur Perpendicularis : Si vero Orthogonium aut Amblygonium , demittenda erit ab angulo recto aut ab obtuso : in id latus scilicet quod duobus acutis angulis interjacet: quae o-
125쪽
gulum,aequale est ei quod ex segmentis fit rectangulo, eis quod ex priori segmento fit madrato. '. ' .
., Sit linea A a divisi in A c & C a segmenta. Dico Rectangulum ex tota AB in AC segmentum . arvale esla Rectangulo quod AC hicas ei quod ex A c in seipseni simul sumptis. Describatur ex A C, adratum A C D F : Et pro luista D p ad a. S punctum, connexaq; A E parallelo, perfi- , Ciatur Parallelograminum Aa DE. QAod quum constet ipso Quadrato in C o F,3c Parallelogrammo r B , quod est ex C B in A cs
aequalis A C. Er quoniam totum B o Parallelogrammum fit ex C in A B, quum suu A D & G aequales: N C D madratum ex eadem a in A C segmenta' lineae enim aequales sunt) & deniquerari allelos amnium, ex eadem G in e B segmentum e atque his Iequale in quod fit ex o in A B, per primam huius:erit quod sit ex A c in A B aequale ei quod fit ex AC in ge, & in seipsum: Quod erat demonstrandum'. i IIII. Era ista μα-νακθη ia is si ολης--,1αν me ae , v. - : Amr et
ν, Si recta iiii 'secetur ricuinque: Quadrata quae fiunt ex segment e cum eo quod bis sub ipsis aentis 'inprehendi tyi Rechingulo, aequalia sunt ei quod
. Quae eirca Dimetientem Quadrati consistunt Ρ rallelogramma, QDdrata esse oportet. '
Sit recta liqea A B , secta in partes A C dc C B. Dico duo P dlatu UFI cum eb quod his sab iisdem A c 3' continctus Rectangulo, esse aequalia quadrato totius A B.
126쪽
& productis lateribus E D & c D, ponam D s & D G aequalia ipsi A c, de perficiam Quadratum D F G H : i Quod con- . stat esse Quadratum ipsius A C. Tum connexa p κὲ erit C F Parallelogrammum Redrangulum, per tragesimamtertiam &tri igesim inquartam Prim. : Quod est enet a in Al o :quum c D siti ipsi ca aequalis. Similiter constituo alterum: Parallelogram . mum Reistangulum D K , prQductis aE4 H G , quae' Concurrant ad punctum K a quod eadem ratione fit ex C B in λ C Quoniam. ergo duo anguli D F H & D r A sunt recti: erit per decimam- quartam primi, R H lineat una.r 3c dem ratione M K linea una,& nx Elia uria. Et quia a x ipsi C mei aequalis: ti A p eidem CB, quia aequalis ipsi a B: istem ει ν & H R ipsi A c 'emant duae Λ Η π R. H K toti A B aequales per seeundam animi Notionem.Itidem.& B x eidem A B aequalis. Quuiitaque quatuor anguli i A, B, κ'sint recti ; erit A a H K Quadratum, bc nonnae ipsius A B,quum: sit inlim latestum i quare,quum: ipsum. Com-
, pleatur Quadratis d ra. AC & CB, du usq; Supplementis' quae sub c h & A C comprehenduntur: ςonstat
Propositio. H A Nc Demonstrationem, meo judicio,expeditiorem re
metrum tamen apposuimus: νe M ismodo sonstitutio in-. notesceret. Scilicex descripto Quadrato a D,&ejus Diametro producta, dum concurraς cum A F prius erina, id muni Ha
gulos Triangulorum. Quod ego ratiocinationi cujusque re
' A L pr ER. Sit linea AB, ut prius, diuistin a :&CB. EritPper secundam hujus, quod fit ex tota A sin se, aequale ei quod fit ex ipsi in a C & cs. Arex ipsi In AC tantum fit, triamum exa c in se & ex A C in B c,per tertiam hujus. Item ex ipsi A st tota
127쪽
- jHaec secupda Demonstratio est Camp M. Seis, ve ipse suta iijcu, ex ea non constat Cons arium. Quod nos quaina iam probauerimus ad quadragesistamsextam Ptimi su-c ipium :Theorem sic facile ostendemus at ' : Ex ipse A s,diuisa in A C & c a vi primaeonstitu tur. Iradr, tum a B D S , cuius Diarnerer B D : ducatur Par llelu&c 3 secans iν,-Diametrum in punctos: itemsiti altera Pa-, bi arallelus H Kpra idem punctum tum, . , 3 ' Demonstralionea ostia,er it x Ese alvu L O-in drata, em, ipsiarum AC & C a : ut sitis conitat. Praeterea duo A G & G Erex constructione. λ' e . Supplementa, sunt quae fiunt ex A C in B C. Quare, quum haec quatuor persciant totum α' D E Ruaci tum et manifesta in Propositimi,ι. is, -i Haec etiam pros ni pinstin haec verba, rii : l
128쪽
qualla: Reistangulum comprehensum sub inaequalibus segmeruis totius una cum Quadrato quod a medio se .gnsentorum, aequale est ei quod a dimidia fit Qua
Sit recta linea A η aequaliter diciat puncto C, Se inaequaliter in pungo D. Dico Quadratum c a , esse aequale ei quod fit
ex A D in D B cum Quadrato C D. o. - . 1 Describam ex c B Quadratsi e Ba p,
cum Diametro h Et& ducam o u ipfi a sparallelum i fetantem Diametrum in puncto H,& E p in puncto G. Et per pun- ctum H dueam st M aequalem & aequidistantem A B , per trigesimamprimam Primi, secantem B F in puncto M,&C E in puncto L Et 'connectam A K aequidistantem C E. Erum4;, per Consectarium antecesseritis, seu penta quae probauimus ad quadragesimamsex am Primi, L c & D 1ες- drata . L o quidem lineae c o t 8c o M, Ihleae D E.Eequia D H est aequalis D B : reis A M Id quod fit ex ductu a ri in D s.': Et quia, per quadragesimamtertiam Primi , duo' SupplemEnia: c M &H s sunt aeqtialia: addito Parallelogrammo h M virlq; erit c Maequale D F. Quum itaque A L sit aequale e M , per trigesimani sextam Primi:erit & ipium aequale D r. Gnomon igitur C Bra H aequalis est AH Parallelogrammo.MδGnomon ipse eum Qua drato L G , constituit Quadratum dimidiae A B. Quare A H P. rallelogrammum & Quadratum LG , sunt aequalia Quadrato dimidiae Aa : Quod fuit demonstrandum. THEOREM A G P.ROPO SIT Io. VI.LΘσια-νααθῆ διετῆ μι φ επ
. . Si rina lima .in duo ae lasecetur, ita vero ei tu .nea addatur in continuum: quod ex tota iam comp-
129쪽
sita in eam quae addita est, cum Quadrato quod fit adimidia,aequum est ei quod a dimidia cum addita tanquam ab unait drato.
Sit linea A a aequaliter diuisa in puncto C: eiq; addita B D. Diuo id quod fit ex compositi A D in additam a D cum Quadrato dimidiae C a, esse aequale Quadrato C D. Du scribam ex C D dratum C D E F, cujus sit Diameter A D. Et ducam B c aequalem & aequidistante D p quae secet Di mptrum in pungo H. Et per ipsum H punctum , ducam x Mni . . tu H π et aequalm &aequid istanten AD, secantem D F in pupcto M , & C E in puncto L: Et connectam A K aequidistantum C L. . t Iam per Constetiatum quartae huius, utrumque Parallelogrammum L G & B M st quadratum: hoc quidem ex a D , illud vero ex C B : Ec propterea v M aequalis' o: rotymi A M Parallelogrammum, est quod fir e 4 v in B*.Quia ei Da,per trigcsimamsextam Primc A L quηὶς c.M: ,per vadragesimamrertiam eiusdem,Suinpleme*tum C H aeqsala Supplemento H F: erit & A L eidem H Fφquale, Quare Gnomon C ' G H , toti A M Parallelogrammo aeqiralis. . Sed Gnomon C D G H cum quadrato L G , constituit quaήRitu . Eneae s D. Quare A M Parallelogrammum cum qu haro G, aequ-ecst qyadraro lineae cD r quod demo su dum. O L
- Si recta liriea secetur in ditas quantastumi partes: Qiradratum quod a tota cum Quadrato quod ab una partium, aequale est ei quod bis producitur ex rota in fam putem Raeti angulo pumeb quod exaltera par
130쪽
ἡ Describatur quadratum totius AB, quod sit A B D E , cuius Diameter BD: ducaturq; C F aeia A qualis se aeqitidistans B a , secans Diametrum in puncto G : & per c punctum, H κ aequalis & aequidistans Α B. Qitia igitur inadratum A E cum Quadraro C H , est aequale Quadrato x p cum duobus Parallelogrammis A H & C E : patet Propositio. si quis manisestius pei icere velit, faciat H M Paxallelois grammum aequale H A Parallelogramino. O E M sit Quadratum B C. Ac tum omnes apparebunt Propositionis particulae. THEOREM A s. pROPOSITIO VIII. Eratota δα-eia, Θῆ-,-mFάκις υπο ἡ-e ἰ, διν-- ουπο si λομου se γωα, ιαν et τε is τῶ 'ρημενου τ
Si recta linea secetur utcunque Rectangulam comprehensem quater; stibatota segmentorum cum eo quod ex altero ita 'epto fit Quadrato, aequale est ei Quod a tota cum priori ses into. δnquam as. Vna describitur, Mato.' ,
Recta linea A B secetur utcunque in puncto C. Dico lit quod quater sub A n & c v eontinetur Recti, uium xcum .. draro quod ex A c, aequale-ei quod ex di B C tanquam dratum A D E p. Tum ducta Iriametro D E, lineisq; co& an parallelis de aequalibus ipsi D F, quae secent Diametriam in pun-liis x & L i & per ipsi x de L puncta, ductis Mo Np R Parallatis Naevisibus ipsi Dar n Erit,