장음표시 사용
91쪽
8 ELEMENT. Eu CLIDI sperire Quadratum, quodcum Quadrato ipsius B c, sit aquale
. sitoq; Centro in puncto continuatio-Z . nis a , describo beniicirculum A D E secundum quantitatem majoris AB. , Π .E . Tum super C pun*O , erigo p pendicularem: quam produco donec attingat peripheriain in pu oo D : Et connecto B D. Dico Quadratum lineae C D esse excelsum potentiae lineae A B supra B C. Quoniam enim angulus C Trianguli B C D , est rectus: Quadratum subtensae BD , aequale est Quadratis duorum laterum B c & c D : igitur de iisdem est aequale Quadratum lineae A B. Quare Quadratum lineae B C tanto minus est Quadrato lineae A B, quantum est Quadratum lineae C D : Quod erat inuestigandum.
Hanc Theon subnectit decimaetertiae Decimi: eamq; probat ex prima Quarti & trigesima Tertit: quam tamen ex hac solaPythagorica demonitrari vides. E κ hoc etiam habetur ratio inueniendi terti j lateris Trianguli Rectanguli,duobus quibusvis cognitis. Quod clarius est, quam quod probandum sit.
N v N C autem hoc Theorcma quonam pacto ad Numeros accommodetur,obiter ostendemus. In Numeris itaque locum praecipue habet , quum maximus ad medium suerit vi s ad 4: scilicet in proportione, quam vocant,sesquiquarta : 3c medius ad minimum ut 4 ad 3 : hoc est , in proportione sesquitertia. Eiusmodi sunt tres, 3, 4, : tresque 6, 8, Io :-6,2o : sicqs continuo progressu. Quadratum enim zo est 4oo : ac tantundem efficiunt I 44 cum a s si, quae sunt inadrata ex Ia. &1 6. Sed & cognito minimo laterum in Numeris,Solenum Rectangulum sic absolucs. Dimidium cogniti duc in se: a producto aufer unitatem : habebis alterum latus. Huic adde binariu: fiet maximum latus, seu subrense. V t, sit minimum latus I o. Horum dimidium duc in se : fiunt 2 3 :a quibus ablata unitate, supersunt 2 4,medium latus . his adde binarium: fiunt subtensii. Horum ei iam Quadratum'676: Et tantundem essiciunt
92쪽
roo &s76:Quadrata ex et o & L4. i fisoscelia vero Rectangula ex Numeris non conficiuntur. In quo id dignum consideratione est, quod in Geometricis est euidentius & Demonstrationi promptius , id in Numeris veritatem non habere. Nunquam enim duς Quadra. numeri aequales quadratum Numerum componunt. Atque eam ob cau- , lateris Quadrati ad Diametrum proportio incognita.in enim Diameter radix seu latus duorum Quadratorum aequa- lium in unum Quadratum junctorum : ob id, irrationale: hoc est, ut in Arithmeticis dicitur radix Surda. Vt radix 2, 8 , 3 2: sicq; continenter, alternis Numeris Progressionum intermis sis. . Illud quoque non omlitam, hoc Theorema Pythagoricum non ex Triangulo , sed ex Parallelogrammo Rectangulo esse depromptum. Quod & Numerorum affinitas. Ostendit Nullum enim Numeris cum Triangulis commercium et neque Superficies per Numeros absoluitur, nisi multiplicatione. Multiplica tio vero, minimum, quadrilatera est. In Geometricis etiam' Superficiebus , Triangula ut dimidia Parallelogrammorum considerari debent. Sic itaque proponi poterat Theorema.', In Parallelogrammis Rectangulis, Madratum quod a Diox tientesit, aequaue est duorum quaesusIenit laterum, Madratu.
Quia tamen simpliciora sunt Triangula, atque ob id tractabiliorat eorum nobis officium accersimus: Sed de his alias. Ex hoc etiam satis euidensestallud, P . . 'Dara Diametro omponere Elaad tum cuisus Diametre.' Cotistitutis enim super duobus terminis lineae, duobus an-
gulis semire his, & pei fecto Triangulo : habebitur dimidium Quadrati : Cuius altera pars facile conficietur. ' illide manifestum est & illud, a dratum Diametri, duplum es diuadrati estin i AE est Dia
93쪽
Si quod ab uno laterum Trianguli fit Quadratum,
aequale fuerit duorum reliquorum QuadratIs: angulius ab illo latere iubtensius, rectus erit. '
Sit Triangulum A E C: sitq; Quadratum lateris A C aequale Quadratis duorum laterum A B & B C. Dico angulum B OPPO- situm A C lateri, esse rectum. Conuersa antecedentis. A puncto B ad contrariam partem ipsi Apuncto, educo perpendicularem B D , per Vm . decimam: quam pono aequalem Λ B , per secundam : Et connecto D C. Et quoniam angulus C B D rectus est: Quadratum lateris C D , per antecedentem, aequale est Quadratis iduorum lateium BC&BD: quapropter de Quadratis duorum. a C & B A. Est igitur ipsum C D latus ipsi A c lateri aequale,per animi Notionem : quum utriusque Quadrata sint aequalia. Triangulum itaque A a'c , aequale est & aequilaterum Triangulo C B D. Q re angulus. A B Cler octouiam,angulo C B D aequalis : ob idq; rectus: QDd erat demonstrandum. P R O, A si M v s & ab impossibili Conuersarum more. Si enim Quadratum lateris 'A c 'est aequale Q, sdratis duorum AB. N BC : neque angulus B sit rectus: erit major aut minor recto. Ac prius tar maior recto , fiatq; angulus D B C rectus, ducta perpendiculari B D , per undecimam: quae ponatur aequalis lateri A a , per secundam : Et connectatur c D. Eritq,, per directam horus, atadrataim ipsiu e D aequale Quadratis duorum B D & B C : quapropter & dratis duorum a A & κα. Erit igitur basis c D aequalis basi c A:quum ipsarum Odrata sint aequalia: Qu9d est contra vigesimamquartam Propositionem. Nam quum sit angulus a B C major angulo D B C, simq, duo latera AB & B c duobus lateribus D B & B e mutuo aequalia: erit basis c Amajor basi C D.Eatam rari me pLobabimus angu-
94쪽
LIBERI.lum totum a. non esse recto minorem. Est igitu rectus:Quod erat demonstrandum.
Sed rebationes quae affirmatὶ concludunt, digniores sunt
iis quae ab impossibili. Campano. . Propositis duobis diuadratis,alteri Horum Gnomonem reliquo aqualem adiungere.
Licet intempestiue Campanus Gnomonis conflauctionem hic apposuisset, quum Euclides Gnomonem posterius definiatiejus tamen Propositionem loco non mutauimus: praesertim quum Gnomonem jam antea in quadragesimatertia definierimus.
Sint itaque duo iniadrata a B & c D: quorum alteri, ut ipsi A B, sit adjungendus Gnomon aequalis reliquo C D. Protrahatur latus B F inadrati A B in continuum: & pona . tur F Ε aequalis lateri ipsius C D: Et connς tur E .. Eritq; adratum ipsius E A. aequale duobus Quadratis A r 4t s ATrianguli a F A , per Quadragesimamseptimam. Sed Quadratum ipsius E p . est aequale ipsi c D Quadrato. Et Quadratum lateris p A , est ipsum A B Quadratum. Est igitur Quadratum ipsius A E aequale duobus e D &A 8 Quadratis. At vero E s & ν Alatera sunt, per vigesimam primi, longiora Iatere A E. Sed F Aest aequale F B. Erunt ergo E F dc F B, ipso A E longiora. Quapro- .pter tota B E longior est quam A E. Secetur igitur ad ipsus aequalitatem in puncto C: fiatq; a c aequalis ipsi A g : Et describatur Quadratum B C G H ex ipsa n C : quod erit aequale Quadrato ipsius A E. Sed Quadratum A E duobus quadratis a B &nc est aequale. Et quadratum igitur BC cu aequale est eisdem. Quasse, quum inadratum ipsius a C componatur ex Quadrato A B & Gnomone F G A H : Erit Gnomon ipsi e D QMdrato in qualis: Quod filii ficiendum. S E D multo expeditius sic poterat confici: . Sint duo QAdrat quorum latera sint a n & B c. Volo QD. drato
95쪽
drato lineae A a adjungere Gnomonem aequalem drato li- . i. Constituo ambas, ad angulum rectum A B c. Et connecto A C. Descriptoq; .uadrato lateris A B, quod sit A B D E, protraho B A ad puncium P : ut sit B p aequalis A C. Et describo Quadratum B F G H : quod erit aequale QMdr,to ipsius A C , quum lineae sint aequales : ac propterea aequale Quadratis duorum AB & B C. Quum . itaque B R G H Quadratum, compleatur ipso Qua- .i drato ABDE&Gnomone F E G D: erit ipse Gomon aequalis Quadrato limae a C : Quod erat faciendum.
96쪽
Omne Parallelogrammum Rectan- 'gulum, sub duabus recitum UyJum constituentibus rectis lineis dicitur c
Parallelogrammum Rectangulum fit ex ductu lineae rectae Inlineam rectam: idq, instar Numerorum: sicilitaris et diximus, gratia. Vbi etiam meminisse sporret : Ducere masorem auneam in minorem, Idem esse ac si minorem in majorem di eamus:sicut 3 in , & 4 in 3, idem efficiunt
ruri - νοπιαμ in ἀμαύι In Mallelopammis,alterutrum Parallelogrammo, 'mm quae cisica Dunetientein consistunt cum duobus pelamentia , Gnquuan Vocatur.
97쪽
so ELEMENT. EUCLIDI s. Hota jam ante in quadragesimatertia Primi explicauimus. Si enim in Figura adscripta, Parallelograminu H F cum duo-
itaque Gnomoni alterutrum interiorum Pa-ς rallelogrammorum quae Di metiens inedia secat: quaeq; Complementa in quadragematertia Primi no
Si duarum. linearum altera in par pliquot seista fuerit : quod exi ductu alterius in alteram fit, aequum est iis quae ab insecta & quolibet segmen
to Rectangulis, producuntur: ' Sint duae linea: A B & c : quarum A B secta sit in partes A Di D E de E A. Dico id quod fit ex ductu C in A B, aequale esse R ctangulis quae fiunt ex ductu ejusten, C in A D , D E , NE B s
Super puncta A & B erigam lineas perpendiculares A F & B G, per undecimam Primi: & ponam utramq; aequalem ipsi C : Et
F H K G Connexa F G, complebo Parallelogram
mum Rectangulum Α Β p q. Quod qui-e . ' dem ex linea A p ea est linea c in As- producitur. Tum a punctis sectionum M , α 'A D de E ducam, per trigesimamprimam
98쪽
Si recta linea utcumque' secta suerit: quae sub tota& quolibet segmeptoruna Rectangula continentur,aequalia sunt ei quod ex tota fit Quadrato.
si' in duo segmenta fuerit vicumque linea diuisar quod ex tota in alteruti una segmentorum fit Rectan-
99쪽
gulum,aequale est ei quod ex segmentis fit rectangulo,' eis quod ex priori segmento fit suadrat'. '
Sit linea A a diuisii in A c &Ca segmenta. Dico Rectangulum ex tota AB in AC segmentum, aequale esse Rectangulo quod ex Ac in C B, etsi quod exA E in seipsum simul sumptis. Describatur ex A C, adratum A C D F : Et producta D F ad g E punctum, connexaq; a a parallelo, perfi- .ciatur Parallelogrammum A a D E. QRod' quum constet ipso Quadratoin C DF,&ει- rallelogrammo r B , quod est ex c B in A ei - . ' manifesta est Prop tiin t . , LIT E R , ex prima hujus. Sumatur coequalis A C. Er quoniam totum B D Parallelogrammum fit ex C in A a, quum sint L D & ς' aequales: & C D madratum ex eadem a in A c segmental lineae enim aequales siunt) & deniqueFa Pa allelbyammum, ex eadem C in e B segmentum e atque his tequale is quod fit ex et in A B, per primam huius: erio quod fit ex A C in A B aequale ei quod fit ex A c in g c.& in seiphim: Quod erat demonstrandum. t - , . PROPOSITI IIII.
o Si ree a litisi sic tur utcumque: Quadrata quae sunt ex segmentie cum eό quod bis sub ipsis segmentis comprehendi tyr Rectangulo, aequalia sunt ei quod a
tota .siti Quadrato. 1. . .. . - . . h.
- . Qis eirca Di metientem Quadrati consistunt Parallelogramma, Quadrata esse oportet. '
100쪽
. γ C L at R. Ex altera partium, ut ex'c a , describo .adratiam e a o x: a& productis lateribus ED & CD, ponam os & DG aequalia ipsi A c, & perficiam Quadratum D F C H : i Quod con- . stat esse Quadrat um ipsius A C. Tum connexa p δ ὲ erit c prallelogrammum Redrangulum, per trigesimamtertiant & tria igesimamquartam Primi. :Q-d est ex e B in x o :nuariae N sit iipsi ca aequalis. Similiter constituo alterum: Paralislogram 'mum Rectangulum D K , productis a Evi H G , quae concurrant ad punctum K a quod eadem ratione fit ex C s in K c Quoniam ergo duo anguli DFH & D P A sunt rechli: erit per decimam- quartam primi, R H ine' una: S qadem ratione H K linea una,& nκεtia Atria. Et quia a x ipsi C nest aequalis: ti A p eidem c a, quia aequalis ipsi as: item Hs &H ipsi et runt duae AH
tionem.Itidem.& BK eidem A B aequalis. Quuitaque quatuor anguli Α, a, H, κ'sint recti erit χ ABHKQuadratum, bc honnae ipsius AB,quum: sit viaim latcium i amare, tuum ipsum compleatur Quadratis duaru A C & CB .du bumi Supplementis quae sub C B & A C , comprenenduntur: constat
metrum tamen apposivimus: H qu ismodo soluti circio U-. notesceret. Scilice p. destriptu Quadrato a D,&mus Diametro producta, dum concurrat; cum A F prius erina, id puris um Het
gulos Triangulorum. Quod ego ratiocinationi cujusque relinquo. A pra R. Sit linea An, ut prius, diuva in aα&ckEritq;, per secundam lautus , quod fit ex rota A s in se, uale ei quia fit ex ipsa in a C & CB. At ex pia in a C tantum fisi quantum ex a C in se & ex A c in B c,per tertiam hujus. Item ex sese A a rom