Iacobi Peletarii Cenom. In Euclidis Elementa geometrica demonstrationum libri sex. Ad Carolum Lotharingum, principem, cardinalemque amplissimum

71쪽

ELEMENT. EVCLIDIS

Triangula super aequales bases & inter easdem parallelos constituta, sunt aequalia.

Sint duo Triangula A B C & D E F,super bases,B C & EF aequales & inter duas parallelos A G & B H. Haec dico esse aequalia. Ducam C K aequid istantem A B:& F I. uidistantem E D. Eruntqi,per trigesumamsextam , duo Parallelogramma ABC Κ&DEFL aequalia: Ob idq; A A G& D E F Triangula, eorum dimidia, per trigesimam quartam, aequalia: Quod erat ostendendum. Ex hac ficillime elicitur hoc Problema. Datum Triangulam in duo Triangula aequalia partiri. Sit enim Triangulum A B c, diuidendum in duo aequalia. Diuido unum laterum, & sit ipsum B C, in duo aequalia, per decimam, in puncto D : & connecto D A. Dico duo Triangula a B D & A C D esse aequalia. Quod sitis manifestum est ex hac trigesimaoctauar si intellexerimus parallelum ipsi ac ductam per punctum A, ut docet trigesimaprima : qualis hoc loco,ad euidentiam,posita est H K. Duo etiam latera A a & A c aequaliter diuisimus in punctis E & p : ut intelligaseujus hue laterum sectio fiae, totum' Triangulum per aequalia dii iidi . -Vbi Thiangulorum quoque minorum aequalitas agnoscitur,ex tribus lineis a D,B F,& c E se scindentibus in puncto c. Hoc faeit ad diuidenda triangula in pariter paria : ut in

- Mechanich vero diuidetur triangulum in alias partes, diui- similiteΨ latere , ductisq; lineis ab angulo opposito ad puncta sectionum. Cujus diuisionis ostenso ad Sextum librum re- struatur. I , Subbciemus & hoc Problema, punm in etmo laterum Triangufi Dato lineam ducere, qνavianiuiam bifariam ἀdidat. ' ζ ἐSit punctum A signatum in latere B c trianguli a c D. Volo a puncto

72쪽

L I 3 Ε R I. - 6spuncto A ducere lineam quae diuidat triangulum B c t in duas

partes aequales.

Diuido latus a c bipartito in puncto E. Tum a puncto a duco ad angulum D oppositum, lineam A D. Cui, per punctum E, duco E F parallelum, per triges mam, quae secet latus D C in puncto F. Et connecto A F. Dico A F esse quae diuidit triangulum a c D in duo aequalia. Scilicer A B D F QIadrilaterum , ae

quale esse A C F triangulo. Connecto E D , lacantem A F in puncto c. Et constat, ex trigestina octaua,

duo triangula B E D & C E D esse aequalia, intellecta parallelo ipsi B C,ducta per puctum D: quum sint super aequales bases A B & E c. Duo quoque triangula D E F & A E F sunt aequali , per trigesimam septimam : quum sint super eandem basin E r, re inter duas parallelos AD & E F. Dempto itaque communi E F G, erit triangulum A E G aequale triangulo D F a r Vtrique Igitur ipsorum addito Trapeetio C F a E , erit A C F ttiani, lumaequale DE c triangulo. Atqui DE C est dimidia pars totius trianguli a c D : quapropter & A C F est dimidia pars ejusdem. Reliqua itaque pars dimidia, erit A B F D Traperium. Quare Ianea A F diuidit totum A c D triangulum aequaliter: Quia i

Cere oportuit. . '

Triangula aequalia super eandem basin &ad eandem partem erecta,inter duas consistunt parallelos.

Triangula, super eandem basin ad eandem partem erecta, κ dicuntur,quum linea ducta a vertice unius adverticem alterius, latera eorum non secat. Sint duo triangula A B C & D B c super basin B c, quae verticem ad eandem partem habeant. Et connectatur A D. Dico A n lineam esse parallelum basi B C. . , ,

73쪽

M ELEMENT EVCLIDIS κ Sin aliter: ducatur parallelus ipsi B c, per

trigesimam primam : quae aut transibit supra A D, aut infra eandem. Si supra, sit ipsa A E: &producatur B o, quousque concurrat cum A Eλ- in punii E : connectaturq; E C. Quoniam itaque,' per trigesimamseptimam,triangulum a B c est aequale triangulo E B C. utrumque enim inter duas parallelos : & cidem triangulo A B C positum est aequale triangulum D B C : erit & idem D B C aequale ipsi E s C, pars toti: Quod esse non potest. Si vero parallelus duci possit infra A D , ut o F: connexa F C, fiet triangulum F s C aequale ipsi D a C, pars toti. Non igitur erit alia parallelus basi ac, quam ipsa A D:Quod erat ostenden

: Eas hac & antecedente consequitur, SsAnea recta duo triangi in tu secueritum rei

tertis lauri aequi istam. , , ' .

f Sit enim triangulum A BC : & sit linea D E quae diuidat duo latera i E & A c per duo aequalia in punctis D & E. Hanc dico esse parallelum i psi A c. in Quadrilatero A c E D ducantur duae transuersae A E & C D. Intella 4q;,per punctum E , parallelo ipsi A B : erit, per trigesimamoctauain , triangulum B D E aequale trian-

. v gulo D A E : quum duae ipsbrum bases AD& DB, positae sint aequales. Rursus intellecta, perpunctum n,para licto ipsi B C : erit idem triangulum B D ε aequale triangulo C E D. Erunt itaque, pers animi Notionem , duo triangula E A D & E C DQuae quum super eandem sint basin D E, & in candem partem erecta: erunt, per hanc trigesimam- nonam sit ter duas parallelos DE &AC: Quod tuit demon

strandum. . ' -

74쪽

Triangula aequalia su per aequales bata, & in eandem partem eretia, inter duas colisistunt parallelos.

Sint duo Triangula AEC & DEF aequalia , super duas bases B C & E p aequales ,& in eandem partem erecta : & ConnectaturAD. Dico duo triangula A B C & D E. F inter duas parallelos 3 p& A D consistere.Haec est Conuersa trigessimae octauae. Nam si A D non est ipsi B p parallelus: alia parallelus duci a transibit supra aut infra A D. Si supra, sit ipsa A G : N produca G tur E D ad concursum AG , in punctum C : connectaturq; G F.Eritq; per trigesimamoctauam, triangulum GEFaequale triangulo Λ B C. At D E F positum est ipsi a s C aequale. Erit igitur & D E P ipsi G E F aequale, pari toti: quod est absurdum.

Si vero infra A D transeat, sit ipsa A H i& connectatur H F. Ac tum eadem argumentatione probabirur triangulum H E F, triangulo DEF csse aequale, pars toti. Quare, quum neutra ra-

Si Parallelogrammum Triadgulum. super eandem basili,dc inter duas parallelos consistantiParallel grammum Triangulo duplum erit.

Sit Parallelogrammum A B C D , & triangulum B D E , super eandem basin B D, & inter A E & B D parallelos. Dico Parallelogrammum A B C.D esse duplum trianguli B D E. di, Parallalogrammo ducam dimetientem AD: Eritque, per trigesimam septimam,Triangulum A B D aequale Triangu-.lo E B D. Sed Parallelogrammum Α Β C D,. per trigesimamquartam duplum est Tri

75쪽

ct ELEMENΥ. EUCLIDIS anguli A a D : Quare & duplum Trianguli E a D : Quod erat

ostendcndum.

Ex hoc satis constat, Si duplicetur basis, Triangulum super hanc erectum , aequale esse ipsi Parallelogrammo: Quale hoc loco est B E p Triangulum. Probabitur & hoc facile quod subjecimus Theorema, Si Parasi ovammum Triangulum super aequiaes basis es inter duas paradetis consisti-: Parasitaetrammum Triangulo duplum erit. Sie enim Parallelosrammum ABCD, & Triangulum E C p, super aequales bases B C & C F. Dico A B C O Paralli logram-mum esse duplum Triangulo E C F. Connectatur B D : & ducatur per punctum c , parallelus ipsi E F, si C D parallelus non fuerit. Ac tum, ex trigesimasexta, & trigesimaquarta, constabit Propositio. Hanc xero Euclides recte praetermisit ob facilitatem. Sed &nonnullas similis notionis,quas antea expressit, poteras omit

tere.

Dato Triangulo aequale Parallelogrammumconstituere, habens angulum angulo dato aequalem.

Sit datum Triangulum A B C , datus vero angulus D. Volo ipsi Triangulo A B C aequale Parallelogrammum constituere, habens angulum aequalem angulo D. Divido basin B c in duo aequalia, per decimam Propositionem, in puncto E : & connecto A E. Tum, per punctum Ased

co A F parallelum ipsi B C , per trigesimamprimam: de super punctum E έonstituo, per vigesimam tertiam, angulum G E C aequalem angulo D dato. Demu ipsi ε c, per punctum C , duco C F parallelum.Dico Parallelogramum E C F G

76쪽

LIBERI. cyesse aequale A a C T riangulo. Quoniam enim, per trigesimamoctauam, triangulum A B Eest aequale Triangulo A E c: erit totum Triangulum A a c duplum Trianguli A E C. At Parallelogrammum E C F G, per antecedentem , duplum est ejusdem Trianguli A E c. Quare &ipsum E C F a Parallelogrammum, aequale est Triangulo A B C, habens angulum G E C aequalem angulo D: Quod erat iacien

dum.

Conuersa quoque hujus erit ejusmodi. Dato Parasielogrammo aquale Triangulum eonstituere, hasos Angulam angulo dato aequalem.

Sit datum Parallelogrammum A B c D,datus vero angulus E. 'Volo ipsi A B C D Parallelogrammo constituere Triangulum quale, habens angulum angulo E aequalem. Super punctum e per vigesimamrertiam, constituo anguis tum D Cp, aequalem angulo E: Et CF secet AB protractam, in puncto F.' Itidem protraho CDPqur est ipsi A ε parallelus, ad punctum G: ita ut D c sit aequalis ipsi C D. Ac demum connecto F G. Dico Triangulum C F G esse aequale A E c D Parallelogrammo. Quum enim, per trigesimamoctauam, totum CFG Tria gulum sit duplum C D r Trianguli: &,per quadragesimam primam, Parallelogrammum ABCD sit ejusdem cor Trianguli duplum: erunt ABCD Parallelogrammum & CF a Triangulum inter se aequalia: Quod erat ficiendum. THEO REMA 31, PROPOSITIO XLII L. μων τα -- αμέλοις

Duorum Parallelogrammorum circa Dimetientem majoris Parallelogrammi consistentium,Supplementa

sunt aequalia. Circa Dimetientem consistunt Parallelogramma, quae in

77쪽

o ELEMENT. EUCLIDIs Dimetiente majoris Parallelogrammi suam habent Dimetienatem. Supplementa vero dicuntur, quae cum duobus Parallelogrammis majus Parallelogrammum perficiunt. Sint itaque duo parallelogramma ABCD&ECFG: quorum

cuspides quae ad c , sint in eodem puncto e sic conjunctae ad

decussationem, ut utrumque Parallelogrammum per medium diuidatur, Di metiente B F : sintq; ipsis annexa duo supplementa HAEC & CD GK, perficientia totum Parallelogrammum B H F Κ. Dico HAEC&CD GK Supplementa esse aequalia. Quum enim Di metiens B p bipartito diuidat totum Paral-lalogrammum B H FK per trigesimam quartam : erunt duo triangula B p H & B F x aequalia: Quumq; eadem B p bipartito diuidat ABC D parallelogrammum,erunt & duo triangula a C A& B C D aequalia. Atque eadem ratione duo triangula CFEde C pG aequalia: Quare, ablatis duobus triangulis BCA&cpEa toto triangulo BF H: itemqi ablatis duobus triangulis BC D&CFRa toto a FK: remanebunt duae Superficies HAE C&CD GK

IN HAc Propositione demonstranda, structuram ab aliis aliquantum variata: non nouitatis studio, sed ut totum nego 'tium Supplementorum 8c integri Parallelogrammi euidelitis exponerem. Vix enimvs gmn toto spem Geometrico occurris Figuratio magis foecunda quam haec Gnomica: hoc est, quae uno Parallelogrammore Gnoma conflatur. V t hoc loco, si A E e D Parallelogrammum sumamus, Figura illa H F C D,quae cum A B C D perficit torum B HEx Parallelogrammum . Gnoma seu Gnomon vocatur. Si vero sumatur E F C G Parallelogrammum : erit Gnomon H n e G Figura. Nam hic Gnomonis explicandi locus est maximE Opqttunus: licec Euclides ad secundum librum distu terit. Hanc ego Figuram mysticam soleo vocare : Ex ea enim, velut ex locupletissimo promptuario , innumerabiles exeunt Demonitiationes. Quod cum magna voluptate perspiciet qui in re Geometrica serio se exercebit. Cui vero magis placebit aliorum constructio, is primum sibi delineet Enrx Paratalograminum: tum ducat E DparMIelum

78쪽

letum: inde A C alteram parallelum: atque eam demonstrationem sequatur quam modo tradidimus. Hujus Conuersam sic instituemus, Si Parasielogrammum in duo Supplementa aequalia se duo quantacuns Complamenta diuisum fuerat. duorum Complementorum Di-

metunIes m continuam erunt , O una totius Parasielowmmi Di- metiens.

Complementa hic vocavimus, duo Parallelogramma quae cum duobus Supplementis totum Parallelogrammum conitituunt. Sic enim ob vocum affinitatem non inepte dici possunt: tum ne sine nomine essent, tum ut facilius caperentur, a Supplementis nominatim distincta. Sit itaque Parallelogrammum A B C D : Cuius duo Supplementa aequalia, A E F G S FH DΚ e duo vero Complementa GFCΚ&EBFH, quorum Dimetientes C F&pB. Dico c p a esse- lineam unam,& totius ABCD Parallelo-

gramini Di metientem. Si enim non sit ejusmodi, erit alia totius Parallelogrammi Di metiens : Sitq; ipsa C L B, infra Dimetientes C p & F B educta, secans G H in puncto L : Et per ipsum L punctum, ducatur M L N , per trigesimam- primam Propositionem, ipsi A c Parallelus3 Simq; in toto Parallelogrammo ABCD, duo Supplemenra AM GL&LHND. Atque haec,per Dircctam hujus, erunt inter se aequalia: quum sint circa Di metientem C L B : Sed A E F G Supplementum positum est aequale Supplemento F H D K. Quum itaque F H D cmajus sit ipse L H D M : erit A E F C majus ipsb A M G L,pars toto, quod est absilrdum. iisdem rationibus probabitur Di metiens educi non posse supra Di metientes C F & F B Quare C F B una est Dimetiens totius Parallelogrammi: Quod erat proban

dum.

79쪽

ELEMENT. EVCLIDIS

Super data recha linea, dato Triangulo aequale Parallelogrammum constituere, habens angulum angu-do dato aequalem.

Sit data linea A η , datumq; Triangulum CDE, datus vero angulus F. Volo super An constituere Parallelogrammum aequale triangulo C D E ,habens angulum aequalem angulo F. Differt haec a quadragesimasecunda: quod hic data sit linea, illic

nulla. Produco itaq; B A ad punctum G: & pono A G aequalem late ri P E , Trianguli dati: Et, per vigesimamtertiam,ad punctum A facio angulum C A H aequalem angulo E : Et,per secundam, ficio A H aequalem lateri E C Connexaq; C H , erit Trianguluma GH, per quartam Propositionem, aequale Triangulo CDE dato. Diuido postmodum A C per aequalia in Puncto Κ , per decimam: & connecto H x. Et per punctum H , duco H L Parallelum ipsi a B , per trigesimamprimam. Inde ad punctum Aconstituo angulum G A M aequalem angulo F dato, per vim G. mam tertiam, ut A M secet H L in puncto M. Tum per punctum x, duco κ N Parallelum & aequalem ipsi A M. Et connexa H N, Scio Parallelogrammum A K M M. Quod, per trigesimamuct uam & quadragesimamprimam, erit aequale Triangulo A G H, ob idq; Triangulo CD E. dato. Caeterum duco B LParallelum ipsi A M : qua.

conjungo cum NM pro

tracta, in puncto L. - Α quo educo Di metientem La : quam produco donec jungatur cum NK protracta, in puncto P. Et duco p QParallelum & aequalem ipsi x E. Ac demum, connexis A R & B perficio totum Parallelogram-mum N L P QUonstans quatuor Parallelogrammis, Inter quae Supplementum A LU, antecedentem, aequale est Suppi mento A N: ob id & Triangulo dato cDE. Qirare, quum linea data A n sit unum laterum ipsius A Q Parallesogrammi: & angulus η A R sit, per decimamquintam, angulo C A L aequalis:. ob idq; angulo ν dato: constat totum Problema. HANC

80쪽

H A. N c Campani descriptionem apposuimus, ut ipsius taediosam diligentiam,ac minime necessariam ostenderemus. Nihil enim opus fuit Triangulo A G H. ' Tantum fuit constituenta dum Parallelogrammum AK MN Triangulo CD E aequale, habens angulum aequalem angulo F , ex quadragesima secundar sicut recte hic Theon astruxit. Propositiones enim Geometricae aliae aliis praeeunt: non ut ipsarum constructio, sed ustis tantum repetatur: ne linearum multitudo intellectum conturbet potius quam juvet. Hulus autem Conuersa sic erit, Super data recta linea, dato Parasie Lyrammo Triangulum aquale conmmere,habens angulum angulo dato aequalem. Sit data linea A a: titumq, Parallelogrammum C DEF:d tus vero angulus G. Volo super A B constituere Triangulum, ipsi c D E p Parallelogrammo aequale, habens angulum aequalem angulo G. Duco G H Dimetientem : & protracta c o ad H il punctum , pono PH aequa-

' si aequale Parallelogrammo

B M C DEr :quubasis sit dupla. Iam,per directa huius, super A s constituo Parallelogrammua B R L, aequale Triangulo CH F, habens angulum A B L aequalem angulo C dato Tum, protracta BL,pono L M aequalem BL: Ac demum connecto A M. Dico jam Triangulum AB M, sepera a esse constitutum quale Voluimus.. Est enim Triangulum A B M aequale Parallelogramo A BK L, Per quadragesimam primam : quum sint inter duas Parallelos B M N A n, sitq; dupla basis Trianguli. Sed A B L κ, ex constructione, est aequale Triangulo G H F : & CH F aequale G D E F, per ipsam quadragesimamprimam. re, per animi Notionem, Triangulum AR M aequale est Parallelogrammo C DEF, habens angulum AB M , aeqpalem angulo G dato: Quod erat Scien

dum.